河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下学期数学检测试题（05.12）

河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下期检测05.12 数学试题 命题人： 审题人： 一、单选题 1．已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为 A． B． C． D． 2．设随机变量，满足：，，若，则 A．3 B． C．4 D． 3．若，则 A．88 B．87 C．86 D．85 4．在关于的二项式的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为，且二项式系数最大的项的值为，则 A． B．或 C． D．或 5．已知，，，则 A． B． C． D． 6．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为 A． B． C． D． 7．已知，，是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率恒有，则的最大值为 A．1 B． C． D． 8．已知正数满足，则 A． B． C．1 D． 二、多选题 9．在公比为q的正项等比数列中，，前n项和为，前n项积为，则下列结论正确的是 A．数列为递减数列 B．数列为递增数列 C．当或5时，最大 D． 10．如图，四棱锥的底面是梯形，，，，，平面平面，，分别为线段，的中点，点是底面内包括边界的一个动点，则下列结论正确的是 A． B．三棱锥外接球的体积为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 11．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 A． B． C． D． 三、填空题 12．已知是数列的前项和，，数列是公差为1的等差数列，则 . 13．数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是 ． 14．设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 四、解答题 15．已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，E为PA的中点，过E与底面ABCD平行的平面与棱PC，PD分别交于点G，F，M在线段AE上，且． （1）求证：BG//平面； （2）若PA⊥平面ABCD，且，求平面CFM与平面PCD所成锐二面角的余弦值． 17．设动圆与圆外切，与圆内切. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点且不与轴垂直的直线交轨迹于，两点，点关于轴的对称点为，为的外心，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 18．学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为，. （1）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果，那么认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）； （2）用X表示教师乙的总得分，求X的分布列与期望. 19．如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为． （1）当时，求实数的值； （2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由； （3）当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下期检测05.12 数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B C A D A D B A ACD AC BCD 1 学科网（北京）股份有限公司 12．366 13．28 14． 15．【详解】（1）由为正项数列的前n项的乘积，得，由，得， 于是，即，两边取对数得， 即，整理得， 因此数列是常数列，即，于是， 所以. （2）由（1）知，， 由数列为递增数列，得， 即，而数列是递减数列，，当且仅当时等号， 所以实数k的取值范围是. 16．【详解】（1）证明：    延长FM与DA的延长线交于点N，连接CN交AB于点H，连接FH． 因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD平面， 且E为PA的中点，所以且．同理可得，． 又，所以， 又，所以H为AB的中点，所以，且． 又，， 所以，且，所以四边形BHFG为平行四边形，所以 又平面CFM，平面CFM， 所以BG平面CFM． （2）由题意易得AB，AD，AP两两垂直，故以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系， 则C（4，4，0），D（0，4，0），F（0，2，3），M（0，0，2），P（0，0，6）， 所以＝（－4，0，0），，，． 设平面PCD的一个法向量， 则，即，取， 设平面CFM的一个法向量， 则，即，取， 设平面CFM与平面PCD所成锐二面角的大小为， 则， 即平面CFM与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为． 17．【详解】（1）设动圆半径为， 由圆与圆外切得：，由圆与圆内切得：， 故， 故点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，故， ∴点的轨迹的方程为：. （2）设，， 由， 故，， ， 所以的中点， 故的中垂线的方程为：． 因为的中垂线为轴，故的中垂线与轴的交点即为外心， 令得：，故， 又， 故（定值）． 18．【详解】（1）解：设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为， 则教师甲获得冠军的概率 ， 由对立事件的概率公式，可得得， 所以，解得， 因为，所以甲、乙获得冠军的实力没有明显差别. （2）解：根据题意知，的可能取值为， 可得， ， ， . 所以随机变量的分布列为 0 15 30 0.15 0.425 0.35 0.075 所以期望为. 19．【详解】（1）由题设，函数定义域为，且， 由，则； （2）当时，，则， 即的斜率，假设存在，则的斜率， 则有解，即在上有解， 该方程化简为，解得或，符合要求， 因此该函数存在另外一条与垂直的切线； （3）， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 设曲线的另一条切线的斜率为， ①当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线； ②当时，，且， 趋近于或趋向于正无穷大时，都趋向于正无穷大， 所以在、上各有一个零点、， 故当或时，都有 当时，故必存在， 即曲线存在相互垂直的两条切线，所以 因为， 由②知，曲线存在相互垂直的两条切线， 不妨设，， 满足，即， 又，， 所以， 故，当且仅当时等号成立， 所以，解得， 又，即 ，解得， 因为，， 所以． 综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是． $$