空间向量和立体几何专题十 讲义-2024届高三数学二轮复习

高中数学 空间向量和立体几何高考复习专题十 知识点一 证明线面垂直,线面垂直证明线线垂直,已知面面角求其他量 典例1、如图，在四棱锥中，平面平面，点在棱上，设. （1）证明：. （2）设二面角的平面角为，且，求的值. 随堂练习：如图，四棱锥的底面是直角梯形，且，，，，正三角形所在平面与平面相互垂直，、分别为、的中点. （1）求证：； （2）若二面角的余弦值为，求的值. 典例2、如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，． （1）求证：； （2）已知点E在棱上，且，设，若二面角的余弦值为，求． 随堂练习：如图，在三棱锥中， 二面角是直二面角， ， 且， 为上一点， 且平面．分别为棱上的动点， 且． （1）证明： ； （2）若平面与平面所成角的余弦值为， 求的值． 典例3、三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为， 点在线段上. （1）求证：； （2）若点在上，满足，点满足，求实数使得二面角 的余弦值为. 随堂练习：如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，. （1）求证：平面ABCD； （2）设，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为时，求的值. 知识点二 面面垂直证线面垂直,线面角的向量求法 典例4、如图，在四棱锥 中， 已知底面， 底面是正方形，. （1）求证： 直线 平面； （2）求直线 与平面所成的角的正弦值. 随堂练习：如图，在直三棱柱中，，，，交于点E，D为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 典例5、如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，点在线段上，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的正弦值. 随堂练习：已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，，F为棱PC上的点，过AF的平面分别交PB，PD于点E，G，且BD∥平面AEFG． （1）证明：EG⊥平面PAC． （2）若F为PC的中点，，求直线PB与平面AEFG所成角的正弦值． 典例6、如图，在四棱锥中，底面为正方形，点在底面内的投影恰为中点，且． （1）若，求证：面； （2）若平面与平面所成的锐二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 随堂练习：三棱柱中，，，侧面为矩形，，二面角的正切值为． （1）求侧棱的长； （2）侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由． 空间向量和立体几何高考复习专题十答案 典例1、答案：（1）证明见解析； （2）. 解：（1）证明：取的中点，连接. 因为，所以. 又，所以四边形是平行四边形，从而. 因为，所以，从而. 因为，所以，则. 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面，平面，从而. 又，平面， 所以平面，因为平面，所以； （2）由（1）知两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ， ，可得. 设平面的法向量为， 由， 不妨令，则. 因为平面，所以可取平面的一个法向量为， 因为，所以， 解得或（舍去）. 随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）6. 解：（1）在四棱锥中，是正三角形，是的中点，则， 又平面平面，平面平面，平面， 则有平面，而平面， 所以. （2）取的中点，连接， 在直角梯形中，，、分别为、的中点， 则，又，即有， 由（1）知平面，又、平面，则，. 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， ，设平面的一个法向量， 则，令，得， 由（1）知，平面，则是平面的一个法向量， ， 因二面角的余弦值为，则，又，解得，的值是6. 典例2、答案： （1）证明见解析； （2）. 解：（1）证明：因为是正三角形，所以 因为，公共边，所以，所以， 因为是直角三角形，所以， 取的中点O，连接，，则，， 因为是正三角形，所以， 因为，所以平面， 又因为平面，所以． （2）在直角中，， 因为，所以，所以， 以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 可得平面的法向量为 设，由，可得， 可得 设面的法向量为，则， 取，可得，所以， 则， 又因为，解得． 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：平面平面，平面平面，，且平面， 平面， 又平面， ， 又平面，平面， ， 且，平面， 平面， 又平面， ． （2）如图， 以点为原点，分别以，，过点且与平面垂直的直线为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系， 设，则， ，，，， 则，，， 由，可得， ， ，， 因为平面与平面所成角的余弦值为，所以， 设为平面的法向量，则， 即，令，则，， 所以， 取平面的法向量， 则， 令，则，化简得，即（负值舍去）， 所以． 典例3、答案： （1）证明见解析； （2）. 解：（1）证明：因为，，则且， ，平面， 所以为直线与平面所成的线面角，即， ，故，， ，平面， 平面，因此，. （2）设，由（1）可知且，， 因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 由，取，则， 由已知可得，解得. 当点为线段的中点时，二面角的平面角为锐角，合乎题意. 综上所述，. 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）取CD的中点E，连接BE， 四边形ABCD为直角梯形，， 且E为CD的中点，且，所以，四边形ABED为矩形， ， ， ， ， ，平面，平面，平面PAD， 平面PAD，， ，平面，平面，平面ABCD； （2）由（1）可知，PA､AB､AD两两垂直，以点A为坐标原点，分别以AB､AD､AP所在直线为x､y､z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面PBD的法向量为， 由，得， 令，得. ， 设平面PAM的法向量为， 由，得，令，则， ， 由于平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为， 则，整理可得， ，解得. 典例4、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）因为 平面， 且平面，所以 . 在正方形 中，. 而, 平面， 故 平面. （2）以为坐标原点，分别以为轴， 建立如图所示空间直角坐标系. 设 ，则， 从而. 设平面 的法向量为， ，令 ， 则. 设直线 与平面所成的角为，则， 故直线 与平面的所成角的正弦值为. 随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）. 解：（1）在直三棱柱中，平面， 因为平面， 所以 ．因为 ， ，平面, 所以 平面，因为平面， 所以 ．又因为 ，平面， 所以平面. （2）由（1）知知 两两垂直， 则以点A为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 ， 设 ,, ， 因为 ，∴ ，故, 由（1）知平面 故平面的一个法向量为 ，, 设直线与平面所成角为， 则. 典例5、答案：（1）证明见解析 （2） （3） 解：（1）证明：如图，以为原点，分别以，为轴，轴, 过D作AP平行线为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，得，，， 所以，，即，，又，所以平面； （2）由可是， 由，可得，所以， 设为平面的法向量， 则不妨设，则，故， 设直线与平面所成角为，所以， 则直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为为平面的法向量，设二面角的大小为， 所以，所以.则二面角的正弦值为． 随堂练习：答案：（1）见解析 （2） 解：（1）连接相交于，连接, 因为底面ABCD为正方形，所以，又，为中点， 所以,,平面，所以平面, 又平面平面,平面 ,BD∥平面AEFG, 因此,所以 EG⊥平面PAC （2）由，为的中点,故， 又，且为的中点，所以， 平面 所以平面， 设正方形的边长为2，则， 所以，，， 故建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，,, ，，， 所以，，， 记平面的法向量为，所以即， 令，解得，，所以， 记直线与平面所成的角是， 则． 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 典例6、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）如图，连接，. 已知，不妨设，. 已知点在底面的投影落在中点，所以四棱锥为正四棱锥， 即， 底面为正方形，，得，同理得， 为的中点，，，得， ，，同理可得， 平面，平面，且，平面. （2）如图，过点做底面垂线，垂足为中点. 以所在直线为轴，以过点且与平行的直线为轴， 以所在直线为轴如图建立空间直角坐标系. 不妨假设底面正方形的边长为，. 因此得，，，，，. ，，，， 设平面的法向量为， 由，得，解得：，，，故； 设平面的法向量为， 由，得，解得：，，，故； 由平面与平面所成的锐二面角为， 得，解得或（舍）. 得，，设直线与平面所成角为， 则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 随堂练习：答案： （1）2； （2）在侧棱上存在点，证明见解析. 解：（1），. 侧面为矩形，， ，平面，平面， 平面，则. 则 是二面角的平面角，则，所以，. 设. ，， ， ， ， 又， 在中，由余弦定理 得：， 即， 平方整理得，得或（舍， 即侧棱的长为2. （2）建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图： 过作底面. ，，则， ， 则，. 所以，0，，，0，，，，，，， 则，，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，， 则，令，则，即，0，， ，0，， 设，0，，， ，，，0，，，， 与平面所成角的正切值，. 即， 平方得，得，即在处． 即在侧棱上存在点，使得直线与平面所成角的正切值为． ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$