2024年浙教版中考数学二轮复习专题：分类讨论思想

自学资料 主题：分类讨论思想 兴趣起航 一、分类讨论的基本思想 分类讨论是指将问题进行细化，将其分解成几个易于分析和解决的小问题，并分别进行讨论和解决。通过这种方法可以更好地理解问题的本质，找到解题的关键点，并最终得到问题的解决办法。 分类讨论的基本思想包括以下几点： 1.具体问题具体分析：将问题进行细化后，每个小问题都有其独特的特点和解决思路，需要根据具体情况展开分析。 2.归纳总结：在分析过程中，要总结出各个小问题之间的共同点和规律，以便更好地理解问题，并找到解决办法。 3.统一思考：将各个小问题的解决办法进行归纳和整合，形成对大问题的解决思路。分类讨论的具体步骤可以简单概括为以下几点： 二、分类讨论的具体步骤 1.理解问题：仔细阅读题目，了解问题的背景和要求，确定需要解决的具体问题。 2.分析问题：将大问题分解成几个小问题，每个小问题都有明确的目标和限制条件。在分析过程中，可以通过画图、列举数据等方式进行辅助分析。 3.解决小问题：按照特定的思路和方法，分别解决各个小问题。在解决过程中，可以运用已经学过的数学知识、规律和公式。 4.总结归纳：在解决小问题的过程中，要总结各个小问题之间的共同点和规律，归纳出解决大问题的关键思路和方法。 5.整合答案：将各个小问题的解答整合成对大问题的解答。在整合过程中，要仔细检查各个小问题的解答是否符合大问题的要求，并进行必要的修正和调整。 乐学善思 一 分类讨论—等腰三角形 - 知识探索 - 等腰三角形存在性问题：“两圆一线” - 错题精练 - 1．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，E是AD上的一点，且AE＝2，M是直线AB上一点，射线ME交直线CD于点F，EG⊥ME交直线BC于点G，连结MG、FG，直线FG交直线AD于点N． （1）①当点M为AB中点时，求DF与EG的长； ②求的值． （2）若△EGN为等腰三角形时，求满足条件的AM的长． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，B，以AB为直径构造圆，点C在运动，点D在上，CD交OA于点P，且． （1）求CD的长． （2）求证：OP＝PD． （3）CE∥OA，交圆于另一点E，连结DE．若△CDE为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标． - 举一反三 – 1．如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4）．动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左做匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向做匀速运动．设运动时间为t秒． （1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标； （2）以点C为圆心、t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB． ①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围； ②当△PAB为等腰三角形时，求t的值． 2．如图，已知AB是⊙O的一条固定的弦，C是弦AB上的一动点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD． （1）若OB＝2，∠B＝28°，求弦AB的长（精确到0.01）； （2）当∠B＝30°，且∠D＝20°时，求∠BOD的度数； （3）若∠B＝α度（0°＜α＜45°），且△ACD为等腰三角形，求它的底角的度数（用含α的代数式表示）． 3．如图，点E，F分别为矩形ABCD边AD，CD上的点，以BE为直径作⊙O交BF于点G，且EF与⊙O相切，连结EG． （1）若AE＝EG，求证：△ABE≌△GBE． （2）若AB＝2，tan∠EBF． ①求DE的长． ②连结AG，若△ABG是以AG为腰的等腰三角形，求所有满足条件的BC的长． （3）连结CG，若CG的延长线经过点A，且ED＝EG，求的值． 二 分类讨论--直角三角形 - 知识探索 - 直角三角形存在性问题：“两线一圆” - 错题精练 - 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线yx+3分别交x轴、y轴于点A、B，在x轴的负半轴上取一点C，使AC＝AB，点P是线段AC上的一动点，过P作AC的垂线交折线CBA于点D，设PC＝2t． （1）填空：点C的坐标为 　 　，tan∠BCA＝　 　； （2）当P在线段OA上时，用含t的代数式表示线段PD的长； （3）①如图2，点Q是射线BA上的一动点，且BQ＝3t，连结DQ、PQ，当△PDQ为直角三角形时，求t的值； ②如图3，若以PD为直径的圆与∠ABO的两边都相交，则t的取值范围为 　 　． - 举一反三 – 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B； （1）求证：△ABP∽△PCM； （2）当△PCM为直角三角形时，求线段PB长度． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，∠ABC＝30°，点D，E分别在边AB，AC上，在线段ED左侧构造Rt△DEF，使△DEF∽△BCA． （1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，DF与BC相交于点H．求证：2CH＝BH． （2）当AE＝2时，连接BF，取BF的中点G，连接DG． ①如图2，若点F落在AC边上，求DG的长． ②是否存在点D，使得△DFG是直角三角形？若存在，求AD的长；若不存在，试说明理由． 三 分类讨论—相似三角形 - 知识探索 - 文字相似，条件中存在一组对应角相等，故一般分两种情况进行讨论 - 错题精练 - 1．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2，0）、（0，1），点P的坐标为（，0）．点E是y轴上一动点，QP⊥EP交AB于点Q（保持点Q在x轴上方），EF⊥EQ交AB于点F． （1）当PQ⊥AB时，求OE的长． （2）当点E在线段OB上移动时，设AQ＝n，OE＝m，求n关于m的函数表达式． （3）点E在射线OB上移动过程中，点Q、E、F构成的三角形与△OAB相似，求出点E的纵坐标． - 举一反三 – 1．如图，已知：边长为1的圆内接正方形ABCD中，P为边CD的中点，直线AP交圆于E点． （1）求弦DE的长． （2）若Q是线段BC上一动点，当BQ长为何值时，△ADP与以Q，C，P为顶点的三角形相似？ 2．如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+4（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC．点P是坐标平面内的一点，使得△ACB与△MCP相似，且CM的对应边为AC，请写出所有点P的坐标 　 　． 四 分类讨论—圆 - 错题精练 - 1．如图，边长为4的正方形ABCD中，顶点A落在矩形DEFG的边EF上，EF＝5，而矩形的顶点G恰好落在BC边上．点O是AB边上一动点（不与A，B重合），以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为 　 　． 2．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），以AB为直径的⊙M与y轴的正半轴交于点C．点P是劣弧BC上的一动点． （1）求sin∠ABC的值． （2）当△PCB中有一边是BP的两倍时，求相应AP的长． （3）如图2，以BC为边向上作等边△CBD，线段MD分别交BC和于点H，N．连结DP，HP．点P在运动过程中，DP与HP存在一定的数量关系． 【探究】当点P与点N重合时，求的值； 【探究二】猜想：当点P与点N不重合时，【探究一】的结论是否仍然成立．若成立，给出证明：若不成立，请说明理由． - 举一反三 – 1．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2．直线l与⊙O相切于点C，且l∥AB．在直线l上取一点D，连结AD交⊙O于点E．若AE＝DE，则CD的长是 　 　． 2．如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC为8，以顶点D为圆心，2为半径画圆，点P在对角线上运动，当射线BP与圆D相切时，AP的长是 　 　． 能力实践 1．先阅读理解下面的例题，再按要求解答： 例题：解一元二次不等式x2﹣9＞0． 解：∵x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）， ∴（x+3）（x﹣3）＞0． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）（2） 解不等式组（1），得x＞3， 解不等式组（2），得x＜﹣3， 故（x+3）（x﹣3）＞0的解集为x＞3或x＜﹣3， 即一元二次不等式x2﹣9＞0的解集为x＞3或x＜﹣3． 问题：求分式不等式的解集． 2．在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围． 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求△ABP的周长． （2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？ （3）另有一点Q，从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？ 4．如图，已知：在△ABC中，∠C＝90°，点P是BC边上的动点，PD⊥BC交AB于D，以PD为直径的⊙O分别交AB，AP于点E，F． （1）求证：∠EFP＝∠EPB． （2）若AB＝20，sinB． ①当∠APB＝4∠APD，求PC的长． ②当△PEF为等腰三角形时，请求出所有满足条件的△PEF的腰长． （3）若sinB，且D，F，C在一条直线上，则DP与AC的比值为 　 　． 5．在矩形ABCD中，AB＝4，点P是直线CD上（不与点C重合）的动点，连结BP，过点B作BP的垂线分别交直线AD、直线CD于点E、F，连结PE． （1）如图，当AD＝4，点P是CD的中点时，求tan∠EBA的值； （2）当AD＝2时， ①若△DPE与△BPE相似，求DP的长． ②若△PEF是等腰三角形，求DE的长． 6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，P分别是AB，BC上的点，过B，D，P三点作圆，与射线CD交于点E．AC＝3，BC＝5，AD＝1． （1）若点E在CD的延长线上，求证：△CDP∽△CBE； （2）当△BEC为直角三角形时，求DP； （3）当过B，D，P三点的圆与△ADC的一边相切时，求半径r； （4）记△BDE、△DPC的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝1：3，请直接写出BP的值：　 　． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度向点B运动，另一动点Q从点A出发沿着AC方向以4cm/s的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达B点或点Q到达C点即停止运动，设运动时间为t（s）． （1）当t为多少秒时，以P、C、Q为顶点的三角形和△ABC相似？ （2）当t为多少秒时，△PCQ的面积是△ACB面积的？ 8．⊙O的半径为3cm，直线EF切⊙O于点B，点A，C在直线EF上，且AB＝3cm，BCcm，则∠AOC＝　 　． 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是 　 　． 反思好学 1、错题整理；2、巩固分类讨论的解题步骤。 15 / 15 非学科培训 学科网（北京）股份有限公司 $$ 自学资料 主题：分类讨论思想 兴趣起航 一、分类讨论的基本思想 分类讨论是指将问题进行细化，将其分解成几个易于分析和解决的小问题，并分别进行讨论和解决。通过这种方法可以更好地理解问题的本质，找到解题的关键点，并最终得到问题的解决办法。 分类讨论的基本思想包括以下几点： 1.具体问题具体分析：将问题进行细化后，每个小问题都有其独特的特点和解决思路，需要根据具体情况展开分析。 2.归纳总结：在分析过程中，要总结出各个小问题之间的共同点和规律，以便更好地理解问题，并找到解决办法。 3.统一思考：将各个小问题的解决办法进行归纳和整合，形成对大问题的解决思路。分类讨论的具体步骤可以简单概括为以下几点： 二、分类讨论的具体步骤 1.理解问题：仔细阅读题目，了解问题的背景和要求，确定需要解决的具体问题。 2.分析问题：将大问题分解成几个小问题，每个小问题都有明确的目标和限制条件。在分析过程中，可以通过画图、列举数据等方式进行辅助分析。 3.解决小问题：按照特定的思路和方法，分别解决各个小问题。在解决过程中，可以运用已经学过的数学知识、规律和公式。 4.总结归纳：在解决小问题的过程中，要总结各个小问题之间的共同点和规律，归纳出解决大问题的关键思路和方法。 5.整合答案：将各个小问题的解答整合成对大问题的解答。在整合过程中，要仔细检查各个小问题的解答是否符合大问题的要求，并进行必要的修正和调整。 乐学善思 一 分类讨论—等腰三角形 - 知识探索 - 等腰三角形存在性问题：“两圆一线” - 错题精练 - 1．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，E是AD上的一点，且AE＝2，M是直线AB上一点，射线ME交直线CD于点F，EG⊥ME交直线BC于点G，连结MG、FG，直线FG交直线AD于点N． （1）①当点M为AB中点时，求DF与EG的长； ②求的值． （2）若△EGN为等腰三角形时，求满足条件的AM的长． 【解答】解：（1）①当点M为AB中点时，如图，过点G作GH⊥AD于点H， 则∠GHA＝90°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴四边形ABGH为矩形， AB＝GH＝2， ∵点M为AB的中点， ∴AM＝BM＝2， ∵AE＝2， ∴AM＝AE＝2，DE＝AD﹣AE＝8， ∴△AEM为等腰直角三角形，∠AEM＝45°， ∴∠DEF＝∠AEM＝45°， ∴△DEF为等腰直角三角形，DF＝DE＝8， ∵EG⊥ME， ∴∠MEG＝90°， ∴∠GEH＝45°， ∴△GEH为等腰直角三角形，EGGH， ∴DF＝8，EG； ②如图，过点G作GK⊥AD于点K， 则KG＝AB＝4， ∵AE＝2， ∴DE＝8， ∵EG⊥ME， ∴∠AEM+∠KEG＝90°，∠KGE+∠KEG＝90°，∠KEG+∠DEF＝90°， ∴∠AEM＝∠KGE＝∠DEF， ∴△AEM∽△KGE，△KGE∽△DEF， ∴，即， ，即， ∴tan∠EGM，tan∠EFG， ∴∠EGM＝∠EFG， ∵∠EGF+∠EFG＝90°， ∴∠EGF+∠EGM＝90°，即∠MGF＝90°， ∴tan∠EFG； （2）∵∠AEM＝∠DEF，∠EAM＝∠EDF＝90°， ∴△AEM∽△DEF， ∴，即， 设AM＝a，则BM＝4﹣a，DF＝4a， ∴CF＝CD+DF＝4+4a， 由（1）②可知，∠MGF＝90°， ∴∠BGM+∠CGF＝90°， ∠CFG+∠CGF＝90°， ∴∠BGM＝∠CFG， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△BGM∽△CFG， ∴，即， ∴BG＝2a+2，CG＝8﹣2a， （Ⅰ）当EG＝NG时，如图，过点G作GP⊥AD于点P， 则AP＝BG＝2a+2，PE＝PN， ∴PN＝PE＝AP﹣AE＝2a， ∴EN＝4a， ∴DN＝DE﹣EN＝8﹣4a， ∵DN∥BC， ∴，即， 解得：a1，（舍去）， ∴AM； （Ⅱ）当EN＝NG时，如图，过点E作EQ⊥BC于点Q， 则∠NEG＝∠NGE，AE＝BQ＝2，AB＝EQ＝4， ∴QG＝BC﹣BQ﹣CG＝10﹣2﹣（8﹣2a）＝2a， ∵AD∥BC， ∴∠NEG＝∠EGQ， ∴∠EGQ＝∠NGE， ∴∠QFG＝∠EFG， ∴tan∠QFG＝tan∠EFG， ∴， 解得：a＝1， ∴AM＝1； （Ⅲ）当EN＝EG时，如图， 则∠ENG＝∠EGN， ∵AD∥BC， ∴∠ENG＝∠NGC， ∴∠EGN＝∠NGC， ∴∠EFG＝∠CFG， ∵tan∠CFG＝tan∠EFG， ∴， 解得：a， ∴AM． 当NG＝GE时，同理可得， ∴AM1， 综上，当AM或1或或1时，△EGN为等腰三角形． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，B，以AB为直径构造圆，点C在运动，点D在上，CD交OA于点P，且． （1）求CD的长． （2）求证：OP＝PD． （3）CE∥OA，交圆于另一点E，连结DE．若△CDE为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标． 【解答】（1）解：对于，令y＝0， 则得：， 解得：x＝8， ∴A（8，0）， ∴OA＝8， ∵， ∴CD＝OA＝8； （2）证明：连结CO，DA，如图， ∵∠OAD，∠C都是所对的圆周角， ∴∠OAD＝∠C． ∵， ∴， ∴CO＝AD． 在△COP和△ADP中， ∴△COP≌△ADP（AAS）． ∴OP＝PD； （3）解：①当CE＝CD时，如图， 则CE＝CD＝OA＝8， ∵CE∥OA， ∴四边形COAE为矩形， 又∵∠AOB＝90°， ∴点B，C重合， 设PD＝OP＝x，则BP＝CP＝8﹣x， 对于， 令x＝0，则得：y＝6， ∴B（0，6）， ∴OB＝6． 在Rt△BOP中，由勾股定理得： 62+x2＝（8﹣x）2， 解得：． ∴； ②当DC＝DE时，如图， 设圆心为F，DF交OA于点M，延长DF交CE于点H， ∵DC＝DE， ∴， ∴DH⊥CE， ∵CE∥OA， ∴DH⊥OA， ∴OM＝AM， ∴FM是△ABO的中位线， ∴， ∵AB， ∴FDAB＝5， ∴MD＝FD﹣FM＝5﹣3＝2，， 设OP＝PD＝x，则PM＝4﹣x， 在Rt△PMD中，由勾股定理得： 22+（4﹣x）2＝x2， 解得：， ∴； ③当EC＝ED时，设圆心为F，作EG⊥CD于点G，PT⊥CE，垂足为T，FM⊥OA于M，延长MF交CE于点H，连接CF，如图， 则CFAB＝5， ∵FG⊥CD， ∴CGCD＝4， ∴， ∴GE＝GF+FE＝3+5＝8， ∴． tan∠HFE＝tan∠C＝2， ∵HF⊥CE， ∴， ∴HF． ∵PT⊥CE，MH⊥CE，CE∥OA， ∴四边形TPMH为矩形， ∴， ∵∠ECG＝∠PCT，∠CGE＝∠CTP＝90°， ∴△CEG∽△CPT， ∴， ∴CP． ∴， ∴． 综上，满足条件的点P的坐标为：或或． - 举一反三 – 1．如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4）．动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左做匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向做匀速运动．设运动时间为t秒． （1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标； （2）以点C为圆心、t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB． ①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围； ②当△PAB为等腰三角形时，求t的值． 【解答】解：（1）如图，t秒时，有PD＝t，DE＝5，OE＝4，OD＝3， 则PQ：EO＝DQ：OD＝PD：ED， ∴PQt，DQt． ∴C（5﹣t，0），． （2） ①当⊙C的圆心C由点M（5，0）向左运动，使点A到点D并随⊙C继续向左运动时， 有，即． 当点C在点D左侧时，过点C作CF⊥射线DE，垂足为F， 则由∠CDF＝∠EDO， 得△CDF∽△EDO， 则， 解得． 由t，即，解得． ∴当⊙C与射线DE有公共点时，t的取值范围为． ②当PA＝AB时，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q． 有PA2＝PQ2+AQ2． ∴， 即9t2﹣72t+80＝0， 解得． 当PA＝PB时，有PC⊥AB，此时P，C横坐标相等， ∴， 解得t3＝5； 当PB＝AB时，有 ， ∴， 即7t2﹣8t﹣80＝0， 解得（不合题意，舍去）． ∴当△PAB是等腰三角形时，，或t＝4，或t＝5，或． 又∵C是从M点向左运动的，故，或t＝4，或t＝5或． 2．如图，已知AB是⊙O的一条固定的弦，C是弦AB上的一动点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD． （1）若OB＝2，∠B＝28°，求弦AB的长（精确到0.01）； （2）当∠B＝30°，且∠D＝20°时，求∠BOD的度数； （3）若∠B＝α度（0°＜α＜45°），且△ACD为等腰三角形，求它的底角的度数（用含α的代数式表示）． 【解答】解：（1）如图1，过点O作OM⊥AB，则AM＝BM， 在Rt△OBM中， ∵cosB， ∴BM＝OB•cosB＝2×cos28°≈1.766， 故AB＝2×1.766≈3.53； （2）如图1，连接AO， ∵OA、OB、OD是⊙O的半径， ∴OA＝OB＝OD， ∵∠B＝30°，∠D＝20°， ∴∠DAO＝∠D＝20°，∠OAB＝∠B＝30°， ∴∠DAB＝50°， ∴∠DOB＝100°； （3）如备用图1，设∠D＝x°，连接OA， ∵OD＝OA＝OB， ∴∠DAO＝∠ADO＝x，∠CAO＝∠ABO＝α， 若DA＝DC，则x+2（x+α）＝180， 故x， 则底角∠DAC＝x+αα＝60α， 若CA＝CD，显然∠CAD＞x，此种情况不存在， 若AC＝AD，则2x+x+α＝180， 故x， 则底角∠D＝x＝60α． 3．如图，点E，F分别为矩形ABCD边AD，CD上的点，以BE为直径作⊙O交BF于点G，且EF与⊙O相切，连结EG． （1）若AE＝EG，求证：△ABE≌△GBE． （2）若AB＝2，tan∠EBF． ①求DE的长． ②连结AG，若△ABG是以AG为腰的等腰三角形，求所有满足条件的BC的长． （3）连结CG，若CG的延长线经过点A，且ED＝EG，求的值． 【解答】（1）证明：∵BE为直径， ∴∠BAE＝∠BGE＝90°． 在Rt△ABE和Rt△GBE中， ， ∴Rt△ABE和Rt△GBE（HL）； （2）解：①∵EF与⊙O相切， ∴BE⊥EF， ∴∠BEF＝90°， ∴∠AEB+∠DEF＝90°． ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAE＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝∠DEF， ∵∠BAE＝∠D＝90°， ∴△ABE∽△DEF， ∴． 在Rt△BEF中， ∵tan∠EBF， ∴， ∴DEAB2＝1； ②若△ABG是以AG为腰的等腰三角形， Ⅰ．当GA＝GB时， ∵GA＝GB， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵∠DAB＝∠CBA＝90°， ∴∠EAG＝∠FBC． ∵∠EAG＝∠EBG， ∴∠EBG＝∠FBC． 在△BEF和△BCF中， ， ∴△BEF≌△BCF（AAS）， ∴BE＝BC． 设BC＝x，则AD＝BC＝x， ∴AE＝AD﹣DE＝x﹣1， ∵AB2+AE2＝BE2， ∴22+（x﹣1）2＝x2， 解得：x， ∴BC； Ⅱ．当GA＝AB＝2时， ∵GA＝AB， ∴∠ABG＝∠AGB． ∵∠AEB＝∠AGB． ∴∠AEB＝∠ABG． ∵∠AEB+∠ABE＝90°，∠ABG+∠FBC＝90°， ∴∠ABE＝∠FBC， ∵∠BAE＝∠C＝90°， ∴△BAE∽△BCF， ∴． 由（2）知：， ∴， ∴， ∴BC． 综上，若△ABG是以AG为腰的等腰三角形，满足条件的BC的长为或； （3）解：∵BE为圆的直径， ∴∠EGF＝90°． 在Rt△EGF和Rt△EDF中， ， ∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）， ∴∠DEF＝∠GEF，DF＝FG． ∵∠AEG+∠GEF＝90°，∠DEF+∠AEB＝90°， ∴∠AEB＝∠GEB． 在Rt△EAB和Rt△EGB中， ， ∴Rt△EAB≌Rt△EGB（AAS）， ∴AB＝BG，AE＝EG， ∴AE＝EG＝DE， ∴BE⊥AC． ∵BE⊥EF， ∴EF∥AC． ∴EF为△DAC的中位线， ∴DF＝FC， ∴DF＝FC＝FG． 设DF＝FC＝FG＝a，则AB＝CD＝BG＝2a， ∴BF＝BG+GF＝3a． 取BF的中点H，连接EH，如图， 则EH为梯形ABFD的中位线， ∴EFa． ∵EF∥AC， ∴∠FGC＝∠EFH． ∵EH∥CD， ∴∠CFG＝∠EHF， ∴△CFG∽△EHF， ∴． 二 分类讨论--直角三角形 - 知识探索 - 直角三角形存在性问题：“两线一圆” - 错题精练 - 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线yx+3分别交x轴、y轴于点A、B，在x轴的负半轴上取一点C，使AC＝AB，点P是线段AC上的一动点，过P作AC的垂线交折线CBA于点D，设PC＝2t． （1）填空：点C的坐标为 　（﹣1，0）　，tan∠BCA＝　3　； （2）当P在线段OA上时，用含t的代数式表示线段PD的长； （3）①如图2，点Q是射线BA上的一动点，且BQ＝3t，连结DQ、PQ，当△PDQ为直角三角形时，求t的值； ②如图3，若以PD为直径的圆与∠ABO的两边都相交，则t的取值范围为 　t　． 【解答】解：（1）如图1，∵在直线yx+3中，当y＝0时，得x+3＝0， 解得：x＝4． ∴A（4，0）， ∴OA＝4， 当x＝0时，y＝3， ∴B（0，3）， ∴OB＝3， 在Rt△AOB中，AB5， ∵AC＝AB，且点C在x轴的负半轴上， ∴C（﹣1，0）， ∴OC＝1， ∴tan∠BCA3， 故答案为：（﹣1，0），3； （2）当P在线段OA上时，∵PC＝2t， ∴AP＝AC﹣PC＝5﹣2t， ∵tan∠BAC， ∴， ∴PD（5﹣2t）； （3）①设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∵B（0，3），C（﹣1，0）， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝3x+3， ∵PC＝2t，C（﹣1，0）， ∴P（﹣1+2t，0）， 当P在线段OC上时（此时点D在线段CB上），PD⊥AC， ∴D（﹣1+2t，6t）， 当点P在线段OA上时（此时点D在射线段BA上），PD⊥AC， ∴D（﹣1+2t，t）， ∵点Q是射线BA上的一动点，且BQ＝3t， ∴Q（t，t+3）， ∵△PDQ为直角三角形， ∴∠PDQ＝90°或∠DPQ＝90°或∠DQP＝90°， 当∠PDQ＝90°时，如图2， ∵PD⊥x轴， ∴∠CPB＝90°， ∴∠CPB＝∠PDQ， ∴DQ∥x轴，此时点D在线段BC上， ∴点D与点Q的纵坐标相等， ∴6tt+3， 解得：t； 当∠DPQ＝90°时，点Q与点A重合， ∴BQ＝BA＝5，即3t＝5， 解得：t； 当∠DQP＝90°时， 若0＜t，即点P在OC上时，始终有∠PQD＜90°， 当t≤10时， ∵AP＝4﹣（2t﹣1）＝5﹣2t，AQ＝5﹣3t，∠AQP＝90°， ∴cos∠BAC，即， 解得：t； 综上所述，当△PDQ为直角三角形时，t的值为或或； ②当点D在线段CB上时，如图3，设以PD为直径的⊙O′与AB相切于点T，延长PD交直线AB于点K， 则K（2t﹣1，t），D（﹣1+2t，6t）， ∴O′（2t﹣1，3t）， ∴O′Kt3tt， ∵PD∥OB， ∴∠AKP＝∠ABO， ∵⊙O′与AB相切于点T， ∴∠O′TK＝∠AOB＝90°，O′T＝O′P＝3t， ∴△O′TK∽△AOB， ∴，即， 解得：t， 当点D在线段AB上时，如图3，设以PD为直径的⊙O′与OB相切于点W， ∵P（﹣1+2t，0），D（﹣1+2t，t）， ∴O′（2t﹣1，t）， ∵⊙O′与OB相切于点W， ∴∠O′WO＝∠AOB＝90°，O′W＝O′Pt， ∵∠O′PO＝90°， ∴四边形O′POW是正方形， ∴OP＝O′P， ∴2t﹣1t， 解得：t， ∴当以PD为直径的圆与∠ABO的两边都相交时，t的取值范围为t； 故答案为：t． - 举一反三 – 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B； （1）求证：△ABP∽△PCM； （2）当△PCM为直角三角形时，求线段PB长度． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． ∵∠BAP+∠B+∠APB＝180°＝∠APB+∠APM+∠CPM，∠APM＝∠B， ∴∠BAP＝∠CPM， ∴△ABP∽△PCM； （2）解：∵△ABP∽△PCM，△PCM为直角三角形， ∴△ABP为直角三角形． ①当∠APB＝90°时，如图1所示． ∵AB＝AC， ∴BP＝PCBC＝4cm； ②当∠BAP＝90°时，如图2所示． ∵cos∠ABP， ∴， ∴BP． 综上所述：当△PCM为直角三角形时，点P、B之间的距离为4cm或cm． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，∠ABC＝30°，点D，E分别在边AB，AC上，在线段ED左侧构造Rt△DEF，使△DEF∽△BCA． （1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，DF与BC相交于点H．求证：2CH＝BH． （2）当AE＝2时，连接BF，取BF的中点G，连接DG． ①如图2，若点F落在AC边上，求DG的长． ②是否存在点D，使得△DFG是直角三角形？若存在，求AD的长；若不存在，试说明理由． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD＝BD， ∴CD＝AD＝BD， ∵∠ABC＝30°， ∴∠A＝60°， ∴△AED是等边三角形， ∴∠ACD＝∠ADC＝60°， ∴∠HCD＝30°， ∵△DEF∽△BCA， ∴∠HCD＝∠HDC＝∠ABC＝30°，∠DFE＝60°， ∴CH＝HD， ∵∠ADC＝60°，∠HDC＝∠ABC＝30°， ∴∠HFB＝90°， ∴2DH＝BH， ∴2CH＝BH； （2）解：①延长DA至I，使AI＝DA，连接FI， ∵∠ACB＝90°，AC＝6，∠ABC＝30°， ∴AB＝12，BC6， ∵点F落在AC边上， ∴∠DFA＝∠A＝60°， ∴△AFD是等边三角形， ∵AE＝2， ∴AD＝AF＝AI＝4， ∴BD＝DI＝8， ∵G是BF的中点， ∴2DG＝FI， ∵AF＝AI，∠A＝60°， ∴∠AFI＝∠I＝30°， ∴∠DFI＝90°， ∴FI4， ∴DG＝2； ②由①可知，DG∥FI， ∴∠BDG＝∠I＝30°， ∴∠FDG＝180°﹣∠BDG﹣∠FDA＝90°， ∴△DFG是直角三角形，此时AD＝4； 如图，∠DGF＝90°时， ∵G是BF的中点， ∴DB＝FD， 作DW⊥AC于W， 设AD＝2x，则AW＝x，WDx，DB＝FD＝12﹣2x，EW＝x﹣2， ∵△DEF∽△BCA， ∴EF＝6﹣x，ED， （）2+（x﹣2）2＝（6x）2， 解得：x＝616或﹣616（舍去）， 此时，AD＝1232； 如图，∠DFG＝90°时，作DO⊥AC于O，FN⊥AC于N，FM⊥BC于M，交DO于Q，GP⊥FM于P， 设AD＝2x，则AO＝x，ODx，DB＝12﹣2x，EO＝2﹣x， ∵△DEF∽△BCA， ∴， ∵∠FNE＝∠DOE＝∠DEF＝90°， ∠DEO+∠ODE＝90°，∠DEO+∠FEN＝90°， ∴∠ODE＝∠FEN， ∴△ODE∽△NEF， ∴， ∴EN＝x，FN，CN＝FM＝6﹣2﹣x＝4﹣x，BM＝6FN＝6， 由△DFQ∽△FGP得，， ∴， 化简得，x2+17x﹣14＝0， 解得：x或（舍去）， 此时AD17； 当∠GDM＝90°时，如图，构造△GDP∽△DFQ， 由GP＝4，PD＝3，DQx，FQ＝2， ∴， 化简得，7x2﹣25x+22＝0， ∴x1＝2（舍），x2， ∴AD， 综上所述，AD的长为17或1232或4或． 三 分类讨论—相似三角形 - 知识探索 - 文字相似，条件中存在一组对应角相等，故一般分两种情况进行讨论 - 错题精练 - 1．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2，0）、（0，1），点P的坐标为（，0）．点E是y轴上一动点，QP⊥EP交AB于点Q（保持点Q在x轴上方），EF⊥EQ交AB于点F． （1）当PQ⊥AB时，求OE的长． （2）当点E在线段OB上移动时，设AQ＝n，OE＝m，求n关于m的函数表达式． （3）点E在射线OB上移动过程中，点Q、E、F构成的三角形与△OAB相似，求出点E的纵坐标． 【解答】解：（1）∵点A，B的坐标分别为（2，0）、（0，1），点P的坐标为（，0）， ∴OA，OB＝1，OP． ∵PQ⊥AB，QP⊥EP， ∴EP∥AB． ∴． ∴． ∴OE． （2）过点Q作QC⊥AP于点C，如图， ∵OA，OB＝1，OP． ∴AP＝OA﹣OP， AB3． ∵QC⊥AP，OB⊥OA， ∴QC∥OB． ∴，． ∴，． ∴QCn，ACn． ∴PC＝OA﹣OP﹣ACn． ∵QC⊥AP，OB⊥OA， ∴∠EOP＝∠PCQ＝90°． ∵QP⊥EP， ∴∠EPO+∠QPC＝90°． ∵∠OEP+∠EPO＝90°， ∴∠OEP＝∠QPC． ∴△OEP∽△CPQ． ∴． ∴． ∴n． （3）①当点E在线段OB上时，若△EFQ∽△OAB，则∠EQF＝∠OBA， ∴EB＝EQ． 过点E作ED⊥BQ于点D，如图， 则BD＝DQ． 设AQ＝n，OE＝m， 则BQ＝AB﹣AQ＝3﹣n，BE＝OB﹣OE＝1﹣m． 由（2）知：n①． ∴BD＝DQBQ． ∵ED⊥BQ，OB⊥OA， ∴∠EDB＝∠AOB＝90°． ∵∠EBD＝∠ABO， ∴△EBD∽△ABO． ∴． ∴． ∴3n﹣2m＝7． ∴n②． 把②代入①得：m． ∵点E在射线OB上移动， ∴m＞0． ∴m． ∴点E的纵坐标为； ②当点E在点B的上方时，如图， 若△EQF∽△OAB，则∠EFQ＝∠OBA． ∵∠EBF＝∠OBA， ∴∠EFB＝∠EBF． ∴EF＝EB． 过点Q作QM⊥OA于点M，过点E作EN⊥FB于点N， 设OE＝m，则BE＝EF＝m﹣1． ∵EN⊥FB，EF＝EB， ∴FN＝BN． ∵EQF∽△OAB， ∴． ∴FQ＝3EF＝3m﹣3． ∵EF⊥EQ，EN⊥FB， ∴△FEN∽△FQE． ∴， ∴FN（m﹣1）． ∴FB（m﹣1）． ∴BQ＝FQ﹣FB（m﹣1）． ∴AQ＝AB﹣BQ＝3（m﹣1）m． ∴QMAQm， AMAQm． ∴PM＝OA﹣OP﹣AMm． ∵QM⊥AP，OB⊥OA， ∴∠EOP＝∠PMQ＝90°． ∵QP⊥EP， ∴∠EPO+∠QPM＝90°． ∵∠OEP+∠EPO＝90°， ∴∠OEP＝∠QPM． ∴△OEP∽△MPQ． ∴． ∴． 解得：m． ∵点E在射线OB上移动， ∴m＞0． ∴m． ∴点E的纵坐标为． 综上点E的纵坐标为或． - 举一反三 – 1．如图，已知：边长为1的圆内接正方形ABCD中，P为边CD的中点，直线AP交圆于E点． （1）求弦DE的长． （2）若Q是线段BC上一动点，当BQ长为何值时，△ADP与以Q，C，P为顶点的三角形相似？ 【解答】解：（1）如图1．过D点作DF⊥AE于F点． 在Rt△ADP中，（1分） 又∵S△ADPAD•DPAP•DF ∴（2分） ∵的度数为90° ∴∠DEA＝45° ∴（4分） （2）如图2． 当Rt△ADP∽Rt△QCP时有得：QC＝1． 即点Q与点B重合 ∴BQ＝0（5分） 如图3，当Rt△ADP∽Rt△PCQ时，有得 即BQ＝BC﹣CQ（7分） ∴当BQ＝0或时，三角形ADP与以点Q，C，P为顶点的三角形相似．（8分） 2．如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+4（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC．点P是坐标平面内的一点，使得△ACB与△MCP相似，且CM的对应边为AC，请写出所有点P的坐标 　（，4）或（0，）或（1，）或（，5）　． 【解答】解：△ACB与△MCP相似，且CM的对应边为AC，存在△ACB∽△CMP或△CAB∽△CMP， 点A、B、C、M的坐标分别为：（3，1）、（﹣1，1）、（0，4）、（1，5）， 则AB＝4，BC，AC＝3，CM， ①当△ACB∽△CMP时，如图左侧图， 则，即， 解得：PM，PC， 设点P（r，s）， 则r2+（s﹣4）2，（r﹣1）2+（s﹣5）2， 解得：r，s＝4或r＝0，s故点P（，4）或（0，）； ②当△CAB∽△CMP时，如图右侧图， 则点P在直线CA上，直线AC的表达式为：y＝﹣x+4， 同理可得：PC， 设点P（n，﹣n+4），则n2+（4﹣n﹣4）2， 解得：n＝1或， 故点P（1，）或（，5）； 综上，点P的坐标为P（，4）或（0，）或（1，）或（，5）． 故答案为：（，4）或（0，）或（1，）或（，5）． 四 分类讨论—圆 - 错题精练 - 1．如图，边长为4的正方形ABCD中，顶点A落在矩形DEFG的边EF上，EF＝5，而矩形的顶点G恰好落在BC边上．点O是AB边上一动点（不与A，B重合），以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为 　或2　． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝4，∠C＝∠ADC＝90°． ∵四边形DEFG为矩形， ∴DG＝EF＝5，∠E＝∠EDG＝90°． ∴CG3． ∵∠CDG+∠ADG＝90°，∠EDA+∠ADG＝90°， ∴∠CDG＝∠EDA． ∵∠C＝∠E＝90°， ∴△CDG∽△EAD． ∴， ∴， ∴DE，AE． ∴AF＝EF﹣AE． ①当⊙O与矩形DEFG的FG边相切时，设AB与FG交于点H， 过点O作OM⊥FG于点M，如图， ∵∠DAB＝90°， ∴∠EAD+∠FAB＝90°． ∵∠F＝90°， ∴∠FAB+∠FHA＝90°， ∴∠EAD＝∠FHA． ∵∠E＝∠F＝90°， ∴△EAD∽△FHA． ∴． ∴， ∴AH，FH． 设OA＝x， ∵⊙O与矩形DEFG的FG边相切， ∴OM＝OA＝x． ∵OM⊥FG，AF⊥FG， ∴OM∥AF， ∴． ∴， 解得：x． ∴OA ②当⊙O与矩形DEFG的DG边相切时，如图， 过点O作OM⊥DG于点M，延长MO，交EF于点N，则ON⊥EF，MN＝DE． 设OA＝x， ∵⊙O与矩形DEFG的DG边相切， ∴OM＝OA＝x． ∴ON＝MN﹣OMx， ∵ON∥FH， ∴， ∴． 解得：x＝2． ∴OA＝2； ③过点O作OM⊥DE于点M，如图， 可知OM＞OA，⊙O与矩形DEFG的边DE相离． 综上，以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为或2． 2．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），以AB为直径的⊙M与y轴的正半轴交于点C．点P是劣弧BC上的一动点． （1）求sin∠ABC的值． （2）当△PCB中有一边是BP的两倍时，求相应AP的长． （3）如图2，以BC为边向上作等边△CBD，线段MD分别交BC和于点H，N．连结DP，HP．点P在运动过程中，DP与HP存在一定的数量关系． 【探究】当点P与点N重合时，求的值； 【探究二】猜想：当点P与点N不重合时，【探究一】的结论是否仍然成立．若成立，给出证明：若不成立，请说明理由． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）， ∴OA＝1，OB＝3． ∴AB＝OA+OB＝4． ∵AB为⊙M的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OC⊥AB， ∴△AOC∽△COB． ∴． ∴． ∴OC． ∴BC2，AC2． ∴sin∠ABC． （2）①当BC＝2PB时， 由（1）知：BC＝2， ∴PB． ∵AB为⊙M的直径， ∴∠ACB＝90°． ∴PA； ②当PC＝2PB时， 过点B作BH⊥CP，交CP的延长线于点H，如图， ∵sin∠ABC， ∴∠ABC＝30°． ∠CAB＝60°． ∵四边形ABPC是圆的内接四边形， ∴∠HPB＝∠CAB＝60°． ∴∠PBH＝30°． ∴设PH＝x，则PB＝2x，HBx， ∴PC＝4x． ∵BH⊥CP， ∴CH2+BH2＝BC2． ∴． ∴x． ∴PB． ∴AP． 综上，当△PCB中有一边是BP的两倍时，AP的长为或； （3）【探究】当点P与点N重合时， 连接CM，CN，如图， ∵MC＝MB，DC＝DB， ∴DM为BC的垂直平分线． ∴BH＝CHBC． ∵MB＝MC＝2， ∴MH＝1． ∴HN＝MN﹣MH＝2﹣1＝1． ∵△DCB为等边三角形， ∴∠DCH＝60°． ∴DH＝CH×tan60°3． ∴DN＝DH﹣NH＝3﹣1＝2． ∴； 【探究二】当点P与点N不重合时，【探究一】的结论仍然成立．理由： 连接MP，如图， 由以上【探究】可知：MD＝DH+HM＝3+1＝4， MP＝MB＝2，MH＝1， ∴． ∴∠HMP＝∠PMD， ∴△HMP∽△PMD． ∴． ∴当点P与点N不重合时，【探究一】的结论仍然成立，． - 举一反三 – 1．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2．直线l与⊙O相切于点C，且l∥AB．在直线l上取一点D，连结AD交⊙O于点E．若AE＝DE，则CD的长是 　1或1　． 【解答】解：①当点D在点C的左侧时，连接OC，BE，BD，过点B作BF⊥l于点F，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴BE⊥AD． ∵AE＝DE， ∴BD＝BA＝2． ∵l与⊙O相切于点C， ∴OC⊥l， ∵l∥AB， ∴OC⊥AB， ∵BF⊥l， ∴四边形OCFB为矩形， ∵OB＝OC， ∴四边形OCFB为正方形． ∴CF＝BF＝OC＝1． ∴DF． ∴CD＝DF﹣CF1； ②当点D在点C的右侧时，连接OC，BE，BD，过点B作BF⊥l于点F，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴BE⊥AD． ∵AE＝DE， ∴BD＝BA＝2． ∵l与⊙O相切于点C， ∴OC⊥l， ∵l∥AB， ∴OC⊥AB， ∵BF⊥l， ∴四边形OCFB为矩形， ∵OB＝OC， ∴四边形OCFB为正方形． ∴CF＝BF＝OC＝1． ∴DF． ∴CD＝CF+DF1， 综上，CD的长是1或1． 故答案为：1或1． 2．如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC为8，以顶点D为圆心，2为半径画圆，点P在对角线上运动，当射线BP与圆D相切时，AP的长是 　4或4　． 【解答】解：连接BD交AC于点H，当射线BP与⊙D相切于点E时，连接DE，如图： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝5，AC⊥BD，AHAC＝4，BD＝2BH， 在Rt△ABH中，BH3， ∴BD＝2BH＝6， ∵射线BP与⊙D相切于点E， ∴∠DEB＝90°， ∴BE4， ∵∠DEB＝∠BHP＝90°，∠PBH＝∠DBE， ∴△BHP∽△BED， ∴， ∴， ∴PH， ∴AP＝AH﹣PH＝4， 当射线BP与⊙D相切于点F时，如图： 同理可得：PH， ∴AP＝AH+PH＝4， 综上所述，当射线BP与圆D相切时，AP的长是4或4， 故答案为：4或4． 能力实践 1．先阅读理解下面的例题，再按要求解答： 例题：解一元二次不等式x2﹣9＞0． 解：∵x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）， ∴（x+3）（x﹣3）＞0． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）（2） 解不等式组（1），得x＞3， 解不等式组（2），得x＜﹣3， 故（x+3）（x﹣3）＞0的解集为x＞3或x＜﹣3， 即一元二次不等式x2﹣9＞0的解集为x＞3或x＜﹣3． 问题：求分式不等式的解集． 【解答】解：由有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”， 有（1）（2）， 解不等式组（1）得﹣0.2＜x＜1.5， 解不等式组（2）得无解， 故分式不等式的解集为﹣0.2＜x＜1.5． 2．在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围． 【解答】解：原方程可化为2x2﹣3x﹣（k+3）＝0，① （1）当Δ＝0时，，满足条件； （2）若x＝1是方程①的根，得2×12﹣3×1﹣（k+3）＝0，k＝﹣4； 此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根； （3）当方程①有异号实根时，且x≠1即k≠﹣4，得k＞﹣3，此时原方程也只有一个正实数根； （4）当方程①有一个根为0时，k＝﹣3，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根． 综上所述，满足条件的k的取值范围是或k＝﹣4或k≥﹣3． 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求△ABP的周长． （2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？ （3）另有一点Q，从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？ 【解答】解：（1）如图1，∵∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm， ∴AC＝4cm， 动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm， ∴出发2秒后，则CP＝2， ∴AP＝4﹣2＝2cm， 由勾股定理得：PB， ∴△ABP的周长为：AP+AB+PB＝2+57； （2）①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm， 此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形； ②若P在AB边上时，有三种情况： i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，此时AP＝2cm，P运动的路程为2+4＝6cm， 所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形； ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，作CD⊥AB于点D， ∵S△ACBAC•BCAB•CD， ∴， ∴CD＝2.4cm， 在Rt△PCD中，PD1.8， 所以BP＝2PD＝3.6cm， 所以P运动的路程为9﹣3.6＝5.4cm， 则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形； iii）如图5，若BP＝PC，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm， 则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形； 综上所述，当t为3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形； （3）分两种情况： ①当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝4+5﹣2t＝9﹣2t， ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴t+9﹣2t+3＝6， ∴t＝6（不符合题意，舍）； ②当P点在AB上，Q在BC上，则AC+AP＝t， ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴2t﹣t＝6， ∴t＝6（此时Q在C处）， ∴当t为6时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 4．如图，已知：在△ABC中，∠C＝90°，点P是BC边上的动点，PD⊥BC交AB于D，以PD为直径的⊙O分别交AB，AP于点E，F． （1）求证：∠EFP＝∠EPB． （2）若AB＝20，sinB． ①当∠APB＝4∠APD，求PC的长． ②当△PEF为等腰三角形时，请求出所有满足条件的△PEF的腰长． （3）若sinB，且D，F，C在一条直线上，则DP与AC的比值为 　　． 【解答】（1）证明：∵PD为⊙O的直径，PD⊥BC， ∴BC为⊙O的切线， ∴∠EFP＝∠EPB； （2）解：①∵∠APB＝4∠APD，∠APB＝90°+∠APD， ∴4∠APD＝90°+∠APD， ∴∠APD＝30°． ∴∠APC＝90°﹣∠APD＝60°． ∵AB＝20，sinB， ∴AC＝AB•sinB＝2012． ∵tan∠APC， ∴PC4； ②当EF＝EP时， ∵EF＝EP， ∴∠EPF＝∠EFP， ∵∠EFP＝∠EPB， ∴∠EPF＝∠EPB． ∵PD为⊙O的直径， ∴PE⊥AB． ∴∠BEP＝∠AEP＝90°， 在△BEP和△AEP中， ， ∴△BEP≌△AEP（ASA）， ∴BE＝AE＝10． ∵sinB， ∴tanB， ∴PE； 当EP＝FP时， ∵EP＝FP， ∴， ∵PD为⊙O的直径， ∴PD⊥EF， ∵PD⊥BC， ∴EF∥BC． ∴∠B＝∠AEF， ∵∠AEF＝∠DPF， ∴∠B＝∠DPF． ∵PD⊥EF，AC⊥BC， ∴DP∥AC， ∴∠DPF＝∠PAC， ∴∠PAC＝∠B． ∴tan∠PAC＝tanB． ∴PC＝9． ∴PB＝BC﹣PC＝7． ∵sinB， ∴PE； 当FE＝PF时， ∵FE＝PF， ∴∠FEP＝∠FPE． ∵FEP+∠AEF＝90°，∠FPE+∠FAE＝90°， ∴∠AEF＝∠FAE， ∴EF＝AF． ∴AF＝FP＝EF． ∵∠DPA＝∠AEF， ∴∠DPA＝∠DAP， ∴PD＝AD． 设PD＝AD＝3x， ∵sinB， ∴BD＝5x． ∴AB＝BD+AD＝8x＝20， ∴． ∴BD＝5x． ∵cosB， ∴BP＝10． ∴PC＝BC﹣BP＝6． ∴AP6． ∴PFAP＝3． 综上，当△PEF为等腰三角形时，满足条件的△PEF的腰长为3或或． （3）解：当D，F，C在一条直线上时， ∵PD为⊙O的直径， ∴PF⊥CD， ∴∠FAC+∠FCA＝90°， ∵∠FCP+∠FCA＝90°， ∴∠FAC＝∠FCP． ∵∠ACP＝∠DPC＝90°， ∴△ACP∽△CPD． ∴， ∴PC2＝AC•PD． ∵sinB， ∴∠B＝45°． ∴BC＝AC，PD＝PB． ∴PC＝BC﹣BP＝AC﹣PD． ∴（AC﹣PD）2＝AC•PD， ∴DP2﹣3DP•AC+AC2＝0． 解得：DPAC或DPAC（不合题意，舍去）． ∴， 故答案为：． 5．在矩形ABCD中，AB＝4，点P是直线CD上（不与点C重合）的动点，连结BP，过点B作BP的垂线分别交直线AD、直线CD于点E、F，连结PE． （1）如图，当AD＝4，点P是CD的中点时，求tan∠EBA的值； （2）当AD＝2时， ①若△DPE与△BPE相似，求DP的长． ②若△PEF是等腰三角形，求DE的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝4，∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵点P是CD的中点， ∴CPCD＝2， ∵BP⊥EF， ∴∠ABE+∠ABP＝90°， ∴∠ABE＝∠PBC， ∴tan∠EBA＝tan∠PBC． （2）①∵△DPE与△BPE相似，∠PDE＝∠PBE＝90°， ∴△DPE∽△BPE或△DPE∽△BEP， 当△DPE∽△BPE时， ∴， ∴PD＝PB，BE＝DE， 设PD＝x，则PB＝x，PC＝4﹣x， 在Rt△BPC中，BC2+PC2＝PB2， ∴22+（4﹣x）2＝x2， 解得：x， ∴PD． 当△DPE∽△BEP时，如图2， ∴， ∴DP＝BE，DE＝BP， ∵DP＝BE＞AB， ∴点P在DC的延长线上， 在△DEF和△BPF中， ， ∴△DEF≌△BPF（AAS）， ∴DF＝BF， 设DF＝BF＝m，则CF＝4﹣m， 在Rt△BFC中，BC2+CF2＝FB2， ∴22+（4﹣m）2＝m2， 解得：m， ∴DF＝BF，CF， ∵∠FBC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠BPC＝90°， ∴∠FBC＝∠BPC， ∵∠BCF＝∠BCP， ∴△FBC∽△BPC， ∴，即， ∴CP， ∴DP＝DC+CP＝4， 综上所述，PD或． ②∵△PEF是等腰三角形， ∴PE＝PF或PE＝EF或PF＝EF， 当PE＝PF时，如图3， ∵BP⊥EF， ∴EB＝BF， ∴EF＝2FB， ∵BC∥AD， ∴△FBC∽△FED， ∴， ∴DE＝2BC＝2×2＝4； 当PE＝EF，点P在CD的延长线上时，如图4， 设CF＝m，则DF＝m+4， ∵PE＝EF，ED⊥PF， ∴DP＝DF＝m+4， ∴CP＝DP+DC＝m+8， ∵∠PBF＝∠PCB＝∠BCF＝90°， ∴∠PBC+∠BPC＝90°，∠PBC+∠FBC＝90°， ∴∠BPC＝∠FBC， ∴△PBC∽△BFC， ∴，即， ∵m＞0， ∴m＝24， ∴CF＝24，DF＝2， ∵BC∥AD， ∴△FBC∽△FED， ∴，即， ∴DE10+4； 当PE＝EF，点P在DC的延长线上时，如图5， 设CP＝t，则DP＝t+4， ∵PE＝EF，ED⊥PF， ∴DP＝DF＝t+4， ∴CF＝DF+DC＝t+8， ∵∠PBF＝∠PCB＝∠BCF＝90°， ∴∠PBC+∠BPC＝90°，∠PBC+∠FBC＝90°， ∴∠BPC＝∠FBC， ∴△PBC∽△BFC， ∴，即， ∵t＞0， ∴t＝24， ∴CP＝24，DF＝2，CF＝24， ∵BC∥AD， ∴△FBC∽△FED， ∴，即， ∴DE10﹣4； 当PF＝EF时，如图5， ∵PF＝EF， ∴∠BEP＝∠DPE， ∵∠EBP＝∠PDE＝90°， ∴△BEP≌△DPE（AAS）， ∴BP＝DE， 设CP＝n，则DP＝4+n， ∴DE2＝BP2＝BC2+CP2＝4+n2， ∵∠FBP＝∠BCF＝∠BCP＝90°， ∴∠BFC+∠FBC＝90°，∠FBC+∠PBC＝90°， ∴∠BFC＝∠PBC， ∴△BFC∽△PBC， ∴，即， ∴CF， ∴DF＝4，EF＝PF＝n， ∵DE2+DF2＝EF2， ∴4+n2+（4）2＝（n）2， 解得：n， ∴DE； 综上所述，DE的长为4或10+4或10﹣4或． 6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，P分别是AB，BC上的点，过B，D，P三点作圆，与射线CD交于点E．AC＝3，BC＝5，AD＝1． （1）若点E在CD的延长线上，求证：△CDP∽△CBE； （2）当△BEC为直角三角形时，求DP； （3）当过B，D，P三点的圆与△ADC的一边相切时，求半径r； （4）记△BDE、△DPC的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝1：3，请直接写出BP的值：　　． 【解答】（1）证明：∵四边形BEDP是圆内接四边形， ∴∠CBE+∠PDE＝180°， ∵∠CDP+∠PDE＝180°， ∴∠CBE＝∠CDP， ∵∠BCE＝∠DCP， ∴△CDP∽△CBE； （2）解：①当∠BEC＝90°时，如图1， ∵∠BEC+∠BPD＝180°， ∴∠BPD＝90°， ∵AC＝3，BC＝5，∠A＝90°， ∴AB4， ∵AD＝1， ∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3， ∵DP⊥BC， ∴DP•BC＝BD•AC，即5DP＝3×3， ∴DP； ②当∠CBE＝90°时，如图2，过点D作DF⊥BC于点F， 由上述可得：DF， 在Rt△CDA中，CD， 在Rt△CDF中，CF， ∵四边形BEDP是圆内接四边形， ∴∠CBE+∠EDP＝180°， ∴∠EDP＝90°， ∴∠CDP＝90°， ∴∠CDP＝∠CFD， ∵∠PCD＝∠DCF， ∴△CDF∽△CPD， ∴，即， ∴DP； 综上所述，DP或； （3）解：如图3，过圆心O作OM⊥BD于点M，连接OD， 则BM＝DM， ∵⊙O与CD相切， ∴OD⊥CD， ∴∠ODM+∠ADC＝90°， ∵∠ADC+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠ODM， ∵∠A＝∠DMO＝90°， ∴△CDA∽△DOM， ∴，即， ∴r； （4）解：如图4，过点D作DF⊥BC于点F， 由（2）知：DF， ∵BG⊥CD， ∴BG•CD＝DF•BC，即BG5， ∴BG， ∵， ∴， 即， 设DEx，则CP＝15x， ∴BP＝5﹣15x， ∵四边形BEDP是圆内接四边形， ∴∠CBE+∠EDP＝180°， ∵∠CDP+∠EDP＝180°， ∴∠CDP＝∠CBE， ∵∠DCP＝∠BCE， ∴△CDP∽△CBE， ∴，即， ∴x， ∴BP＝5﹣15． 故答案为：． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度向点B运动，另一动点Q从点A出发沿着AC方向以4cm/s的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达B点或点Q到达C点即停止运动，设运动时间为t（s）． （1）当t为多少秒时，以P、C、Q为顶点的三角形和△ABC相似？ （2）当t为多少秒时，△PCQ的面积是△ACB面积的？ 【解答】解：（1）∵运动时间为t s，则CP＝2t（cm），CQ＝（16﹣4t）cm， ∵∠PCQ＝∠ACB＝90°， ∴当△PCQ与△ACB相似时，有∠CPQ＝∠B或∠CPQ＝∠A， 当∠CPQ＝∠B时，则有， 即， 解得t＝2； 当∠CPQ＝∠A时，则有， 即， 解得t． 综上可知，当点P、Q同时运动2秒或秒后，△PCQ与△ACB相似； （2）∵S△PCQ2t（16﹣4t），S△ABC8×16＝64， ∴2t（16﹣4t）＝64， 整理得：t2﹣4t+4＝0， 解得：t＝2． 答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的． 8．⊙O的半径为3cm，直线EF切⊙O于点B，点A，C在直线EF上，且AB＝3cm，BCcm，则∠AOC＝　75°或15°　． 【解答】解：如图：本题要分两种情况讨论： 当A，C在B的两侧时如图（一） 连接OB． ∵直线EF切⊙O于点B， ∴OB⊥AC，OB＝3cm，tan∠11，tan∠2． ∴∠1＝45°，∠2＝30°． ∴∠AOC＝∠1+∠2＝45°+30°＝75°． 当A，C在B的同侧时如图（二） 连接OB． ∵直线EF切⊙O于点B， ∴OB⊥AC，OB＝3cm． ∴tan∠AOB1，tan∠2． ∴∠AOB＝45°，∠BOC＝30°． ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝45°﹣30°＝15°． 故∠AOC＝75°或15°． 故答案为：75°或15°． 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是 　3＜r≤4或r＝2.4　． 【解答】解：如图，∵BC＞AC， ∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点． 根据勾股定理求得AB＝5． 分两种情况： （1）圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4； （2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4． ∴3＜r≤4或r＝2.4． 反思好学 1、错题整理；2、巩固分类讨论的解题步骤。 15 / 15 非学科培训 学科网（北京）股份有限公司 $$