精品解析：河北省沧州市泊头市第一中学等校2024届高三下学期5月高考模拟数学试题

2024年普通高等学校招生全国统一模拟考试 数学 2024.5 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式，求集合，进而求得. 【详解】集合或，所以. 故选：. 2. 高三某班56人参加了数学模拟考试，通过抽签法，抽取了8人的考试成绩如下：，则这组数据的中位数与分位数分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由中位数的定义以及百分位数的定义即可得解. 【详解】将这8个数从小到大排列为， 中位数为第四､五两个数的平均数，即， 由于，所以分位数为第六个数91. 故选：D. 3. 已知向量的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据和平面向量数量积的定义和运算律计算即可求解. 【详解】由题意知， . 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式，结合正余弦齐次式法计算即得. 【详解】由，得. 故选：C 5. 在的展开式中，常数项为7，则正数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式代入计算，即可得到的值. 【详解】展开式的通项为， 令，得，所以常数项为，化简得， 又为正数，所以. 故选：B. 6. 直线与函数分别交于两点，且，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性及得，代入化解即可. 【详解】由题意可知，定义域为， 函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递减， 则， 所以， 解得， 所以. 故选：B. 7. 已知函数，若在区间上有唯一，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式化解函数，再根据化简结果，确定的范围，根据函数的零点，确定端点的取值范围，即可求解. 【详解】. 因为，所以. 由，知，所以， 解得. 故选：C. 8. 已知点分别为双曲线的左､右焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与两条渐近线分别交于两点（M靠近），与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设双曲线的两条渐近线方程分别为，由题可知，直线与垂直，得出，根据双曲线定义得出，在中，得出，在中，由余弦定理列出齐次式，化简即可求解． 【详解】双曲线的两条渐近线方程分别为， 因为，所以直线与垂直， 又因为到直线的距离为， 所以，又，所以， 根据双曲线的定义，可知， 又由焦距，在中，， 在中，由余弦定理得， 化简得，所以， 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 复数，则下列说法正确有（ ） A. 在复平面内对应的点都位于第四象限 B. 在复平面内对应的点在直线上 C. D. 的最小值为4 【答案】BC 【解析】 【分析】由复数的几何意义，即可判断A和B；根据共轭复数的概念及复数的加减运算法则判断C；由复数的模即可判断D． 【详解】对于AB，因为，所以在复平面内对应的点为，故A错误，B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，当时，取最小值为2，故D错误； 故选：BC． 10. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：借助赋值法令计算即可得；对B：令计算即可得；对C：令，则有，，，计算即可得；对D：结合等比数列求和公式计算即可得. 【详解】对A：令，得，即， 因为，所以，故A正确； 对B：令，得，得，故B错误； 对C：令，得，所以， 从而， 所以 ，故C正确； 对D：由可知是等比数列， 且首项为，公比为2，所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 11. 西姆松（R.Simson）定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线，此线常被称为西姆松线.如图，圆与轴的正半轴相交于点，正三角形内接于圆，点为上一点（不与点重合），，垂足分别为，则下列结论正确的有（ ） A. 若为的中点，则西姆松线的方程为 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】若为的中点，西姆松线为直线，求直线即可判断A；由和即可判断B；通过四点共圆，及即可判断C；在中，通过正弦定理及角平分线定理即可判断D. 【详解】对于A，由题意可知，若为的中点，则四点共线， 且与重合，与重合， 所以西姆松线为直线， 易知，且， 故直线方程为，故A错误； 对于B，因为为圆的弦， 且在弦两侧， 所以， 且, 所以. 又， 所以，故B正确； 因为， 所以四点共圆， 所以, 又因为 所以，故C正确； 同理，四点共圆， 所以， 在中，平分， 所以， 所以由角平分线定理得， 由正弦定理知， 在中，由正弦定理知， 又因为， 所以，又， 所以， 所以， 即， 所以， 即，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由抛物线的焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为抛物线，所以，所以. 设点的横坐标为，则有3，所以. 故答案为： 13. 记的内角的对边分别为，若，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简计算可得，由同角的平方关系可得，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以.又， 所以，所以. 因为，由正弦定理知， 所以，又，所以，. 故答案为： 14. 在长方体中，，，点为中点，点为四边形内一点，且，则直线与平面所成角的正切值的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析题目条件，点在线段的中垂面与底面的交线上，取中点，中点，中点，证明得平面，从而点在线段上；再由平面，为直线与平面所成的角，当取得最小时，利用相似可得此时取得最大值为. 【详解】 如图，连接，取中点，中点，中点， 因为，则点在线段的中垂面与底面的交线上. 可求得，所以，所以. 又知，所以. 又，直线和直线都在平面内， 所以平面，从而点在线段上. 易得，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 设为，则. 设的最小值为点到的距离为，取得最小时， 易得与相似，可知，所以，又， 所以的最大值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）证明：数列为等差数列，并求； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析，. （2）. 【解析】 分析】（1）把代入化简即可. （2）通过对变形，即，然后求和即可. 【小问1详解】 由，知， 所以， 所以数列是以为首项，-1为公差的等差数列， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面是由等边三角形和等腰三角形构成，其中为棱上一点，平面． （1）求的值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）设，连接，求得，由线面平行的性质得出，即可得出； （2）由余弦定理求出，再证明平面，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，根据面面夹角的向量公式计算即可． 【小问1详解】 如图，设，连接， 由于为等边三角形，为等腰三角形， 根据对称性可得为中点， 所以， 因为平面平面，平面平面， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 所以，又点为中点，所以， 设，由，得，解得，所以， 又，，则， 所以， 因为，，，平面， 所以平面， 如图，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 所以，则，令，得， 设平面的法向量为， 所以，则，令，得， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，3月22日-28日是第三十七届“中国水周”.为了唤起孩子们的节约用水意识，加强水资源保护，某中学举办了关于“水资源”的问答比赛.比赛规则如下：盒中有5个红球，4个白球，盒中有5个红球，5个白球（两盒中的球除颜色外其他都相同）.现随机选择一盒，然后从中随机抽取2个球，若抽到球的颜色相同，则回答第一类问题，答对得2分，若抽到球的颜色不同，则回答第二类问题，答对得3分，两类问题答错均不得分.每位同学进行二轮比赛. （1）求甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率； （2）已知甲同学二轮比赛后得分为4分，乙同学答对第一类问题的概率为，答对第二类问题的概率为，求乙同学二轮比赛后得分高于甲同学的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件“抽到盒”，事件“抽到盒”，“随机抽取两个球，颜色相同”，由全概率计算公式计算即可； （2）由（1）知乙同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率为，回答第二类问题的概率，设在一轮比赛中乙同学得分为，分别计算为，，时的概率，乙同学二轮比赛后得分高于甲同学，即乙得分为5或6，求解即可. 【小问1详解】 设事件“抽到盒”，事件“抽到盒”， 则， “随机抽取两个球，颜色相同”， ，， 由全概率公式得， 所以甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率为； 【小问2详解】 由（1）知乙同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率为， 则回答第二类问题的概率为， 设在一轮比赛中乙同学得分为，则的可能取值为，，， 则， ， ， 设二轮比赛后乙得分为， 则， 所以乙同学二轮比赛后得分高于甲同学的概率为. 18. 已知直线与椭圆相交于两点，为弦的中点，为坐标原点，直线的斜率记为. （1）证明：； （2）若，焦距为. ①求椭圆的方程； ②若点为椭圆的右顶点，，且直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形，求直线的方程. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，由点差法代入计算，即可证明； （2）①根据题意，由条件可得的方程，代入计算，即可得到椭圆方程；②联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，由可知，，即可得到直线过定点，从而得到结果. 【小问1详解】 证明：设， 则， 将两点代入椭圆方程，得 两式作差得， 所以， 所以，即. 【小问2详解】 ①因为，所以，即. 因为焦距为，所以，所以， 所以椭圆的方程为. ②联立得， 得， 所以. 由（1）得，，由可知，. 因为， 所以 化简得， 所以，所以或，满足（※）式. 当时，直线的方程为，过定点（舍去）； 当时，直线的方程为，过定点. 因为为等腰三角形，且为底边，可求得， 所以当时，，即直线的方程为， 当时，，即直线的方程为. 19. 对于函数和，设，若存在使得，则称和互为“零点相邻函数”.设，，且和互为“零点相邻函数”. （1）求的取值范围； （2）令（为的导函数），分析与是否互为“零点相邻函数”； （3）若，证明：. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由互为“零点相邻函数”的概念，令和解出，再代入，则可求出的取值范围； （2）令，解得，由（1）知，由，通过讨论的范围，确定的零点情况，再由互为“零点相邻函数”的概念，得出与是否互为“零点相邻函数”； （3）通过换元，令，则由可得， 设，利用导函数，可得在上单调递减，由，得，即可得证. 【小问1详解】 令，得， 令，得， ①，解得， ②，解得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 ，则， 令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 又， 当时，无零点， 所以与不互.为“零点相邻函数”； 当时，，函数的零点为， 所以与互为“零点相邻函数”； 当时，，又因为， 所以此时在区间内存在零点，所以与互为“零点相邻函数”； 当时，，又因为， 所以在区间内存在零点，所以与互为“零点相邻函数”. 综上，当时，与不互为“零点相邻函数”， 当时，与互为“零点相邻函数”. 【小问3详解】 当时，， 设，则， 则， 设，则， 令， 则， 所以在上单调递减， 又，所以，即，所以在上单调递减， 又，所以，得证. 【点睛】方法点睛：新定义题型特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年普通高等学校招生全国统一模拟考试 数学 2024.5 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 高三某班56人参加了数学模拟考试，通过抽签法，抽取了8人的考试成绩如下：，则这组数据的中位数与分位数分别为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 5 4 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，常数项为7，则正数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 直线与函数分别交于两点，且，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若在区间上有唯一，使得，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点分别为双曲线的左､右焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与两条渐近线分别交于两点（M靠近），与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 复数，则下列说法正确的有（ ） A. 在复平面内对应点都位于第四象限 B. 在复平面内对应的点在直线上 C. D. 的最小值为4 10. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 11. 西姆松（R.Simson）定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线，此线常被称为西姆松线.如图，圆与轴的正半轴相交于点，正三角形内接于圆，点为上一点（不与点重合），，垂足分别为，则下列结论正确的有（ ） A. 若为的中点，则西姆松线的方程为 B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标为__________. 13. 记的内角的对边分别为，若，且，则__________. 14. 在长方体中，，，点为的中点，点为四边形内一点，且，则直线与平面所成角的正切值的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）证明：数列为等差数列，并求； （2）令，求数列前项和. 16. 如图，在四棱锥中，底面是由等边三角形和等腰三角形构成，其中为棱上一点，平面． （1）求的值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，3月22日-28日是第三十七届“中国水周”.为了唤起孩子们的节约用水意识，加强水资源保护，某中学举办了关于“水资源”的问答比赛.比赛规则如下：盒中有5个红球，4个白球，盒中有5个红球，5个白球（两盒中的球除颜色外其他都相同）.现随机选择一盒，然后从中随机抽取2个球，若抽到球的颜色相同，则回答第一类问题，答对得2分，若抽到球的颜色不同，则回答第二类问题，答对得3分，两类问题答错均不得分.每位同学进行二轮比赛. （1）求甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率； （2）已知甲同学二轮比赛后得分为4分，乙同学答对第一类问题的概率为，答对第二类问题的概率为，求乙同学二轮比赛后得分高于甲同学的概率. 18. 已知直线与椭圆相交于两点，为弦的中点，为坐标原点，直线的斜率记为. （1）证明：； （2）若，焦距为. ①求椭圆的方程； ②若点为椭圆的右顶点，，且直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形，求直线的方程. 19. 对于函数和，设，若存在使得，则称和互为“零点相邻函数”.设，，且和互为“零点相邻函数”. （1）求取值范围； （2）令（为的导函数），分析与是否互为“零点相邻函数”； （3）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$