2024年广东省广州市九年级中考数学模拟预测试卷

2024年广东省广州市九年级中考数学模拟预测试卷 试题考点细目表： 题号 难度系数 详细知识点 一、单选题 1 0.94 相反数的定义； 2 0.94 轴对称图形的识别；中心对称图形的识别； 3 0.94 用科学记数法表示绝对值大于1的数； 4 0.85 在数轴上表示不等式的解集；求不等式组的解集； 5 0.85 对顶角相等；根据平行线的性质求角的度数；三角形的外角的定义及性质； 6 0.85 求中位数；求众数； 7 0.85 仰角俯角问题(解直角三角形的应用)； 8 0.85 圆周角定理； 9 0.65 三角形的外角的定义及性质；根据等边对等角证明；相似三角形的判定与性质综合； 10 0.40 全等三角形综合问题；根据正方形的性质与判定证明； 二、填空题 1 0.94 根据方差判断稳定性； 2 0.85 已知概率求数量； 3 0.94 综合提公因式和公式法分解因式；运用平方差公式分解因式； 4 0.85 圆锥的侧面积计算； 5 0.85 作角平分线(尺规作图)；根据等边对等角证明；利用平行四边形的性质求解； 6 0.40 坐标与图形；点坐标规律探索； 三、解答题 1 0.85 实数的混合运算；加减消元法；特殊角三角函数值的混合运算； 2 0.85 分式化简求值；已知字母的值，化简求值； 3 0.65 求扇形统计图的圆心角；求众数；根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率； 4 0.65 反比例函数与几何综合；等腰三角形的定义；一次函数与反比例函数的交点问题； 5 0.85 根据实际问题列二元一次方程组；一元一次不等式组应用； 6 0.65 相似三角形的判定与性质综合；仰角俯角问题(解直角三角形的应用)； 7 0.65 全等的性质和HL综合（HL）；切线的性质定理；求扇形面积；已知正弦值求边长； 8 0.40 用一元一次不等式解决实际问题；待定系数法求二次函数解析式；y=ax²+bx+c的图象与性质；其他问题(实际问题与二次函数)； 9 0.40 全等三角形综合问题；根据正方形的性质证明；相似三角形的判定与性质综合；求角的正切值； 2024年广东省广州市九年级中考数学模拟预测试卷 满分120分．考试用时120分钟 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1．2024的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 2．我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．2024年全国高考报名人数约为13530000人，数13530000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．不等式组的解集在数轴上可以表示为（    ） A． B． C． D． 5．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（    ）    A．70° B．65° C．60° D．50° 6．在一次献爱心的捐款活动中，八（2）班50名同学捐款金额如图所示，则在这次捐款活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（    ） A．20，10 B．10，20 C．10，10 D．10，15 7．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（    ）      A．80米 B．米 C．160米 D．米 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝105°，则∠BOD的度数是（    ） A．150° B．105° C．75° D．165° 9．已知：中，是中线，点在上，且．则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．其中结论正确的序号有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．甲、乙两人在100米短跑训练中，记录了5次测试的成绩：两人的平均成绩相等，甲的方差是0.14，乙的方差是0.06，这5次短跑测试的成绩较稳定的是 ．  (填“甲”或“乙”) 12．在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则 ． 13．因式分解： ． 14．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线l= ． 15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为，弧是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧是以点O为圆心，为半径的圆弧，弧是以点C为圆心，为半径的圆弧，弧是以点A为圆心，为半径的圆弧．继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线…称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 三、解答题（本大题共9题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17．（1）计算：； （2）解方程组：． 18．先化简，再求值：，其中． 19．中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部； （2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度； （3）请将条形统计图补充完整； （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A、． (1)求点A、B的坐标； (2)观察图象写出不等式的解集； (3)若位于第三象限的点在反比例函数的图象上，且是以为底的等腰三角形，请直接写出点的坐标和的面积； 21．有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为170人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为100人． (1)请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？ (2)某单位组织180名员工到某革命家传统教育基地开展“纪念建党100周年”活动，拟租用甲、乙两种客车共5辆，总费用在1950元的限额内，一次将全部员工送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为320元，有哪几种租车方案，最少租车费用是多少？ 22．综合应用：测旗杆高度 小明和小红是学校的升旗手，两人想一同测出学校旗杆的高度．为了解决这个问题，他们向数学王老师请教，王老师给他们提供了测倾器和皮尺工具．经过两人的思考，他们决定利用如下的图示进行测量． 【测量图示】 【测量方法】在阳光下，小红站在旗杆影子的顶端F处，此刻量出小红的影长；然后小明在旗杆落在地面的影子上的某点处，安装测倾器，测出旗杆顶端的仰角． 【测量数据】小红影长，身高，旗杆顶端的仰角为，侧倾器高，，旗台高． 若已知点、、、在同一水平直线上，点、、在同一条直线上，、、均垂直于．你能帮小明和小红两人测出旗杆的高度吗?（参考数据：，，） 23．如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．    (1)求证：； (2)若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积． 24．某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架． 为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元． (1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的函数解析式． ②当米，求的长度． (2)只考虑经费情况下，求出的最大值． 25．【问题情境】 (1)如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG． 【尝试应用】 (2)如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值； 【拓展提升】 (3)如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N． ①求∠DMC的度数； ②连接AC交DE于点H，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年广东省广州市九年级中考数学模拟预测试卷 试题考点细目表： 题号 难度系数 详细知识点 一、单选题 1 0.94 相反数的定义； 2 0.94 轴对称图形的识别；中心对称图形的识别； 3 0.94 用科学记数法表示绝对值大于1的数； 4 0.85 在数轴上表示不等式的解集；求不等式组的解集； 5 0.85 对顶角相等；根据平行线的性质求角的度数；三角形的外角的定义及性质； 6 0.85 求中位数；求众数； 7 0.85 仰角俯角问题(解直角三角形的应用)； 8 0.85 圆周角定理； 9 0.65 三角形的外角的定义及性质；根据等边对等角证明；相似三角形的判定与性质综合； 10 0.40 全等三角形综合问题；根据正方形的性质与判定证明； 二、填空题 1 0.94 根据方差判断稳定性； 2 0.85 已知概率求数量； 3 0.94 综合提公因式和公式法分解因式；运用平方差公式分解因式； 4 0.85 圆锥的侧面积计算； 5 0.85 作角平分线(尺规作图)；根据等边对等角证明；利用平行四边形的性质求解； 6 0.40 坐标与图形；点坐标规律探索； 三、解答题 1 0.85 实数的混合运算；加减消元法；特殊角三角函数值的混合运算； 2 0.85 分式化简求值；已知字母的值，化简求值； 3 0.65 求扇形统计图的圆心角；求众数；根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率； 4 0.65 反比例函数与几何综合；等腰三角形的定义；一次函数与反比例函数的交点问题； 5 0.85 根据实际问题列二元一次方程组；一元一次不等式组应用； 6 0.65 相似三角形的判定与性质综合；仰角俯角问题(解直角三角形的应用)； 7 0.65 全等的性质和HL综合（HL）；切线的性质定理；求扇形面积；已知正弦值求边长； 8 0.40 用一元一次不等式解决实际问题；待定系数法求二次函数解析式；y=ax²+bx+c的图象与性质；其他问题(实际问题与二次函数)； 9 0.40 全等三角形综合问题；根据正方形的性质证明；相似三角形的判定与性质综合；求角的正切值； 2024年广东省广州市九年级中考数学模拟预测试卷解析 满分120分．考试用时120分钟 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1．2024的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：2024的相反数是, 故选：B． 2．我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C中图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 3．2024年全国高考报名人数约为13530000人，数13530000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数． 根据科学记数法的定义，计算求值即可； 【详解】解： ， 故选：B． 4．不等式组的解集在数轴上可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出各个不等式的解集，再利用数轴表示出公共部分即可得解． 【详解】解： 解①得， 把①、②的解集在数轴上可表示为： ∴不等式组的解集为：． 故选：D 【点睛】本题考查了不等式组的解法和在数轴上表示不等式组的解集，需要注意的是：如果表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于的点要用实心圆点． 5．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（    ）    A．70° B．65° C．60° D．50° 【答案】A 【分析】根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 6．在一次献爱心的捐款活动中，八（2）班50名同学捐款金额如图所示，则在这次捐款活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（    ） A．20，10 B．10，20 C．10，10 D．10，15 【答案】C 【分析】根据众数和中位数的定义可得答案． 【详解】解：捐款金额学生数最多的是10元， 故众数为10； 共50名学生，中位数在第25名、26名学生处， 故中位数为=10； 故选：C． 【点睛】本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是熟练掌握众数及中位数的定义． 7．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（    ）      A．80米 B．米 C．160米 D．米 【答案】B 【分析】过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于点D，    根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴米， 在中，米． 即该主塔的高度是米． 故选：B 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝105°，则∠BOD的度数是（    ） A．150° B．105° C．75° D．165° 【答案】A 【分析】先根据邻补角定义可得，再根据圆周角定理即可得． 【详解】解：， ， 由圆周角定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 9．已知：中，是中线，点在上，且．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形、等腰三角形的性质、三角形外角与内角的关系等知识点，先利用等腰三角形的性质及外角与内角的关系说明，再判断，利用相似三角形的性质用表示出，最后代入比例可得结论． 【详解】解：是的中线， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故选B． 10．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．其中结论正确的序号有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 过作于点，过作于点，如图所示：根据正方形的性质得到，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故①正确；根据正方形的性质得到推出，得到，求得，故③④正确；当时，点与点重合，得到不一定等于，故②错误． 【详解】解：过作于点，过作于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ， ∴矩形为正方形；故①正确； ∵， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴，故④正确； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故②错误， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．甲、乙两人在100米短跑训练中，记录了5次测试的成绩：两人的平均成绩相等，甲的方差是0.14，乙的方差是0.06，这5次短跑测试的成绩较稳定的是 ．  (填“甲”或“乙”) 【答案】乙 【分析】本题考查利用方差判断稳定性，根据方差越小，成绩越稳定，即可得出结果． 【详解】解：∵两人的平均成绩相等，甲的方差是0.14，乙的方差是0.06，， ∴这5次短跑测试的成绩较稳定的是乙； 故答案为：乙． 12．在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则 ． 【答案】8 【分析】根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】∵在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球， ∴共有(2+n)个球，其中黄球n个， 根据概率公式知：P(摸到黄球)=， 解得n=8. 故答案为8. 【点睛】此题考查概率公式，解题关键在于根据概率公式列出方程. 13．因式分解： ． 【答案】 【分析】先提取公因数，再运用平方差公式分解因式即可； 【详解】解：， 故答案为：； 【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题关键． 14．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线l= ． 【答案】． 【详解】扇形的弧长和圆锥的底面周长相等，即：，解得：l＝ 考点： 圆锥的底面周长与侧面展开图的弧长关系. 15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为 ． 【答案】2 【分析】先根据题意得到BE为∠ABC的平分线，再根据平行四边形的定义和性质得到AD∥BC，AD=BC=6，进而得到AB=AE=4，即可求出DE=2． 【详解】解：由尺规作图得，BE为∠ABC的平分线， ∴∠ABE=∠CBE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=6， ∴∠AEB=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE=4， ∴DE=AD-AE=2． 故答案为：2 【点睛】本题考查了尺规作图-作已知角的角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟知作已知角的角平分线做法和平行四边形、等腰三角形性质并灵活应用是解题关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为，弧是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧是以点O为圆心，为半径的圆弧，弧是以点C为圆心，为半径的圆弧，弧是以点A为圆心，为半径的圆弧．继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线…称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 【答案】（0，-2022） 【分析】根据画弧的方法以及罗列部分点的坐标发现：点Ax的坐标满足“A4n＝（1，4n+1），A4n+1＝（4n+2，0），A4n+2＝（0，﹣（4n+2）），A4n+3＝（﹣（4n+3），1）”，根据这一规律即可得出A2022点的坐标． 【详解】解：观察，找规律：A（1，1），A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…， ∴A4n＝（1，4n+1），A4n+1＝（4n+2，0），A4n+2＝（0，﹣（4n+2）），A4n+3＝（﹣（4n+3），1）． ∵2022＝505×4+2， ∴A2022的坐标为（0，-2022）． 故答案为：（0，-2022）． 【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是罗列出部分点的坐标找出“A4n＝（1，4n+1），A4n+1＝（4n+2，0），A4n+2＝（0，﹣（4n+2）），A4n+3＝（﹣（4n+3），1）”这一规律．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合画弧的方法以及部分点的坐标寻找出来点的排布规律是关键． 三、解答题（本大题共9题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17．（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解二元一次方程组，熟练掌握实数的混合运算和解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根计算即可； （2）根据解二元一次方程组的方法解方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ①+②得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当 时，原式 ． 19．中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部； （2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度； （3）请将条形统计图补充完整； （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 【答案】（1）1，2；（2）°；（3）见解析；（4）见解析， 【分析】（1）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数； （2）根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角； （3）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整； （4）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率． 【详解】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40， ∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6， ∴本次调查所得数据的众数是1部， ∵2+14+10=26＞21，2+14＜20， ∴中位数为2部． 故答案为：1，2 （2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为： 故答案为：72°. （3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人 补全统计图如图所示． （4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D， 画树状图可得： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，． 故答案为：． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．解题时注意：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ． 20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A、． (1)求点A、B的坐标； (2)观察图象写出不等式的解集； (3)若位于第三象限的点在反比例函数的图象上，且是以为底的等腰三角形，请直接写出点的坐标和的面积； 【答案】(1)A（1，4），B（4，1）； (2)1<x<4； (3)13.5 【分析】（1）解函数解析式组成的方程组即可； （2）不等式即一次函数图象在反比例函数图象的上方，根据图象可得解集； （3）由A、B的坐标得到AB中点C的坐标为（2.5，2.5），得到直线OC⊥AB，且直线OC的解析式为y=x，求出点M的坐标，过点M作MF⊥y轴，交直线AB于点F，利用的面积=S△AMF-S△BMF求出面积． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点A、， ∴解方程组， 解得， ∴A（1，4），B（4，1）； （2）由图象得，当1<x<4时，； （3）∵A（1，4），B（4，1）， ∴AB的中点C的坐标为（2.5，2.5）， ∵直线AB交x轴、y轴于点E、D， ∴点E（5，0），点D(0,5), ∴OE=OD， ∴直线OC⊥AB，且直线OC的解析式为y=x， 当时，解得x=2（舍去）或x=-2， ∴y=-2， ∴M（-2，-2）， 过点M作MF⊥y轴，交直线AB于点F， ∴-x+5=-2，得x=7， ∴点F（7，-2）， ∴的面积=S△AMF-S△BMF = =13.5． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合题，求函数解析式，利用图象得到不等式的解集，等腰三角形的性质，求图形的面积，正确掌握一次函数与反比例函数的知识是解题的关键． 21．有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为170人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为100人． (1)请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？ (2)某单位组织180名员工到某革命家传统教育基地开展“纪念建党100周年”活动，拟租用甲、乙两种客车共5辆，总费用在1950元的限额内，一次将全部员工送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为320元，有哪几种租车方案，最少租车费用是多少？ 【答案】(1)1辆甲种客车的载客量为40人，1辆乙种客车的载客量为30人． (2)有2种租车方案，最少租车费用是1840元． 【分析】（1）设甲、乙两种客车的单车载客量分别为x人和y人，根据题中已知关系列二元一次方程组，求解即可． （2）设租用甲种客车a辆，则租用乙种客车（5﹣a）辆，由题中已知关系列一元一次不等式组，求出解集，根据a为整数求出a值，分别计算a取不同值时的租车费用，比较即可． 【详解】（1）解：设1辆甲种客车的载客量为x人，1辆乙种客车的载客量为y人，根据题意得： ， 解得， 答：1辆甲种客车的载客量为40人，1辆乙种客车的载客量为30人； （2）解：设租用甲种客车a辆，则租用乙种客车（5﹣a）辆，依题意有： ， 解得， ∵a为整数， ∴a＝3或4， 当a＝3时，租3辆甲车，2辆乙车，费用为：3×400+2×320＝1840（元）， 当a＝4时，租4辆甲车，1辆乙车，费用为：4×400+1×320＝1920（元）， 故有2种租车方案，最少租车费用是1840元． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，从题目找出对应关系列出方程（不等式）是解题关键． 22．综合应用：测旗杆高度 小明和小红是学校的升旗手，两人想一同测出学校旗杆的高度．为了解决这个问题，他们向数学王老师请教，王老师给他们提供了测倾器和皮尺工具．经过两人的思考，他们决定利用如下的图示进行测量． 【测量图示】 【测量方法】在阳光下，小红站在旗杆影子的顶端F处，此刻量出小红的影长；然后小明在旗杆落在地面的影子上的某点处，安装测倾器，测出旗杆顶端的仰角． 【测量数据】小红影长，身高，旗杆顶端的仰角为，侧倾器高，，旗台高． 若已知点、、、在同一水平直线上，点、、在同一条直线上，、、均垂直于．你能帮小明和小红两人测出旗杆的高度吗?（参考数据：，，） 【答案】旗杆的高度为． 【分析】本题考查利用太阳光测高、解直角三角形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握修改性质及判定定理是解题关键．过作，设，用表示的长，利用三角函数表示的长，即可表示出的长，根据同时、同地，、分别是、的影长得出，可得，列方程求出的值即可得答案． 【详解】解：如图所示：过作， 设，则， ∵， ∴ 在中，， 解得 ∴， ∴ ∵在太阳光下，同一时刻，、分别是、的影长， ∴， ∴ ∴， 解得： 经检验，是原方程的解 答：旗杆的高度为． 23．如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．    (1)求证：； (2)若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)①2；② 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证明，再由全等三角形的判定即可得出结论； （2）①证出，再由直角三角形的性质即可求解； ②由勾股定理求出，，由三角形面积公式和扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线，点D为切点， ∴， ∵，，， ∴， ∴；    （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半圆O的半径为2； ②在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式、锐角三角函数及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 24．某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架． 为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元． (1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的函数解析式． ②当米，求的长度． (2)只考虑经费情况下，求出的最大值． 【答案】(1)①；②米 (2)米 【分析】（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于、、的方程组，求解即可； ②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论； （2）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值． 【详解】（1）解：①如图，以为原点，分别以和所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知：，，， 设改造前的抛物线解析式为， ∴， 解得：， ∴改造前的抛物线的函数表达式为； ②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系， 由①知改造前抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 设改造后抛物线解析式为：， ∵调整后与上升相同的高度，且， ∴对称轴为直线，则有， 当时，， ∴， ∴，， ∴改造后抛物线解析式为：， 当时， 改造前：， 改造后：， ∴（米）， ∴的长度为米； （2）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为， ∵当时，， 当时，， ∴，， ∴， 由题意可列不等式：， 解得：， ∵， 要使最大，需最小， ∴当时，的值最大，最大值为米． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用等知识点．掌握二次函数的性质及是一元一次不等式的应用解题的关键． 25．【问题情境】 (1)如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG． 【尝试应用】 (2)如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值； 【拓展提升】 (3)如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N． ①求∠DMC的度数； ②连接AC交DE于点H，直接写出的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)①；② 【分析】（1）通过正方形四边相等和两线段垂直的特点构造与△ABE全等的三角形，从而得到对应边相等从而证明题目所给要求． （2）通过平移构建一个新的三角形，再通过各边边长符合勾股定理证明新构建的三角形是直角三角形，再找到两条直角边之长即可求出题目要求的夹角的正切值． （3）①同样平移线段CB使得点C和点D重合，得到平行四边形DGBC，通过平行四边形特征和正方形特征证明△AGD≌△BEG，再通过全等得知两直角三角形斜边相等且∠GBE＝90°，从而得知△DGE为等腰直角三角形；故所求角度为45°； ②通过三角形相似得对应边成比例，从而得出题目所求线段比例． 【详解】（1）证明：方法1，平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示： 由平移的性质得：FG∥BH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°， ∴四边形BFGH是平行四边形， ∴BH＝FG， ∵FG⊥AE， ∴BH⊥AE， ∴∠BKE＝90°， ∴∠KBE+∠BEK＝90°， ∵∠BEK+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CBH， 在△ABE和△BCH中， ∴△ABE≌△BCH（ASA）， ∴AE＝BH， ∴AE＝FG； 方法2：平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示： 则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB， ∴FH＝BC，∠FHG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝90°， ∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG， ∵FG⊥AE， ∴∠HFG+∠AKF＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠HFG， 在△ABE和△FHG中， ∴△ABE≌△FHG（ASA）， ∴AE＝FG； （2）解：将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示： ∴∠AOC＝∠FDC， 设正方形网格的边长为单位1， 则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4， 由勾股定理可得：CF＝，CD＝，DF＝， ∵ ∴CF2+CD2＝DF2， ∴∠FCD＝90°， ∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝； （3）解：①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示： 则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形， ∴DC＝GB， ∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形， ∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90° ∴DC＝AD＝AP＝GB， ∴AG＝BP＝BE， 在△AGD和△BEG中， ∴△AGD≌△BEG（SAS）， ∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB， ∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°， ∴∠EGD＝90°， ∴∠GDE＝∠GED＝45°， ∴∠DMC＝∠GDE＝45°； ②如图3﹣2所示： ∵AC为正方形ADCP的对角线， ∴AD＝CD，∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴AC＝AD， ∵∠HCM＝∠BCA， ∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC， ∴△ADH∽△ACB， ∴ 【点睛】本题综合考察了三角形全等的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理和辅助线的添加，掌握这些是本题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$