湖南省2024年普通高等学校对口招生考试考前适应性测试数学试卷

第 1 页·共 2 页 机密★启用前 湖南省 2024 年普通高等学校对口招生考试全真模拟试题 数 学 (本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时量120分钟，满分120分) 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1、已知全集𝑈 = {𝑎,𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}，集合𝑁 = {𝑏, 𝑑, 𝑒}，𝑀 = {𝑎, 𝑐, 𝑑}，则∁𝑈(𝑀 ∪ 𝑁) = ( A ) A．∅ B．{𝑑} C．{𝑎,𝑐} D．{𝑏, 𝑒} 2、不等式−𝑥 2 + 5𝑥 − 4 > 0的解集是 ( C ) A．{𝑥|𝑥 < 1} B．{𝑥|𝑥 > 4} C．{𝑥|1 < 𝑥 < 4} D．{𝑥|𝑥 < 1 或𝑥 > 4} 3、已知点𝑃(𝑎, 2)到直线4𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0的距离等于4，则𝑎 = ( D ) A．6 B．−4 C．4或−6 D．6或−4 4、已知直线𝑚、𝑛和平面𝛼，且𝑛 ⊆ 𝛼，则“𝑚 ⊥ 𝛼”是“𝑚 ⊥ 𝑛”的 ( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5、设正四棱锥的底面边长和侧棱长都是2，则该四棱锥的表面积为 ( B ) A．4√3 B．4√3 + 4 C．4√5 D．4√5 + 4 6、已知向量?⃗? = (−2,1), ?⃗⃗? = (4,3),𝑐 = (−1,𝜆)．若(?⃗? + ?⃗⃗?) ∥ 𝑐，则𝜆的值为 ( B ) A．2 B．−2 C．1 D．−1 7、设函数𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥(𝑎 > 0且𝑎 ≠ 1)满足𝑓(2) = −1，则不等式𝑓(𝑥) ≥ 3的解集是 ( C ) A．(−∞, 1 8 ] B．[0, 1 8 ] C．(0, 1 8 ] D．[ 1 8 , +∞) 8、从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高数据绘制成频率分布直方图如下图所示，若 要从身高在[120,130)、[130,140)、[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人 参加一项活动，则从身高在[120,130)内的学生中选取的人数应为 ( B ) A．10 B．9 C．8 D．7 9、已知𝑓(𝑥)是𝑅上的奇函数，且在区间[0,+∞)上是减函数，则𝑓(−2),𝑓(−𝜋),−𝑓(3)的大小关 系是 ( D ) A．𝑓(−𝜋) > 𝑓(−2) > −𝑓(3) B．−𝑓(3) > 𝑓(−𝜋) > 𝑓(−2) C．𝑓(−2) > −𝑓(3) > 𝑓(−𝜋) D．𝑓(−𝜋) > −𝑓(3) > 𝑓(−2) 10、下列命题中错误．．的是 ( C ) A．函数𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥的周期为𝜋 B．函数𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥在区间( 3𝜋 4 , 5𝜋 4 )内是减函数 C．函数𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥的值域是[−2,2] D．函数𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥的图像可由𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(2𝑥 − 𝜋 5 )的图像向左平移 𝜋 10 个单位得到 二、填空题（本大题共 5个小题，每小题 4 分，共 20分） 11、已知𝑠𝑖𝑛(𝜋 + 𝛼) = − 4 5 ，𝛼 ∈ ( 𝜋 2 , 𝜋)，则𝑠𝑖𝑛2𝛼 =_______− 24 25 _________． 12、不等式|𝑥 − 𝑎| < 2的解集为{𝑥| − 1 < 𝑥 < 3}，则实数𝑎 =_______1_________． 13、从 7 名运动员中选出 4 人参加校运会的 4×100 米接力赛，则甲、乙两人都不跑中间两棒 的方法有_______400_________种． 14、过点𝑃(2,−1)作圆𝐶: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 2的切线，切点为𝐴、𝐵．则|𝑃𝐴| =___2√2__． 15、已知等差数列{𝑎𝑛}中𝑎1 = 13，且𝑆3 = 𝑆11，则𝑆𝑛的最大值为_______49_______． 三、解答题（本大题共 7个小题，其中第 21、22小题为选做题．满分 60分．解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 16、（本小题满分 10 分） 已知点(4,2)在函数𝑓(𝑥) = { 𝑥 + 4, 𝑥 ≤ 0 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥, 𝑥 > 0 的图象上． （1）求𝑎的值，并画出函数𝑓(𝑥)的图象； （5分） （2）求不等式𝑓(𝑥) < 1的解集． （5分） 答案：（1）𝑎 = 2，∴ 𝑓(𝑥) = { 𝑥 + 4, 𝑥 ≤ 0 𝑙𝑜𝑔2𝑥, 𝑥 > 0 ，图像如右． （2）(−∞,−3) ∪ (0,2) 17、（本小题满分 10 分） 我校学生心理咨询中心服务电话的接通率为 3 4 ．21机2班的3名同学分别就某一问题在某天 咨询该服务中心，且每人只拨打一次电话，设𝑋表示他们中成功咨询的人数．求： （1）恰有2人成功咨询的概率； （3分） （2）随机变量𝑋的概率分布和数学期望、方差． （4 + 1 + 2分） 答案（1） 27 64 ； （2） 𝑋 0 1 2 3 𝑃 1 64 . 9 64 . 27 64 . 27 64 . a 第 2 页·共 2 页 18、（本小题满分 10 分） 已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑆𝑛 = 2𝑎𝑛 − 3𝑛(𝑛 ∈ 𝑁+)． （1）求𝑎1, 𝑎2, 𝑎3的值； （4分） （2）设𝑏𝑛 = 𝑎𝑛 + 3，证明数列{𝑏𝑛 }为等比数列，并求通项公式𝑎𝑛． （6分） 答案（1）𝑎1 = 3, 𝑎2 = 9, 𝑎3 = 21； （2）𝑛 ≥ 2时，由𝑎𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1，得𝑎𝑛 = (2𝑎𝑛 − 3𝑛) − [2𝑎𝑛−1 − 3(𝑛 − 1)]，即： 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1+3． 又𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 − 3，𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1+3 化为𝑏𝑛 − 3 = 2(𝑏𝑛−1 − 3) + 3，即𝑏𝑛 = 2𝑏𝑛−1．所以{𝑏𝑛 }是 首项为 6，公比𝑞 = 2的等比数列． ∴ 𝑏𝑛 = 6 × 2 𝑛−1，即𝑎𝑛 + 3 = 6 × 2 𝑛−1，∴ 𝑎𝑛 = 6 × 2 𝑛−1 − 3 = 3(2𝑛 − 1)． 19、（本小题满分 10 分） 如图四棱锥𝑃-𝐴𝐵𝐶𝐷的底面是边长为 2 的菱形，且∠𝐴𝐵𝐶 = 60°，𝑃𝐴 = 𝑃𝐶 = 2，𝑃𝐵 = 𝑃𝐷． （1）若𝑂是𝐴𝐶与𝐵𝐷的交点，证明：𝑃𝑂 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷． （5分） （2）若点𝑀是𝑃𝐷的中点，求异面直线𝐴𝐷与𝐶𝑀所成角的余弦值． （5分） 分析（1）𝑃𝑂 ⊥ 𝐴𝐶， 𝑃𝑂 ⊥ 𝐵𝐷， 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷 = 𝑂； （2）设中点𝑃𝐴为𝑁，连接𝑀𝑁、𝑁𝐶，则𝑀𝑁//𝐴𝐷，∴ ∠𝑁𝑀𝐶所求． 在∆𝑀𝑁𝐶中：𝑀𝑁 = 1，𝑁𝐶 = √3，𝑀𝐶 = √10 2 ，由余弦定理可得： 𝑐𝑜𝑠∠𝑁𝑀𝐶 = √ 10 20 ． 20、（本小题满分 10 分） 已知椭圆𝐶的中心在坐标原点𝑂，焦点在𝑥轴上，离心率为√ 3 2 ，椭圆上一点𝑃到椭圆左右两 焦点的距离之和为8． （1）求椭圆𝐶的标准方程； （4分） （2）已知直线𝑙：𝑦 = 𝑥 + 𝑚与椭圆𝐶交于𝐴、𝐵两个不同的点，且弦𝐴𝐵的中点恰好在圆 𝑥 2 + 𝑦2 = 17 25 上，求直线𝑙的方程． （6分） 答案：（1） 𝑥2 16 + 𝑦2 4 = 1； （2）由韦达定理得中点为(− 4 5 𝑚, 1 5 𝑚)，由(− 4 5 𝑚)2 + ( 1 5 𝑚)2 = 1可得𝑚 = ±1，所以直线𝑙的 方程𝑦 = 𝑥 ± 1． 选做题：请考生在第 21、22 题中选择一题作答．若两题都做，则按所做的第 21题计分．作答 时，请写清题号．老师建议：工科类做第 21题，服务类做 22题． 21、（本小题满分 10 分） 在平面四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中， ∠𝐴𝐷𝐶 = 90°，∠𝐴 = 45°，𝐴𝐵 = 2，𝐵𝐷 = 5． （1）求𝑐𝑜𝑠 ∠𝐴𝐷𝐵的值； （5分） （2）若𝐷𝐶 = 2√2，求𝐵𝐶的值． （5分） 答案：（1）由正弦定理得𝑠𝑖𝑛 ∠𝐴𝐷𝐵 = √ 2 5 ，又∠𝐴𝐷𝐵 < 90°，∴ 𝑐𝑜𝑠 ∠𝐴𝐷𝐵 = √ 23 5 ； （2） 𝑐𝑜𝑠 ∠𝐵𝐷𝐶 = 𝑠𝑖𝑛 ∠𝐴𝐷𝐵 = √ 2 5 ，由余弦定理得𝐵𝐶 = 5． 22、（本小题满分 10 分） 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机．由于这两种产品的市场需求量非 常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供 应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力．通过调 查，得到关于这两种产品的有关数据如下表： 资金 (表中单位：百元) 单位产品所需资金 月资金供应量 空调机 洗衣机 成本 30 20 300 劳动力：工资 5 10 110 单位利润 6 8 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少? 答案：最优解(4,9)，最大利润 9600 元． N A B C D 机密★启用前 湖南省2024年普通高等学校对口招生考试考前适应性测试 数 学 (本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共页．时量分钟，满分分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知全集，集合，，则 ( ) A． B． C． D． 2、不等式的解集是 ( ) A． B． C． D． 3、已知点到直线的距离等于，则 ( ) A． B． C．或 D．或 4、已知直线、和平面，且，则“”是“”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5、设正四棱锥的底面边长和侧棱长都是，则该四棱锥的表面积为 ( ) A． B． C． D． 6、已知向量．若，则的值为 ( ) A．2 B． C．1 D． 7、设函数且)满足，则不等式的解集是 ( ) A． B． C． D． 8、从某小学随机抽取名学生，将他们的身高数据绘制成频率分布直方图如下图所示，若要从身高在、、三组内的学生中，用分层抽样的方法选取人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为 ( ) A．10 B． C．8 D． a 9、已知是上的奇函数，且在区间上是减函数，则的大小关 系是 ( ) A． B． C． D． 10、下列命题中错误的是 ( ) A．函数的周期为 B．函数在区间内是减函数 C．函数的值域是 D．函数的图像可由的图像向左平移个单位得到 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11、已知，，则________________． 12、不等式的解集为，则实数________________． 13、从7名运动员中选出4人参加校运会的4×100米接力赛，则甲、乙两人都不跑中间两棒的方法有________________种． 14、过点作圆的切线，切点为、．则_____________． 15、已知等差数列中，且，则的最大值为________________． 三、解答题（本大题共7个小题，其中第21、22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16、（本小题满分10分） 已知点在函数的图象上． （1）求的值，并画出函数的图象； （分） （2）求不等式的解集． （分） 17、（本小题满分10分） 我校学生心理咨询中心服务电话的接通率为．机班的名同学分别就某一问题在某天咨询该服务中心，且每人只拨打一次电话，设表示他们中成功咨询的人数．求： （1）恰有人成功咨询的概率； （分） （2）随机变量的概率分布和数学期望、方差． （分） 18、（本小题满分10分） 已知数列的前项和为，且． （1）求的值； （分） （2）设，证明数列为等比数列，并求通项公式． （分） 19、（本小题满分10分） 如图四棱锥-的底面是边长为2的菱形，且，，． （1）若是与的交点，证明：平面． （分） （2）若点是的中点，求异面直线与所成角的余弦值． （分） 20、（本小题满分10分） 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上一点到椭圆左右两焦点的距离之和为． （1）求椭圆的标准方程； （分） （2）已知直线：与椭圆交于、两个不同的点，且弦的中点恰好在圆上，求直线的方程． （分） 选做题：请考生在第21、22题中选择一题作答．若两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号．老师建议：工科类做第21题，服务类做22题． 21、（本小题满分10分）A B C D 在平面四边形中，，，，． （1）求的值； （分） （2）若，求的值． （分） 22、（本小题满分10分） 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机．由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力．通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表： 资金 (表中单位：百元) 单位产品所需资金 月资金供应量 空调机 洗衣机 成本 劳动力：工资 单位利润 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少? 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