暑假作业04 矩形的性质与判断（4大题型专练+能力拓展练）【暑假分层作业】-2024年八年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 矩形性质与判断类型题精练 知识点1．矩形的性质 (1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. (2)矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有; ②角:矩形的四个角都是直角; ③边:邻边垂直; ④对角线:矩形的对角线相等; ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形。它有2条对称轴,分别是每组对边中点连线所在的直线;对称 中心是两条对角线的交点. (3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 知识点2．矩形的判定 (1)矩形的判定: ①矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形; ②有三个角是直角的四边形是矩形; ③对角线相等的平行四边形是矩形(或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形” (2)①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等. ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形. 知识点3．矩形的判定与性质 关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性:一个内角是直角的平行四边形，进-步研 究其特有的性质:是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等.同时平行四边形的性质矩形也都具有. 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题. 题型一：应用矩形的性质进行计算与证明 1．将含角的三角板按如图所示的方式摆放在一矩形纸片上，使得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 2．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（    ）    A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度变大 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 【答案】C 【详解】解：A、矩形框架向右扭动，变为平行四边形，故选项不符合题意； B、矩形框架向右扭动，拉长，故选项不符合题意； C、矩形框架向右扭动，底长不变，高变小，四边形面积变小，故选项符合题意； D、矩形框架向右扭动，边长不变，周长不变，故选项不符合题意； 故选：C． 3．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列结论一定成立的是（   ） ①；②；③；④ A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据矩形的性质及材料，即可判断， 此题主要考查矩形的性质，解题的关键是熟知矩形的性质定理． 【详解】解：根据题意可知，故③正确， 根据矩形的性质得，，故①，②正确， ，， ∵不一定成立， ∴不一定成立，故④错误， 综上所述，①②③一定成立， 故选：C． 4．在数学活动课上，小明通过测量，发现规格矩形纸片的长宽有固定关系，于是按如图所示的方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据翻折的性质可得，，， 设，则， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得或（舍去） ∴， 故选：A． 5．如图，四边形是矩形，根据尺规作图痕迹，计算的大小为 ． 【答案】57 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由作图可知：，， ∴， ∴； 故答案为：57． 6．如图，在矩形中，，点在上，．若平分，则的长为 ． 【答案】5 【详解】解：平分， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5 7．如图，矩形边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积是24，则 ． 【答案】2 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴的面积， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 故答案为：2． 8．如图，长方形中，，，将该矩形沿对角线折叠． (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)BE的长为15(2) 【详解】（1）解： 四边形为长方形， ，． 又， ∴ ． 为等腰三角形； 设，则． 在中，由勾股定理得， 解得， 的长为15； （2）解：由（1）得， ． 9．如图，在矩形中，E是边上的点，，，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， ，， ，， ， ； （2）解：由（1）， ，， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得， ． 10．如图所示是小华完成的尺规作图题，已知：矩形 ． 作法：①分别以点为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点； ②作直线 ； ③以点 为圆心，以 长为半径作弧，交直线 于点， 连接 ． 根据小华的尺规作图步骤，解决下列问题． (1)填空： ． (2)过点 作 ，  交直线于点． ①求证：四边形 是平行四边形； ②请直接写出平行四边形的面积和矩形 的面积的数量关系． 【答案】(1)(2)①证明过程见详解；② 【详解】（1）解：根据作图可得，是线段的垂直平分线，， ∴， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ①∵是的垂直平分线， ∴， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形； ②如图所示，设与交于点， ∴， ∴平行四边形的面积为， 矩形的面积为， ∴． 题型二：矩形的判定与证明 11．如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】C 【详解】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 12．（2024·广东深圳·二模）如图，的对角线相交于点．如果添加一个条件，使得是矩形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 当时，是菱形，不是矩形，不符合题意， 当时，，是矩形，符合题意， 当时，是菱形，不是矩形，不符合题意， 当时，是平行四边形，不是矩形，不符合题意， 故选：． 13．如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，且使． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)添加一个条件，使四边形为矩形，不需要说明理由． 【答案】(1)见解析(2)（答案不唯一） 【详解】（1）证明：连接交于O，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴四边形是平行四边形； （2）解：添加， 理由：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形为矩形． 14．如图，点M在的边上，；请从以下三个选项中：①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． (1)你添加的条件是 （填序号）； (2)添加条件后，请证明为矩形． 【答案】(1)①(2)选择①，证明见解析 【详解】（1）解：①当时，为矩形， 故答案为：①． （2）选择①：， 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， 在△ABM和DCM中， ， ， ， ， 为矩形． 15．如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：）， (1)t为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由． (2)t为何值时，四边形为矩形，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析 【详解】（1）解：当时，四边形为平行四边形，理由如下： 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形为矩形，理由如下： 当时，， ∴， ∴， 同理可证明， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形． 题型三：斜边上中线 16．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为． 17．如图，在中，，分别为，的中点，点F在线段上，且．若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，分别为，的中点，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵是的中点， ∴是的中线，且， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，在中，已知点、、分别是、、的中点，是高． (1)若，，则四边形的面积为 　　． (2)求证：． 【答案】(1)20(2)见解析 【详解】（1）解：，， ， 点、、分别是、、的中点， 、的面积都等于面积的， 四边形的面积， 故答案为：20； （2）证明：、、分别是各边中点， ∴，， 四边形是平行四边形， ， 是的高 、是直角三角形， 点、点是斜边、中点， ，， ，， ， 即， ． 题型四：矩形性质与判定的综合 19．如图，在四边形中，，，，，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， 故选．    20．矩形的边上有一动点，连接、，以、为边作平行四边形．在点从点移动到点的过程中，平行四边形的面积（    ） A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变 【答案】D 【详解】解：过点E作EG⊥AD于G，如图所示： 则∠AGE＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴四边形ABEG是矩形， ∴EG＝AB， ∵四边形AEDF是平行四边形， ∴， 即的面积保持不变，故D正确． 故选：D． 21．如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于，于点连结，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ，， ， 四边形是矩形， ， 当最小时，也最小， 即当时，最小， ，， ， 的最小值为：． 线段长的最小值为 故答案为：． 22．如图是一个矩形，在上各取一点G、H，使得，再取的中点E、F．连接，已知，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴、为等边三角形， ∴， ∵E、F为的中点， ∴垂直平分，垂直平分，， ∴ ∴四边形为矩形， 又， ∴ ∴，， ∴四边形的面积为：。 故答案为： 23．如图，在中，，点P是上（不与A，B重合）的一动点，过P作，垂足分别是E，F，连接，M为的中点． (1)请判断四边形的形状，并说明理由． (2)随着P点在边上位置的改变，的长度是否也会改变？若不变，请求出的长度，若有变化，请求出的变化范围． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析(2)的长度会改变； 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：的长度会改变． 如图，连接，则必过点M， 由（1）得：四边形是矩形， ∴， ， 过C作于点D，当点P与点D重合时，最小，此时最小，最小值为， ∵， 即， 解得：， 即的最小值为， ∵点P是上（不与A，B重合）的一动点， ∴， ∴， ∴的长变化范围是． 24．已知：点在同一直线上，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接和，交于点，若，于点，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【答案】(1)见解析(2)、、、 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵于点， ∴， 同理，， ∴， ∴、、、； 故，图中是面积3倍的所有三角形有、、、． 25．如图，在矩形中，，，连接，将沿折叠，使点对应点落在上，将沿折叠，使对应点也落在上，连接，，则四边形面积为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，， ， 由折叠性质得：，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 即， 在中，， 设，则， 由折叠的性质得：，，，，，， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， 故选：B． 26．如图，、是平行四边形的对角线上两点，． (1)求证：； (2)连接，和，请添加一个条件： 使得四边形为矩形． 【答案】(1)见解析(2)（答案不唯一） 【详解】（1）证明： ∵在平行四边形中，，， ∴， 又∵， ∴； （2）添加条件．证明如下： 如图， ∵ ∴， ∴ ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为矩形． 故答案为：（答案不唯一） 27．如图，这是的正方形网格，四边形的四个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中的线段上作点M，使得的长等于与之间的距离． (2)在图2中作线段，使得，且直线平分四边形的面积． 【答案】(1)见详解(2)见详解 【详解】（1）解：选取网格点E，连接交于点M，如图， 点M即为所作； 证明，选取网格点F，如图， 利用勾股定理可得：，，即有四边形是平行四边形，则有， 结合图形，可证明，结合，可得，则有， 即：的长等于与之间的距离； （2）如图，利用矩形的性质确定G，连接、交于点Q，连接并延长，与一条水平的网格线交于点P， 线段即为所作； 证明：如图， 在（1）中已证明四边形是平行四边形，则过对角线交点的直线必平分平分四边形的面积， 利用勾股定理可得：， 结合网格图可知：， 即，且直线平分四边形的面积． 28．如图1，已知，分别以点为圆心，为半径，在的上方画弧，两弧相交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)如图2，连接是边上一点，于点于点．则___________． 【答案】(1)见详解(2)4.8 【详解】（1）证明：由题意可知，，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； （2）解：设、交于点，连接，如图2所示： 四边形是矩形， ，，，， ， ∴， ∴， ∵ ， ， ∵的面积矩形的面积， 又的面积的面积的面积， ， 即， 解得：， 故答案为：4.8． 29．数学兴趣小组在对一张矩形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索．已知矩形纸片的边长，，折痕始终经过点． 折法一 折法二 如图1，点在上运动，将矩形沿着向上折叠，使得点的落点恰好落在对角线上． 如图2，当点运动到点处，将矩形沿着对角线向上折叠，使得点落在处，交于点． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)计算折法一中的长度． (2)请根据折法二完成下列任务： ①任务一：求证是等腰三角形； ②任务二：计算的长度． 【答案】(1)(2)①见解析；② 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵，，则，， ∴， 由折叠可知，， ∵点的落点恰好落在对角线上 ∴； （2）①证明：在矩形中，， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②在矩形中，，，， 由折叠可知，，， 即：， 又∵， ∴， 设，则， 在中，，即：， 解得：， ∴． 30．如图，在四边形中，，对角线与相交于点，、分别是边、的中点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析(2)5 【详解】（1）证明：连接、，如图， ，点、点分别是边、的中点， ，， ， 是的中点， 是的垂直平分线， ． （2）解：，， ， ， ， ， ，， ， 在中，，， ， 的长是5． 31．如图，四边形是矩形纸片，．对折矩形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在上的点N，折痕与相交于点Q；再次展平，连接，，延长交于点G．有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤点P为线段上一动点，点H是的中点，则的最小值是．其中正确结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【详解】解：连接， 对折矩形纸片，使与重合，折痕为，． 垂直平分，即点是的中点， ， 过点B折叠矩形纸片，使点A落在上的点N，折痕与相交于点Q， ，，，， ， 为等边三角形， ， 即结论①正确； ，， ， ， ， 解得， 即结论②不正确； 由折叠的性质可知，， ； 即结论③正确； ，， ， ， 为等边三角形， 即结论④正确； 连接， 点是的中点， 点H是的中点， 过点B折叠矩形纸片，使点A落在上的点N，折痕与相交于点Q， 即与关于对称，点与点关于对称， ， 点与点重合时，的值最小， 即， ， ， 的最小值是． 即结论⑤正确； 综上所述，正确的结论有个， 故选：B． 32．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若满足； (1)求点A的坐标； (2)取中点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长， 交x轴于点P． ①求的长； ②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．请你求出线段长度的最大值． 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）解：． ∴，， 解得，， 点的坐标为； （2）解：①与关于所在直线对称， ，，， 如图，连接，   ， ，， 设，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点为的中点， ； ②取的中点，连接，．   ，点是的中点，． ， ， ， 由中点坐标公式可知：点的坐标为， ， ， 当点、、三点共线时，的长度最大， 则的最大值为， 的最大值为． 33．我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”． (1)如图1，已知，， ①用尺规作图作出的一条“紫金线”；（保留作图痕迹） ②过点C能作出的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由； (2)如图2，若是矩形的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将用含的代数式表示为； (3)如图3，已知四边形中，．用尺规作图作出四边形的“紫金线”．（保留作图痕迹） 【答案】(1)①见详解；②不能，理由见详解(2)(3)见详解 【详解】（1）解：①如图，直线l即为所求： ∵直线l是的垂直平分线，则记与直线l与交于点E，点E为的中点， ∴与等底同高，故面积一样， ∵，， ∴l平分周长， 故直线l是的一条“紫金线”; ②过点C不能作出的“紫金线”， 设过点C能作直线“紫金线”交于点D，如图： 则点D为中点，满足平分面积， ∵， ∴， ∴与周长不相等，故不能平分该图形周长， ∴不能能作出的“紫金线”； （2）解：由题意得平分， 当是矩形的“紫金线”，则是的垂直平分线， ∵是的垂直平分线 ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，左右两部分梯形面积也一样， ∴即平分周长也平分面积， ∴是矩形的“紫金线”， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：如图，直线即为所求： 记直线与分别交于点F、E，连接， ∵直线是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， 则， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴直线平分该图形周长， ， ∴， ∴直线平分该图形面积， ∴直线四边形的“紫金线”． 【点睛】本题考查了尺规作图---线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，中线平分三角形面积，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 34．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠轴对称，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，以及直角三角形的边角关系是解题的关键． 35．（2023·四川德阳·中考真题）如图．在中，，，，，点是边的中点，则（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】∵， ∴为直角三角形． ∴． ∵点为的斜边的中点， ∴． ∵，， ∴． 故选：A． 36．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得，，通过证明四边形是平行四边形，可得，则，作点C关于直线的对称点M，则，点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 点M，N分别是的中点， ，，，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 如图，作点C关于直线的对称点M，连接，，    则， 当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为， 在中，，， ， 的最小值， 故选C． 37．（2023·甘肃兰州·中考真题）如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（    ）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得，在中，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：∵矩形中， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 在中，， 故选：C. 38．（2023·江苏·中考真题）如图，在中，，D是延长线上的一点，．M是边上的一点（点M与点B、C不重合），以为邻边作．连接并取的中点P，连接，则的取值范围是 ．    【答案】 【详解】解：过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，如图所示：    由题意得：点在线段上运动（不与点重合），点在线段上运动（不与点重合）， ∴为的最大值，当时，取得最小值，最小值等于的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∵P为的中点， ∴为的中点， ∴， ∵， ∴， 故， ∵点M与点B、C不重合， ∴的取值范围是， 故答案为：． 39．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点．    (1)求证：； (2)连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析(2)矩形，证明见解析 【详解】（1）解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵和的平分线、分别交、于点E、F， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点G、H分别为、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∵，G为的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 试卷第40页，共40页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 矩形性质与判断类型题精练 知识点1．矩形的性质 (1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. (2)矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有; ②角:矩形的四个角都是直角; ③边:邻边垂直; ④对角线:矩形的对角线相等; ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形。它有2条对称轴,分别是每组对边中点连线所在的直线;对称 中心是两条对角线的交点. (3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 知识点2．矩形的判定 (1)矩形的判定: ①矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形; ②有三个角是直角的四边形是矩形; ③对角线相等的平行四边形是矩形(或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形” (2)①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等. ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形. 知识点3．矩形的判定与性质 关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性:一个内角是直角的平行四边形，进-步研 究其特有的性质:是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等.同时平行四边形的性质矩形也都具有. 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题. 题型一：应用矩形的性质进行计算与证明 1．将含角的三角板按如图所示的方式摆放在一矩形纸片上，使得，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（    ）    A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度变大 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 3．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列结论一定成立的是（   ） ①；②；③；④ A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 4．在数学活动课上，小明通过测量，发现规格矩形纸片的长宽有固定关系，于是按如图所示的方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度是（    ） A． B． C． D． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 5．如图，四边形是矩形，根据尺规作图痕迹，计算的大小为 ． 6．如图，在矩形中，，点在上，．若平分，则的长为 ． 7．如图，矩形边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积是24，则 ． 8．如图，长方形中，，，将该矩形沿对角线折叠． (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． ∴ 9．如图，在矩形中，E是边上的点，，，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．如图所示是小华完成的尺规作图题，已知：矩形 ． 作法：①分别以点为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点； ②作直线 ； ③以点 为圆心，以 长为半径作弧，交直线 于点， 连接 ． 根据小华的尺规作图步骤，解决下列问题． (1)填空： ． (2)过点 作 ，  交直线于点． ①求证：四边形 是平行四边形； ②请直接写出平行四边形的面积和矩形 的面积的数量关系． 题型二：矩形的判定与证明 11．如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 12．（2024·广东深圳·二模）如图，的对角线相交于点．如果添加一个条件，使得是矩形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 13．如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，且使． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)添加一个条件，使四边形为矩形，不需要说明理由． 14．如图，点M在的边上，；请从以下三个选项中：①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． (1)你添加的条件是 （填序号）； (2)添加条件后，请证明为矩形． 15．如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：）， (1)t为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由． (2)t为何值时，四边形为矩形，请说明理由． 题型三：斜边上中线 16．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为 ． 17．如图，在中，，分别为，的中点，点F在线段上，且．若，，则的长为 ． 18．如图，在中，已知点、、分别是、、的中点，是高． (1)若，，则四边形的面积为 　　． (2)求证：． 题型四：矩形性质与判定的综合 19．如图，在四边形中，，，，，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 20．矩形的边上有一动点，连接、，以、为边作平行四边形．在点从点移动到点的过程中，平行四边形的面积（    ） A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变 21．如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于，于点连结，则线段的最小值为 ． 22．如图是一个矩形，在上各取一点G、H，使得，再取的中点E、F．连接，已知，，则四边形的面积为 ． 23．如图，在中，，点P是上（不与A，B重合）的一动点，过P作，垂足分别是E，F，连接，M为的中点． (1)请判断四边形的形状，并说明理由． (2)随着P点在边上位置的改变，的长度是否也会改变？若不变，请求出的长度，若有变化，请求出的变化范围． 24．已知：点在同一直线上，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接和，交于点，若，于点，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 25．如图，在矩形中，，，连接，将沿折叠，使点对应点落在上，将沿折叠，使对应点也落在上，连接，，则四边形面积为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 26．如图，、是平行四边形的对角线上两点，． (1)求证：； (2)连接，和，请添加一个条件： 使得四边形为矩形． 27．如图，这是的正方形网格，四边形的四个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中的线段上作点M，使得的长等于与之间的距离． (2)在图2中作线段，使得，且直线平分四边形的面积． 28．如图1，已知，分别以点为圆心，为半径，在的上方画弧，两弧相交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)如图2，连接是边上一点，于点于点．则___________． 29．数学兴趣小组在对一张矩形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索．已知矩形纸片的边长，，折痕始终经过点． 折法一 折法二 如图1，点在上运动，将矩形沿着向上折叠，使得点的落点恰好落在对角线上． 如图2，当点运动到点处，将矩形沿着对角线向上折叠，使得点落在处，交于点． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)计算折法一中的长度． (2)请根据折法二完成下列任务： ①任务一：求证是等腰三角形； ②任务二：计算的长度． 30．如图，在四边形中，，对角线与相交于点，、分别是边、的中点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 31．如图，四边形是矩形纸片，．对折矩形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在上的点N，折痕与相交于点Q；再次展平，连接，，延长交于点G．有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤点P为线段上一动点，点H是的中点，则的最小值是．其中正确结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 32．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若满足； (1)求点A的坐标； (2)取中点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长， 交x轴于点P． ①求的长； ②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．请你求出线段长度的最大值． 33．我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”． (1)如图1，已知，， ①用尺规作图作出的一条“紫金线”；（保留作图痕迹） ②过点C能作出的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由； (2)如图2，若是矩形的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将用含的代数式表示为； (3)如图3，已知四边形中，．用尺规作图作出四边形的“紫金线”．（保留作图痕迹） 34．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则（    ）    A． B． C． D． 35．（2023·四川德阳·中考真题）如图．在中，，，，，点是边的中点，则（    ）    A． B． C．2 D．1 36．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（    ）    A． B．3 C． D． 37．（2023·甘肃兰州·中考真题）如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（    ）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 38．（2023·江苏·中考真题）如图，在中，，D是延长线上的一点，．M是边上的一点（点M与点B、C不重合），以为邻边作．连接并取的中点P，连接，则的取值范围是 ．    39．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点．    (1)求证：； (2)连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 试卷第40页，共40页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$