专题03 平行四边形期末复习题型【十大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年八年级数学下册期末重点复习攻略（浙教版）

专题03 平行四边形期末复习之十大题型 目录 【题型一 多边形的内角和与外角和】 1 【题型二 中心对称图形的识别】 3 【题型三 画已知图形关于某点对称的图形】 4 【题型四 利用平行四边形的性质求解】 9 【题型五 判断能否构成平行四边形】 12 【题型六 添一个条件成为平行四边形】 15 【题型七 平行四边形中的折叠问题】 17 【题型八 利用平行四边形的性质作图】 22 【题型九 利用平行四边形的性质与判定综合】 26 【题型十 三角形的中位线与平行四边形的综合问题】 31 【过关检测卷】 36 【期末题型】 【题型一 多边形的内角和与外角和】 例题：（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）一个多边形内角和是，则这个多边形的边数为（      ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（    ）边形 A．六 B．五 C．四 D．三 2．（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 3．（22-23八年级下·四川成都·期末）足球有12个正五边形，20个正六边形，一共32个面．通常由黑白两种颜色组成．之所以如此设计，是因为用正六边形的两个内角和正工边形的一个内角加起来略微小于，这样由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙的大小为 ​． 【题型二 中心对称图形的识别】 例题：（22-23九年级上·浙江台州·期末）以下是“双减”背景下学校社团拓展课程的相关图片，其中是中心对称图形的是（    ） A．  剪纸 B．  琵琶 C．  钢笔 D．  乒乓球拍 【变式训练】 1．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列图案中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·云南昆明·期末）数学美是简洁性、对称性、统一性和奇异性的有机结合．下列曲线中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【题型三 画已知图形关于某点对称的图形】 例题：（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，点是另一格点，下列作图仅用无刻度直尺在网格中完成． (1)画出关于点的中心对称图形． (2)将绕点逆时针旋转得，画出； (3)直接写出的形状和面积． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·辽宁丹东·期末）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．    (1)将平移得到，且的坐标是，画出； (2)将绕点A逆时针旋转得到，画出； (3)小娟发现绕点P旋转也可以得到，请直接写出点P的坐标． 2．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将绕点旋转，点的对应点为，直接在图中画出旋转后的△； (2)平移，点的对应点的坐标为，点的对应点为，直接在图中画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到； ①旋转中心的坐标为 （直接填空）； ②若点是边上一动点，旋转后点的对应点为，则的最小值为 （直接填空）． 【题型四 利用平行四边形的性质求解】 例题：（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，平行四边形中，和的平分线交于边上一点，且，，则的长是 ． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·山东威海·期末）如图，平行四边形中，、相交于点，交边于，连接，若，，则 °． 2．（23-24八年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，，的坐标分别是，，，要使四边形、、、为平行四边形，则顶点的坐标是 ． 3．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，E是的中点，已知，，，，点P是线段上的一个动点，当的长为 时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形． 【题型五 判断能否构成平行四边形】 例题：（23-24八年级上·山东菏泽·期末）下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（    ） A． B． C． D． 【题型六 添一个条件成为平行四边形】 例题：（23-24八年级上·福建福州·期末）在四边形中，．要使四边形是平行四边形，则的长为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图所示，在中，A、C分别为边、上的点，请在目前图形中添加一个条件 ，使四边形是平行四边形．    2．（22-23八年级下·湖南郴州·期末）如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了 秒． 【题型七 平行四边形中的折叠问题】 例题：（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，E是边上一点，将沿AE折叠至处，与交于点F，若，，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，将沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为 ．    2．（22-23八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点A、D分别落在，处，且经过点B，交BC于点G，连接，若平分，，，则的度数是 ．    3．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为EF，连接CF． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求线段的长． 【题型八 利用平行四边形的性质作图】 例题：（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形为平行四边形，点、均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图： (1)在图①中，点、、为格点，在边上找一点，连结，使得． (2)在图②中，点、为格点，点为边上任意一点，连结，在上找一点，使得.（保留作图痕迹） (3)在图③中，点、为为网格线上的点，点为边上任意一点连结，在边上找一点，连结，使得．（保留作图痕迹） 【变式训练】 1．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，四边形是平行四边形，连接．    (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，，若，，，求四边形的面积． 2．（22-23八年级下·重庆黔江·期末）如图，在中，平分交延长线于点．    (1)请用尺规作图法作于（只保留作图痕迹）； (2)证明． 3．（22-23八年级下·江西吉安·期末）例在中，点E为AB上一点，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）    (1)如图1，E为边上一点，，画出∠D的角平分线； (2)如图2，E为边上一点，，画出∠B的角平分线． 【题型九 利用平行四边形的性质与判定综合】 例题：（22-23八年级下·四川·期末）如图，在四边形中，，，为边上一点，连接，相交于点F，且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)取中点，连接，若，，，求四边形的面积． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）如图1，在四边形中，，，，点E是的中点，点F是内一点，连接，，，．    (1)若，求的度数； (2)探索，和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，利用（2）中结论，已知，求的长． 2．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)连接，交于点O，若，，直接写出的长度． 【题型十 三角形的中位线与平行四边形的综合问题】 例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，，于点，．若，分别为，的中点，则的长为 ． 2．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则 ．    3．（23-24八年级上·山东泰安·期末）已知，是的中线，过点作． (1)如图1，交于点，连接．求证：四边形是平行四边形； (2)是线段上一点（不与点A，重合），交于点，交于点，连接．如图2，四边形是平行四边形吗？请说明理由． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（22-23九年级上·四川成都·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C． D．   2．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，D，E是中的中点，F为的中点，连接并延长交延长线于G，若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，在▱中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点作射线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·山东烟台·期末）在中，对角线相交于点分别是、的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论是（      ） A．①③ B．①② C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 6．（23-24八年级上·广东珠海·期末）若正n边形的每个内角的度数均为．则n的值是 ． 7．（23-24八年级上·重庆潼南·期末）如图，一个正方形和一个正五边形各有一边，在直线上，且只有一个公共顶点，则的度数为 ． 8．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是 ． 9．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ． 10．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，面积为6的平行四边形纸片中，，，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步，如图①，将平行四边形纸片沿对角线剪开，得到和纸片，再将纸片沿剪开（其中），得到和纸片；第二步，如图②，将纸片置于处（边与重合），将纸片置于处（边与重合）．则由纸片拼成的五边形中，对角线的长为 ． 三、解答题 11．（22-23八年级下·吉林白山·期末）如图，在平行四边形中，对角线、交于，交于，连接．    (1)若的周长为，求平行四边形的周长； (2)若，平分，试求的度数． 12．（22-23八年级下·四川达州·期末）已知，如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O点，点E、F分别为BO、DO的中点，试证明：    (1)，； (2)四边形AECF是平行四边形； (3)如果E、F点分别在DB和BD的延长线上时，且满足，上述结论仍然成立吗？请说明理由． 13．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，是经过某种变换得到的图形，点与点，点 与点，点与点 分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： (1)填写完整：点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； 与（   ）；（   ）与，与 （   ）． 对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均 (2)若点 与点 也是通过上述变换得到的对应点，求 ，的值． 14．（22-23八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点F在边AB上，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 15．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，且，过点作交的延长线于点，    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：是的中点； (3)若，，则四边形的面积为 　　． 16．（23-24八年级上·山东威海·期末）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积； (3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形期末复习之十大题型 目录 【题型一 多边形的内角和与外角和】 1 【题型二 中心对称图形的识别】 3 【题型三 画已知图形关于某点对称的图形】 4 【题型四 利用平行四边形的性质求解】 9 【题型五 判断能否构成平行四边形】 12 【题型六 添一个条件成为平行四边形】 15 【题型七 平行四边形中的折叠问题】 17 【题型八 利用平行四边形的性质作图】 22 【题型九 利用平行四边形的性质与判定综合】 26 【题型十 三角形的中位线与平行四边形的综合问题】 31 【过关检测卷】 36 【期末题型】 【题型一 多边形的内角和与外角和】 例题：（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）一个多边形内角和是，则这个多边形的边数为（      ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，把求边数问题转化成为一个方程问题即可．根据n边形的内角和是，根据多边形的内角和为，得到一个关于n的方程，从而求出边数． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（    ）边形 A．六 B．五 C．四 D．三 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和公式的应用，多边形的外角和，解题的关键是要能列出一元一次方程．根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列出方程，然后解方程即可求出多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，则 ， 解得， 即这个多边形是四边形． 故选：C． 2．（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题． 【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或， 其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为， 得到的多边形的内角和是或或， 故选：D． 3．（22-23八年级下·四川成都·期末）足球有12个正五边形，20个正六边形，一共32个面．通常由黑白两种颜色组成．之所以如此设计，是因为用正六边形的两个内角和正工边形的一个内角加起来略微小于，这样由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙的大小为 ​． 【答案】/12度 【分析】 本题考查正多边形的性质，求出正六边形，正五边形的每个内角度数，即可求出的度数，关键是掌握正多边形的每个内角相等． 【详解】解：∵正六边形的每个内角， 正五边形的每个内角， ∴， 故答案为：． 【题型二 中心对称图形的识别】 例题：（22-23九年级上·浙江台州·期末）以下是“双减”背景下学校社团拓展课程的相关图片，其中是中心对称图形的是（    ） A．  剪纸 B．  琵琶 C．  钢笔 D．  乒乓球拍 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的定义依次判断即可． 本题主要考查了中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转度后，它能够与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．判断一个图形是否是中心对称图形，关键是看能否找到对称中心． 【详解】A、是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列图案中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：A． 2．（23-24九年级上·云南昆明·期末）数学美是简洁性、对称性、统一性和奇异性的有机结合．下列曲线中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、爱心曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． B、蝴蝶曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． C、费马螺线曲线不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． D、四叶花曲线是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【题型三 画已知图形关于某点对称的图形】 例题：（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，点是另一格点，下列作图仅用无刻度直尺在网格中完成． (1)画出关于点的中心对称图形． (2)将绕点逆时针旋转得，画出； (3)直接写出的形状和面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，面积为5 【分析】本题考查了平移，旋转，勾股定理及其逆定理， （1）连接，反向延长使，连接，反向延长使，连接，反向延长使，即可得； （2）连接，绕点逆时针旋转，使，连接，绕点逆时针旋转，使，连接，绕点逆时针旋转，使，即可得； （3）利用勾股定理分别计算出三角形的三条边的长度，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可得三角形的形状，根据三角形面积计算公式即可得； 掌握平移，旋转，勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，连接，反向延长使，连接，反向延长使， 连接，反向延长使， （2）解：如图所示，连接，绕点逆时针旋转，使，连接，绕点逆时针旋转，使，连接，绕点逆时针旋转，使， （3）解：如图所示， ， ， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·辽宁丹东·期末）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．    (1)将平移得到，且的坐标是，画出； (2)将绕点A逆时针旋转得到，画出； (3)小娟发现绕点P旋转也可以得到，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据的坐标是，即可画出； （2）根据绕点A逆时针旋转90°得到，即可画出； （3）连接两对对应点，分别作两条连线的垂直平分线，其交点P即为所求，进而得出坐标． 【详解】（1）由点和其对应点可知由向左平移4个单位后再向下平移4个单位． 如图所示，即为所求； （2）将绕点A逆时针旋转． 如图所示，即为所求； （3）连接，，分别作，的垂直平分线，交点为P． 如图所示，点P即为所求，点P的坐标为．    【点睛】本题考查网格作图，即图形变换问题，解题的关键是找到平移条件和旋转条件及掌握平移和旋转的性质． 2．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将绕点旋转，点的对应点为，直接在图中画出旋转后的△； (2)平移，点的对应点的坐标为，点的对应点为，直接在图中画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到； ①旋转中心的坐标为 （直接填空）； ②若点是边上一动点，旋转后点的对应点为，则的最小值为 （直接填空）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了作图平移变换，作图旋转变换，熟练掌握平移变换与旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）①连接，交于点，则点即为所求，写出点的坐标即可； ②由题意结合图形可知，的最小值为线段与线段之间的距离，通过勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：①如图所示，旋转中心的位置如图所示，， ②如图，连接，四边形是平行四边形， 则的最小值即为线段与线段之间的距离， 设的最小值为， 由勾股定理得，， 则， 解得， 故答案为：；． 【题型四 利用平行四边形的性质求解】 例题：（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，平行四边形中，和的平分线交于边上一点，且，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质；根据和的平分线交于边上一点，结合平行四边形的性质，得出，，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，，， ，分别是和的平分线， ，， ，，， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·山东威海·期末）如图，平行四边形中，、相交于点，交边于，连接，若，，则 °． 【答案】40 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质．由平行四边形的性质可得，，可求的度数，由线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ∴，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：40； 2．（23-24八年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，，的坐标分别是，，，要使四边形、、、为平行四边形，则顶点的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定，根据题意作出图形，注意要分情况进行讨论．作出图形，分、、为对角线三种情况进行求解． 【详解】解：如图所示，    ①为对角线时，即四边形是平行四边形时，，，点D向左平移2个单位，向下平移3个单位，得到点A， ∴将点B向左平移2个单位，向下平移3个单位，得到点， ∴点的坐标为， ②为对角线时，即四边形是平行四边形时，，， 点A向右平移5个单位，得到点B， ∴将点D向右平移5个单位，得到点， 点的坐标为， ③为对角线时，即四边形是平行四边形时，，， 点B向左平移5个单位，得到点A， ∴将点D向左平移5个单位，得到点， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标是或或 故答案为：或或 3．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，E是的中点，已知，，，，点P是线段上的一个动点，当的长为 时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】1或9 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的判定，根据四个点的坐标求出，，，，根据平行四边形的判定得出当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形， 分两种情况： ①当点P在点E的左侧时，； ②当点P在点E的右侧时，； 综上所述，当的长为1或9时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：1或9． 【题型五 判断能否构成平行四边形】 例题：（23-24八年级上·山东菏泽·期末）下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是解题关键．根据平行四边形的判断定理分别作出判断得出即可． 【详解】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故A不合题意； B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故B不合题意； C、，，不能判断这个四边形是平行四边形，故C符合题意； D、∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故D不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【详解】解：A、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； B、，不能判定四边形是平行四边形，故本选项错误，符合题意； C、∵，∴，又∵，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； D、，根据两对边分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 根据所给条件，结合平行四边形的各种判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ； 又， ， ， ； ； ∴四边形是平行四边形，故B正确； ∵四边形是平行四边形， ； 又， ， ， ， ； ； ； ∴四边形是平行四边形，故C正确； ∵四边形是平行四边形， ； 又∵， ， ； ； ； ∴四边形是平行四边形，故D正确； 添加后，不能得出，进而得不出四边形平行四边形， 故选：A． 【题型六 添一个条件成为平行四边形】 例题：（23-24八年级上·福建福州·期末）在四边形中，．要使四边形是平行四边形，则的长为 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定定理是解题关键． 直接利用平行四边形的判定方法得出时四边形是平行四边形． 【详解】解：当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 故答案为：8． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图所示，在中，A、C分别为边、上的点，请在目前图形中添加一个条件 ，使四边形是平行四边形．    【答案】 【分析】在中可得,即，添加，满足一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】解：添加条件， 四边形是平行四边形， ， 即， ， 四边形是平行四边形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题关键． 2．（22-23八年级下·湖南郴州·期末）如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了 秒． 【答案】或 【分析】由题意可得，分或两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】设点P运动了t秒， ∴，，，， ①当时，且，则四边形是平行四边形， 即， ∴； ②当时，且，则四边形是平行四边形， 即， ∴， 综上所述：当直线在四边形内部截出一个平行四边形时，点P运动了秒或秒， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 【题型七 平行四边形中的折叠问题】 例题：（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，E是边上一点，将沿AE折叠至处，与交于点F，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键； 由平行四边形的性质得，由由折叠的性质得：，，，在根据三角形的内角和定理及角的和差即可解答； 【详解】四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质得：，， ， ， 故答案为： 【变式训练】 1．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，将沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为 ．    【答案】/110度 【分析】根据平行四边形的性质和外角定义证明，得，由翻折可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：设，交于点F，如图，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由翻折可知：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形外角定义，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 2．（22-23八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点A、D分别落在，处，且经过点B，交BC于点G，连接，若平分，，，则的度数是 ．    【答案】 【分析】设，由折叠的性质得，①，再根据平行线的性质得到②，，通过计算即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， 设，    ∵， ∴， 根据折叠的性质得，， ∵， ∴①， ∵， ∴②， 得，即， 由平角的性质得， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题关键是利用参数构建方程解决问题． 3．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为EF，连接CF． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形AFCE是平行四边形，再运用有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行证明； （2）作AG⊥BE于点G，因为D′F=DF，再证明DF=BE，用勾股定理分别计算BG、EB即可． 【详解】（1）解：证明：∵点C与点A重合，折痕为EF， ∴∠AEF=∠CEF，AE=EC， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AFE=∠CEF， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF， ∴AF=EC， 又∵AF∥EC， ∴四边形AFCE是平行四边形， 又∵AE=AF， ∴四边形AFCE为菱形． （2）如图，作AG⊥BE于点G， 则∠AGB=∠AGE=90°， ∵点D的落点为点D′，折痕为EF， ∴D'F=DF． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC． 又∵AF=EC， ∴AD-AF=BC-EC，即DF=BE． ∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=， ∴AG=GB=6． ∵四边形AFCE为平行四边形， ∴AE∥FC． ∴∠AEB=∠FCE=60°． ∵在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠4=60°， ∴GE==， ∴BE=BG+GE=， ∴D′F=． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质与判定、勾股定理的综合运用，运用折叠的性质和平行四边形的性质发现D′F=BE是解题的关键． 【题型八 利用平行四边形的性质作图】 例题：（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形为平行四边形，点、均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图： (1)在图①中，点、、为格点，在边上找一点，连结，使得． (2)在图②中，点、为格点，点为边上任意一点，连结，在上找一点，使得.（保留作图痕迹） (3)在图③中，点、为为网格线上的点，点为边上任意一点连结，在边上找一点，连结，使得．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质； （1）取的中点，连接即可； （2）取BC的中点，的中点，连接交一点，点即为所求； （3）取BC的中点，的中点，连接交一点，连接交于点，连接即可． 【详解】（1）如图①中，线段即为所求； （2）如图②中，点即为所求； （3）如图③中，线段即为所求． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，四边形是平行四边形，连接．    (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的作法，即可解答； （2）证明为直角三角形，再证明四边形的面积等于的面积，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求图形，    （2）解：，，， ， ， 根据，可得， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 跟上述同理，可得， 四边形为平行四边形， ， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 2．（22-23八年级下·重庆黔江·期末）如图，在中，平分交延长线于点．    (1)请用尺规作图法作于（只保留作图痕迹）； (2)证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线即可； （2）由平行线的性质以及角平分线的性质可得，在根据等腰三角形的三线合一可求得． 【详解】（1）解：作图如下：    （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查尺规作图，掌握过直线外一点作已知直线的垂线以及等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（22-23八年级下·江西吉安·期末）例在中，点E为AB上一点，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）    (1)如图1，E为边上一点，，画出∠D的角平分线； (2)如图2，E为边上一点，，画出∠B的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 （1）连接，由得，结合平行线的性质可得，进而可得平分，即即为所求； （2）连接交于点O，连接并延长交点F，连接，为所求． 【详解】（1）解：如图：即为所求．    （2）解：如图：即为所求．    【点睛】本题考查作图一复杂作图、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． 【题型九 利用平行四边形的性质与判定综合】 例题：（22-23八年级下·四川·期末）如图，在四边形中，，，为边上一点，连接，相交于点F，且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)取中点，连接，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明得到，进而证明得到，由此即可证明四边形是平行四边形； （2）如图所示，过点C作于H，由平行四边形的性质得到，证明为的中位线，得到，再证明，求出，则，利用勾股定理求出则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，过点C作于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵G为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴．      【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）如图1，在四边形中，，，，点E是的中点，点F是内一点，连接，，，．    (1)若，求的度数； (2)探索，和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，利用（2）中结论，已知，求的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，然后证明，进而可求出的度数； （2）连接，过点 E作交于点G，证明，可得，，则是等腰直角三角形，求出即可得出答案； （3）证明四边形是平行四边形，利用勾股定理求出，，然后可得的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）； 理由：如图，连接，过点 E作交于点G，    ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴，即， 由（1）可知， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ， ； （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，角的和差计算，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键． 2．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)连接，交于点O，若，，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可； （2）由平行四边形的性质得，，，再证是的中位线，得，，证出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （3）连接，，，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， ，， ， ， ； （2）证明：四边形为平行四边形， ，，， ，， 是的中位线， ，， 为的中点， ， ，， ，， 四边形为平行四边形； （3）如图，连接，，， ，， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ． 【题型十 三角形的中位线与平行四边形的综合问题】 例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，再由，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：与的数量关系为：，理由如下： 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，，于点，．若，分别为，的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及等腰直角三角形性质、含的直角三角形性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质等知识，根据等腰直角三角形的性质求出，根据含的直角三角形性质及勾股定理列方程求出，最后由三角形这中位线的判定与性质计算即可得到答案．熟练掌握三角形相关性质，运用三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：， ， 在中，，， ， 在中，，则， ，设，则，由勾股定理可得， ，解得，则， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 故答案为：4． 2．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．由可得点为中点，从而可得为的中位线，进而求解． 【详解】解：在矩形中，，， ， ， 点为中点， 点为边的中点， 为的中位线， ． 故答案为：3 3．（23-24八年级上·山东泰安·期末）已知，是的中线，过点作． (1)如图1，交于点，连接．求证：四边形是平行四边形； (2)是线段上一点（不与点A，重合），交于点，交于点，连接．如图2，四边形是平行四边形吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形；理由见解析 【分析】（1）由平行线的性质可得，，由题意可知，可证得，进而可知，即可证得四边形是平行四边形； （2）延长，交于，取中点，连接，由平行线的性质可得，，由题意可知为的中位线，先证四边形为平行四边形，可得，进而证得，即可证明，可得，即可证得四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 延长，交于，取中点，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线，点为的中点， ∴为的中位线， ∴，，即 又∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三角形的中位线定理，平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（22-23九年级上·四川成都·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C． D．   【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念（轴对称图形是指平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合；中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；关键也是抓两点：一是绕某一点旋转，二是与原图形重合）， 根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可作出判断． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，D，E是中的中点，F为的中点，连接并延长交延长线于G，若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得出的长，利用证明得出的长即可求解． 【详解】解：∵D，E是中的中点， ∴，即， ∴， 又∵F为的中点， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，在▱中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点作射线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图和平行四边形的性质，根据平行四边形的性质及角平分线的定义求解，掌握平行四边形的性质及角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：由作图得：平分， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：连接，，，， ∵正五边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小， 过点E作于H，交于， 同理可求， ∴， 即当的值最小时，． 故选：C． 5．（23-24八年级上·山东烟台·期末）在中，对角线相交于点分别是、的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论是（      ） A．①③ B．①② C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．通过证明四边形是平行四边形，可得，故①正确；由等腰三角形的性质可得，由平行四边形的性质可证，故②正确；由外角的性质可得，由等腰三角形的性质可得故③错误；由等腰三角形的性质可得，可得，则与不垂直，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故①正确，符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不平分， 故③错误，不符合题意； ∵，点E是的中点， ∴， ∴， ∴与不垂直， 故④错误，不符合题意， 故选：B． 二、填空题 6．（23-24八年级上·广东珠海·期末）若正n边形的每个内角的度数均为．则n的值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了多边形内角和公式以及正多边形的性质，根据多边形内角和公式结合“正n边形的每个内角的度数均为”，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵正n边形的每个内角的度数均为 ∴ 解得 故答案为：9． 7．（23-24八年级上·重庆潼南·期末）如图，一个正方形和一个正五边形各有一边，在直线上，且只有一个公共顶点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正四边形和五边形的外角，三角形内角和性质，利用正多边形的性质求出每个内角，和的度数即可，掌握正多边形的内角和及正确理解多边形内角和与外角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：正五边形的一个内角，正方形的一个内角， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边和角平分线定义，根据平行四边形的性质和等腰三角形的判定得出，，进而可得和的长，然后根据线段和差即可求解，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质和角平分线定义解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大． 【详解】解：延长相交于点H，设交于点O． ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为． 故答案为：2． 10．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，面积为6的平行四边形纸片中，，，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步，如图①，将平行四边形纸片沿对角线剪开，得到和纸片，再将纸片沿剪开（其中），得到和纸片；第二步，如图②，将纸片置于处（边与重合），将纸片置于处（边与重合）．则由纸片拼成的五边形中，对角线的长为 ． 【答案】 【分析】由图形的平移与翻折推出等腰三角形，结合题意得所求对角线与的关系，由等面积法求出即可得出答案． 【详解】解：如图，将纸片翻转过来使其背面朝上置于处(边与重合，与在同侧)，将纸片翻转过来使其背面朝上置于处(边与重合， 与在同侧) 由题意得：， 由平移的性质 是等腰直角三角形 过点作 在中，由等面积法可得 即原图中的 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的平移、等腰三角形的性质、平行四边形的面积等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题 11．（22-23八年级下·吉林白山·期末）如图，在平行四边形中，对角线、交于，交于，连接．    (1)若的周长为，求平行四边形的周长； (2)若，平分，试求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分得：．又，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得：．故的周长为的长．最后根据平行四边形的对边相等得：平行四边形的周长为． （2）由（1）可知，所以是等腰三角形，利用平行线的性质和已知条件计算即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ． ， ． 故的周长为， 根据平行四边形的对边相等得， 平行四边形的周长为． （2）， ， ，平分， ， ， ， ， ．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 12．（22-23八年级下·四川达州·期末）已知，如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O点，点E、F分别为BO、DO的中点，试证明：    (1)，； (2)四边形AECF是平行四边形； (3)如果E、F点分别在DB和BD的延长线上时，且满足，上述结论仍然成立吗？请说明理由． 【答案】(1)见详解1 (2)见详解2 (3)见详解3 【分析】平行四边形的对角线互相平分，从而可得到结论； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，根据这个判定定理可证明； 仍然成立的，仍旧根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明． 【详解】（1）证明：，是平行四边形中的对角线，O是交点， ，． （2），点E、F分别为、的中点， ， ， 四边形AECF是平行四边形． （3）结论仍然成立． 理由：，， ， ， 四边形是平行四边形， 所以结论仍然成立． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，对角线互相平分的四边形是平行四边形以及全等三角形的判定和性质． 13．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，是经过某种变换得到的图形，点与点，点 与点，点与点 分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： (1)填写完整：点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； 与（   ）；（   ）与，与 （   ）． 对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均 (2)若点 与点 也是通过上述变换得到的对应点，求 ，的值． 【答案】(1)；；，互为相反数 (2) 【分析】本题考查的是几何变换的类型，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．（1）根据各点在坐标系中位置写出各点的坐标即可；（2）根据（1）中各对应点的坐标特征得出关于、的方程，求出、的值即可． 【详解】（1）解：由图可知，；；，对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数． 故答案为：；；，互为相反数； （2）由（1）知对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数， 点 与点 也是通过上述变换得到的对应点， ， ． 14．（22-23八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点F在边AB上，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）延长交于点，证明，根据全等三角形的性质可得到，再利用三角形的中位线定理证明，再由可证出结论； （2）先利用三角形中位线定理证明，再证明，可得到． 【详解】（1）证明：延长交于点，    ∵， ∴， 在和中，， ∴（）． ∴． ∵ ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵D、E分别是、的中点， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明，再利用三角形中位线定理证明是解决问题的关键． 15．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，且，过点作交的延长线于点，    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：是的中点； (3)若，，则四边形的面积为 　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据是的平分线，，可证，根据平行线的判定可得，由此即可求证； （2）根据是等腰三角形，平行四边形的性质可得，由此即可求证； （3）根据是等腰三角形，是的平分线，可求出的值，根据“角边角”可证，可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：∵，即是等腰三角形， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的中点． （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，是的平分线， ∴，即， ∴在中，， ∴， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识的判定及性质，几何图形面积的转换方法是解题的关键． 16．（23-24八年级上·山东威海·期末）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积； (3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)或或或时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）如图①中，只要证明是等边三角形即可； （2）如图②中，由四边形是平行四边形，推出，，推出，推出，推出，可得由此即可解决问题； （3）如图③中，分四种情形列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：如图①所示：    四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：如图②所示：    四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ； （3）解：如图③所示：    ， ∴当时，四边形是平行四边形， ①当时，，， ∴， 解得：； ②当时，，， ∴， 解得：； ③当时，，， ∴， 解得：； ④当时，，， ∴， 解得：； ∴或或或时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$