18.2.2.1 菱形的定义和性质-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(人教版)

18. 2. 2　 菱形 第 1 课时　 菱形的定义和性质 【边学边练】 知识点一　 菱形的性质 1. 下列说法中,不正确的是 (　 　 ) A. 平行四边形的对角相等 B. 菱形的邻边相等 C. 平行四边形的对角线互相平分 D. 菱形的对角线互相垂直且相等 2. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是 (　 　 ) A. 邻边相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 是中心对称图形 3. 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,H 是边 AD 的中点,菱形 ABCD 的周长为 24,则 OH 的长为 (　 　 ) A. 3 B. 2 3 C. 2 6 D. 12 知识点二　 菱形的面积公式 4. 已知菱形 ABCD 的对角线 AC= 10,BD= 8,则菱形 ABCD 的面积为 (　 　 ) A. 80 B. 60 C. 40 D. 30 5. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O. 若 AC = 6,BD = 8,AE⊥BC,垂足为 E,则 AE 的长为 (　 　 ) A. 2. 4 B. 4 C. 4. 8 D. 5 【随堂小测】 1. 菱形 ABCD 的周长为 16,∠ABC= 120°,则 AC 的长为 (　 　 ) A. 4 3 B. 4 C. 2 D. 2 3 2. 菱形 ABCD 的周长为 32,其相邻两内角的度数比为 1 ∶ 5,则此菱形的面积为 (　 　 ) A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 73 3. 如图,菱形 ABCD 的两条对角线 AC,BD 相交于点 O. 若 AB = 13 cm,BD = 6 cm,则 菱形 ABCD 的面积为 . 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O,AC = 4,BD = 6,E 是 OB 的中点,P 是 CD 的中点,连接 PE,则线段 PE 的长为 . 5. 如图,四边形 ABCD 是菱形,∠ACD= 30°,BD= 6. 求: (1)∠BAD,∠ABC 的度数; (2)AB,AC 的长及菱形 ABCD 的面积. 6. 如图,在菱形 ABCD 中,BE⊥CD 于点 E,DF⊥BC 于点 F. (1)求证:BE=DF; (2)若∠A= 45°,求DE CE 的值. 83 ∠DFA= ∠B, ∠DAF= ∠AEB, AD=EA, { ∴ △ADF≌△EAB(AAS) . ∴ DF=AB. (2)解:∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ADC = 90°. ∴ ∠ADF + ∠FDC = 90°. 又 ∵ ∠DFA = 90°,∴ ∠DAF+∠ADF= 90°. ∴ ∠FDC= ∠DAF= 30°. ∴ AD= 2DF. ∵ DF=AB, ∴ AD= 2AB= 2×4 = 8. 第 2 课时　 矩形的判定 【边学边练】 1. C　 2. D　 3. B 【随堂小测】 1. B 2. C　 【解析】A. 两组对边分别相等的四边形是 平行四边形,故原说法正确;B. 一个角是直角 的平行四边形是矩形,故原说法正确;C. 对角 线互相平分且垂直的四边形不一定是矩形, 故原说法不正确;D. 对角线相等的平行四边 形是矩形,故原说法正确. 故选 C. 3. B 　 【解析】 ∵ DE ⊥ BC, ∴ ∠DEB = ∠A = ∠ABC= 90°. ∴ 四边形 ABED 是矩形. 故②正 确;∴ AD∥BC. ∴ ∠ADB = ∠CBD. ∵ DB 平分 ∠ADC, ∴ ∠ADB = ∠CDB. ∴ ∠CBD = ∠CDB. ∴ BC = CD. 故 ① 正确;∵ BD≠CD, ∴ E 不是 BC 的中点. 故③错误;由②知,四边 形 ABED 是矩形,∴ BE = AD = 2,BC = CD = 5. ∴ CE=BC-BE = 3. ∴ DE = AB = CD2 -CE2 = 4. 故④正确. 综上所述,正确的有①②④. 故选 B. 4. 1 ∶ 2　 【解析】∵ OA = OB = OC = OD,∴ AC = BD. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. ∵ ∠AOB = 60°, OA=OB,∴ △AOB 是等边三角形. ∴ AB = OA =OB= 1 2 AC. ∴ AB ∶ AC= 1 ∶ 2. 5. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 6.证明:(1)在▱ABCD 中,AD=BC,AB=CD,AB∥ CD,则 BE∥CD. 又∵ AB=BE,∴ BE=CD. ∴ 四边形 BECD 是平行四边形. ∴ BD=EC. 在△ABD 和△BEC 中, AB=BE, BD=EC, AD=BC, { ∴ △ABD≌△BEC(SSS) . (2)由(1) 知,四边形 BECD 是平行四边形, ∴ OD=OE,OC=OB. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ ∠A= ∠BCD,即∠A= ∠OCD. 又∵ ∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC, ∴ 2∠OCD= ∠OCD+∠ODC. ∴ ∠OCD= ∠ODC. ∴ OC=OD. ∴ OB=OE. ∴ OC+OB=OD+OE,即 BC=ED. ∴ 四边形 BECD 是矩形. 7. (1)证明:∵ CE 平分∠ACB, ∴ ∠ACE= ∠BCE. ∵ MN∥BC, ∴ ∠BCE= ∠OEC. ∴ ∠ACE= ∠OEC. ∴ OC=OE. 同理可得 OC=OF. ∴ OE=OF. (2)解:∵ CE,CF 分别平分∠ACB,∠ACD, ∴ ∠ACE= 1 2 ∠ACB,∠ACF= 1 2 ∠ACD. ∴ ∠ACE + ∠ACF = ∠ECF = 1 2 ∠BCD = 1 2 × 180° = 90°. ∴ EF= CE2 +CF2 = 122 +52 = 13. 由(1),得 OE=OF. ∴ OC= 1 2 EF= 6. 5,即 OC 的长为 6. 5. (3)解:当点 O 在边 AC 上运动到中点时,四 边形 AECF 是矩形. 理由如下: 当 O 是边 AC 的中点时,有 OA=OC. 由(1)可知,OC=OE=OF. ∴ OA=OC=OE=OF. ∴ 四边形 AECF是平行四边形,OA+OC=OE+OF. ∴ AC=EF. ∴ 四边形 AECF 是矩形. 18. 2. 2　 菱形 第 1 课时　 菱形的定义和性质 【边学边练】 1. D　 【解析】 ∵ 平行四边形的对角线互相平 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 89 分,对角相等,∴ 选项 A,C 不符合题意. ∵ 菱 形的邻边相等,对角线互相垂直且平分,∴ 选 项 B 不符合题意,选项 D 符合题意. 故选 D. 2. A 3. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AB = BC=CD = AD,AC⊥BD. ∵ 菱形 ABCD 的周长 为 24,∴ AD= 24÷4 = 6. ∵ H 是边 AD 的中点, ∴ OH= 1 2 AD= 3. 故选 A. 4. C 5. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥ BD,OA= OC = 1 2 AC = 3,OB = OD = 1 2 BD = 4. ∴ AB=BC= OA2+OB2 = 32+42 = 5. ∵ 1 2 AC· BD=BC·AE,∴ 1 2 ×6×8 = 5AE. ∴ AE= 4. 8. 故选 C. 【随堂小测】 1. A　 【解析】如图,在菱形 ABCD 中,AC⊥BD, AB= AD,AE = CE,DE = BE,∠ABE = ∠CBE. ∵ ∠ABC = 120°,∴ ∠ABE = 1 2 ∠ABC = 60°. ∴ △ADB 是等边三角形. ∴ AB=BD=AD. ∵ 菱形 ABCD 的周长为 16,∴ AB = 1 4 ×16 = 4. ∴ AD= BD = 4. ∴ BE = DE = 1 2 BD = 2. ∴ AE = AB2 -BE2 = 16-4 = 2 3 . ∴ AC= 2AE= 4 3 . 故选 A. 2. C　 【解析】如图,过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. ∵ 四边形 ABCD 是菱形,且其周长为 32,∴ AB =BC=CD = AD = 8,AD∥BC. ∴ ∠B+∠BAD = 180°. ∵ 菱形 ABCD 相邻两内角的度数比为 1 ∶ 5,即∠B ∶ ∠BAD = 1 ∶ 5,∴ ∠B = 180° × 1 1+5 = 30°. ∴ AE = 1 2 AB = 4. ∴ S菱形ABCD = BC· AE= 8×4 = 32. 故选 C. 3. 12 cm2 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC⊥BD,OA=OC = 1 2 AC,OB =DO = 1 2 BD = 3 cm. ∴ OA = AB2 -OB2 = 13-9 = 2( cm) . ∴ AC = 2OA = 4 cm. ∴ 菱形 ABCD 的面积 = BD·AC 2 = 6×4 2 = 12(cm2) . 4. 10 　 【解析】如图,取 OD 的中点 H,连接 HP. ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD,OA= OC= 1 2 AC= 2,OB =OD = 1 2 BD = 3. ∵ H 是 OD 的中点,E 是 OB 的中点,P 是 CD 的中点, ∴ OH= 1 2 OD= 3 2 ,OE = 1 2 OB = 3 2 ,HP = 1 2 OC = 1,HP∥AC. ∴ EH =OE+OH = 3,HP⊥BD,即 ∠EHP = 90°. ∴ PE = EH2 +HP2 = 9+1 = 10 . 5.解:(1)∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ CD = BC,∠BCD = 2∠ACD,∠ABC = ∠ADC = 2∠BDC. ∵ ∠ACD= 30°,∴ ∠BCD= 60°. ∴ △BCD 是等边三角形. ∴ ∠BDC= 60°. ∴ ∠ABC= 2∠BDC= 120°. ∴ ∠BAD= ∠BCD= 60°. (2)∵ 四边形 ABCD 是菱形,△BCD 是等边三 角形,BD= 6, ∴ AB=CD=BD= 6,AC⊥BD. ∵ ∠ACD= 30°, ∴ OD= 1 2 CD= 3,OC= CD2 -OD2 = 3 3 . ∴ AC= 2OC= 6 3 . ∴ 菱形 ABCD 的面积= 1 2 AC·BD= 18 3 . 6. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ BC=CD. ∵ BE⊥CD,DF⊥BC,∴ ∠BEC= ∠DFC= 90°. 在△BCE 和△DCF 中, ∠C= ∠C, ∠BEC= ∠DFC, BC=DC, { 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 99 ∴ △BCE≌△DCF(AAS) . ∴ BE=DF. (2)解:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ ∠C= ∠A= 45°. ∵ BE⊥CD, ∴ ∠EBC= ∠C= 45°. ∴ BE=CE. ∴ BC= BE2 +CE2 = 2CE=CD. ∴ DE=CD-CE= 2CE-CE= ( 2 -1)CE. ∴ DE CE = 2 -1. 第 2 课时　 菱形的判定 【边学边练】 1. C　 2. C 3. C　 【解析】A. 对角线相等的平行四边形是矩 形,故本选项错误;B. 对角线互相垂直且相等 的四边形不一定是菱形,故本选项错误;C. 对 角线互相平分且垂直的四边形是菱形,故本 选项正确;D. 对角线互相垂直的四边形不一 定是菱形,故本选项错误. 故选 C. 【随堂小测】 1. C　 【解析】如图,∵ 四边形 ABCD 是平行四边 形,∴ AD∥BC. ∴ ∠ADB = ∠CBD. ∵ ∠ABD = ∠CBD,∴ ∠ADB= ∠ABD. ∴ AD=AB. ∴ ▱ABCD 是菱形. 故选 C. 2. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ OA=OC,OB = OD. ∵ 对角线 BD 上的两点 M,N 满足 BM = DN,∴ OB-BM = OD-DN,即 OM=ON. ∴ 四边形 AMCN 是平行四边形. ∵ BD⊥AC,∴ MN⊥AC. ∴ 四边形 AMCN 是菱 形. 故选 C. 3. B　 【解析】根据题意可知 AD=B′C′,AD∥B′C′, ∴ 四边形 AB′C′D 是平行四边形. 甲方案:由 AB′=C′D 不能判断四边形 AB′C′D 是菱形;乙 方案:∵ B′D⊥AC′,∴ ▱AB′C′D 是菱形;丙方案: ∵ AD∥B′C′,∴ ∠C′AD=∠A′C′B′. ∵ ∠A′C′B′= ∠A′C′D,∴ ∠C′AD = ∠A′C′D. ∴ AD= C′D. ∴ ▱AB′C′D 是菱形. 所以正确的方案是乙和 丙. 故选 B. 4. C　 【解析】如图,设 BC 交 AE 于点 G,AD 交 CF 于点 H. ∵ 四边形 ABCD,AECF 是全等的矩 形,∴ AB = CE,∠B = ∠E = 90°,AD∥BC,AE∥ CF. ∴ 四边形 AGCH 是平行四边形. 在△ABG 和 △CEG 中, ∠AGB= ∠CGE, ∠B= ∠E, AB=CE, ì î í ïï ïï ∴ △ABG ≌ △CEG(AAS) . ∴ AG =CG. ∴ 四边形 AGCH 是 菱形. 设 AG=CG= x,则 BG =BC-CG = 6-x. 在 Rt△ABG 中,由勾股定理,得 AB2 +BG2 = AG2, 即 22 +(6 -x) 2 = x2 . 解得 x = 10 3 . ∴ CG = 10 3 . ∴ 菱形 AGCH 的面积 = CG·AB= 10 3 × 2 = 20 3 , 即图中重叠(阴影)部分的面积为20 3 . 故选 C. 5. ①③　 【解析】∵ DE∥AC,DF∥AB,∴ 四边形 AEDF 是平行四边形. 故①正确;∵ ∠BAC = 90°,四边形 AEDF 是平行四边形,∴ 四边形 AEDF 是矩形. 故②错误;∵ AD 平分∠BAC, 四边形 AEDF 是平行四边形,∴ 四边形 AEDF 是菱形. 故③正确;∵ AB = AC,四边形 AEDF 是平行四边形,不能得出 AE = AF,∴ 四边形 AEDF 不一定是菱形. 故④错误. 综上所述,正 确的有①③. 6.证明:∵ AE∥BC,CE∥AD, ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形. ∵ ∠BAC= 90°,AD 是边 BC 上的中线, ∴ AD= 1 2 BC=CD. ∴ 四边形 ADCE 是菱形. 7.解:(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD= 3 2 cm. ∵ AE 是边 BC 上的高, ∴ ∠AEB= 90°. ∵ ∠B= 45°, ∴ △ABE 是等腰直角三角形. ∴ AE=BE. 在 Rt△ABE 中,AB2 = AE2 +BE2,即(3 2 ) 2 = AE2 +BE2, ∴ BE=AE= 3 cm,即边 BC 上的高 AE 的长度 为 3 cm. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 001