专题04 因式分解期末复习题型【八大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年七年级数学下册期末重点复习攻略（浙教版）

专题04 因式分解期末复习之八大题型 目录 【题型一 判断是否是因式分解】 1 【题型二 已知因式分解的结果求参数】 3 【题型三 找公因式】 4 【题型四 判断能否用公因式法分解因式】 6 【题型五 综合提公因式和公式法分解因式】 7 【题型六 十字相乘法】 11 【题型七 分组分解法】 15 【题型八 因式分解法的应用】 19 【过关检测卷】 23 【期末题型】 【题型一 判断是否是因式分解】 例题：（23-24八年级上·河南驻马店·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东日照·期末）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列由左边到右边的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【题型二 已知因式分解的结果求参数】 例题：（22-23八年级上·辽宁大连·期末）若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B． C．5 D．6 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东济宁·期中）已知，多项式可因式分解为，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．7 2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知二次三项式可以因式分解为，则的值为 ． 3．（22-23八年级下·四川·期末）若多项式分解因式后的结果为，则的值为 ． 【题型三 找公因式】 例题：（22-23八年级下·河北保定·期末）用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是 ． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·湖南娄底·期末）将整式分解因式，则提取的公因式为 ． 2．（22-23八年级上·山东东营·期末）多项式的公因式是 ． 3．（22-23八年级上·北京·期末）在多项式中，各项的公因式是 ． 【题型四 判断能否用公因式法分解因式】 例题：（22-23七年级下·湖南益阳·期末）下列各式中能用公式法分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型五 综合提公因式和公式法分解因式】 例题：（23-24八年级上·四川遂宁·期末）分解因式： (1)； (2) ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东烟台·期末）因式分解： (1) (2) 2．（23-24八年级上·湖北随州·期末）因式分解： (1)； (2)． 3．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）在有理数范围内因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型六 十字相乘法】 例题：（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·湖南岳阳·期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 2．（22-23八年级下·四川达州·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式． 分解步骤： 1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角； 2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角； 3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项； 4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法． 例如：        分析：    观察得出：两个因式分别为与 解：原式 ③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）______； ②（十字相乘法）______； (2)已知：a、b、c为的三条边，，判断的形状． 【题型七 分组分解法】 例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 2．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【题型八 因式分解法的应用】 例题：（22-23七年级下·山东聊城·期末）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)若三边分别为a，b，c且满足，试判断的形状，并说明理由． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）[阅读材料]分解因式：． 解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)请完成下列因式分解： __________；__________． (2)请你用“试根法”分解因式：； (3)①若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求代数式的值； ②若多项式含有因式和，求的值． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． 定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知是“完美数”，请将它写成（a，b是整数）的形式： ； （2）类似地，一个整式表示成（，是整式）的形式，则称这个整式为“完美式”．若可配成（m，n为常数），则的值为 ； 探究问题：已知是“完美式”，若，求的值． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）把分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖北随州·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·云南文山·期末）已知，，则的值是（    ） A．14 B．36 C．48 D．64 4．（22-23七年级下·浙江金华·期末）已知，这个整式可以因式分解为．则a、b的正确的值是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·山东德州·期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，2，，a，分别对应下列六个字：数，爱，我，化，物，学．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱化 B．爱物化 C．我爱数学 D．物化数学 二、填空题 6．（23-24八年级上·山东烟台·期末）分解因式： ． 7．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知，则 ． 8．（23-24八年级上·山东日照·期末）（如图1）从边长为的正方形剪出一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．上述过程所揭示的因式分解的等式是 ． 9．（23-24八年级上·河南新乡·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式因式分解的结果是若取，则各个因式的值：于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式取时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可） 10．（23-24八年级上·河南濮阳·期末）如图，分解多项式，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．这样，我们可以得到．利用这种方法，把多项式分解因式为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级上·山东临沂·期末）因式分解： (1)； (2)． 12．（23-24八年级上·山东滨州·期末）分解因式： (1)； (2)． 13．（23-24八年级上·贵州黔西·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将代入，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：______； (2)因式分解：． 14．（23-24八年级上·山东烟台·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，原式 请根据上述材料将下列多项式进行因式分解： (1) (2) 15．（23-24八年级上·山东济宁·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ，解得：，， 另一个因式为，的值为． 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若，则______，______； (2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值． 16．（23-24八年级上·四川乐山·期末）我们把二次三项式恒等变形为（h、k为常数）的形式叫做配方．巧妙地运用配方法不仅可以将一个的多项式进行因式分解，也能求一个二次三项式的最值，还能结合非负数的意义来解决一些实际问题．例如，分解因式：． 解：． 请用配方法解答下列问题： (1)分解因式：①，②； (2)求多项式的最小值； (3)已知a、b、c是的三边长，且满足．判断的形状． 17．（23-24八年级上·河南南阳·期末）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得： ．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)尝试填空： ； (2)解决问题：因式分解：； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 18．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）在因式分解的学习过程中，我们知道可以利用提公因式法或公式法将部分多项式分解因式．下面以为例，介绍一种新的因式分解法——试根法． ①观察发现，时，，说明是方程的一个解（或“根”）．由此推断分解后有一个因式是． ②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，另一个因式只能是一次式且一次项系数为7，所以设另一个因式是． ③于是． 根据对应项系数相等，得，则． ④所以． 以上因式分解的方法叫“试根法”． 利用“试根法”，解决下面的问题： (1)因式分解：． 解：①把代入该式，得．所以该多项式分解后有一个因式是． ②因为原多项式最高次项系数为2，所以设另一个因式是． 请继续完成下列步骤： ③填空：______，______； ④观察的各项系数特点，利用“试根法”对进行因式分解； ⑤多项式因式分解的结果为______． (2)利用“试根法”因式分解：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 因式分解期末复习之八大题型 目录 【题型一 判断是否是因式分解】 1 【题型二 已知因式分解的结果求参数】 3 【题型三 找公因式】 4 【题型四 判断能否用公因式法分解因式】 6 【题型五 综合提公因式和公式法分解因式】 7 【题型六 十字相乘法】 11 【题型七 分组分解法】 15 【题型八 因式分解法的应用】 19 【过关检测卷】 23 【期末题型】 【题型一 判断是否是因式分解】 例题：（23-24八年级上·河南驻马店·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，根据定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、等式的右边不是乘积的形式，不符合题意； D、等式右边不是整式的形式，不符合题意； 故选B． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东日照·期末）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的含义，根据分解因式的概念求解即可．解答本题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式转化为整式乘积的形式． 【详解】解A、是整式的乘法，故A不符合题意； B、的右边不是整式，故B不符合题意； C、，符合因式分解的定义，故C符合题意； D、的右边不是整式的积的形式，故D不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列由左边到右边的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义．多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可． 【详解】解：A、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意； B、右边括号内不是整式，是分式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意； C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意； D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，根据因式分解的定义逐项作出判断即可． 【详解】解：A．属于单项式乘以多项式，故本选项不符合题意； B．没有化为整式的积的形式，不是因式分解，，故本选项不符合题意； C．提取公式将原式化为整式的积的形式，是因式分解，故本选项符合题意； D．没有化为整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C． 【题型二 已知因式分解的结果求参数】 例题：（22-23八年级上·辽宁大连·期末）若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】由整式乘法与因式分解互逆，则根据多项式乘多项式即可求得b、c的值，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，以及求代数式的值，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东济宁·期中）已知，多项式可因式分解为，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．7 【答案】B 【分析】分解因式结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 则， 故选：B． 【点睛】此题考查了因式分解和多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知二次三项式可以因式分解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据整式的乘法求得，可得的值，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了整式的乘法以及有理数的乘法，解题的关键是正确求得的值． 3．（22-23八年级下·四川·期末）若多项式分解因式后的结果为，则的值为 ． 【答案】 【分析】对展开得到m，n的值，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分解因式与整式乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【题型三 找公因式】 例题：（22-23八年级下·河北保定·期末）用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式．直接利用公因式的定义找出公因式，进而提取分解因式即可． 【详解】解：， ∴应提取的公因式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查提取公因式法分解因式．确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“－”，则公因式的符号一般为负．正确找出公因式是解题的关键． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·湖南娄底·期末）将整式分解因式，则提取的公因式为 ． 【答案】 【分析】根据确定公因式的方法即可解答． 【详解】解：整式的公因式为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了因式分解——提公因式法，确定公因式的一般步骤为：（1）如果多项式的第一项系数是负数时，应把公因式的符号“”提取；（2）取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数；（3）把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式． 2．（22-23八年级上·山东东营·期末）多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】多项式找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 【详解】解：多项式中， 各项系数的最大公约数是6， 各项都含有的相同字母是a、b，字母a的指数最低是1，字母b的指数最低是1， 所以它的公因式是. 故答案为：． 【点睛】本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键． 3．（22-23八年级上·北京·期末）在多项式中，各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】各项都含有的因式称为公因式，根据定义解答． 【详解】解：多项式中，各项的公因式是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了公因式的定义，正确掌握确定公因式的方法：取相同数字的最大公约数，取相同字母的最小指数，是解题的关键． 【题型四 判断能否用公因式法分解因式】 例题：（22-23七年级下·湖南益阳·期末）下列各式中能用公式法分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式以及平方差公式的特征，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，不是完全平方公式，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，不是完全平方公式也不符和平方差公式，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，是完全平方公式，故该选项正确，符合题意；     D. ，不能用完全平方公式或平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键． 利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可． 【详解】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 根据平方差公式分析判断即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据完全平方公式进行判断，即可． 【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式； ②； ③，不能用完全平方公式分解因式； ④； ⑤．， 所以能用完全平方公式分解因式的有3个． 故选：C 【点睛】本题考查了因式分解——运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：；完全平方公式：． 【题型五 综合提公因式和公式法分解因式】 例题：（23-24八年级上·四川遂宁·期末）分解因式： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用， （1）利用平方差公式计算即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解． 【详解】（1）； （2） ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东烟台·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用公式法、提公因式法及十字相乘法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式及平方差公式因式分解即可； （2）利用提公因式及十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 2．（23-24八年级上·湖北随州·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式和公式法因式分解成为解答本题的关键． （1）直接提取公因式即可解答； （2）先变形成完全平方公式的形式，然后再运用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 3．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）在有理数范围内因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了因式分解的方法， （1）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，然后利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）利用十字相乘法分解因式即可； （4）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【题型六 十字相乘法】 例题：（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ； （3）解： ， ． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·湖南岳阳·期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 【答案】(1) (2)图见解析，，，，16 【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可； （2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可． 【详解】（1）解：，常数项， ， ， 故答案为：； （2）解：，常数项， 画“十字图”如下：   ，，，16． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键． 2．（22-23八年级下·四川达州·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式． 分解步骤： 1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角； 2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角； 3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项； 4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法． 例如：        分析：    观察得出：两个因式分别为与 解：原式 ③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）______； ②（十字相乘法）______； (2)已知：a、b、c为的三条边，，判断的形状． 【答案】(1)①；② (2)是直角三角形 【分析】（1）①把原式分组成，然后提公因式法分解因式即可；②直接利用十字相乘法分解即可； （2）把原式进行因式分解得到，进而求出，再利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． 【题型七 分组分解法】 例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组分解是解题关键． （1）首先将前两项组合提取公因式，后两项组合提取公因式，然后提取新的公因式即可； （2）首先分别将与组合，利用完全平方公式分解因式，然后提取新的公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，巧妙的运用分组分解因式解答问题． （1）可先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式因式分解； （2）的公因式是，再次提公因式后代入数值计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴， ∴ 2．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的分组分解方法，等边三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）仿照例题，先分组，再利用提取公因式法分解即可； （2）①先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； ②先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； （3）移项后分解因式，可得出，则可得出答案． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由如下： ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴这个三角形是等边三角形． 【题型八 因式分解法的应用】 例题：（22-23七年级下·山东聊城·期末）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)若三边分别为a，b，c且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）前三项先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式二次分解； （2）将原式的左边分解因式，可得，进而可得，即可作出判断． 【详解】（1）解： ； （2）为等腰三角形．理由如下： ∵ ∴， ∴， ∵a，b，c为三边， ∴，即， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，正确理解题意、掌握分组分解法是关键． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）[阅读材料]分解因式：． 解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)请完成下列因式分解： __________；__________． (2)请你用“试根法”分解因式：； (3)①若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求代数式的值； ②若多项式含有因式和，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；②100 【分析】（1）将展开得到，对应相等即可得到的值，从而得到答案，同理即可求出因式分解的答案； （2）当时，，设，展开等式右边的括号之后，对应相等，即可得到的值，从而得到答案； （3）①根据题意得，时，，把代入可得，由，进行计算即可得到答案；②根据题意得，和时，把和代入得关于的二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数）， 则， ， ， 把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式， 可设（为常数）， 则， ， ， 故答案为：，； （2）解：当时，， 设， 则， ， ， ∴， ； （3）解：①根据题意得，时，， 把代入，得， ∴， ∴； ②根据题意得，和时， 把和代入得， ， 整理得：， 解得：， ． 【点睛】本题考查了因式分解，解二元一次方程组，解本题的关键是理解试根法进行因式分解． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． 定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知是“完美数”，请将它写成（a，b是整数）的形式： ； （2）类似地，一个整式表示成（，是整式）的形式，则称这个整式为“完美式”．若可配成（m，n为常数），则的值为 ； 探究问题：已知是“完美式”，若，求的值． 【答案】（1）；（2）；【探究问题】 【分析】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）把29分为两个整数的平方即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出的值； 探究问题：已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：（1）根据题意得， 故答案为：； （2） ， ∴， ∴， 故答案为：； 探究问题： ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴，， ∴， ∴． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）把分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据即可得出答案，找出公因式是解此题的关键． 【详解】解：， 把分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 2．（23-24八年级上·湖北随州·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解，根据因式分解的方法逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，故A正确，符合题意； B．无法分解因式，故B错误，不符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故选：A． 3．（22-23八年级下·云南文山·期末）已知，，则的值是（    ） A．14 B．36 C．48 D．64 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．提公因式分解得到，再整体代入数据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 4．（22-23七年级下·浙江金华·期末）已知，这个整式可以因式分解为．则a、b的正确的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，掌握运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，这是解题关键．先利用十字相乘法去掉括号，再根据等式的性质得． 【详解】解：， ∴ 解得：． 故选：B 5．（23-24八年级上·山东德州·期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，2，，a，分别对应下列六个字：数，爱，我，化，物，学．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱化 B．爱物化 C．我爱数学 D．物化数学 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，根据因式对应信息，合理搭配信息即可，分解因式是关键． 题意给出了因式对应的含义，需要对多项式进行因式分解，然后一一对应查找替代即可呈现密码信息． 【详解】解：∵ ， 分别对应4个汉字：我，爱，数，学． 则呈现的密码信息可能是：我爱数学． 故选：C． 二、填空题 6．（23-24八年级上·山东烟台·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了因式分解，把原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·山东日照·期末）（如图1）从边长为的正方形剪出一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．上述过程所揭示的因式分解的等式是 ．         【答案】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可． 【详解】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·河南新乡·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式因式分解的结果是若取，则各个因式的值：于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式取时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可） 【答案】或或或或或．（任选其一即可） 【分析】此题考查的是因式分解的应用，掌握利用提公因式法和平方差公式因式分解是解决此题的关键．先将其因式分解，然后将x和y的值分别代入各个因式中即可求出结论． 【详解】解： ， 当时， ， ， ∴用上述方法产生的密码是：或或或或或． 故答案为：或或或或或．（任选其一即可）． 10．（23-24八年级上·河南濮阳·期末）如图，分解多项式，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．这样，我们可以得到．利用这种方法，把多项式分解因式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法，根据题意可知、是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出、的值，是解题关键．据此求解即可． 【详解】因为，， 所以． 故答案为： 三、解答题 11．（23-24八年级上·山东临沂·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． （1）先提取公因式，再用完全平方公式分解； （2）先提取公因式，再用平方差公式分解． 【详解】（1）              （2）             12．（23-24八年级上·山东滨州·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了分解因式，熟记完全平方公式和平方差公式是解答的关键． （1）原式运用平方差公式进行因式分解即可； （2）原式运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．（23-24八年级上·贵州黔西·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将代入，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：______； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解运用公式法：灵活运用平方差公式、完全平方公式和整体思想是解决问题的关键． （1）把原式看作关于的二次三项式，然后利用完全平方公式分解因式； （2）把原式看作关于的二次三项式，然后利用完全平方公式分解因式． 【详解】（1）将“”看成整体，令， 则原式． 再将代入，得原式； 故答案为：； （2）将“”看成整体，令， 则原式． 再将代入，得原式． 14．（23-24八年级上·山东烟台·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，原式 请根据上述材料将下列多项式进行因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式及换元法进行因式分解： （1）设，参照材料中的方法进行因式分解； （2）设，参照材料中的方法进行因式分解． 【详解】（1）解：设， 原式 ； （2）解：设， 原式 ． 15．（23-24八年级上·山东济宁·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ，解得：，， 另一个因式为，的值为． 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若，则______，______； (2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)， (2)， (3)另一个因式是，的值是2 【分析】（1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解， （2）设另一个因式为：，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， 本题考查了，根据因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，， （2）解：设另一个因式为：， 则， ，解得：，， 另一个因式是， 故答案为：，， （3）解：设另一个因式是，则 则，解得：或， 是正整数， ，另一个因式是；（不符合题意舍去）， 另一个因式是，a的值是2． 16．（23-24八年级上·四川乐山·期末）我们把二次三项式恒等变形为（h、k为常数）的形式叫做配方．巧妙地运用配方法不仅可以将一个的多项式进行因式分解，也能求一个二次三项式的最值，还能结合非负数的意义来解决一些实际问题．例如，分解因式：． 解：． 请用配方法解答下列问题： (1)分解因式：①，②； (2)求多项式的最小值； (3)已知a、b、c是的三边长，且满足．判断的形状． 【答案】(1)①；② (2) (3)等边三角形 【分析】本题主要考查因式分解的应用，关键是配方法的灵活运用． （1）根据题意进行分解即可； （2）分解因式再根据平方的非负性即可得到答案； （3）分解因式进行判定． 【详解】（1）解：①原式 ； ②原式 ； （2）解：原式 ， ， 故多项式的最小值为； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 即的形状为等边三角形． 17．（23-24八年级上·河南南阳·期末）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得： ．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)尝试填空： ； (2)解决问题：因式分解：； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这个三角形为等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定，正确理解题意掌握分组法进行因式分解是解题的关键． （1）把和看做一组，分别提取公因数2，公因式y，得到，再提取公因式即可得到答案； （2）把和看做一组，分别提取公因数c和用平方差公式分解因式，得到，再提取公因式即可得到答案； （3）把已知条件式左边利用分组法结合完全平方公式进行分解因式推出，进而根据非负数的性质推出，由此可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：这个三角形为等边三角形，理由如下： ， ， ， ，， ，， ， 这个三角形为等边三角形． 18．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）在因式分解的学习过程中，我们知道可以利用提公因式法或公式法将部分多项式分解因式．下面以为例，介绍一种新的因式分解法——试根法． ①观察发现，时，，说明是方程的一个解（或“根”）．由此推断分解后有一个因式是． ②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，另一个因式只能是一次式且一次项系数为7，所以设另一个因式是． ③于是． 根据对应项系数相等，得，则． ④所以． 以上因式分解的方法叫“试根法”． 利用“试根法”，解决下面的问题： (1)因式分解：． 解：①把代入该式，得．所以该多项式分解后有一个因式是． ②因为原多项式最高次项系数为2，所以设另一个因式是． 请继续完成下列步骤： ③填空：______，______； ④观察的各项系数特点，利用“试根法”对进行因式分解； ⑤多项式因式分解的结果为______． (2)利用“试根法”因式分解：． 【答案】(1)（1）③，；④；⑤ (2) 【分析】本题主要考查因式分解的拓展，解题的关键在于准确理解题意找到试根法的运算技巧. （1）③把两个因式相乘，利用根据对应项系数相等建立方程求解即可；④通过试根确定两个因式为和，再把两个因式相乘，利用根据对应项系数相等建立方程求解即可；⑤直接利用前面的结论把三个因式写成积的形式即可； （2）先用试根法分解为，再用试根法把分解为，最后综合在一起即可． 【详解】（1）解：③由题意，得， 根据对应项系数相等，得， 解得：， 故答案为：； ④当时，，所以该多项式分解后有一个因式是，设另一个因式是． 于是， 根据对应项系数相等，得， 解得：， ∴； ⑤， 故答案为：； （2）解：当时，，所以该多项式分解后有一个因式是，设另一个因式是． 于是， 根据对应项系数相等，得， 解得：， 又当时，，所以该多项式分解后有一个因式是，设另一个因式是． 于是， 根据对应项系数相等，得， 解得：， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$