专题06 指数与指数函数5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

【解题秘籍】备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测 专题06 指数与指数函数5题型分类 1、指数及指数运算 （1）根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． （2）根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. （3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. （4）有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． （5）有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 2、指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 （一） 指数运算及指数方程、指数不等式 利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 题型1：指数运算及指数方程、指数不等式 1-1．（2024高三下·湖南·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024高一·全国·单元测试）下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 1-3．（2024高一上·山西晋城·期中）（    ） A． B． C． D． 1-4．（2024·江西）已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（    ） A． B． C．1 D．2 1-5．（2024·陕西榆林·一模）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． （二） 指数函数的图像及性质 1.函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 2.解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 题型2：求指数函数的定义域、值域 2-1．（2024高一上·河南平顶山·阶段练习）函数的定义域为 ． 2-2．（2024高一上·河南平顶山·阶段练习）函数的值域为 ． 2-3．（2024高一上·浙江杭州·期中）已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是 ． 2-4．（2024·宁夏银川·二模）已知函数，，则其值域为 ． 2-5．（2024高一上·上海闵行·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 题型3：指数函数图象及其应用 3-1．（2024高一上·广东梅州·期中）函数（，且）的图象过定点P，则点P的坐标是（    ） A．(1,5) B．(1,4) C．(0,4) D．(4,0) 3-2．（2024高一上·山东淄博·期末）函数（其中，）的图象恒过的定点是（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   3-4．（2024·山东）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（    ） A． B． C． D． 3-5．（2024高一上·福建福州·期中）指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   3-6．（2024·四川）函数的图象关于直线对称的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3-7．（2024高一·广东河源·期中）若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是 . 题型4：指数函数单调性及应用 4-1．（2024·江苏）不等式的解集为 . 4-2．（2024高一·上海·专题练习）不等式的解集为 ． 4-3．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 4-4．（2024高二下·宁夏银川·期末）若函数, 则该函数在(-∞,+∞)上是 A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值 C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值 4-5．（2024·全国）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 4-6．（2024·全国）设函数则满足的x的取值范围是 . 4-7．（2024·江西景德镇·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的x的取值范围是 ． （三） 指数函数中的恒成立问题 已知不等式能恒成立求参数值（取值范围）问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 题型5：指数函数中的恒成立问题 5-1．（2024高一上·浙江·期中）若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 5-2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是 . 5-3．（2024高三上·上海松江·期中）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 5-4．（2024高一上·上海宝山·阶段练习）设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是 . 一、单选题 1．（2024高三上·陕西西安·期中）若是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 2．（2024高三·山东·学业考试）函数是指数函数，则（    ） A．或 B． C． D．且 3．（2024高三·全国·专题练习）当x>0时，函数的值总大于1，则实数a的取值范围是（　　） A．1<|a|<2 B．|a|<1 C．|a|> D．|a|< 4．（2024高一上·福建福州·阶段练习）函数的定义域是  （    ） A． B． C． D． 5．（2024·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三上·湖北武汉·开学考试）设函数，函数的图像经过第一､三､四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江西）已知实数，满足等式，下列五个关系式： ①；②；③；④；⑤． 其中不可能成立的关系式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024·北京）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·天津）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·安徽）设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 11．（2024高二下·安徽宣城·阶段练习）定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（    ） A． B． C． D． 12．（2024·海南·模拟预测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·全国）设函数，则满足的x的取值范围是 A． B． C． D． 14．（2024·全国）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·北京）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 16．（2024·北京西城·三模）在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一·全国·课后作业）函数对于任意的实数、都有（    ） A． B． C． D． 18．（2024高一上·浙江温州·期中）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 19．（2024高一上·北京西城·期中）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 20．（2024高一上·全国·课后作业）若指数函数在上的最大值与最小值的和为，则（    ） A．或 B． C． D． 21．（2024·陕西西安·一模）已知实数a、b满足，则a、b的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 22．（2024·陕西）下了函数中，满足“”的单调递增函数是（   ） A． B． C． D． 23．（2024·全国）已知，则 A． B． C． D． 24．（2024高一上·云南楚雄·阶段练习）若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有（    ） A．f（2）<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f（2） C．f（2）<g(0)<f(3) D．g(0)<f（2）<f(3) 25．（2024高一上·吉林·）函数(，且)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2024·河南平顶山·模拟预测）甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 27．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（2024·上海长宁·一模）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 29．（2024高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（    ） A．8 B．24 C．4 D．6 30．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 31．（2024·全国）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 32．（2024·海南海口·模拟预测）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 33．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数且满足为偶函数，当时，且．若，则（    ） A． B． C． D． 34．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 35．（2024高三·全国·专题练习）对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为[0，2]，，则下列结论正确的是（ ） A．， B．的定义域为[0，1] C．的值域为[2，6] D．的值域为[2，20] 36．（2024高一上·山东泰安·期末）函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 37．（2024·浙江绍兴·模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（    ） A．当，则这期间人口数呈下降趋势 B．当，则这期间人口数呈摆动变化 C．当时，的最小值为3 D．当时，的最小值为3 38．（2024·山东聊城·二模）已知函数，则（    ） A．函数是增函数 B．曲线关于对称 C．函数的值域为 D．曲线有且仅有两条斜率为的切线 39．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 三、填空题 40．（2024高三上·黑龙江七台河·期中）设函数，且，，则的解析式为 ． 41．（2024·上海·模拟预测）已知，则的值域是 ； 42．（2024·全国·模拟预测）使函数的值域为的一个a的值为 ． 43．（2024·山东）已知函数 的定义域和值域都是 ，则 . 44．（2024·海南·模拟预测）已知函数的定义域为，则 ． 45．（2024高三·全国·对口高考）函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为 ． 46．（2024高三·全国·专题练习）已知函数过定点，如果点是函数的顶点，那么的值分别为 47．（2024高二下·河北石家庄·期中）若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围为 ． 48．（2024高三上·上海徐汇·开学考试）已知函数满足对于任意，都有成立，则的取值范围为 49．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为 50．（2024·福建）若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于 ． 51．（2024·江苏）若，则 ． 52．（2024·山东）若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝ . 53．（2024高二下·江苏苏州·阶段练习）函数的定义域为 . 54．（2024·上海杨浦·模拟预测）若函数为偶函数， 且当时，， 则 . 55．（2024·上海金山·一模）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 . 56．（2024高三上·山西运城·阶段练习）已知函数是奇函数，则 . 57．（2024高一上·重庆渝中·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .（用区间或集合作答） 58．（2024·福建厦门·一模）若函数的值域为，且满足，则的解析式可以是 . 59．（2024高三下·河北·阶段练习）在这4个数中，最小的是 ，最大的是 ． 60．（2024·河北邯郸·一模）不等式的解集为 . 61．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在内的最大值是最小值的两倍，且，则 62．（2024·上海浦东新·模拟预测）设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为 . 63．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象关于坐标原点对称，则 . 64．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知实数，满足，，则 ． 四、解答题 65．（2024高一·全国·课后作业）已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数． （1）求f(x)的表达式； （2）判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明． 66．（2004·北京）当时，解关于x的不等式：， 67．（2024高一上·海南海口·阶段练习）已知函数. (1)若，求的值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 68．（2024高一上·河北保定·期中）已知函数． (1)若，求的单调区间 (2)若有最大值3，求的值 (3)若的值域是，求的值 69．（2024·上海虹口·二模）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求实数的值，并证明在上单调递增； (2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$【解题秘籍】备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测 专题06 指数与指数函数5题型分类 1、指数及指数运算 （1）根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． （2）根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. （3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. （4）有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． （5）有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 2、指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 （一） 指数运算及指数方程、指数不等式 利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 题型1：指数运算及指数方程、指数不等式 1-1．（2024高三下·湖南·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】. 故选：B. 1-2．（2024高一·全国·单元测试）下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】根据分式指数幂及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误． 【详解】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误； 对于B，，故，选项B正确； 对于 C，， ，因为，所以，选项C错误； 对于D，，选项D错误. 故选：B． 1-3．（2024高一上·山西晋城·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用指数幂的运算性质计算即可. 【详解】. 故选：B 1-4．（2024·江西）已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先求出的值，再求的值，然后列方程可求得答案 【详解】解：由题意得， 所以，解得a=. 故选：A 【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题 1-5．（2024·陕西榆林·一模）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，从而，对，讨论，分别代入分段函数即可求出实数的值． 【详解】∵函数， ， ， ， 当时，， 方程无解，即满足条件的不存在， 当时，，解得． ∴． 故选：A． （二） 指数函数的图像及性质 1.函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 2.解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 题型2：求指数函数的定义域、值域 2-1．（2024高一上·河南平顶山·阶段练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 2-2．（2024高一上·河南平顶山·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】． 【分析】利用换元法结合二次函数求值域即可. 【详解】设，则， 换元得， 显然当时，函数取到最小值， 所以函数的值域为． 故答案为：. 2-3．（2024高一上·浙江杭州·期中）已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是 ． 【答案】[-1，0] 【分析】把f（x）的定义域为R转化为0对任意x∈R恒成立，即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，再由判别式小于等于0求解． 【详解】∵f（x）的定义域为R， ∴0对任意x∈R恒成立， 即恒成立， 即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立， ∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0． 故答案为[﹣1，0]． 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题． 2-4．（2024·宁夏银川·二模）已知函数，，则其值域为 ． 【答案】 【分析】令，将问题转化为求二次函数在区间上的值域问题，结合二次函数单调性，即可求解. 【详解】令，∵，∴， ∴， 又关于对称，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即， . 故答案为：. 2-5．（2024高一上·上海闵行·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别讨论当时，的值域和当时，的值域，根据分段函数的值域取二者的并集，结合集合的并集运算即可求解. 【详解】当时，在上单调递增， 所以时，； 当时，， ①若，则在上单调递增，在上单调递减， 则时，，即时，， 又时，， 此时，函数的值域为，不满足题意，舍去； ②当时，函数此时值域为，不满足题意，舍去； ③当时，在上单调递减， 则时，，即时，， 因为函数的值域为， 又时，； 则时，且， 不等式解得：， 不等式等价于时，， 设（）， 因为在上单调递增，在上是增函数， 所以在上单调递增，又， 所以时，等价于，即， 则不等式解得：， 所以时，的解集为， 综上：实数的取值范围是， 故答案为：. 题型3：指数函数图象及其应用 3-1．（2024高一上·广东梅州·期中）函数（，且）的图象过定点P，则点P的坐标是（    ） A．(1,5) B．(1,4) C．(0,4) D．(4,0) 【答案】A 【分析】根据指数型函数图象过定点的知识即得. 【详解】当时，， 所以. 故选：A. 3-2．（2024高一上·山东淄博·期末）函数（其中，）的图象恒过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令可得定点. 【详解】令，即，得， 函数（其中，）的图象恒过的定点是. 故选：B. 3-3．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解. 【详解】∵， ∴时，， 当时，函数为上的单调递增函数，且， 当时，函数为上的单调递减函数，且， 故选：B 3-4．（2024·山东）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项. 【详解】当时，，所以在上递减， 是偶函数，所以在上递增. 注意到， 所以B选项符合. 故选：B 3-5．（2024高一上·福建福州·期中）指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先由指数函数的图象判断出，进而分析出二次函数的图象与轴的两个交点， 即可解出. 【详解】由指数函数的图象可知：. 令，解得， 则， 对应只有B选项符合题意. 故选：B 3-6．（2024·四川）函数的图象关于直线对称的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，再结合对称性可得合适的选项. 【详解】函数的图象可视为将函数的图象向上平移个单位， 所以，函数的图象如下图所示： 所以，函数的图象关于直线对称的函数的图象如A选项中的图象. 故选：A. 3-7．（2024高一·广东河源·期中）若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】就的取值分类讨论后可得a的取值范围. 【详解】直线与的图象有两个公共点， 故有两个不同的解， 故和共有两个不同的解， 因为，故有且只有一个实数解. 若，则，故无解，而只有一个解， 故有且只有一个实数解，与题设矛盾，舍； 若，因为只有一个解，故需有一解， 故，故. 故答案为：. 题型4：指数函数单调性及应用 4-1．（2024·江苏）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】试题分析：本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即底数化为2，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围． , 是一个递增函数； 故答案为. 考点：指数函数的单调性和特殊性 4-2．（2024高一·上海·专题练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性求解不等式作答. 【详解】函数在R上单调递增，则， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 4-3．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 【答案】 【解析】函数定义域是，求出的减区间即得． 【详解】因为函数的单调递减区间为，所以原函数的单调递增区间为. 故答案为： 【点睛】本题考查复合函数的单调性，掌握复合函数单调性“同增异减”法则是解题关键． 4-4．（2024高二下·宁夏银川·期末）若函数, 则该函数在(-∞,+∞)上是 A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值 C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值 【答案】A 【详解】本题考查函数的单调性及最值. 设，则当时为增函数，且； 于是为减函数，其图象如图所示： 则故为减函数且；图象在轴上方，，所以原函数既无最小值，也无最大值. 故正确答案为A. 4-5．（2024·全国）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 4-6．（2024·全国）设函数则满足的x的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是. 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值. 4-7．（2024·江西景德镇·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为，利用函数的单调性建立条件关系即可 【详解】由函数性质知， ， ∴， 即，解得，∴， 故答案为：. （三） 指数函数中的恒成立问题 已知不等式能恒成立求参数值（取值范围）问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 题型5：指数函数中的恒成立问题 5-1．（2024高一上·浙江·期中）若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，将原不等式转化成恒成立，从而求出的范围． 【详解】令，∵，∴， ∵恒成立，∴恒成立， ∵，当且仅当时，即时，表达式取得最小值， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查与指数函数有关不等式的恒成立问题，可换元后转为含参数的一元二次不等式的恒成立问题，再利用参变分离可求参数的取值范围，此题需要学生有较好的逻辑分析能力，难度不大，属于基础题． 5-2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】． 【分析】利用换元法把目标式转化为二次函数问题，结合二次函数的单调性和最值情况可得答案. 【详解】令 因为在区间上是增函数， 所以 因此要使在区间上恒成立，应有，即所求实数m的取值范围为． 故答案为：. 5-3．（2024高三上·上海松江·期中）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】，， 【分析】设，，则，对于，恒成立，问题转化为，于，恒成立，即，即可解得答案． 【详解】设，， 则，对于，恒成立， 即，对于，恒成立， ∴， 即， 解得或， 即或， 解得或， 综上，的取值范围为，，． 故答案为：，，﹒ 5-4．（2024高一上·上海宝山·阶段练习）设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意把不等式转化为即，结合函数的单调性和奇偶性，得到在上恒成立，根据二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数， 且满足，所以函数为奇函数， 因为，即， 可得恒成立，即在上恒成立， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024高三上·陕西西安·期中）若是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解. 【详解】因为是指数函数， 所以，解得. 故选：C． 2．（2024高三·山东·学业考试）函数是指数函数，则（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】由指数函数的定义可得，同时，且，从而可求出的值 【详解】由指数函数定义知，同时，且，所以解得. 故选：C 3．（2024高三·全国·专题练习）当x>0时，函数的值总大于1，则实数a的取值范围是（　　） A．1<|a|<2 B．|a|<1 C．|a|> D．|a|< 【答案】C 【分析】根据x>0时，函数的值总大于1，求解. 【详解】解：因为当x>0时，函数的值总大于1， 所以，则， 解得， 故选：C. 4．（2024高一上·福建福州·阶段练习）函数的定义域是  （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，再解指数不等式得结果. 【详解】，解得， 函数的定义域， 故选：A. 【点睛】本题考查函数定义域、解指数不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．（2024·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可. 【详解】当时，， 当时， ， 因为函数的值域为， 所以，得， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 6．（2024高三上·湖北武汉·开学考试）设函数，函数的图像经过第一､三､四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求得，化简得到，结合指数函数的性质，即可求解. 【详解】由函数的的图像经过第一､三､四象限，可得， 所以， 又因为，所以的取值范围为. 故选：A. 7．（2024·江西）已知实数，满足等式，下列五个关系式： ①；②；③；④；⑤． 其中不可能成立的关系式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先画出函数与的图象，再讨论时，的情况即可． 【详解】解：画出函数与的图象， 当时，的图象在的图象下方， 当时，的图象在的图象上方， 当，时，则， 当时，成立， 当，时，则， 故③，④不成立. 故选：B． 8．（2024·北京）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 9．（2024·天津）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 10．（2024·安徽）设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 【答案】A 【详解】试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A 考点：函数的单调性. 11．（2024高二下·安徽宣城·阶段练习）定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的图象关于直线对称可得，再根据当时，单调递减可得答案. 【详解】定义在上的函数的图象关于直线对称， 所以，所以， 因为当时，为单调递增函数， 定义在上的函数的图象关于直线对称， 所以当时，单调递减， 因为，所以，即. 故选：B. 12．（2024·海南·模拟预测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，将不等式转化为，利用单调性可解. 【详解】构造函数，易知函数在上为单调递增函数． 因为不等式等价于， 又，所以， 所以由函数的单调性知，即， 解得或，所以原不等式的解集为. 故选：D 13．（2024·全国）设函数，则满足的x的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果. 详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D. 点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果. 14．（2024·全国）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 15．（2024·北京）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 16．（2024·北京西城·三模）在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A.利用正切函数的性质判断；B.利用绝对值函数的性质判断；C.利用指数函数的性质判断；D.利用二次函数的性质判断. 【详解】解：A. 的增区间为，在整个定义域上不单调，故错误； B.的增区间是，在整个定义域上不单调，故错误； C. 在R上递增，故正确； D. 的增区间是，在整个定义域上不单调，故错误； 故选：C 17．（2024高一·全国·课后作业）函数对于任意的实数、都有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数的运算性质得到，逐一核对四个选项即可得到结论. 【详解】解：由函数， 得， 所以函数对于任意的实数、都有. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数的运算性质，是基础题. 18．（2024高一上·浙江温州·期中）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数单调性判断与的大小，再由图象与轴的交点位置判断的正负. 【详解】由图象可知，函数为减函数， 从而有； 法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标， 令，得， 由，即，解得 . 法二：函数图象可看作是由向左平移得到的， 则，即. 故选：D. 19．（2024高一上·北京西城·期中）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论． 【详解】解：如图所示，图象与轴的交点在轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 20．（2024高一上·全国·课后作业）若指数函数在上的最大值与最小值的和为，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义可得出，然后分、两种情况讨论，分析函数的单调性，结合已知条件可得出关于实数的方程，解出即可. 【详解】因为函数为指数函数，所以. 当时，在上的最大值为，最小值为，则，解得或（舍）； 当时，在上的最大值为，最小值为，则，解得（舍）或（舍）. 综上可知，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用指数函数在区间上的最值求参数，解题的关键在于对指数函数的底数的取值范围进行分类讨论，结合函数的单调性得出等式求解. 21．（2024·陕西西安·一模）已知实数a、b满足，则a、b的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】构造函数，，结合指数函数和一次函数的单调性求解即可. 【详解】设，，则， 因为函数和在上都为增函数， 所以函数在上为增函数， 所以. 故选：C. 22．（2024·陕西）下了函数中，满足“”的单调递增函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义一一代入分析即可. 【详解】A选项：由，，得，所以A错误； B选项：由，，得； 又函数是定义在上增函数，所以B正确； C选项：由，，得，所以C错误； D选项：函数是定义在上减函数，所以D错误； 故选：B. 23．（2024·全国）已知，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且幂函数在 上单调递增，所以b<a<c. 故选A. 点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小. 24．（2024高一上·云南楚雄·阶段练习）若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有（    ） A．f（2）<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f（2） C．f（2）<g(0)<f(3) D．g(0)<f（2）<f(3) 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性得，进而得，从而利用函数的单调性及正负可比较大小. 【详解】函数分别是上的奇函数、偶函数, ， 由，得， ， ， 解方程组得， 易知在上单调递增，所以， 又 所以. 故选：D 25．（2024高一上·吉林·）函数(，且)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件令，再借助二次函数单调性结合复合函数单调性分类讨论作答. 【详解】令，则原函数转化为，其图象的对称轴为直线， 若，则在上单调递增，且，因为原函数在区间上单调递增，于是得，解得，与矛盾， 若，则在上单调递减，且，因为原函数在区间上单调递增，于是得，解得或，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 26．（2024·河南平顶山·模拟预测）甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】令，则方程可化为，根据甲计算出常数，根据乙计算出常数，再将 代入关于x的方程解出 即可 【详解】令，则方程可化为，甲写错了常数b， 所以和是方程的两根，所以， 乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以， 则可得方程，解得， 所以原方程的根是或 故选：D 27．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程有解转化为有正根，即在有解，根据解出的范围． 【详解】方程有解， 有解， 令， 则可化为有正根， 则在有解，又当时， 所以， 故选：． 28．（2024·上海长宁·一模）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性和与轴的交点结合指数函数的性质可求解. 【详解】若，为增函数， 且，与图象不符， 若，为减函数， 且，与图象相符，所以， 当时，， 结合图象可知，此时，所，则，所以， 故选:C. 29．（2024高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（    ） A．8 B．24 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据类指数函数的定点确定，从而代入并利用均值不等式即可得解. 【详解】因为函数图象恒过定点 又点A的坐标满足关于，的方程， 所以， 即 所以， 当且仅当即时取等号； 所以的最小值为4． 故选：C． 30．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数的图象关于中心对称，在上单调递减，且，不等式转化为或或，解得答案. 【详解】依题意，，， 故， 故函数的图象关于中心对称， 当时，，，单调递减， 故在上单调递减，且， 函数的图象关于中心对称，在上单调递减，， 而，故或或， 解得或，故所求不等式的解集为， 故选：B. 31．（2024·全国）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 二、多选题 32．（2024·海南海口·模拟预测）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，结合函数奇偶性定义，探讨出函数的周期，即可逐项分析判断作答. 【详解】因为函数为偶函数，则，即，B正确； 又函数是奇函数，则，因此，即有， 于是，即函数的周期为4，有，C正确； 因为是定义域为的奇函数，则，解得，A正确； 当时，，所以，D错误． 故选：ABC 33．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数且满足为偶函数，当时，且．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先判断出的周期，然后结合奇偶性、周期性、解析式求得正确答案. 【详解】因为为奇函数，所以的图象关于点中心对称，因为为偶函数， 所以的图象关于直线对称． 根据条件可知，则， 即4为的一个周期，则， 所以，所以C正确； 又因为， 所以解得或（舍去），所以A正确，B错误； 所以当时，，所以，所以D正确． 故选：ACD 34．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数图象可得出、的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项. 【详解】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则， 且当时，，可得. 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对. 故选：ABD. 35．（2024高三·全国·专题练习）对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为[0，2]，，则下列结论正确的是（ ） A．， B．的定义域为[0，1] C．的值域为[2，6] D．的值域为[2，20] 【答案】ABC 【分析】根据指数函数图像恒过定点求出m，n的值，根据的定义域求的定义域，再根据指数函数和二次函数的单调性，求出的值域. 【详解】令，得，此时， 所以函数的图象过定点，即，，故选项A正确； 因为，，所以，， 所以， 由得， 所以的定义域为[0，1]，故B正确； 易知在[0，1]上单调递增， 所以当时，取得最小值2，当时，取得最大值6， 所以的值域为[2，6]，故选项C正确，选项D错误． 故选:ABC． 36．（2024高一上·山东泰安·期末）函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项. 【详解】当时，，图象A满足； 当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足； 当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足； 图象C过点，此时，故C不成立. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 37．（2024·浙江绍兴·模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（    ） A．当，则这期间人口数呈下降趋势 B．当，则这期间人口数呈摆动变化 C．当时，的最小值为3 D．当时，的最小值为3 【答案】AC 【分析】由指数函数的性质确定函数的增减性可判断A，B；分别代入和，解指数不等式可判断C，D. 【详解】，由指数函数的性质可知：是关于n的单调递减函数， 即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确； ，所以，所以， ，所以的最小值为3，故C正确； ，所以，所以， ，所以的最小值为2，故D不正确； 故选：AC. 38．（2024·山东聊城·二模）已知函数，则（    ） A．函数是增函数 B．曲线关于对称 C．函数的值域为 D．曲线有且仅有两条斜率为的切线 【答案】AB 【分析】由可得是增函数，且对于任意，满足，所以关于对称，可得AB正确；利用指数函数值域易得函数的值域为，即C错误；令，整理可得，易知，可得，即方程无解，因此曲线不存在斜率为的切线，即D错误. 【详解】根据题意可得，易知是减函数， 所以是增函数，即A正确； 由题意可得，所以， 即对于任意，满足，所以关于对称，即B正确； 由指数函数值域可得，所以，即， 所以函数的值域为，所以C错误； 易知，令，整理可得， 令，即， 易知，又因为，即， 所以，即，因此； 即关于的一元二次方程无实数根； 所以无解，即曲线不存在斜率为的切线，即D错误； 故选：AB 39．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 【答案】BC 【分析】 根据目标式的几何意义为在部分图象上的动点与点所成直线的斜率，即可求范围. 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又是在部分图象上的动点，图象如下： 如上图，，则，只有B、C满足. 故选：BC 三、填空题 40．（2024高三上·黑龙江七台河·期中）设函数，且，，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据，求出，可得函数解析式. 【详解】因为函数解析式为，则，则， 由可得，，解得，所以. 41．（2024·上海·模拟预测）已知，则的值域是 ； 【答案】 【分析】分段讨论的范围即可. 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 42．（2024·全国·模拟预测）使函数的值域为的一个a的值为 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】由指数函数值域性质求解 【详解】令，由题意得的值域为， 又的值域为，所以，解得， 所以的取值范围为． 故答案为：.(答案不唯一) 43．（2024·山东）已知函数 的定义域和值域都是 ，则 . 【答案】 【详解】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解； 若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以. 考点：指数函数的性质. 44．（2024·海南·模拟预测）已知函数的定义域为，则 ． 【答案】 【分析】由已知可得不等式的解集为，可知为方程的根，即可求得实数的值. 【详解】由题意可知，不等式的解集为，则，解得， 当时，由，可得，解得，合乎题意. 故答案为：. 45．（2024高三·全国·对口高考）函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据指数函数图象的特点，求出点顶点，得到，再由，利用基本不等式即可求解. 【详解】令，可得，此时， 所以函数图象恒过定点， 因为点A在直线上，所以，所以， 所以， 当且仅当 ，即时等号成立. 综上，的最小值为. 故答案为：. 46．（2024高三·全国·专题练习）已知函数过定点，如果点是函数的顶点，那么的值分别为 【答案】2，5 【解析】根据指数函数特点，求出点；再根据题意，列出方程，则参数可求. 【详解】（且）恒过点， 所以（且）恒过点， 又为的顶点， 满足，解得 故答案为：，. 【点睛】本题考查指数型函数恒过定点的问题，涉及待定系数法求函数解析式. 47．（2024高二下·河北石家庄·期中）若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围为 ． 【答案】[－1,1] 【详解】画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示 由图象可得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]． 48．（2024高三上·上海徐汇·开学考试）已知函数满足对于任意，都有成立，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据为上的增函数可得实数的取值范围. 【详解】因为对于任意，都有，故 对任意的，总有即，故为上的增函数， 所以，故. 令，，它们的图象如图所示：    故的解为，故的解为. 故答案为：. 【点睛】分段函数是单调函数，不仅要求各范围上的函数的单调性一致，而且要求分段处的点也具有相应的高低分布. 49．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为 【答案】 【解析】先把函数可看成和复合而成，根据其单调性及复合函数“同增异减”法则即可得出的单调递减区间. 【详解】解：函数可看成和复合而成.是减函数，在是递减，在上递增，∴根据复合函数“同增异减”法则知，的单调减区间为． 故答案为：. 【点睛】本题考查求复合函数的单调区间，关键是利用复合函数“同增异减”法则，属于基础题. 50．（2024·福建）若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于 ． 【答案】 【详解】试题分析：根据可知函数的图像关于直线对称，可知，从而可以确定函数在上是增函数，从而有，所以，故的最小值等于. 考点：函数图像的对称性，函数的单调性. 【方法点睛】该题根据题中的条件确定好函数本身的单调区间，根据函数在函数增区间的所有子区间上是增函数，从而求得参数的取值范围，关键是根据条件，得出函数图像的对称性，确定出函数图像的对称轴，从而得到函数的增区间，从而根据集合间的包含关系，从而确定出参数的取值范围. 51．（2024·江苏）若，则 ． 【答案】-1 【分析】先得到，即，结合的单调性得到，从而求出答案. 【详解】因为，， 所以， 因为单调递增， 故， 因为，所以 故答案为：-1 52．（2024·山东）若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝ . 【答案】 【详解】　当时，有，此时，此时为减函数， 不合题意.若，则，故，检验知符合题意 53．（2024高二下·江苏苏州·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由题意结合分母不为0、偶次方根的被开方数非负可得，解指数不等式即可得解. 【详解】若要使函数有意义，则即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了函数定义域的求解，考查了指数不等式的求解及运算求解能力，属于基础题. 54．（2024·上海杨浦·模拟预测）若函数为偶函数， 且当时，， 则 . 【答案】/ 【分析】利用偶函数的定义即可求解. 【详解】当时，，所以， 又因为为偶函数，所以． 故答案为：. 55．（2024·上海金山·一模）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于的不等式，求解不等式即可得到结果. 【详解】由已知可得，且. 又时，， 即 ， 所以有，即， 解得或. 故答案为：或. 56．（2024高三上·山西运城·阶段练习）已知函数是奇函数，则 . 【答案】 【分析】根据奇函数的定义得出，代入化简得出，即可得出答案. 【详解】因为，故， 因为为奇函数， 故 ， 即，故. 故答案为：. 57．（2024高一上·重庆渝中·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .（用区间或集合作答） 【答案】/ 【分析】由已知及指数的性质可得，即可求的定义域. 【详解】由题设，，可得， ∴的定义域为. 故答案为： 58．（2024·福建厦门·一模）若函数的值域为，且满足，则的解析式可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】取，求出函数的值域，验证成立，即可得出结果. 【详解】取函数，因为，则，即函数的值域为， 因为，，则， 所以，函数的解析式可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 59．（2024高三下·河北·阶段练习）在这4个数中，最小的是 ，最大的是 ． 【答案】 【分析】利用指数、三角函数性质判断各数的大小关系即可. 【详解】因为，且， 所以最小的是，最大的是． 故答案为：， 60．（2024·河北邯郸·一模）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将原不等式变为，设，然后利用函数的单调性解不等式. 【详解】由，可得. 令， 因为均为上单调递减函数 则在上单调递减，且， ， 故不等式的解集为. 故答案为：. 61．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在内的最大值是最小值的两倍，且，则 【答案】或 【分析】分、两种情况讨论，利用指数函数的单调性可得出关于实数的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值. 【详解】当时，函数在内单调递增， 此时函数的最大值为，最小值为， 由题意得，解得，则， 此时； 当时，函数在内单调递减， 此时函数的最大值为，最小值为， 由题意得，解得，则， 此时． 故答案为：或. 62．（2024·上海浦东新·模拟预测）设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由函数的定义域可求得实数的值，可得出函数的解析式，求出的值，然后利用指数函数的单调性可解不等式，即可得其解集. 【详解】若，对任意的，，则函数的定义域为，不合乎题意， 所以，，由可得， 因为函数的定义域为，所以，，解得， 所以，，则， 由可得，解得. 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 63．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象关于坐标原点对称，则 . 【答案】/1.5 【分析】根据函数图象关于坐标原点对称，分别求解出的值即得答案. 【详解】依题意函数是一个奇函数， 又，所以， 所以定义域为， 因为的图象关于坐标原点对称，所以，解得. 又，所以， 所以，即， 所以，所以. 故答案为： 64．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知实数，满足，，则 ． 【答案】1 【分析】由可变形为，故考虑构造函数，判断函数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求. 【详解】因为，化简得． 所以，又， 构造函数， 因为函数，在上都为增函数， 所以函数在上为单调递增函数， 由，∴， 解得，， ∴． 故答案为：. 四、解答题 65．（2024高一·全国·课后作业）已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数． （1）求f(x)的表达式； （2）判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明． 【答案】（1）f(x)＝2x；（2）奇函数；证明见解析． 【分析】（1）利用指数函数的定义，求出，即可求的表达式， （2），即可利用定义判断的奇偶性. 【详解】（1）由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)， ∴f(x)＝2x． （2）， ∴，且定义域为R， ∴F(x)是奇函数． 66．（2004·北京）当时，解关于x的不等式：， 【答案】 【分析】根据指数函数、根式的性质得，讨论、求解集，然后取并即可. 【详解】由题设，， 当时，，而（注意等号的取值不同），则恒成立； 当时，，整理得，解得，即； 综上，，解集为. 67．（2024高一上·海南海口·阶段练习）已知函数. (1)若，求的值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分别讨论和去绝对值解方程即可求解； （2）由题意可得：对于恒成立，分离转化为最值问题即可求解. 【详解】（1）当时，，舍去； 当时，，即， 令，则，解得：或（舍）， 所以，可得：. （2）当时，，即， 即. 当时，，所以对于恒成立， 所以， 当，，，所以 故的取值范围是. 68．（2024高一上·河北保定·期中）已知函数． (1)若，求的单调区间 (2)若有最大值3，求的值 (3)若的值域是，求的值 【答案】(1)函数的单调递增区间是，单调递减区间是； (2)1； (3)0. 【分析】（1）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间； （2）由（1）及题设知，即可求参数值； （3）根据复合函数的值域，结合指数函数、二次函数性质确定参数值即可. 【详解】（1）当时，， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得，即有最大值3时，a为1． （3）由指数函数的性质知，要使的值域为， 应使的值域为R， 因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R）， 故a的值为0． 69．（2024·上海虹口·二模）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求实数的值，并证明在上单调递增； (2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出，利用函数奇偶性的定义可验证函数为奇函数，再利用函数单调性的定义可证得结论成立； （2）由题意可得，可得出，求得，分、，根据已知条件可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为函数是定义域为的奇函数， 则，解得，此时， 对任意的，，即函数的定义域为， ，即函数为奇函数，合乎题意， 任取、且，则， 所以，，则， 所以，函数在上单调递增. （2）解：由（1）可知，函数在上为增函数， 对于任意的、，都有，则， ， 因为，则. 当时，则有，解得； 当时，则有，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$