专题 三角函数的应用综合题2024年九年级数学中考二轮复习）

专题 三角函数的应用综合题（中考二轮复习） 类型一 例1、2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂AC＝BC＝10m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192） 变式1、如图1是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成，如图2是它的平面示意图，底座AD，连杆AB和托架BC始终在一个平面内．连杆AB可以绕着点A在5°﹣120°范围内旋转，托架BC可以绕着点B在5°﹣90°范围内旋转，连杆BA的长度为18厘米，托架CB的长度为8厘米．当连杆AB和托架BC旋转至图3位置，∠DAB＝∠ABC＝60°，请你计算此时点C到底座AD的距离CM的长．（结果保留根号） 变式2、为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 变式3、在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，≈1.4，≈1.7） 类型二 例2、“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 变式1、高楼AB和斜坡CD的纵截面如图所示，斜坡CD的底部点C与高楼AB的水平距离CB为30米，斜坡CD的坡度（坡比）i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝10米，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为50°，求楼的高度AB（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192） 变式2、渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图1），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离CD，如图2．在桥面上点A处，测得A到左桥墩D的距离AD＝200米，左桥墩所在塔顶B的仰角∠BAD＝45°，左桥墩底C的俯角∠CAD＝15°，求CD的长度．（结果精确到1米．参考数据：≈1.4，≈1.73） 变式3、如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3m，EF＝8m（A，E，F在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）． 类型三、 例3、如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，货船与港口A之间的距离是多少海里？ 变式1、如图，CD是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由南向北行驶，在A处测得桥头C在北偏东30°方向上，继续行驶500米后到达B处，测得桥头D在北偏东45°方向上．已知大桥CD长300米，求桥头C到公路l的距离．（结果保留根号） 变式2、如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离． （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．） 变式3、如图，上午9：00时，甲、乙两船分别在A、B两处，乙船在甲船的正东方向，且两船之间的距离为33海里．甲船以30海里/时的速度沿北偏东45°方向匀速航行，乙船同时沿北偏东30°方向匀速航行．上午11：00时，甲船航行到C处，乙船航行到D处，此时乙船仍在甲船的正东方向．求两船之间的距离（结果精确到1海里）． （参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） 课后练习 1、桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知AB＝AC＝1.6米，AD＝1.2米．在安全使用的前提下，当∠BAC＝30°时，桑梯顶端D达到最大高度，求此时D到地面BC的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，精确到0.1米） 2、点O为塔楼底面中心，测角仪高度AB＝CD＝1.5m，在B，D处分别测得塔楼顶端的仰角为27°，45°，BD＝16m，点B，D，O在同一条直线上，求塔楼的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） 3、时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 4、为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为40°，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°，测得C、D两点之间的距离为80m，直线AB、CD在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩AB的高度．（结果保留整数，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 三角函数的应用综合题（中考二轮复习） 参考答案 类型一 例1、解：如图，连AB，过C作CD垂直AB于D ∵AC＝BC，CD垂直AB，∠ACB＝100° ∴AD＝BD，∠ADC＝90°，∠ACD＝∠BCD＝50° ∴sin∠ACD＝sin50°＝＝ ∴AD＝10×sin50°≈7.66（m） ∴AB＝＝2×7.66＝15.32≈15.3（m） 答：A、B的距离大约是15.3m 变式1、解：如图，延长AM、BC交于D 由题意，得BC＝8厘米，AB＝18厘米 ∵∠DAB＝∠ABC＝60° ∴∠D＝60°，AB＝BD＝AD＝18厘米 ∴CD＝18﹣8＝10厘米 ∵CM⊥AD ∴∠CMD＝90° ∴∠DCM＝90°﹣60°＝30° ∴DM＝CD＝5厘米 ∴CM＝＝5厘米 答：此时点C到底座AD的距离CM的长是5厘米 变式2、解：如图，过A作AF⊥BC于F，AG⊥CE于G 则BF＝AB×sin16°＝5×sin16°≈1.4（米） AF＝AB×cos16°＝5×cos16°≈4.8（米） ∵∠AFC＝∠C＝∠CGA＝90° ∴四边形AFCG是矩形 ∴AF＝CG＝4.8米，AG＝CF＝4﹣1.4＝2.6（米） ∵∠ADK＝45° ∴DG＝AG＝2.6（米） ∴CD＝4.8﹣2.6＝2.2（米） 答：阴影CD的长约为2.2米 变式3、解：如图，过B作BF⊥AC ∴∠BAF+∠EAB＝90° ∠AEP+∠EAB＝90° ∴∠BAF＝∠AEP＝18° ∴AF＝32×cos18°≈32×0.9≈28.8（cm） BF＝32×sin18°≈32×0.3≈9.6（cm） ∵BF∥CD ∴∠BCD＝∠CBF＝30° ∴CF＝9.6×tan30°＝9.6×≈5.44（cm） ∴AC＝28.8+5.44≈34（cm） 答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm 类型二 例2、解：如图，延长BA交PQ于C 由题意，得∠ACQ＝90°，∠BQC＝45°，BC＝225m，PQ＝200m ∴CQ＝BC＝225m ∴PC＝225+200＝425m ∴tan∠APC＝tan15°＝ 解得AC＝114.75m ∴AB＝225﹣114.75＝110.25≈110（m） 答：奇楼AB的高度约为110m 变式1、解：如图，过D作DF⊥AB，则DE＝BF＝10米，DF＝BE 由题意，得＝ ∴CE＝2.4DE＝2.4×10＝24（米） ∵BC＝30米 ∴DF＝BE＝30﹣24＝6（米） ∴AF＝DF•tan50°≈6×1.192＝7.152（米） ∴AB＝10+7.152≈17.2（米） 答：高楼的高度AB为17.2米 变式2、解：如图，过C作CF⊥AB于F，则∠AFC＝∠ADB＝90° ∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∠BCF＝∠FBC＝45° ∴AD＝BD＝200米，AB＝200米，BF＝CF ∵∠CAD＝15° ∴∠ACB＝90°﹣15°＝75° ∴∠ACE＝75°﹣45°＝30° 设AF＝x米，则AC＝2x米，CF＝x米，BF＝（200﹣x）米 ∴200﹣x＝x 解得x＝100﹣100 ∴CF＝x＝（300﹣100）米 ∴BC＝CF＝（600﹣200）米 ∴CD＝（600﹣200）﹣200＝400﹣200≈54（米） 答：CD的长度约为54米 变式3、解：如图，延长FC交AB于H ∵∠AED＝60°，∠A＝90°，AE＝3m ∴AD＝3m ∵∠AFC＝30° ∴∠DHC＝90°﹣30°＝60° ∵∠HDC＝60° ∴∠DCG＝180°﹣60°﹣60°＝60° ∴DC＝DH＝CH ∵AE＝3m，EF＝8m ∴AF＝3+8＝11m ∴AH＝AF•tan30°＝11×＝m ∴DH＝﹣3＝≈1.2m ∴DC＝DH≈1.2m 答：灯管支架CD的长度约为1.2米． 类型三、 例3、解：如图，过A作AD⊥BC 由题意，得AB＝80海里 ∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60° ∴∠DAB＝90°﹣60°＝30° ∴AD＝80×sin60°＝80×＝40（海里） ∵∠CAB＝30°+45°＝75° ∴∠DAC＝75°﹣30°＝45° ∴AC＝×40＝40（海里） 答：货船与港口A之间的距离是40海里 变式1、解：如图，延长DC交直线l于F，则∠DFA＝90° 设CF＝x米 ∵∠A＝30° ∴AF＝x米 ∵AB＝500米 ∴BF＝（x﹣500）米 ∵∠FBD＝45° ∴BF＝DF＝（x+300）米 ∴x﹣500＝x+300 解得x＝400（1）米 答：桥头C到公路l的距离为400（1）米 变式2、解：如图，过A作AH⊥CD，过B作BF⊥AH ∴∠AFB＝∠CHA＝90° 由题意，得BC＝EF＝33.2nmile，AG∥DC ∴∠GAD＝∠ADC＝53° ∵∠ABF＝50°，AB＝40nmile ∴AF＝40×sin50°≈40×0.77＝30.8nmile ∴AH＝30.8+33.2＝64nmile ∵AH＝AD×sin50° ∴AD≈＝80nmile 答：货船与A港口之间的距离约为80海里． 变式3、解：如图，过C作CE⊥AB，过D作DG⊥AB ∴∠AEC＝∠BGD＝∠DCE＝90° ∴四边形CEGD为矩形 ∴CD＝EG 由题意，得AC＝30×2＝60海里，∠CAE＝45° ∴AE＝EC＝海里 ∵DG＝CE＝海里，∠DBG＝60° ∴BG＝＝10海里 ∴BE＝﹣33≈9.3海里 ∴EG＝10﹣9.3≈10×2.45﹣9.3＝15.2海里 ∴CD＝EG＝15.2≈15海里 答：行至上午11：00时，两船之间的距离约为15海里 课后练习 1、解：如图，过D作DG⊥BC于G，则∠DGC＝90° ∵AB＝AC＝1.6米，∠BAC＝30° ∴∠ABC＝∠ACB＝75° 又∵AD＝1.2米 ∴CD＝1.2+1.6＝2.8米 ∵DG＝CD×sinC ∴DG＝2.8×sin75°≈2.8×0.97＝2.716≈2.7（米） 答：当∠BAC＝30°时，D到地面BC的距离2.7米 2、解：如图，延长AC交OP于F，则∠AFP＝90° 由题意，得AB＝CD＝OF＝1.5，AC＝BD＝16m，∠CPF＝∠PCF＝45° ∴CF＝PF 设CF＝PF＝x m，AF＝（16+x）m ∴tan27°＝0.51 解得x≈16.7 ∴OP＝1.5+16.7＝18.2m 答：塔楼的高度为18.2米 3、解：如图，过D作DE⊥AB于E，DG⊥BC于G ∴∠AED＝∠B＝∠DGC＝90° ∴四边形BFDE是矩形 ∴BG＝DE，BE＝DG 由题意，得∠CDG＝37°，CD＝200米 ∴CG＝CD×sin∠CDG≈200×0.60＝120米 DG＝CD×cos∠CDG≈200×0.80＝160米 ∴BE＝DG＝160米 又∵AB＝300米 ∴AE＝300﹣160＝140米 ∴DE＝AE×tan65°≈140×2.14＝299.60米 ∴BG＝DE≈299.60米 ∴BC＝299.60+120≈420米） 答：革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420米 4、解：如图，延长DC交AB于E，则∠AEC＝90°，∠ACE＝60° 设CE＝x米，则AE＝米 ∵∠D＝30° ∴DE＝＝3x米 ∵∠BCE＝40° ∴BE＝EC•tan40°＝0.84x米 ∴CD＝3x﹣x＝80 解得x＝40 ∴AB＝×40+0.84×40≈1.73×40+0.84×40＝102.8≈103米 答：桥墩AB的高度为103米 学科网（北京）股份有限公司 $$