4.1-4.2因式分解、提公因式法2023-2024学年北师大版八年级下册数学期末复习考点专训

北师大版八年级下册数学期末复习考点专训 第四章《因式分解》 4.1 因式分解 4.2 提公因式法 考点1：因式分解的概念 考点2：提公因式法及利用提公因式法解决问题 一、知识清单 概念： 因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解. 因式分解也可称为分解因式. 公因式与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是一个互逆的变形，即因式分解可以转化为整式乘法，整式乘法可以转化为因式分解. 公因式的概念 一个多项式中，各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式. 提公因式法的概念 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化为几个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法. 方法： 提公因式法的依据 乘法分配律. 提公因式法的步骤 （1）确定公因式；（2）提取公因式； （3） 把多项式化成几个整式的积. 2、 考点专训 一、单选题专训 1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝a（a） 2．单项式6a3b与9a2b3的公因式是（　　） A．a2b B．3a3b3 C．3a2b D．18a3b3 3．将下列多项式分解因式，结果中不含有因式（x+2）的是（　　） A．x2+2x B．x2﹣4 C．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16 D．x3+3x2﹣4x 4．下列各式从左到右的变形，是因式分解且正确的是（　　） A．a2﹣6ab﹣9b2＝（a﹣3b）2 B．a2+4a+4＝a（a+4）+4 C． D．2ax2﹣2ay2＝2a（x+y）（x﹣y） 5．若x2+mx﹣18能分解为（x﹣9）（x+n），那么m、n的值是（　　） A．7、2 B．﹣7、2 C．﹣7、﹣2 D．7、﹣2 6．若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1 7．计算（﹣5）2013+（﹣5）2014的结果是（　　） A．4×52013 B．﹣5 C．﹣4×52013 D．﹣4 8．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、b（a＞b），周长为20，面积为16，请计算a2b﹣ab2的值为（　　） A．96 B．480 C．320 D．160 9．有两个多项式M＝x2﹣1，N＝x2+2x+1，则M与N的公因式的是（　　） A．x+1 B．x﹣1 C．2x+1 D．2x﹣1 10．设x*y＝xy+2x+2y+2，x，y是任意实数，则（　　） A．14×1010﹣2 B．14×1010 C．14×109﹣2 D．14×109 二、填空题专训 11．请你写出一个整式A，使得多项式x2+A能因式分解，这个整式A可以是 　 　． 12．8a3b2﹣12a2b3c中的公因式是 　 　． 13．分解因式：12x2﹣12xy+3y2＝　 　． 14．把x2+5x+c分解因式，得（x+2）（x+3），则c的值＝　 　． 15．若x﹣4是多项式x2﹣mx﹣24的一个因式，则m的值为 　 　． 16．若多项式x2+kx﹣6有一个因式是（x﹣2），则k＝　 　． 17．已知a﹣b＝2，ab＝1，则a2b﹣ab2的值为　 　． 18．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为 　 　． 19．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b的值为 　 　． 20．已知xy＝﹣1，x+y＝2，则x3y+x2y2xy3＝　 　． 三、解答题专训 21．（1）分解因式：x（x﹣2）﹣3（2﹣x）； （2）计算：17×0.11+37×0.11+46×0.11． 22．因式分解： （1）3x2﹣6x+12xy； （2）（x﹣y）3+4x（x﹣y）2． 23．分解因式： （1）x（x﹣y）+y（y﹣x）； （2）． 24．已知x、y，满足方程组，求（2x﹣y）3﹣（2x﹣y）2（x﹣3y）的值． 25．已知：x、y满足：（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝41；求x3y+xy3的值． 26．已知：A＝x2﹣1，B＝x2y3﹣xy3，C＝（x+1）（x﹣3）+4，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 27．父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且xy＝1040，请你求出父亲和儿子今年各多少岁？ 28．【问题提出】 计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 【问题探究】 为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母α代替，原算式化为： l+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法； ①1+a+a（1+a） ＝（1+a）+a（1+a） ＝（1+a）（1+a） ＝（1+a）2 ②由①知1+a+a（1+a）＝（1+a）2，所以， l+a+a（1+a）+a（1+a）2 ＝（1+a）2+a（1+a）2 ＝（l+a）2（1+a） ＝（1+a）3 （1）仿照②，写出将1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3进行因式分解的过程． 【发现规律】 （2）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝　 　． 【问题解决】 （3）计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6＝　 　（结果用乘方表示）． 29．已知x+y＝6，xy＝4，求下列各式的值： （1）x2y+xy2 （2）x2+y2 30．（1）求不等式组的整数解． （2）认真阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（1+x）+x（1+x）2 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3 ①上述分解因式的方法是　 　； ②分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3． ③猜想：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是　 　． 参考答案 一、单选题专训 1．B． 2．C． 3．D． 4．D． 5．B． 6．C． 7．A． 8．A． 9．A． 10．C． 二、填空题专训 11．xy（答案不唯一）． 12．4a2b2． 13．3（2x﹣y）2． 14．6． 15．﹣2． 16．1． 17．2． 18．490． 19．﹣31． 20．﹣2． 三、解答题专训 21．（1）分解因式：x（x﹣2）﹣3（2﹣x）； （2）计算：17×0.11+37×0.11+46×0.11． 解：（1）原式＝x（x﹣2）+3（x﹣2） ＝（x﹣2）（x+3）； （2）原式＝（17+37+46）×0.11 ＝100×0.11 ＝11． 22．解：（1）3x2﹣6x+12xy ＝3x（x﹣2+4y）； （2）（x﹣y）3+4x（x﹣y）2 ＝（x﹣y）2（x﹣y+4x） ＝（x﹣y）2（5x﹣y）． 23．解：（1）x（x﹣y）+y（y﹣x）， ＝x（x﹣y）﹣y（x﹣y）， ＝（x﹣y）（x﹣y）， ＝（x﹣y）2； （2）原式＝（x+y）[（x+y）﹣1]， ＝（x+y）2﹣（x+y）， ＝（x+y）2． 24．解：原式＝（2x﹣y）3﹣（2x﹣y）2（x﹣3y）＝（2x﹣y）2（2x﹣y﹣x+3y）＝（2x﹣y）2（x+2y）， ∵x、y，满足方程组， ∴原式＝122×11＝1584． 25．解：∵（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝41， ∴（x+y）2+（x﹣y）2＝46， 则x2+2xy+y2+x2﹣2xy+y2＝46， 2（x2+y2）＝46， 故x2+y2＝23， （x+y）2﹣（x﹣y）2＝﹣36， 则x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2＝﹣36， 故4xy＝﹣36， 则xy＝﹣9， x3y+xy3＝xy（x2+y2） ＝﹣9×23 ＝﹣207． 26．解：多项式A、B、C有公因式， 理由：∵A＝x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），B＝x2y3﹣xy3＝xy3（x﹣1），C＝（x+1）（x﹣3）+4＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴多项式A、B、C的公因式是x﹣1． 27．解：由题意得，x﹣y＝26， ∵x2﹣xy＝x（x﹣y）， ∴26x＝1040， 解得x＝40， y＝40﹣x＝40﹣26＝14． 答：父亲和儿子今年分别是40岁、14岁． 28．解：（1）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3 ＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3 ＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3 ＝（1+a）3+a（1+a）3 ＝（1+a）3（1+a） ＝（1+a）4； （2）由②③发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1； 故答案为：（1+a）n+1； （3）1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6 ＝（1+3）6（1+3） ＝（1+3）7 ＝47． 故答案为：47． 29解：（1）当x+y＝6、xy＝4时， 原式＝xy（x+y）＝4×6＝24； （2）当x+y＝6、xy＝4时， 原式＝（x+y）2﹣2xy ＝62﹣2×4 ＝36﹣8 ＝28． 30．解：（1）解不等式①：x＞1， 解不等式②：x≤4 ∴原不等式的解集为：1＜x≤4 ∴原式不等式组的整数解为：2、3、4 （2）①根据题意可知：分解因式的方法是提取公因式法； ②原式＝（1+x）[（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2] ＝（1+x）2[（1+x）+x（1+x）] ＝（1+x）3（1+x） ＝（1+x）4 ③由题意可知：（1+x）n+1 故答案为：（2）①提取公因式；③（1+x）n+1 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/26 8:19:52；用户：李明岳；邮箱：XFS-7397324458341281.42133300；学号：54696508 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$