第五单元分数的意义（讲义）-2023-2024学年五年级上册数学北师大版

分数的意义 【趣味导入】 在三年级下册教材中，同学们体验了分数产生的过程，认识了整体“1”，初步理解了分数的意义，能认、读、写简单的分数，已经会简单的同分母分数加减法，能初步运用分数表示一些事物，解决一些简单的实际问题。那么问题来了；现在小明分的一个月饼的和小军分的月饼的，同学们你们你能知道究竟是谁分的月饼较多吗？本单元我们再学习分数的意义，我们就可以解决这个问题了，还能知道=0.5之类的计算哦！我们一起来学学吧~~~~~ 【教学目标】 1、理解分数的意义，能用分数描绘图形中部分与整体的关系或简单的生活现象。  2、认识真分数、假分数与带分数，理解分数与除法的关系，会进行分数的大小比较。  3、会进行约分和通分，认识分数的基本性质。  4、进一步掌握分数与小数的互化方法，会比较分数的大小。 【精讲精练】 考点1 分数的意义 【知识要点】 1、分数的意义： 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。 2、分数单位： 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。 3、分数与除法的关系： 除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母。 被除数÷除数 = 用字母表示：a÷b= （b≠0）。 4、分数未带单位表示两个量之间的倍数关系；分数带有单位表示一个具体的数量。 【典型例题】 【例1】用分数表示下面各图的阴影部分。 阴影部分占整个长方形的（ ） 阴影部分是（ ） 分数单位是（ ） 分数单位是（ ） 有（ ）个这样的单位 有（ ）个这样的单位 【变式训练】1，用分数表示下面各图的阴影部分。 2、上图中阴影部分用分数表示是（ ）。 A. B. C. 3、上图中阴影部分用分数表示是（ ） A. B. C. D. 【例2】把48名同学平均分成8个小组，每小组人数是全班人数的（ ）。 【变式训练】1、一堆煤平均分成20份，其中的9份是（ ）。 2、8米长的铁丝，平均分成9段，每段占全长的（ ），每段长（ ）米。 3、 把3米长的铁丝剪成相等的5段，每段长用分数表示是（ ）米，用小数表示是（ ）米，用整数表示是（ ）分米，每段铁丝是全长的（ ），也就是1米的（ ）。 4、把1米长的木条平均锯成5段，每段占全长的（ ） A．米 B． C． D． 【例3】表示（ ），它的分数单位是（ ），添上（ ）个这样的分数单位是，减少（ ）个这样的分数单位是。 【变式训练】1、女生人数占全班人数的。表示把（ ）看做单位“1”，平均分成（ ）份，（ ）占其中的4份。 2、表示（ ），它的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的单位。 3、表示（ ），它的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的单位。 【例4】 ①AC是AF的（ ）， ②AE是AF的（ ）， ③BE是AF的（ ）， ④AC是BE的（ ）， ⑤AD是BF的（ ）。 【变式训练】1，有同样大小的红、蓝、白玻璃球共76个，始终按2个红球、3个蓝球，4个白球的顺序排列。蓝玻璃球的个数占总数的。 2、少先队员采集树种。第一小队7人采集了8千克，第二小队6人采集了7千克。哪个小队平均每人采集得多？ 3、做10道数学题，小明用了15分钟，小华用了12分钟，小强用了13分钟，( )做得快。 A. 小明 B. 小华 C. 小强 【课堂练习】 一．判断下列各题： 1、把单位“1”分成若干份，表示这样一份或几份的数,叫做分数( ) 2、因为=，所以这两个分数的分数单位也相同。（ ） 3、把单位“1”分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。（ ） 4、因为= ，所以和的分数单位相同。（ ） 二、选择题 1、和这两个分数（ ） A．意义相同 B．分数单位相同 C．大小相同 2、把1米长的木条平均锯成5段，每段占全长的（ ） A．米 B． C． D． 3、上图中阴影部分用分数表示是（ ） A. B. C. D. 4、上图中阴影部分用分数表示是（ ）。 A. B. C. 5、把一根绳子对折三次，这时每段绳子是全长的（ ） A. B. C. 6、把一根长2米的铁丝平均分成5段，米占全长的( )。 A. B. C. D. 7、做10道数学题，小明用了15分钟，小华用了12分钟，小强用了13分钟，( )做得快。 A. 小明 B. 小华 C. 小强 三、计算题 1、 某校五年级一班男生有23人，女生有25人。女生占全班人数的几分之几 ？ 2、 一堆货物120吨，用去了45吨，还剩总数的几分之几？ 3、五（1）班有女生24人，比男生多3人。男、女生各占全班的几分之几？ 4、把3吨化肥平均分给5个生产队，每个生产队分多少吨？每个生产队分得化肥总数的几分之几？(第二个问题只写答即可) 5、少先队员采集树种。第一小队7人采集了8千克，第二小队6人采集了7千克。哪个小队平均每人采集得多？ 6、某车间有男职工28人，比女职工多4人，男女职工各占车间总人数的几分之几？ 7、蜜蜂酿50克蜂蜜要采花粉8000次，平均采一次花粉可以酿蜂蜜多少克？ 8、鲁明3小时走14千米，张丽5小时走23千米，谁走得快些？ 考点2真分数和假分数 【知识要点】 1、真分数和假分数： ① 分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。 ② 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。 ③ 由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数。 2、假分数与带分数的互化： ① 把假分数化成带分数，用分子除以分母，所得商作整数部分，余数作分子，分母不变。 ② 把带分数化成假分数，用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。 【典型例题】 【例1】分母是4的真分数有（ ）分母是4的假分数有（ ） 【变式训练】1、分母是7的最小真分数是（ ）， 最小假分数是（ ），最小带分数是（ ）。 2、是假分数，和都是不为零的自然数，应该( )。 A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 大于、等于 3、要使是假分数， 是真分数，A应是（ ）。 A．10 B。9 C。8 D。1 【例2】10个是（ ）；（ ）个是2；3里面有( )个 【变式训练】1的与5的（ ）相等 【例3】 4=3=2= =( )÷( )=1 【变式训练】3= = 2 = = ( ) 【课堂练习】 一、填空题 1、在括号里填上适当的数。 中有( )个 143个是（ ） 是( )个 1里面有（ ）个 5里面有（ ）个 4个等于1的（ ）。 7= 5= 20= 20= =( )÷18 =1 2、一个数由5个1，8个组成，这个数写成分数是（ ）。 3、在中，当a为（ ）时，它是真分数； 当a为（ ）时，它是假分数； 当a为（ ）时，它可以化为整数； 当a为（ ）时，它的值是0。 4、分母是5的真分数有（ ）； 分子是5的假分数有（ ）。 5、2的分数单位是（ ），它至少要加上（ ）个这样的分数单位才能化成整数。 6、如果是真分数，a最大是（ ）；如果是假分数，b最小是（ ）。 二、判断题 1．真分数的分子一定比分母小。（ ） 2．带分数和自然数都可以化成假分数。（ ） 3．1小时30分=1小时。 （ ） 4.要使是真分数，是假分数，a只能是5。（ ） 5.真分数比1小，假分数比1大。…………………… ( ) 6.假分数都能化成带分数。（ ） 考点3分数的基本性质 【知识要点】 分数的基本性质： 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。 【典型例题】 【例1】4÷9= = = = 【变式训练】= = = = = =（ ）（小数表示） 【例2】的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应该加上( )。 【变式训练】1，再增加（ ）个它的分数单位得；如果的分子加上8，要使这个分数的大小不变，分母应该加上（ ）。 2， 3， 4， 【课堂练习】 一、填空题 1、4÷9= = = = 2、= = = = = =（ ）（小数表示） 3、 二、选择题 1、的分子加上6，要使分数大小不变，分母应（ ）。 A．加上6 B。乘以6 C。乘以3 2、一个分数，分子扩大2倍，分母缩小2倍，这个分数就（ ）。 A．扩大2倍 B．扩大4倍 C．缩小4倍 3、把的分子扩大2倍，要使这个分数大小不变，分母应是（ ） A．增加2 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．减少2 考点4约分和通分 【知识要点】 约分： 1、最大公因数： 几个数共有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。 2、两个数的公因数和它们最大公因数之间的关系： 所有的公因数都是最大公因数的因数，最大公因数是它们的倍数。 3、互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。 4、两个数互质的特殊判断方法： ① 1和任何大于1的自然数互质。 ② 2和任何奇数都是互质数。 ③ 相邻的两个自然数是互质数。 ④ 相邻的两个奇数互质。 ⑤ 不相同的两个质数互质。 ⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。 5、求最大公因数的方法： ① 倍数关系： 最大公因数就是较小数。 ② 互质关系： 最大公因数就是1 ③ 一般关系： 从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。 6、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。 7、约分： 把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 （并不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫约分；但一般要约到最简分数为止） 通分 1、最小公倍数：几个数共有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫最小公倍数。 2、两个数的公倍数和它们的最小公倍数之间的关系： 几个数的公倍数是它们最小公倍数的倍数。 3、通分： 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 （通分时，公分母一般为几个数的最小公倍数）。 4、求最小公倍数的方法： ① 倍数关系： 最小公倍数就是较大数。 ② 互质关系： 最小公倍数就是它们的乘积。 ③ 一般关系： 大数翻倍（从小到大看较大数的倍数是否是较小数的倍数）。 【典型例题】 例1】9和3的最大公因数是 ；最小公倍数是 ； 【变式训练】16、32和64的最大公因数是 ；最小公倍数是 ； 【例2】以最小质数作分母的最简真分数是（ ），以最小合数作分母的所有最简真分数的和是（ ）。 【变式训练】1、化简下列各分数。 ① ② ③ ④ 2、写出用1，4，5，12，15五个数组成的全部最简真分数（ ），其中（ ）能化成有限小数。 3、4．分数单位是的所有最简真分数的和是（ ）。 4、大于小于的最简分数只有、、三个。（ ）（判断题） 5、 一个分数约分后，它的大小不变，但分数单位却变大了 ( ) （判断题） 【例3】把下列分数化成和原来分数相等的同分母的分数 ① 和 ②和 ③和 【变式训练】 1、约分（能化成整数或带分数的要化成整数或带分数） 2、通分（写出过程） 和 3和2 1、和 、和 3、把大小相等的分数填在一个（ ）里。 (1)( ) (2)( ) (3)( ) 4、把下列分数化成分母是10而大小不变的分数。 【课堂巩固】 一、填空题 1、写出下列各数的最大公因数和最小公倍数 (1) 15和5的最大公因数是 ；最小公倍数是 ； (2) 11和44的最大公因数是 ；最小公倍数是 ； (3)13和91 的最大公因数是 ；最小公倍数是 ； (4)7和12的最大公因数是 ；最小公倍数是 ； (5)8和11的最大公因数是 ；最小公倍数是 ； (6)1和9的最大公因数是 ；最小公倍数是 ； （7）7、9和11的最大公因数是 ；最小公倍数是 。 2、在下面的｛ ｝里添上5个符合要求的分数。 （1）能用6约分的 ｛ ｝， （2）能用5约分的 ｛ ｝， （3）能用7约分的 ｛ ｝， （4）能用11约分的｛ ｝， （5）能用17约分的｛ ｝。 3、一个最简分数，整数部分是最小的质数，分子是最小的奇数，分母是最小的合数，这个分数是（ ），化成小数是（ ）。 4．分子与分母相乘的积是210，这样的最简真分数有（ ）。 （提示：可先将210分解质因数） 5．将12以内的五个质数分别填人下列的□中，使得A是整数，那么A最小是（ ）。 A= 6、 分母是15的最简真分数一共有( )个。 7、 一个最简分数，如果把它的分子扩大3 倍，分母缩小4 倍后，就得到4.2。这个最简分数原来是( )。 8、如果a是小于100的自然数，且不是最简分数，那么可能取的值分别是（ ）， 其中最大的分数是（ ）。 二、判断题 1、分子与分母互质的分数叫做最简分数。…………… ( ) 2、一个最简分数的分母中含有质因数2和5，这个分数就能化成有限小数。（ ） 3、分母是12的最简分数不能化成有限小数。（ ） 4、分子、分母都是质数的分数叫最简分数。（ ） 5、用最简分数表示1小时40分，就是1小时，既1小时。（ ） 三．选择题： 1、大于、小于的最简分数有( )个。 A. 1个 B. 2个 C.无数个 2、分母是8的最简真分数有（ ）个。 A.1 B.3 C.4 3、如果a＜b、b＞c、a＞c，且a、b、c不等于0，那么在、、三个分数中，最小的一个分数是（ ）。 A. B. C. 4、加上（ ）个它的分数单位，就得到最小的质数。 A．14 B。13 C。5 D。4 5、在、1、、2、1五个分数中，能化成有限小数的有（ ）个。 A．4 B。3 C。2 D。1 6、分母是10的所有最简真分数的和是（ ）。 A．1 B．2 C．3 D．3 三、计算题 一、用短除法求几个数的最大公因数 (1) 12和30 (2) 24和36 (3)39和78 (4)72和84 (5)45和60 (6)45和75 ⑺45和60 ⑻36和60 ⑼42、105和56 ⑽24、36和48 二、给下面的分数约分 　　 　 　 三、将下列各组分数通分。 和 和 和 　　 和 和 和 和 和 和 　 和 和 1和2 、和 2、和1 和 和2 、1和 考点5分数的大小比较 【知识要点】 分数的大小比较： ① 同分母分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小； ② 同分子分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。 ③ 异分母分数，先化成同分母分数（分数单位相同），再进行比较。 【例1】在括号里填上＞、＜或＝。 ( ) ( ) 4( )4.6 2( )2.3 ( ) 2( )2.25 0.3 ( ) 0.64( ) ( ) 【变式训练】1、在（ ）里填上＞、＜或＝。 ① ( ) ② ( ) ③ ( ) ④ ( ) ⑤ ( )0.76 ⑥ 6.65( ) 2、把、0.9、、这四个数，从小到大排列起来。 ( ) 3、写出大于而小于的五个分数。 【课堂练习】 一、填空题 1、把0.64，0.6464，,0.614，0.641用“＜”号连接起来。 （ ） 2、一个分数（a、b都是自然数），已知5＜a＜9，1＜b＜3，那么这个分数可能是（ ），其中最小一个是（ ）。 3、把下面各数从大到小排列起来。 0.16 0.16 1（ ） 4、4○ ○1 0.355○ 二、判断题 1、3吨的与1吨的相等。（ ） 2、比小，比大的分数只有。（ ） 3、分数的分母越大，它的分数单位就越小。………… ( ) 4．1米的与3米的一样长。（ ） 5、几个分数的分子都是相同的自然数，分母不同。分母越大，分数值就越大。（ ） 6、把的分子加上5，分母加上27，分数的大小不变。（ ） 7、把的分母缩小5倍，分子不变，原来的分数就扩大5倍。（ ） 8、7个比8个小。（ ） 9、不能化成有限小数。………………………………… ( ) 三、比较下面每组数的大小。 1和1 和0.35 4和4 3、3和3.51 0.75、 和0.8 和 3和3.8 1、1和1 、0.875和 3和3 、和 和0.52 0.3、和 考点6分数和小数的互化 【知识要点】 1、小数化分数： 一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……， 去掉小数点作分子，能约分的必须约成最简分数； 2、 分数化小数： 用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。（一般保留两位小数。） 3、判断分数是否能化成有限小数的方法： ① 判断分数是否是最简分数；如果不是最简分数，先把它化成最简分数； ② 把分数的分母分解质因数: 如果分母中除了2和5以外，不含有其他质因数，这个分数就能化成有限小数； 如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 【例1】把小数化成分数（能约分的约分），分数化成小数（除不尽的保留两位小数） 2 8.72 0.24 【变式训练】 1、= 2、在下面括号里填上适当的最简分数。 0.32米=（ ）米 1吨20千克=（ ）吨 100分=（ ）小时 45米=（ ）千米 180平方分米=（ ）平方米 1小时25分=（ ）小时 3分米=（ ）米 107分=（ ）小时 1250千克=（ ）吨 3米70厘米=（ ）米 97千克=（ ）吨 53小时=（ ）日 4080米=（ ）千米 235平方分米=（ ）平方米 68分 = ( )小时 5200千克 = ( )吨 3升400毫升= ( )升 32时= ( )日 3、将、、、、分数化成小数后，小数位数最多的是（ ） 【例2】在直线上面的括号里填上适当的小数，在直线下面的括号里填上适当的分数。 【变式训练】里有（ ）个， 里有（ ）个，1.75里有（ ）个， 2里有（ ）个0.1，（ ）个等于3， （ ）个等于0.75， 【课堂巩固】 一、填空题 1、在、、、、和中，能化成有限小数的有（ ）。 8、在、、、和中，最简分数是（ ），不能化成有限小数的是（ ）。 二、计算题 1、把下列各小数化成分数。 ① 0.85 ② 4.4 ③ 3.375 2、把下列各分数化成小数。 ① ② ③ 3、把小数化成分数（能约分的约分），分数化成小数（除不尽的保留两位小数） 4.36 0.42 1.54 0.125 3.45 4 1 3 2 4、把下面的分数化成小数。（除不尽的保留两位小数） 2 4 1 三．应用题： 1、修一条10米长的路需12天，平均每天修这条路的几分之几？平均每天修几分之几米？ 2、装配车间要装配300台彩电，已经装配了180台，完成任务的几分之几？ 3、李村民兵进行武装泅渡钱塘江训练，第一次用了1小时，第二次用了1小时，哪一次快些？ 4、赵师傅做一批机器零件，原计划每天做50个，6天完成。实际每天多做10个。实际每天做的零件占这批零件总数的几分之几？ 5、 少先队员为图书室补书，一队6人补19本，二队7人补24本，三队9人补30本，平均计算哪队补书最多？哪队补书最少？ 6、拖拉机厂上个月上半月生产拖拉机180辆，下半月生产拖拉机140辆。上半月完成了全月产量的几分之几？下半月完成了全月产量的几分之几？ 7、工程队10天修一条长4千米的水渠。平均每天修几分之几？ 【单元测试】 一、填空。 1．在下面的括号里填上适当的分数。 40平方分米＝（　　　）平方米 75厘米＝（　　　）米　 350千克＝（　　）吨 2．表示（　　　　　　　 　　　　 　　　）， 还可以表示（　　 　　　　　　　）。 3．的分数单位是（　　　），它有（　　　）个这样的分数单位。 4．在下面的○里填上“＞”“＜”或“＝”符号。 ○0.125 ○1 4○3 6.5千米○6千米 5．在下面的括号里填上适当的数。 是（　）个　　　　0.875＝＝＝　　　　 6．3米长的铁丝平均分成8段，每段长米，用小数表示是（　）米。 7．8和9的最大公因数是（　　　　　　），最小公倍数是（　　　　）。 12和72的最大公因数是（　　　　　），最小公倍数是（　 　　）。 8．一个数被3、5分别除都余1，这个数最小是（　　　　）。 9．一项工程必须在30天完成，平均每天完成全部工程的。7天完成这项工程的。19天完成这项工程的。 10．两个数的最小公倍数是180，最大公因数是30，其中一个数是90，另一个数是（ ）。 11．一个最简分数，如果能化成有限小数，它的分母中只含有质因数（ ）。 12．a和b是互质数，它们的最大公因数是（　　　），最小公倍数是（　　　　）。 ( “ 1 ” ( ) ) ( “ 1 ” ( ) )13．在下面的括号里填上适当的分数。 二、选择题。（将正确答案的序号填在题中的括号里） 1．米表示的意义是把（ ）平均分成7份，表示其中的4份。 　①4米　　　　　　②1米　　　　　　③单位1 2．一个分数，分子不变，分母扩大4倍，这个分数值就（　　　） 　①不变　　　　　　②扩大4倍　　　　③缩小4倍 3．甲每小时做7个零件，乙每小时做8个零件，做一个零件（　　）　 ①甲用的时间多　　②乙用的时间多　　③两人用的时间同样多。 4．把一个分数约分，用分子和分母的（　　　）去约，比较简便。 ①公约数　　　　②最小公倍数　　　③最大公因数 5．12是36和24的（　　） ①最小公倍数　 ②最大公因数　 ③公倍数 6．两个自然数相除，不能整除的时候，它们的商可以用（　　　）来表示。 ①分数　　　　　②循环节　　　　　③余数 　　　 三、把下面的分数约分。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 四、把下面各组分数通分并比较大小。 　和　　　　　　　　和　　　　　　　 五、（1）把下面的小数化成分数。 0.8　 0.07 0.875 （2）下面的分数化成小数，（除不尽的保留两位小数）。 （3）把0.29 0.3 按从小到大的顺序排列。 六、解决问题。 （1）五、一班有男生20人，比女生少5人，男、女生人数各占全班人数的几分之几？ （2）五、二班上学期体育达标的有52人，其中男生有28人，男、女生达标人数各占达标总人数的几分之几？ （3）一本科技书，小磊看过50页，还剩下31页没有看，看过的和没有看过的各占这本书总页数的几分之几？ （4）张师傅6分钟做7个零件，王师傅7分钟做8个零件，他们两人每分钟各做多少个零件？谁做得快些？ （5）解放军进行军事训练，第一天4小时行了58千米，第二天5小时走了73千米，哪一天走得快些? 10 学科网（北京）股份有限公司 $$