第5章 相交线与平行线-2023-2024学年人教版数学七年级下册期末培优复习压轴题刷题卷

2023-2024学年人教版数学七年级下册期末培优复习压轴题刷题卷 第5章 相交线与平行线 考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.38（较难） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共0分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．（2分）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3 2．（2分）下列说法中不正确的个数为（　　） ①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直． ②有且只有一条直线垂直于已知直线． ③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． ⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2分）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝（　　） A．58° B．56° C．52° D．62° 4．（2分）如图，已知直线a，b被直线c所截，下列属于同旁内角是（　　） A．∠1和∠4 B．∠3和∠5 C．∠2和∠3 D．∠1和∠3 5．（2分）如图，AB∥EF，C点在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．下列结论： ①AC平分∠DCE；②AE∥CD；③∠1+∠B＝90°；④∠BDC＝2∠1． 其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2分）如图，AB＝6，点A到直线BC的距离为3，若在射线BC上只存在一个点P，记AP的长度为d，则d的值可以是（　　） A．7 B．2 C．5 D．6 7．（2分）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　） A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90° 8．（2分）如图，下列条件中能判断BC∥EF的是（　　） ①∠1＝∠E ②∠2＝∠E ③∠B＝∠1 ④∠E+∠EGC＝180° A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 9．（2分）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2分）在△ABC中，BC＝6，AC＝3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上） 11．（2分）如图，OC是∠AOB的角平分线，直线l∥OB．若∠1＝50°，则∠2的大小为 　 　． 12．（2分）将一副三角板按如图放置，小明得到下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，则∠4＝∠C；那么其中正确的结论有 　 　． 13．（2分）已知一对角的两边分别平行．一只角为x°，另一只角是2x°﹣30°．满足题意的x的值是 　 　． 14．（2分）如图，ABCD为一长方形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A'，D'对应，若∠2＝2∠1，则∠BEF＝　 　°． 15．（2分）如图，如果AB∥CD，则角α＝130°，γ＝20°，则β＝　 　． 16．（2分）（2023春•河西区期末）如图，已知AD∥BC，BD 平分∠ABC，∠A＝112°，且BD⊥CD，则∠ADC＝　 　． 17．（2分）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠1＝50°，则∠FEH＝　 　°． 18．（2分）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　 　度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　 　度． 19．（2分）将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的是 　 　（填写序号）． 20．（2分）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 　 　． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（6分）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°． （1）求证：AB∥CD； （2）求∠C的度数． 22．（6分）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当∠EOF＝90°，∠ODC＝30°时，人躺着最舒服，求此时扶手AB与支架OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数． 23．（8分）如图，已知AC∥DE，∠D+∠BAC＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）连接CE，恰好满足CE平分∠ACD．若AB⊥BC，∠CED＝35°，求∠ACB的度数． 24．（8分）【阅读学习】阅读下面的解题过程： （1）如图①，AB∥CD，过点F作FP∥AB，由平行线的传递性可得FP∥CD，利用平行线的性质，我们不难发现：∠EFG与∠AEF、∠CGF之间的数量关系是 　 　；∠EFG与∠BEF、∠DGF之间的数量关系是 　 　． 【知识运用】利用上面的结论解决下列问题： （2）如图②，AB∥CD，点M是∠BEF和∠DGF的平分线的交点，∠EFG＝130°，则∠EMG的度数是 　 　． （3）如图③，AB∥CD，GM平分∠DGF，EM⊥GM，EF平分∠AEM，若∠EFG比∠DGF大15o，求∠DGF的度数． 25．（8分）已知AB∥CD． （1）填空：如图1所示，则∠APC，∠A，∠C之间的数量关系为 　 　； （2）如图2所示，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系并说明理由； （3）填空：如图3，设∠ABM＝α，∠DNM＝β，∠CDN＝γ，请直接写出∠BMN的大小：　 　；（用含α，β，γ的式子表示）． （4）如图4，请直接写出x的度数． 26．（8分）问题情境1：如图1，AB∥CD，P是AB、CD内部一点，P在BD的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，探究∠B，∠P，∠D之间的关系，小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间的关系是 　 　； 问题情境2：如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，我们称这种模型为“猪脚模型”，仿照问题1的思路可得∠B，∠P，∠D之间的关系是 　 　； 问题迁移：请合理利用上面的结论解决以下问题： 已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F． （1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数； （2）如图5中，，，探究∠M与∠E之间的数量关系； （3）如图5中，若，，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝　 　． 27．（8分）如图，已知直线l1∥l2，直线l和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，A是l1上的一点，B是l2上的一点． （1）如果P点在C、D之间运动时，如图（1）问∠PAC，∠APB，∠PBD之间有何关系，并说明理由． （2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），在图（2），图（3）中画出图形并探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？并选择其中一种情况说明理由． 28．（8分）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧． （1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝45°，则α＝　 　°； （2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F， ①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA； ②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年人教版数学七年级下册期末培优复习压轴题刷题卷 第5章 相交线与平行线 考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.38（较难） 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共0分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．（2分）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3 解：A、∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠5， 因为“同旁内角互补，两直线平行”， 所以本选项不能判断AB∥CD，符合题意； B、∵∠3＝∠4， ∴AB∥CD， 故本选项能判定AB∥CD，不符合题意； C、∵∠3+∠5＝180°， ∴AB∥CD， 故本选项能判定AB∥CD，不符合题意； D、∵∠2＝∠3， ∴AB∥CD， 故本选项能判定AB∥CD，不符合题意． 故选：A． 2．（2分）下列说法中不正确的个数为（　　） ①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直． ②有且只有一条直线垂直于已知直线． ③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． ⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：因为在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确； 因为过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确； 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确； 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．故④不正确； ⑤过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故⑤不正确． 所以不正确的有①②④⑤四个． 故选：C． 3．（2分）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝（　　） A．58° B．56° C．52° D．62° 解：如图， 又∵∠4＝30°，∠2＝98°， ∴∠3＝180°﹣∠2﹣∠4＝52°， ∵m∥n， ∴∠1＝∠3＝52°， 故选：C． 4．（2分）如图，已知直线a，b被直线c所截，下列属于同旁内角是（　　） A．∠1和∠4 B．∠3和∠5 C．∠2和∠3 D．∠1和∠3 解：A、∠1与∠4属于同位角，故A不符合题意； B、∠3与∠5属于对顶角，故B不符合题意； C、∠2与∠3属于内错角，故C不符合题意； D、∠1与∠3属于同旁内角，故D符合题意； 故选：D． 5．（2分）如图，AB∥EF，C点在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．下列结论： ①AC平分∠DCE；②AE∥CD；③∠1+∠B＝90°；④∠BDC＝2∠1． 其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵AB∥EF， ∴∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠1+∠BCD＝90°，∠ECA+∠BCF＝90°， ∵BC平分∠DCF， ∴∠BCD＝∠BCF， ∴∠1＝∠ECA， ∴AC平分∠DCE，①正确； ∵∠EAC＝∠ECA， ∴∠EAC＝∠1， ∴AE∥CD，②正确； ∵∠BCF＝∠B，∠BCD＝∠BCF， ∴∠B＝∠BCD， ∴∠1+∠B＝90°，③正确； ∵∠1＝∠ECA＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC+∠1， ∴∠BDC＝2∠1，④正确； 故选：D． 6．（2分）如图，AB＝6，点A到直线BC的距离为3，若在射线BC上只存在一个点P，记AP的长度为d，则d的值可以是（　　） A．7 B．2 C．5 D．6 解：根据题意可画图如下： ∵AB＝6，AD＝3， ∴d的最小值为3， 根据题意分类讨论： 当d＜3时，射线BC上不存在满足条件的点P； 当d＝3时，射线BC上存在一个点P； 当3＜d≤6时，射线BC上存在两个点P； 当d＞6时，射线BC上存在一个点P； 结合选项d＝7时，在射线BC上只存在一个点P， 故选：A． 7．（2分）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　） A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90° 解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N， 则∠CDE＝∠E+∠CNE， 即∠CNE＝y﹣z ∵CM∥AB，AB∥EF， ∴CM∥AB∥EF， ∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE， ∵∠BCD＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴x+y﹣z＝90°． 故选：B． 8．（2分）如图，下列条件中能判断BC∥EF的是（　　） ①∠1＝∠E ②∠2＝∠E ③∠B＝∠1 ④∠E+∠EGC＝180° A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 解：①∠1与∠E是同位角，可判定BC∥EF，故①正确， ②∠2与∠E是内错角，能判断BC∥EF，故②正确， ③∠B与∠1是同位角，可判定AB∥DE，故③错误， ④∠E与∠EGC是同旁内角，且∠E+∠EGC＝180°，可判定BC∥EF，故④正确． 故选：D． 9．（2分）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选B． 10．（2分）在△ABC中，BC＝6，AC＝3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 解：如图， ∵CP⊥AB， ∴CP≤AC， ∵AC＝3， ∴CP≤3， ∴PC≤3， ∴CP长的最大值为3， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上） 11．（2分）如图，OC是∠AOB的角平分线，直线l∥OB．若∠1＝50°，则∠2的大小为 　65°　． 解：∵l∥OB，∠1＝50°， ∴∠AOB＝180°﹣∠1＝130°， ∵OC是∠AOB的角平分线， ∴∠COB∠AOB＝65°， ∵l∥OB， ∴∠2＝∠COB＝65°， 故答案为：65°． 12．（2分）将一副三角板按如图放置，小明得到下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，则∠4＝∠C；那么其中正确的结论有 　①②④　． 解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°， ∴∠1＝60°， ∵∠E＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴AC∥DE，故①正确； ∵∠CAB＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确； ∵BC∥AD，∠B＝45°， ∴∠3＝∠B＝45°， ∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°， ∴∠2＝45°，故③错误； ∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°， ∴∠BAE＝30°， ∵∠E＝60°， ∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°， ∴∠4+∠B＝90°， ∵∠B＝45°， ∴∠4＝45°， ∵∠C＝45°， ∴∠4＝∠C，故④正确； 故答案为：①②④． 13．（2分）已知一对角的两边分别平行．一只角为x°，另一只角是2x°﹣30°．满足题意的x的值是 　30或70　． 解：∵两个角的两边分别平行， ∴两个角相等或互补， ∴x＝2x﹣30或x+2x﹣30＝180， 解得：x＝30或x＝70， 故答案为：30或70． 14．（2分）如图，ABCD为一长方形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A'，D'对应，若∠2＝2∠1，则∠BEF＝　108　°． 解：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠AEF， 又∵∠AEF＝∠FEA′，∠2＝2∠1， ∴∠AEF＝∠FEA′＝2∠1 又∵∠AEF+∠FEA′+∠1＝180°， ∴2∠1+2∠1+∠1＝180°， ∴∠1＝36°， ∴∠BEF＝∠FEA′+∠1＝2∠1+∠1＝3∠1＝108°． 故答案为：108． 15．（2分）如图，如果AB∥CD，则角α＝130°，γ＝20°，则β＝　70°　． 解：如图，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠AEF＝180°，∠D＝∠FED， ∴∠AEF＝180°﹣130°＝50°，∠FED＝20°， ∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝50°+20°＝70°． 即β＝70°． 故答案为：70°． 16．（2分）（2023春•河西区期末）如图，已知AD∥BC，BD 平分∠ABC，∠A＝112°，且BD⊥CD，则∠ADC＝　124°　． 解：∵AD∥BC，∠A＝112°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A＝68°， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠CBD∠ABC＝34°， ∵BD⊥CD， ∴∠C＝90°﹣∠CBD＝56°， ∴∠ADC＝180°﹣∠C＝124°． 故答案为：124°． 17．（2分）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠1＝50°，则∠FEH＝　15　°． 解：由折叠可知：∠BFE＝∠B'FE，∠AEF＝∠A'EF，∠A'EG＝∠HEG， ∵∠1+∠BFE+∠B'FE＝180°，∠1＝50°， ∴∠BFE＝65°， ∵AD∥BC， ∴∠AEF+∠BFE＝180°， ∴∠AEF＝115°， ∴∠A'EF＝115°， 过B'作B'M∥AD，则∠DGB'＝∠GB'M， ∵AD∥BC， ∴∠MB'F＝∠1， ∴∠1+∠DGB'＝∠GB'F＝90°， ∴∠DGB'＝90°﹣50°＝40°， ∴∠A'GE＝∠DGB'＝40°， ∵∠A'＝90°， ∴∠HEG＝∠A'EG＝90°﹣40°＝50°， ∴∠A'EH＝2×50°＝100°， ∴∠FEH＝∠A'EF﹣∠A'EH＝115°﹣100°＝15°． 故答案为：15． 18．（2分）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　（x+y）　度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　（）n﹣1（x+y）　度． 解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB， ∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°． 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD． ∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°． ∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°． （2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1， ∴． ． 以此类推：，，...，． 故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）． 19．（2分）将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的是 　①②③④　（填写序号）． 解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3，故①正确； ②∵∠1+∠2+∠2+∠3＝180°， ∴∠CAD+∠2＝180°，故②正确； ③∵∠2＝30°， ∴∠1＝∠E＝60°， ∴AC∥DE，故③正确； ④∵∠2＝45°， ∴∠3＝∠B＝45°， ∴BC∥AD，故④正确． 故答案为：①②③④． 20．（2分）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 　30或120　． 解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°， （1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P， ①DE在MN上方时， ∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC， ∴AP∥DF， ∴∠FDM＝∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°， ∴t＝30， ②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°， ∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC， ∴AP∥DF， ∴∠FDP＝∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°， ∴t＝210（不符合题意，舍去）， （2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I， ①DF在MN上方时，BC∥DF，如图， 根据题意得：∠FDN＝180°﹣2t°， ∵DF∥BC，AC⊥BC， ∴CI⊥DF， ∴∠FDN+∠MIC＝90°， 即180°﹣2t°+t°+30°＝90°， ∴t＝120， ∴2t＝240°＞180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去； ②DF在MN下方时，如图， 根据题意可知：∠FDN＝2t°﹣180°， ∵DF∥BC， ∴∠MIC＝∠NDF， ∴∠NDF＝∠AQI＝t+30°﹣90°＝t﹣60°， 即2t°﹣180°＝t°﹣60°， ∴t＝120， 综上所述：所有满足条件的t的值为30或120． 故答案为：30或120． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（6分）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°． （1）求证：AB∥CD； （2）求∠C的度数． （1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC， ∴AE∥GF， ∴∠2＝∠A， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠A， ∴AB∥CD； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠D+∠CBD+∠3＝180°， ∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°， ∴∠3＝25°， ∵AB∥CD， ∴∠C＝∠3＝25°． 22．（6分）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当∠EOF＝90°，∠ODC＝30°时，人躺着最舒服，求此时扶手AB与支架OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数． 解：∵扶手AB与底座CD都平行于地面， ∴AB∥CD， ∴∠ODC＝∠BOD＝30°， 又∵∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝60°， ∵DM∥OE， ∴∠AND＝∠AOE＝60°， ∴∠ANM＝180°﹣∠AND＝120°． 23．（8分）如图，已知AC∥DE，∠D+∠BAC＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）连接CE，恰好满足CE平分∠ACD．若AB⊥BC，∠CED＝35°，求∠ACB的度数． （1）证明：∵AC∥DE， ∴∠D+∠ACD＝180°， 又∵∠D+∠BAC＝180°， ∴∠ACD＝∠BAC， ∴AB∥CD． （2）解：连接CE， ∵AC∥DE，∠CED＝35°， ∴∠ACE＝∠CED＝35°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACD＝2∠ACE＝70°， 由（1）知：AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝70°， 又∵AB⊥BC， ∴∠B＝90°， ∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°． 24．（8分）【阅读学习】阅读下面的解题过程： （1）如图①，AB∥CD，过点F作FP∥AB，由平行线的传递性可得FP∥CD，利用平行线的性质，我们不难发现：∠EFG与∠AEF、∠CGF之间的数量关系是 　∠EFG＝∠AEF+∠CGF　；∠EFG与∠BEF、∠DGF之间的数量关系是 　∠EFG+∠BEF+∠DGF＝360°　． 【知识运用】利用上面的结论解决下列问题： （2）如图②，AB∥CD，点M是∠BEF和∠DGF的平分线的交点，∠EFG＝130°，则∠EMG的度数是 　115°　． （3）如图③，AB∥CD，GM平分∠DGF，EM⊥GM，EF平分∠AEM，若∠EFG比∠DGF大15o，求∠DGF的度数． 解：（1）如图①，作FP∥AB， ∵AB∥CD， ∴FP∥CD， ∴∠PFE＝∠AEF，∠PFG＝∠CGF， ∴∠PFE+∠PFG＝∠AEF+∠CGF， 即∠EFG＝∠AEF+∠CGF； ∵AB∥CD∥FP， ∴∠PFE+∠BEF＝180°，∠PFG+∠DGF＝180°， ∴∠PFE+∠BEF+∠PFG+∠DGF＝360°， 即∠EFG+∠BEF+∠DGF＝360°． 故答案为：∠EFG＝∠AEF+∠CGF，∠EFG+∠BEF+∠DGF＝360°； （2）如图②，AB∥CD， 由（1）得∠EFG+∠BEF+∠DGF＝360°， ∵∠EFG＝130°， ∴∠BEF+∠DGF＝360°﹣130°＝230°， 由（1）得∠EMG＝∠BEM+∠DGM， ∵EM，GM分别平分∠BEF和∠DGF， ∴∠EMG∠BEF∠DGF230°＝115°． 故答案为：115°； （3）如图③，AB∥CD， 由（1）得∠M＝∠DGM+∠BEM， 设∠DGM＝x，则∠DGF＝2x， ∵EM⊥GM， ∴∠BEM＝90°﹣x， ∴∠AEM＝180°﹣（90°﹣x）＝90°+x， ∵EF平分∠AEM， ∴∠AEF∠AEM＝45°x， 由（1）得∠EFG＝∠AEF+∠CGF， ∵∠CGF＝180°﹣2x， ∴∠EFG＝45°x+（180°﹣2x）＝225°x， ∵∠EFG比∠DGF大15o， ∴225°x﹣2x＝15°， 解得x＝60°， ∴∠DGF＝2×60°＝120°． 25．（8分）已知AB∥CD． （1）填空：如图1所示，则∠APC，∠A，∠C之间的数量关系为 　∠APC+∠A+∠C＝360°　； （2）如图2所示，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系并说明理由； （3）填空：如图3，设∠ABM＝α，∠DNM＝β，∠CDN＝γ，请直接写出∠BMN的大小：　180°﹣α+β﹣γ　；（用含α，β，γ的式子表示）． （4）如图4，请直接写出x的度数． 解：（1）∠APC+∠A+∠C＝360°； 过点P作PQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，如图2所示： ∴∠APQ＝∠PAM， ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠APQ＝∠PCN， ∴∠APQ+∠CPQ+∠PAB+∠PCD＝180°+180°＝360°， ∴∠APC+∠A+∠C＝360°． 故答案为：∠APC+∠A+∠C＝360°； （2）∠APC＝∠A+∠C．理由如下： 过点P作PQ∥AB． ∴∠APQ＝∠A， ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行）， ∴∠CPQ＝∠C， ∴∠APO+∠CPQ＝∠A+∠C， 即∠APC＝∠A+∠C； （3）如图3，过M作MF∥AB，过N作NE∥AB， 则FM∥EN， ∵AB∥CD， ∴AB∥FM∥NE∥CD， ∴∠EMD＝∠D，∠FMN＝∠MNE， ∵∠DNM＝β，∠CDN＝γ， ∴∠FMN＝∠MNE＝∠MND﹣∠END＝∠MND﹣∠CDN＝β﹣γ， ∵AB∥MF， ∴∠BMF＝180°﹣∠ABM＝180°﹣α， ∴∠BMN＝∠BMF+∠FMN＝180°﹣α+β﹣γ； 故答案为：180°﹣α+β﹣γ； （4）由（3）知，x+48°＝60°+32°+30°， 解得x＝74°． 26．（8分）问题情境1：如图1，AB∥CD，P是AB、CD内部一点，P在BD的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，探究∠B，∠P，∠D之间的关系，小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间的关系是 　∠B+∠BPD+∠D＝360°　； 问题情境2：如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，我们称这种模型为“猪脚模型”，仿照问题1的思路可得∠B，∠P，∠D之间的关系是 　∠BPD＝∠B+∠D　； 问题迁移：请合理利用上面的结论解决以下问题： 已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F． （1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数； （2）如图5中，，，探究∠M与∠E之间的数量关系； （3）如图5中，若，，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝　　． 解：问题情境1： 如图2，∠B+∠BPD+∠D＝360°，理由是： 过P作PE∥AB， ∵AB∥CD，PE∥AB， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠B+∠BPE＝180°，∠D+∠DPE＝180°， ∴∠B+∠BPE+∠D+∠DPE＝360°， 即∠B+∠BPD+∠D＝360°， 故答案为：∠B+∠BPD+∠D＝360°； 问题情境2： 如图3，∠P＝∠B+∠D，理由是： 过点P作EP∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EP， ∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE， ∴∠BPD＝∠B+∠D， 即∠P＝∠B+∠D； 故答案为：∠BPD＝∠B+∠D； 问题迁移： （1）如图4，∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线， ∴∠EBF∠ABE，∠EDF∠CDE， 由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°， ∵∠E＝80°， ∴∠ABE+∠CDE＝280°， ∴∠EBF+∠EDF＝140°， ∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°； （2）如图5，∠E+∠M＝60°，理由是： 设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y， 由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°， ∴6x+6y+∠E＝360°， ∠E＝60﹣x﹣y， ∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°， ∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E， ∴∠M＝x+y， ∴∠E+∠M＝60°； （3）如图5，设∠ABM＝x，∠CDM＝y， 则∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny， 由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°， ∴2nx+2ny+∠E＝360°， ∴x+y， ∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°， ∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E， ∴∠M； 故答案为：∠M． 27．（8分）如图，已知直线l1∥l2，直线l和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，A是l1上的一点，B是l2上的一点． （1）如果P点在C、D之间运动时，如图（1）问∠PAC，∠APB，∠PBD之间有何关系，并说明理由． （2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），在图（2），图（3）中画出图形并探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？并选择其中一种情况说明理由． 解：（1）如图1，当P点在C、D之间运动时，∠APB＝∠PAC+∠PBD． 理由如下：过点P作PE∥l1， ∵l1∥l2 ∴PE∥l2∥l1， ∴∠PAC＝∠1，∠PBD＝∠2， ∴∠APB＝∠1+∠2＝∠PAC+∠PBD； （2）如图2，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC＝∠PBD+∠APB． 理由如下：∵l1∥l2， ∴∠PED＝∠PAC， ∵∠PED＝∠PBD+∠APB， ∴∠PAC＝∠PBD+∠APB． 如图3，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD＝∠PAC+∠APB． 理由如下：∵l1∥l2， ∴∠PEC＝∠PBD， ∵∠PEC＝∠PAC+∠APB， ∴∠PBD＝∠PAC+∠APB． 28．（8分）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧． （1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝45°，则α＝　45　°； （2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F， ①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA； ②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系． 解：（1）如图，过点E作EF∥MN， ∴∠DEF＝∠NDE＝45°， ∵∠CED＝90°， ∴∠FEC＝45°， ∵MN∥OB， ∴EF∥OB， ∴∠BCE＝∠FCE＝45°， ∵AO∥CE， ∴∠AOB＝∠ECB＝45°， 则α＝45°， 故答案为：45； （2）①∵DF∥OA， ∴∠DFC＝∠AOB＝α＝60°， ∵MN∥OB， ∴∠MDF＝∠DFC， ∵DF平分∠MDC， ∴∠CDF＝∠MDF＝60°， 在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°， ∴∠CDF＝∠DCE， ∴CE∥DF， ∵DF∥OA， ∴CE∥OA； ②∵当CE∥OA保持不变时，总有∠ECB＝α， 在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°， ∴∠DCB＝60°+α， ∵MN∥OB， ∴∠MDC＝∠DCB＝60°+α，且∠DFC＝∠MDF， ∵DF平分∠MDC， ∴， ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$