期末考试平面直角坐标系三种压轴题专项训练-2023-2024学年七年级数学下学期压轴题模拟训练（人教版）

期末考试平面直角坐标系三种压轴题专项训练 【例题精讲】 例1．（角度动点问题）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足． (1)的值为 ； (2)若动点从坐标原点出发，以每秒个单位长度的速度在坐标轴上运动，当三角形的面积等于三角形的面积的一半时，点的运动时间的值为 ； (3)如图，过点作轴，交轴于点，点为线段延长线上一动点，连接，平分，．当点运动时， ． 例2．（面积问题）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点为，，，且满足，线段交y轴于点D．点E为y轴上一动点（点E不与点O重合）． (1)求点A，B，C的坐标； (2)若点E在y轴负半轴上，过点E作，分别作，的平分线交于点G．试问在点E的运动过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的度数； (3)在y轴上是否存在这样的点E，使三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（线段比值问题）已知在平面直角坐标系中，，，将线段平移，使点的对应点为，点的对应点为． (1)________； (2)将线段向右平移个单位，已知，若，求的值； (3)若点恰好落在轴负半轴上，连交轴于点，当时，求点的坐标． 【模拟训练】 1．溪悦荟灯光秀是圭塘河的亮丽风景，假定河两岸，桥长20米，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．如图1建立平面直角坐标系，若灯A、灯O转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足．    (1)填空：__________，__________，A点坐标（__________，__________）； (2)为确保“探照灯”顺利旋转，检修工人P从点G以每秒1米的速度向O点走去，到达O点便开始检修设备；检修工人Q从点F以每秒1.5米的速度向A点走去，到达F点便开始检修设备．其中，两人同时分别从点G、F出发，当检修工人走了多少秒时，有的面积等于的面积的2倍； (3)①若灯A射线转动30秒后，灯O射线开始转动，在灯A射线第一次到达之前，O灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ ②如图2，若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点C．在射线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出实数k的值及的度数；若不存在，请说明理由． 2．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．且a，b满足．现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接的延长线交y轴于点K． (1)点A的坐标________，点B的坐标________． (2)点P是线段上的一个动点，点Q是线段的中点，连接，当点P在线段上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论． (3)连接，在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由． 3.如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，满足． (1)______，______，______． (2)如图1，若点为轴负半轴上的一个动点，连接交轴于点，是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若将线段向上平移2个单位长度，点为轴上一点，点为第一象限内的一动点，连接，，，，若的面积等于由，，，四条线段围成的图形的面积，求点的横坐标的值（用含的式子表示）． 4.如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)点的坐标为__________，和位置关系是__________； (2)当分别是线段上时，连接，使，求出点的坐标； (3)在的运动过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 5.如图1：在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段两端点在坐标轴上，点，点，将向右平移4个单位长度至的位置． (1)点C的坐标______； (2)如图2，过点C作轴于点D，在x轴正半轴有一点，过点E作x轴的垂线，在垂线上有一动点P，求的面积； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，是否存在点P，使得的面积为，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6.在平面直角坐标系中，，，且满足，过点B作直线轴，点P是直线m上一动点，连接交y轴于点D，过点B作交y轴于C点． (1)填空： ， ． (2)如图，若分别平分，在点P的运动过程中，的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由； (3)①若点P的纵坐标为，点Q在y轴上，且的面积和的面积相等，请求出Q点坐标； ②在点P的运动过程中，是否为定值？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末考试平面直角坐标系三种压轴题专项训练 【例题精讲】 例1．（角度动点问题）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足． (1)的值为 ； (2)若动点从坐标原点出发，以每秒个单位长度的速度在坐标轴上运动，当三角形的面积等于三角形的面积的一半时，点的运动时间的值为 ； (3)如图，过点作轴，交轴于点，点为线段延长线上一动点，连接，平分，．当点运动时， ． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】（）根据非负数的性质可得，解方程组即可求解； （）由（）可得，求出，得到，分点在轴上运动和点在轴上运动两种情况解答即可求解； （）设，，则，，由，可得，得 ，得到，即可求解； 本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积，一元一次方程的应用，利用非负数的性质求出的值是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的值为， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当三角形的面积等于三角形的面积的一半时，， 当点在轴上运动时，， ∴， 即， 解得； 当点在轴上运动时，， ∴， 即，解得；综上，或， 故答案为：或； （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，， ∵轴，∴轴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，∴， 故答案为：． 例2．（面积问题）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点为，，，且满足，线段交y轴于点D．点E为y轴上一动点（点E不与点O重合）． (1)求点A，B，C的坐标； (2)若点E在y轴负半轴上，过点E作，分别作，的平分线交于点G．试问在点E的运动过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的度数； (3)在y轴上是否存在这样的点E，使三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)的度数不变化， (3)存在，点的坐标为：或 【分析】本题考查的是平行线的性质、三角形的面积计算、非负数的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质定理、三角形的面积公式是解题的关键 （1）根据非负数的性质分别求出a、b、c，得到点A、B、C的坐标； （2）过点G作，根据平行线的性质得到，，根据直角三角形的性质，结合角平分线的定义计算，得到答案； （3）分两种情况①当点E在x轴下方时；②当点E在线段OP上时，分别设出点E的坐标，表示出的面积和的面积，根据题意列出方程，解方程即可 【详解】（1）解：由题意可知：，，， ∴，，， 解得：，，． ∴，，； （2）的度数不变化，理由如下： 如图：过点G作， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴， 同理， 又∵分别是，的平分线， ∴， 的度数不变化，； （3）存在． ①当点E在x轴下方时：如图，过点E作轴，过点P作轴，过点A作轴， 设点，因为，，， 所以，． ， ∴，即，得：，则． 因为点E在x轴下方， ∴． ②当点E在线段OP上时：如图，过点P经过C，作轴，过点A作轴， 设点， ， ， ∴，即，得：，则． ∴． 若点E在点P上方的y轴上时，不存在这样的点． 综上所述，点E的坐标为：或． 例3．（线段比值问题）已知在平面直角坐标系中，，，将线段平移，使点的对应点为，点的对应点为． (1)________； (2)将线段向右平移个单位，已知，若，求的值； (3)若点恰好落在轴负半轴上，连交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标或 【分析】（1）连接，如图所示，根据平面直角坐标系中三角形面积的求法，由坐标表示代值求解即可得到答案； （2）根据题意，由点的位置分三种情况：当时；当时；当时；作出图形，由列方程求解即可得到答案； （3）根据题意，由点的位置分两种情况：当在右侧时；当在左侧时；作出图形，由列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ，， ， 故答案为：； （2）解：如图所示： ，解得， 将线段向右平移个单位，， 点在轴上，且， 当时，，如图所示： 则三点共线，不能构成三角形，不满足题意； 当时，，如图所示： ， ，， ，， ， ，解得； 当时，，如图所示： ， ，， ，， ， ，解得（负值舍去）； 综上所述，； （3）解：当在右侧时，如图所示： ，设，则，即，，， ，，由点的平移可得， 由可得，，解得，； 当在左侧时，如图所示： ，设，则，即，，， ，， 由点的平移可得， 由可得，，解得， ； 综上所述，点的坐标或． 【点睛】本题考查图形与坐标综合，难度较大，综合性强，涉及平面直角坐标系中三角形面积的表示方法、点的平移性质、图形平移性质及解方程等知识，根据题意，数形结合，准确作出相关图形，分类讨论求解是解决问题的关键． 【模拟训练】 1．溪悦荟灯光秀是圭塘河的亮丽风景，假定河两岸，桥长20米，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．如图1建立平面直角坐标系，若灯A、灯O转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足．    (1)填空：__________，__________，A点坐标（__________，__________）； (2)为确保“探照灯”顺利旋转，检修工人P从点G以每秒1米的速度向O点走去，到达O点便开始检修设备；检修工人Q从点F以每秒1.5米的速度向A点走去，到达F点便开始检修设备．其中，两人同时分别从点G、F出发，当检修工人走了多少秒时，有的面积等于的面积的2倍； (3)①若灯A射线转动30秒后，灯O射线开始转动，在灯A射线第一次到达之前，O灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ ②如图2，若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点C．在射线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出实数k的值及的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)①或110，②存在，， 【分析】（1）根据平方数与算术平方根的非负性，即可求出，，由桥长20米，为坐标原点，即可求解， （2）设检修工人走了t秒，由，，当时，代入，即可求解， （3）①设O灯转动了t秒．当时，，， 当时，，代入，即可求解，当时，其中当时，与必相交，当时，由有，代入，即可求解，当时，， ，当时，，代入即可求解，②由，，得到，结合，，得到，若为定值，则与t无关，即可求解， 本题考查了，平方数、算数平方根的非负性，平行线的性质，三角形的内角和，解题的关键是：根据题意列出等量关系式． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，，， ∵桥长20米，为坐标原点， ∴， 故答案为：；；． （2）解：设检修工人走了t秒，如图，   ， ， 当时，，解得， 故答案为：， （3）解：①设O灯转动了t秒．（ⅰ）当时，如图（ⅰ）， ，， 当时，，则， 即，则，解得，    （ⅱ）当时，其中当时，与必相交， 当时，如图（ⅱ），    由，有， 则，即，即，解得：（舍）， （ⅲ）当时，其中当时，如图（ⅲ），   ，，， 当时，，则， 即，即，解得， 当时，与必相交． 综上，或110； ②存在；如图2，   ，， ， 又， ， 又， ， ， 若为定值，则与t无关， ，此时，， 故存在， ． 2．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．且a，b满足．现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接的延长线交y轴于点K． (1)点A的坐标________，点B的坐标________． (2)点P是线段上的一个动点，点Q是线段的中点，连接，当点P在线段上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论． (3)连接，在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)当点在上时，，当点在上时，，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）根据算式平方根的非负性质、偶次方的非负性质分别求出a、b的值，即可得到点A，B的坐标； （2）分点过在上和点在上，两种情况，进行讨论求解即可； （3）先求出的面积，再分点M在x轴上、点M在y轴上两种情况，根据三角形的面积公式分别求解即可． 【详解】（1）∵ ， ∴ ， 解得：， ∴ 点A，B的坐标分别为． （2）当点在上时：．理由如下： 如图2，过P作， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ． 当点在上时： 作，则， ∴ ∴； （3）由题意得：点C的坐标为，点D的坐标为， 则，当点M在x轴上时，设点M的坐标为， 则，由题意得：， 解得：， 此时点M的坐标为或； 当点M在y轴上时，设点M的坐标为， 则，由题意得：，解得：， 此时点M的坐标为或； 综上所述，在坐标轴上存在点M，使的面积与的面积相等，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了非负性，平行线的判定和性质，平移规律，分类思想，熟练掌握非负性，平行线的判定和性质，平移规律是解题的关键． 3.如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，满足． (1)______，______，______． (2)如图1，若点为轴负半轴上的一个动点，连接交轴于点，是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若将线段向上平移2个单位长度，点为轴上一点，点为第一象限内的一动点，连接，，，，若的面积等于由，，，四条线段围成的图形的面积，求点的横坐标的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）利用绝对值的非负性、平方的非负性及二次根式的非负性即可求解． （2）连接交y轴于点M，作于点H，求出，由的面积等于的面积得，由求出，再根据即可求出点的坐标； （3）延长交x轴于点N，连接，设点，用割补法求出，根据求出，分别表示出的面积和四边形的面积，然后根据二者面积相等列式求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴ 故答案为：，，； （2）连接交y轴于点M，作于点H， ∵， ∴， ∴． ∵的面积等于的面积， ∴． ∵， ∴， ∴ 设， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）延长交x轴于点N，连接，设点， 由平移的性质得点，点， ∵点 ∴， ∵ ， ∴， 解得， ∴点， ∵， ∴四边形的面积， 设， ， ∴， 解得 ， 设点 G的横坐标为x，则|， 解得或． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性、平方的非负性、算术平方根的非负性、坐标与图形，坐标与图形变化－平移，以及一元一次方程的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键． 4.如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)点的坐标为__________，和位置关系是__________； (2)当分别是线段上时，连接，使，求出点的坐标； (3)在的运动过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或，理由见详解 【分析】本题考查动点问题，涉及点的坐标，非负数的性质、坐标与图形、平行线的判定与性质，三角形的面积． （1）由可得的值，进而能得出； （2）过点作于，由，及可得的值即可求得的坐标； （3）分情况讨论：当点在点的上方时和当点在点的下方时两种情况，具体见详解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）过点作于， 设时间经过秒，，则，， ∴ ∵ ∴, ∵ ∴ 解得， ∴ ∴ ∴点的坐标为； （3）解：或， 理由如下：①当点在点的上方时，过点作，如图2所示， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即； ②当点在点的下方时；过点作，如图3所示， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即． 综上所述，或． 5.如图1：在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段两端点在坐标轴上，点，点，将向右平移4个单位长度至的位置． (1)点C的坐标______； (2)如图2，过点C作轴于点D，在x轴正半轴有一点，过点E作x轴的垂线，在垂线上有一动点P，求的面积； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，是否存在点P，使得的面积为，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题考查了点的平移，在平面直角坐标系中动点产生三角形的面积； （1）由点的平移即可求解； （2）由即可求解； （3）①当在的上方时，将补成直角梯形，设，由即可求解；②当在轴上方，的下方时，由可判断此情况不存在；③当在的下方时，将补成直角梯形，同理①即可求解； 掌握“割补法”求面积，能根据动点的位置进行分类讨论，并将面积转化为是解题的关键． 【详解】（1）解：由平移得：； （2）解：如图， 轴， ， ， ∵，轴， ； 故的面积为； （3）解：①当在的上方时， 如图，将补成直角梯形， 设， ，，，，， ， 的面积为，，解得：，； ②当在轴上方，的下方时， 因为，但是，此种情况不存在； ③当在的下方时， 如图，将补成直角梯形， 设，，，，，， ， 的面积为， ，解得：， ； 综上所述：点P的坐标为或． 6.在平面直角坐标系中，，，且满足，过点B作直线轴，点P是直线m上一动点，连接交y轴于点D，过点B作交y轴于C点． (1)填空： ， ． (2)如图，若分别平分，在点P的运动过程中，的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由； (3)①若点P的纵坐标为，点Q在y轴上，且的面积和的面积相等，请求出Q点坐标； ②在点P的运动过程中，是否为定值？请说明理由． 【答案】(1)，2 (2)的度数不变， (3)①Q点的坐标为或；②在点P的运动过程中，是定值，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由非负数的性质可得出答案； （2）过点E作，则，由平行线的性质及角平分线的定义可得出答案； （3）①由题意可得，得出，由，得出，求得，从而得出，再根据面积法得出，最后得出答案； ②由可得，再得出，故，由此得出，最后可得结果． 【详解】（1），，，，； 故答案为：，2； （2）的度数不变，，理由：过点E作，则， ∴， ∴， ∵，∴， ∵，， ∴； （3）①如图， ∵点P的纵坐标为， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴Q点的坐标为或； ②在点P的运动过程中，是定值， 理由如下：∵， ∴，∴， ∴，，∴ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$