8.3. 1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积　课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 问题3:棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系? 问题4:棱柱、棱台、棱锥的体积公式如何推导? 问题2:棱柱、棱锥、棱台的体积公式式什么? 问题1:棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算?用的什么方法? 阅读教材P114-115,思考以下几个问题: 装修时,时常需要知道它们的表面积和体积以计算装修时所需要的用料、工时和花费 如何计算多面体的表面积和体积呢? 3 预备知识——平面图形的面积 4 面积:平面图形所占平面的大小 S=ab a b A a h B C a b h a b A r 圆心角为n r c 预备知识——平面图形的面积 特殊平面图形的面积 正三角形的面积 正六边形的面积 正方形的面积 a a a 空间问题 平面问题 1.多面体的表面积公式 初中阶段是通过怎样的方式研究长方体和正方体的表面积的? 多面体的表面积:围成它的各个面的面积之和。 7 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和. 棱柱的表面积 =2 底面积+侧面积 棱锥的表面积 =底面积+侧面积 棱台的表面积 =上底面积+下底面积+侧面积 棱柱、棱锥、棱台的展开图 1.多面体的表面积公式 多面体的表面积:围成它的各个面的面积之和。 如:棱长为2的正四面体的表面积 9 1. 正六棱台的上,下底面边长分别是2cm和6cm,侧棱长是5cm,求它的表面积. 解:如图示,AB=6cm,A′B′=2cm,AA′=5cm. 因此,正六棱台的表面积为 A D B C F E A' D' B' C' F' E' 教材116页 棱柱、棱锥、棱台的体积 2.多面体的体积公式 (S,h分别为棱柱的底面积和高) (1)棱柱的体积: (2)棱锥的体积: (S,h分别为棱锥的底面积和高) (3)棱台的体积: (S',S分别为上/下底面积,h为棱台的高) 思考1:棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系? 思考2:棱柱、棱台、棱锥的体积公式如何推导? 11 上底扩大 上底缩小 新知探究 问题:同一摞白纸,当改变摆放白纸的形状时(如图所示),这摞白纸的总体积是否会改变? 祖暅原理 祖暅原理 夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. 祖暅原理:幂势既同,则积不容异。 夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. 祖暅原理 祖暅,字景烁,是著名数学家祖冲之的儿子,也是南北朝时代的伟大科学家。他于5世纪末提出祖暅原理。在欧洲直到17世纪,才有意大利数学家卡瓦列里提出相关结论,比西方国家的数学家早一千多年。 幂势即同 积不容异 祖冲之 祖暅(geng) 祖暅原理 “幂势既同,则积不容异”:两个等高的几何体,若在等高处的截面积总相等,则体积相等。 前后体积不变 底面积和高都相等的棱柱,体积相等。 底面积和高都相等的柱体,体积相等。 15 两个等高的几何体,若在等高处的截面积总相等,则体积相等。 结论:等底面积等高的两个锥体的体积相等 祖暅原理——推导棱锥体积公式 祖暅原理——推导棱锥体积公式 将三棱柱分割成3个小三棱锥,由等底等高易证得V1=V2=V3 1 2 3 1 2 3 17 棱台是由棱锥截出来的,因此可利用两个锥体的体积差, 得到棱台的体积公式. 推导棱台体积公式 根据面积比=相似比的平方,得 18 S为底面面积,h为柱体高 S分别为上、下底面面积,h为台体高 S为底面面积,h为锥体高 上底扩大 上底缩小 柱体、椎体、台体体积公式的关系 19 [变式]如图,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为_,体积为_. P119-1.如图,八面体的每一个面都是正三角形,且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内,若四边形ABCD是边长为30cm的正方形,则该八面体的表面积为_. 棱柱、棱锥、棱台的体积 教材119页 2.正三棱锥S-ABC的底面边长为1,高为, 则该三棱锥的表面积为_. P120-3.如图,一个三棱柱形容器中盛有水,侧棱AA1=8,若侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点, 则当底面ABC水平放置时,水面高为多少? 解:设底面ABC的面积为S, 底面ABC水平放置时,水面高为h. 棱柱、棱锥、棱台的体积 3.如图,棱长为1的正方体的8个顶点中,有4个为正四面体的顶点,(1)这个正四面体与正方体的表面积之比为_. (2)三棱锥B-ACB1的体积为_. (3)正四面体B1-ACD1的体积为_. (换底法) (割补法) 求三棱锥体积通常可用 换底法(也叫等积法). P116-3.广场的石凳: 棱长为50cm的正方体石块截去八个相同的四面体,求表面积和体积 (割补法) 棱柱、棱锥、棱台的体积 变式练习.“鲁班锁”玩具: 每条棱的长均为2,则该鲁班锁玩具的表面积为( ) 鲁班锁可看成是1个棱长为_的正方体截去了8个底面边长为_,侧棱为_的正三棱锥所余下来的几何体. 2 2 鲁班锁可看成由6个边长为_的正六边形和8个边长为_的正三角形围成的多面体. P119-2.如图,将一个长方体沿相邻3个面的对角线截出一个棱锥,求棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比. [变式]设长方体的长宽高分别为4,3,5,求棱锥B'-A'C'B的体积. (换底法) 【变式2】.如图,正方体棱长为1,E,F分别为棱AA1,B1C上的点,求三棱锥D1-EDF的体积. (换底法) (割补法) S为底面面积,h为柱体高 S分别为上、下底面面积,h为台体高 S为底面面积,h为锥体高 上底扩大 上底缩小 柱体、椎体、台体体积公式的关系 课堂小结 27 备选例题 4.如图,多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为4的正方形,EF//AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,EF ⊥面FBC,则该多面体的体积为_. (分割法) [变式]如图,多面体ABCDEF中,面ABCD是边长为4的正方形,EF//AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,则该多面体的体积为_. (分割法+换底法) 观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式 , , , 它们之间有什么关系?你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗? $$