高一数学期末卷（北师大版2019，测试范围：必修第二册-学易金卷：2023-2024学年高中下学期期末模拟考试

2023-2024学年高一数学下学期期末试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：（必修第二册）人教B版2019 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的实部和虚部分别是（    ） A．1，1 B．1， C．， D．， 【答案】A 【解析】，所以数的实部和虚部分别是1,1，故选A. 2．已知向量，，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】由得，解得，故选B 3．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，作平面直角坐标系， 使与重合，在轴上，且，在轴上，且， 过作∥，且，连接，则直角梯形为原平面图形， 其面积为，故选C. 4．已知向量，则在方向上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 因此在方向上的投影为， 故选：D． 5．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积×（弦×矢＋矢）．弧田如图，由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆弧为，半径为4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为（    ）（结果取整数，参考数据：）    A．4平方米 B．5平方米 C．8平方米 D．9平方米 【答案】D 【解析】依题意，圆弧所对圆心角为， 所以，“矢”等于，“弦”等于， 所以弧田面积约为平方米. 故选：D 6．已知，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 即，所以， 则，解得，故选：B 7．已知，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由方程，可得，所以， 当时，， 所以的可能取值为，，，，，，…， 因为原方程在区间上恰有3个实根，所以， 解得，即的取值范围是. 故选：B. 8．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，的中点分别为，，连接，取的中点． 直三棱柱中，，， 四边形是平行四边形，有， 因为三棱柱的底面是直角三角形，，所以，， ，分别是，的外接圆圆心． 因为平面，所以平面， 所以为的外接球的球心． 连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即， ，则，，可得，， 所以三棱柱的表面积， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，为复数，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为 【答案】ABC 【解析】设， 则， ， 得， ， 所以，故A正确， 设对应的向量分别为，则由向量三角不等式得， 所以恒成立，所以B正确， 因为为虚数，为实数，所以为虚数，则也为虚数，故C正确； 设，由，则在复平面内点表示以为圆心，1为半径的圆，则，故D错误. 故选：ABC 10．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．若方程在上有且只有5个根，则 【答案】ACD 【解析】对于A，由，得，即，又， ，故A正确； 对于C，又的图象过点，则，即， ，即得，，又，， 所以，故C正确； 对于B，因为，而， 故直线不是函数的对称轴，故B错误； 对于D，由，得， 解得或，， 方程在上有5个根，从小到大依次为：， 而第7个根为，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（    ）    A． B． C．直线与平面所成角的最大值是 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于选项A，由正方体性质，易得,, 因为平面， 所以平面. 因为平面，所以，故A正确； 对于选项B，当与重合，则此时与夹角为，故B错误； 对于选项C，如图连接交于，      因为平面，平面，所以. 因为,平面, 所以平面，即平面， 所以为直线与平面所成角，所以. 所以当最小时最大，即时，最小. 由，可得， 此时，故的最大值为， 直线与平面所成角的最大值是，故C正确； 对于选项D，如图，将平面与平面沿翻折到同一个平面内    由题意，， 从而，故为平行四边形. 又，故为矩形. 从而当为与交点时，最小，此时，故D正确. 故选:ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知命题：若为第一象限角，且，则.能说明命题为假命题的一组的值可以是 ， . 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【解析】因为为第一象限角，且， 取，则且在第一象限， 此时， 故命题为假命题，满足题意， 所以的值可以是， 13．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，底面半径为，高为，B是母线SA上一点，且．现要建设一条从A到B的环山观光公路；当公路长度最短时，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，则公路上坡路段长为 千米． 【答案】 【解析】由题意，半径为，山高为，则母线, 底面圆周长，所以展开图的圆心角， 如图，是圆锥侧面展开图，结合题意，, 由点S向引垂线，垂足为点，此时为点S和线段上的点连线的最小值， 即点为公路的最高点，段即为下坡路段， 则，即，得 上坡路段长度为. 14．如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】如图，以点为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系. 因， 而表示在方向上的投影向量的数量， 由图不难发现，设过正方形的中心作与轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点， 则当点与点重合时，投影向量的数量最大，当点与点重合时，投影向量的数量最小. 易得，则的最大值为6，最小值为， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）设的内角所对的边分别是且向量满足. (1)求A； (2)若，求BC边上的高. 【解】（1）因为，所以， 由正弦定理得， 因为，所以，所以， 又，解得； （2）因为，所以， 即 化简得，解得或(舍去)， 由的面积，又， 故，解得. 16．（本小题满分15分）已知向量，（，），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式，并求在区间上的值域； (2)若，且函数在区间上单调，求a的取值范围． 【解】（1）由向量， 则， 由函数的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的周期，则， 于是，当时，， 当，即时，，当，即时，， 所以，在区间上的值域为. （2）由（1）知， 令，解得， 即函数的单调区间为，而函数在区间上单调， 因此，即， 解得，显然，且， 解得，则或，当时，；当时，， 所以实数的取值范围. 17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点分别为和的中点. (1)求证：平面; (2)求证：平面平面; 【解】（1）取中点，连接，由为的中点，为的中点， 所以， 又， 则，因此四边形为平行四边形， 于是， 而平面，平面， 所以平面； （2）过作于点，连接， 由，得≌， 则，即， 因为底面是边长为2的菱形，是等边三角形， 所以， 从而， 所以， 又因为，平面，平面， 则平面， 又因为平面， 所以平面平面. 18．（本小题满分17分）位于大连森林动物园的“大连浪漫之星”摩天轮享有“大连观光新地标，浪漫打卡新高度”的美称.如图，摩天轮的轮径（直径）为70米，座舱距离地面的最大高度可达80米，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要18分钟.如图，想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点，在乘降点处进入座舱后开始观光，再次回到乘降点时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点，每个座舱高度忽略不计. (1)甲乙两名游客分别坐在两个不同的座舱内，他们之间间隔4个座舱，求劣弧的弧长（单位：米）； (2)设游客从乘降点处进舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式； (3)若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使（1）中的甲，乙两位游客都有最佳视觉效果. 【解】（1）依题意，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，则两个相邻座舱所对的圆心角为， 由甲､乙之间间隔4个座舱，得劣弧所对的圆心角为，弧长， 所以劣弧的弧长为米. （2）以摩天轮转轮中心为坐标原点，分别以过的水平线和竖直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 不妨设开始转动分钟后距离地面的高度， 依题意，， 则，， 由转一周需要18分钟，得周期，解得， 则，由，得，解得， 因此， 所以. （3）由在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，得， 即，则，即，解得， 则分钟，于是有6分钟的时间使游客甲有最佳视觉效果， 而劣弧所对的圆心角为，则甲乙相隔的时间，有，解得分钟， 因此当甲刚开始有最佳视觉效果时，乙需3分钟后才有视觉效果， 所以甲乙都有最佳视觉效果的时间为分钟. 19．（本小题满分17分）对于数集，其中，.定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称具有性质.定义向量集的子集，若存在不相等的向量，，使得，且具有性质，则称为“向量伴随数集”. (1)已知数集，请你写出数集对应的向量集，并验证是否具有性质； (2)已知数集，请你写出数集对应的向量集，并验证是否具有性质； (3)若，且具有性质，写出的值（不需要写出解析过程），并说明是否为“向量伴随数集”. 【解】（1）因为， 所以， 因为， ， ， 即对任意，存在，使得，所以具有性质. （2）因为，则 因为， ，， ，， 即对任意，存在，使得，所以具有性质. （3）因为，设数集对应的向量集， 则， 选取（），则中与垂直的元素必有形式， 则，又， 当时，则，不符合题意， 当时，则，不符合题意， 当时，则，不符合题意， 所以，则，解得或（舍去）， 所以，经检验时具有性质； 此时， 则子集 若取，，由，故， 即存在不相等的向量，，使得，所以是“向量伴随数集”. ( 13 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学下学期期末试卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D D B B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ACD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（答案不唯一） （答案不唯一） 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）因为，所以， 由正弦定理得， 因为，所以，所以， 又，解得； （2）因为，所以， 即 化简得，解得或(舍去)， 由的面积，又， 故，解得. 16．（本小题满分15分） 【解】（1）由向量， 则， 由函数的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的周期，则， 于是，当时，， 当，即时，，当，即时，， 所以，在区间上的值域为. （2）由（1）知， 令，解得， 即函数的单调区间为，而函数在区间上单调， 因此，即， 解得，显然，且， 解得，则或，当时，；当时，， 所以实数的取值范围. 17．（本小题满分15分） 【解】（1）取中点，连接，由为的中点，为的中点， 所以， 又， 则，因此四边形为平行四边形， 于是， 而平面，平面， 所以平面； （2）过作于点，连接， 由，得≌， 则，即， 因为底面是边长为2的菱形，是等边三角形， 所以， 从而， 所以， 又因为，平面，平面， 则平面， 又因为平面， 所以平面平面. 18．（本小题满分17分） 【解】（1）依题意，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，则两个相邻座舱所对的圆心角为， 由甲､乙之间间隔4个座舱，得劣弧所对的圆心角为，弧长， 所以劣弧的弧长为米. （2）以摩天轮转轮中心为坐标原点，分别以过的水平线和竖直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 不妨设开始转动分钟后距离地面的高度， 依题意，， 则，， 由转一周需要18分钟，得周期，解得， 则，由，得，解得， 因此， 所以. （3）由在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，得， 即，则，即，解得， 则分钟，于是有6分钟的时间使游客甲有最佳视觉效果， 而劣弧所对的圆心角为，则甲乙相隔的时间，有，解得分钟， 因此当甲刚开始有最佳视觉效果时，乙需3分钟后才有视觉效果， 所以甲乙都有最佳视觉效果的时间为分钟. 19．（本小题满分17分） 【解】（1）因为， 所以， 因为， ， ， 即对任意，存在，使得，所以具有性质. （2）因为，则 因为， ，， ，， 即对任意，存在，使得，所以具有性质. （3）因为，设数集对应的向量集， 则， 选取（），则中与垂直的元素必有形式， 则，又， 当时，则，不符合题意， 当时，则，不符合题意， 当时，则，不符合题意， 所以，则，解得或（舍去）， 所以，经检验时具有性质； 此时， 则子集 若取，，由，故， 即存在不相等的向量，，使得，所以是“向量伴随数集”. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2023-2024学年高一数学下学期期末试卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2023-2024 学年高一数学下学期期末试卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ……… ………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○ ……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2023-2024学年高一数学下学期期末试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：（必修第二册）人教B版2019 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的实部和虚部分别是（    ） A．1，1 B．1， C．， D．， 2．已知向量，，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，则在方向上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 5．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积×（弦×矢＋矢）．弧田如图，由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆弧为，半径为4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为（    ）（结果取整数，参考数据：） A．4平方米 B．5平方米 C．8平方米 D．9平方米 6．已知，则（    ） A．2 B． C．3 D． 7．已知，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，为复数，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为 10．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．若方程在上有且只有5个根，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（    ） A． B． C．直线与平面所成角的最大值是 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知命题：若为第一象限角，且，则.能说明命题为假命题的一组的值可以是 ， . 13．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，底面半径为，高为，B是母线SA上一点，且．现要建设一条从A到B的环山观光公路；当公路长度最短时，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，则公路上坡路段长为 千米． 14．如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）设的内角所对的边分别是且向量满足. (1)求A； (2)若，求BC边上的高. 16．（本小题满分15分）已知向量，（，），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式，并求在区间上的值域； (2)若，且函数在区间上单调，求a的取值范围． 17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点分别为和的中点. (1)求证：平面; (2)求证：平面平面. 18．（本小题满分17分）位于大连森林动物园的“大连浪漫之星”摩天轮享有“大连观光新地标，浪漫打卡新高度”的美称.如图，摩天轮的轮径（直径）为70米，座舱距离地面的最大高度可达80米，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要18分钟.如图，想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点，在乘降点处进入座舱后开始观光，再次回到乘降点时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点，每个座舱高度忽略不计. (1)甲乙两名游客分别坐在两个不同的座舱内，他们之间间隔4个座舱，求劣弧的弧长（单位：米）； (2)设游客从乘降点处进舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式； (3)若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使（1）中的甲，乙两位游客都有最佳视觉效果. 19．（本小题满分17分）对于数集，其中，.定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称具有性质.定义向量集的子集，若存在不相等的向量，，使得，且具有性质，则称为“向量伴随数集”. (1)已知数集，请你写出数集对应的向量集，并验证是否具有性质； (2)已知数集，请你写出数集对应的向量集，并验证是否具有性质； (3)若，且具有性质，写出的值（不需要写出解析过程），并说明是否为“向量伴随数集”. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学下学期期末试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：（必修第二册）人教B版2019 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的实部和虚部分别是（    ） A．1，1 B．1， C．， D．， 2．已知向量，，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，则在方向上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 5．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积×（弦×矢＋矢）．弧田如图，由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆弧为，半径为4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为（    ）（结果取整数，参考数据：） A．4平方米 B．5平方米 C．8平方米 D．9平方米 6．已知，则（    ） A．2 B． C．3 D． 7．已知，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，为复数，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为 10．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．若方程在上有且只有5个根，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（    ） A． B． C．直线与平面所成角的最大值是 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知命题：若为第一象限角，且，则.能说明命题为假命题的一组的值可以是 ， . 13．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，底面半径为，高为，B是母线SA上一点，且．现要建设一条从A到B的环山观光公路；当公路长度最短时，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，则公路上坡路段长为 千米． 14．如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）设的内角所对的边分别是且向量满足. (1)求A； (2)若，求BC边上的高. 16．（本小题满分15分）已知向量，（，），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式，并求在区间上的值域； (2)若，且函数在区间上单调，求a的取值范围． 17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点分别为和的中点. (1)求证：平面; (2)求证：平面平面. 18．（本小题满分17分）位于大连森林动物园的“大连浪漫之星”摩天轮享有“大连观光新地标，浪漫打卡新高度”的美称.如图，摩天轮的轮径（直径）为70米，座舱距离地面的最大高度可达80米，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要18分钟.如图，想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点，在乘降点处进入座舱后开始观光，再次回到乘降点时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点，每个座舱高度忽略不计. (1)甲乙两名游客分别坐在两个不同的座舱内，他们之间间隔4个座舱，求劣弧的弧长（单位：米）； (2)设游客从乘降点处进舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式； (3)若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使（1）中的甲，乙两位游客都有最佳视觉效果. 19．（本小题满分17分）对于数集，其中，.定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称具有性质.定义向量集的子集，若存在不相等的向量，，使得，且具有性质，则称为“向量伴随数集”. (1)已知数集，请你写出数集对应的向量集，并验证是否具有性质； (2)已知数集，请你写出数集对应的向量集，并验证是否具有性质； (3)若，且具有性质，写出的值（不需要写出解析过程），并说明是否为“向量伴随数集”. ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$