专题01 平面向量（4类经典基础题+3类优选提升题）-【好题汇编】备战2023-2024学年高一数学下学期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第二册）

专题01 平面向量 平面向量的概念 1．（11-12高一上·陕西·期末）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（    ）    A． B． C． D． （多选）2．（23-24高一上·辽宁·期末）下列命题正确的是（    ） A．数轴上零向量的坐标为0 B．若与都是单位向量，则的最小值为0 C．若，则 D．若，则线段的中点坐标为 （多选）3．（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 线性运算 1．（17-18高一上·北京西城·期末）如图，在矩形中，（　　）   A． B． C． D． 2．（10-11高一下·山东济南·期末）已知，，，且与垂直，则实数的值为 （   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值． 基本定理及坐标运算 1．（23-24高一下·广东·期末）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·河北·期末）已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东·期末）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ． 4．（21-22高一下·全国·期末）如图，在梯形中，，点是的中点，点在线段上，若，则的值为 .    向量的数量积 1．（21-22高一下·北京海淀·期末）已知向量，是两个单位向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（22-23高一下·西藏林芝·期末）已知向量，为单位向量，且与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．（18-19高一上·福建福州·期末）设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知等边的边长为6，D在上且，E为线段上的动点，求的取值范围（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·山西大同·期末）已知， ，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 极化恒等式 1．（21-22高一下·浙江宁波·期末）已知平面向量满足 ，，其中为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量，恒有，则夹角的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（16-17高一下·辽宁沈阳·期末）在锐角中，，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·广东深圳·期末）四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为 . 4．（20-21高一下·浙江·期末）已知为单位向量，平面向量，满足，则的最小值为 . 5．（18-19高一下·河南鹤壁·期末）在中，.以为圆心，2为半径作圆，线段为该圆的一条直径，则的最小值为 . 等和线 1．（22-23高一下·福建三明·期末）设为的内心，，，，则（    ） A． B． C． D． （多选）2．（22-23高一下·江西景德镇·期末）在平行四边形中，点为边中点，点为边上靠近点的三等分点，连接，交于点，连接，点为上靠近点的三等分点，记，，则下列说法正确的是（    ） A．点，，三点共线 B．若，则 C． D．，为平行四边形的面积 3．（22-23高一下·福建漳州·期末）已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（    ） A．若是中点，则 B．若，则 C．与不共线 D．若，则 4．（22-23高一下·河北唐山·期末）如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（    ）      A．满足的点有且只有一个 B．满足的点有两个 C．存在最小值 D．不存在最大值 5．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的最小值为 .    6．（23-24高一上·辽宁·期末）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值． 奔驰定理 1．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设O是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是（    ）． A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若O为（不为直角三角形）的垂心，则 D．若，，，则 2．（22-23高一下·新疆昌吉·期末）有下列说法其中正确的说法为（    ） A．若，，则 B．若，则存在唯一实数使得 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，，分别表示，的面积，则 3．（19-20高一下·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的是（    ） A．对于向量，，，有 B．在中，向量与满足，且，则△ABC为等边三角形 C．若，分别表示的面积，则 D．在中，设D是BC边上一点，且满足，则λ+μ＝0 4．（19-20高一下·广东东莞·期末）已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线必过边的中点 C． D．若，且，则 5．（19-20高一下·上海杨浦·期末）三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则 ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量 平面向量的概念 1．（11-12高一上·陕西·期末）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确. 对于B，因为，故，故B正确. 对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确. 对于D，因为交于，故不成立，故D错误， 故选：D. （多选）2．（23-24高一上·辽宁·期末）下列命题正确的是（    ） A．数轴上零向量的坐标为0 B．若与都是单位向量，则的最小值为0 C．若，则 D．若，则线段的中点坐标为 【答案】ABD 【详解】数轴上零向量的坐标为正确. 若与都是单位向量，当方向相反时， 的最小值为正确. 若，则，错误. 若，则线段的中点坐标为，正确. 故选：ABD. （多选）3．（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 【答案】AD 【详解】根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A正确； 根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误； 向量不能够比较大小，故C错误； 根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确. 故选：AD. 线性运算 1．（17-18高一上·北京西城·期末）如图，在矩形中，（　　）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在矩形中，. 故选：B 2．（10-11高一下·山东济南·期末）已知，，，且与垂直，则实数的值为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 与垂直，， 解得：. 故选：C. 3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由， 得, , 所以，且有公共点B， 所以三点共线. （2）由与共线， 则存在实数，使得， 即，又是不共线的两个非零向量， 因此，解得，或， 实数k的值是 基本定理及坐标运算 1．（23-24高一下·广东·期末）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，延长交于， 由已知为的重心，则点为的中点，可得，且， 又由，可得是的四等分点， 则， 因为，所以，，所以． 故选：C. 2．（22-23高一下·河北·期末）已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 与共线的单位向量是． 故选：A． 3．（23-24高一下·广东·期末）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【详解】由向量和，可得， 则在上的投影向量的坐标为． 故答案为：. 4．（21-22高一下·全国·期末）如图，在梯形中，，点是的中点，点在线段上，若，则的值为 .    【答案】/ 【详解】由题意得，， 因为，D，F三点共线，所以，解得. 故答案为： 向量的数量积 1．（21-22高一下·北京海淀·期末）已知向量，是两个单位向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由向量，是两个单位向量，且与的夹角为锐角，可设. 则， 因为，所以，所以， 故“与的夹角为锐角”是“”的充分条件； 若，则 ，但此时，不是锐角， 所以“与的夹角为锐角”是“”的不必要条件. 总之，“与的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．（22-23高一下·西藏林芝·期末）已知向量，为单位向量，且与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量，为单位向量，且与的夹角为， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：D. 3．（18-19高一上·福建福州·期末）设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意是两个单位向量，且， 所以，解得， 由，所以. 故选：C. 4．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知等边的边长为6，D在上且，E为线段上的动点，求的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，， 设，又， 则，， ， ， 所以时，取得最小值12，时，取得最大值28， 所以的取值范围是， 故选：B． 5．（22-23高一下·山西大同·期末）已知， ，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 由，得，所以. （2）因为， ， 所以，. 令向量与的夹角为θ， 则， 即向量与夹角的余弦值是. 极化恒等式 1．（21-22高一下·浙江宁波·期末）已知平面向量满足 ，，其中为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量，恒有，则夹角的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，则， 依题意，恒成立，而，为不共线的单位向量，即有， 于是得恒成立，则， 即有，又，解得， 所以夹角的最小值是. 故选：B 2．（16-17高一下·辽宁沈阳·期末）在锐角中，，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：以为原点，所在直线为轴建立坐标系， ，， ， 设 是锐角三角形， ，， 即在如图的线段上（不与，重合）， ， ，. 则， 的范围为. 故选：A. 3．（22-23高一下·广东深圳·期末）四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】因为，，又点分别是的中点， 所以，所以， ， 又，所以，又点分别是的中点，所以， 因为，所以， 即，设，，则，所以， 所以， 所以当即时，有最大值1，即有最大值为. 故答案为： 4．（20-21高一下·浙江·期末）已知为单位向量，平面向量，满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】解：取单位向量，以点为圆心，1为半径作圆，在圆周上任取两点、， 令，，如图所示；设，则，； 作圆的垂直于的切线分别交直线于、两点， 易得，，； 所以，当且仅当时等号成立； ， 当且仅当时等号成立，即； 综上知，的取值范围是，． 故答案为：． 5．（18-19高一下·河南鹤壁·期末）在中，.以为圆心，2为半径作圆，线段为该圆的一条直径，则的最小值为 . 【答案】-10 【详解】 由题线段为该圆的一条直径，设夹角为， 可得： ， 当夹角为时取得最小值-10. 故答案为：-10 等和线 1．（22-23高一下·福建三明·期末）设为的内心，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连， 因为，，所以，， 所以的内心在线段上，为内切圆的半径， 因为， 所以， 所以，得， 所以， 所以， 又，所以， 又已知，所以， 所以.    故选：B. （多选）2．（22-23高一下·江西景德镇·期末）在平行四边形中，点为边中点，点为边上靠近点的三等分点，连接，交于点，连接，点为上靠近点的三等分点，记，，则下列说法正确的是（    ） A．点，，三点共线 B．若，则 C． D．，为平行四边形的面积 【答案】ACD 【详解】如图所示:    平行四边形中，因为点为上靠近点的三等分点， 所以,, 所以, 设, 所以，又有公共点，所以点三点共线，故A选项正确； 设, ， 故， 所以，故B选项错误； , 因为，所以， 故，C选项正确； 因为，，故D选项正确. 故选：ACD. (多选)3．（22-23高一下·福建漳州·期末）已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（    ） A．若是中点，则 B．若，则 C．与不共线 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，连接交于点，则点是的中点，是中点，连接， 所以，所以，可得，故A正确；    对于B，取的中点，连接、，因为点为外心，所以， 所以，若，则， 所以，故B正确；    对于C，因为点为垂心，所以， 因为 ， 所以， 而，所以与共线，故C错误；    对于D，分别做、交、于、点， 连接延长交于点，可得，设内切圆半径为， 则，所以， ，所以 ， 即①， ，所以 ， 即②，由①②可得， 在中由余弦定理可得， 因为， 可得，所以，故D正确.    故选：ABD. （多选）4．（22-23高一下·河北唐山·期末）如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（    ）      A．满足的点有且只有一个 B．满足的点有两个 C．存在最小值 D．不存在最大值 【答案】BC 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形的边长为1，，则 ， 所以，， 由，得， 所以，所以， ①当点在上时，，且， 所以； ②当点在（不含点B）上时，则，所以，化简， 所以， 因为，所以，即； ③当点在（不含点C）上时，，且， 所以，即，所以； ④当点在（不含点A、D）上时，则，所以，化简， 所以， 因为，所以，所以； 对于A，由①知，当时，，此时点与点重合； 由④可知当时，，，此时点在的中点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，所以A错误， 对于B，由②知，当时，，，此时点在的中点； 由③知，当时，，，此时点在点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，所以B正确， 对于CD，由①②③④可得： 当，即点为点时，取到最小值0； 当，即点为点时，取到最大值3，所以C正确，D错误， 故选：BC.    5．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的最小值为 .    【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 又，， 所以， 因为，，三点共线，所以， 由图可知，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为.    故答案为： 6．（23-24高一上·辽宁·期末）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 又因为，设，则有， 因为三点共线，所以，解得，即， 所以． （2）因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 奔驰定理 （多选）1．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设O是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是（    ）． A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若O为（不为直角三角形）的垂心，则 D．若，，，则 【答案】ABC 【详解】对于A，设的中点为D，则，    即三点共线，则， 设为的中点，同理可得， 故O为的重心，A正确； 对于B，若，结合， 可知，B正确； 对于C，，， ， 又O为（不为直角三角形）的垂心，设延长后交与G，则, 同理，则， 即， 同理，    故，同理， 又， ， 又O为（不为直角三角形）的垂心， 则， 故，即， 同理， 则 ， 同理， 故 ， 又，可得，C正确； 对于D，中，，，则， 又，故， 则， 故，D错误， 故选：ABC （多选）2．（22-23高一下·新疆昌吉·期末）有下列说法其中正确的说法为（    ） A．若，，则 B．若，则存在唯一实数使得 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，，分别表示，的面积，则 【答案】BCD 【详解】对于A项，若，当时，不一定有，故A项错误； 对于B项，若，则存在唯一实数使得，故B项正确； 对于C项，两个非零向量，若，则与共线且反向，故C项正确； 对于D项，因为，整理得， 如图所示：    分别取BC，AC的中点E，F，故，即， 所以三点共线，故，, 所以， ，， 故，故D项正确. 故选：BCD. （多选）3．（19-20高一下·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的是（    ） A．对于向量，，，有 B．在中，向量与满足，且，则△ABC为等边三角形 C．若，分别表示的面积，则 D．在中，设D是BC边上一点，且满足，则λ+μ＝0 【答案】BCD 【详解】对A，平面向量不满足乘法结合律，A错误； 对B，因为，所以的平分线垂直于BC，所以AB=AC， 又因为，所以△ABC为等边三角形，B正确； 对C，如图： 因为，延长OA到，使得，延长OC到，使得，可得O为的重心，设的面积分别为，则的面积分别为，由重心性质可知，所以，C正确； 对D，因为，而，所以, 所以，所以λ+μ=0，D正确. 故答案为：BCD. （多选）4．（19-20高一下·广东东莞·期末）已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线必过边的中点 C． D．若，且，则 【答案】ACD 【详解】如图所示，点O为所在平面内一点，且， 可得，即， 即，所以，所以A是正确的； 在中，设为的中点， 由，可得， 所以，所以直线不过边的中点，所以B不正确； 由，可得且， 所以，所以，可得，所以 所以，所以C正确； 由，可得 因为，且， 可得， 所以，所以D是正确的. 故选：ACD. 5．（19-20高一下·上海杨浦·期末）三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则 ． 【答案】 【详解】由可得 根据可得，同理可得， 所以， 所以 故答案为： ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$