10.2.2 一元线性回归模型及应用（同步教案）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（北师大版2021·拓展模块一下册）

10.2.2 一元线性回归模型及应用学习目标 1．理解一元线性回归模型，能利用模型解决实际问题； 2. 掌握符号含义，能写出对应公式.学习重难点 重点：公式的掌握. 难点：利用公式解决实际问题.教材分析 　　本节与上一节的研究对象相同,都是分析数值变量的成对样本数据.上一节学习的样本相关系数可以帮助推断两个变量是否线性相关，是负相关还是正相关，相关是强还是弱.本节要研究在相关较强的情况下，如何刻画它们之间的具体关系． 教学工具 教学课件教学过程 （一）创设情境，生成问题 一般来说，父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如下表所示. 根据上表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？ 在上表的数据中，存在父亲身高相同，而儿子身高不同的情况.例如，第6个和第8个观测的父亲身高均为172 cm，而对应的儿子身高分别为176 cm和174 cm；同样，第3，4两个观测中，儿子身高都是170 cm，而父亲身高分别为173 cm和169 cm.可见儿子身高和父亲身高之间不是函数关系，也就不能用函数模型刻画. 利用前面表示数据的方法，以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系，再将表中的成对样本数据表示为散点图，如右图所示. 由图可知散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关,类比函数模型，找出刻画两个变量之间随机关系的统计模型. 【设计意图】真实情景引入，让学生有参与感. （二）探究新知 用x表示学生的身高，y表示学生的体重，e表示随机误差，假定随机误差e均值为0，方差是学生的身高无关的定值，则它们之间的关系可以表示成，称为y关于x的一元线性回归模型. 其中，x称为解释变量，y称为响应变量，a和b分别是截距和斜率. 一元线性回归方程： 【设计意图】图像标注符号含义更加直观 .（三）典例辨析 例1. 在一元线性回归模型中，参数b的含义是什么？ 解：参数b是斜率，可以理解为解释变量x对响应变量y的均值的影响，即解释变量x每增加1个单位，响应变量y的均值就将增加b个单位. 鉴于响应变量y最终的取值，除了受到解释变量x的影响，还要受到随机误差e的影响，所以不能理解为解释变量x每增加1个单位，响应变量y就增加b个单位. （四）探究新知 对于一元线性回归模型，散点图中的散点从整体上看大致分布在一条直线的附近，显然这样的直线可以画出无数条. 但我们希望能找出其中一条，使各个散点在整体上与这条直线最接近. 通过GGB软件来拟合出一条合适的直线方程. 能否通过代数的方式求出一元线性回归方程呢？ 满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据(x1,y1), (x2,y2),…, (xn,yn)，假设所求的直线方程为y=bx+a，其中a和b是待定系数. 由于(i=1,2,…,n)得到， 如果越小，表示点(xi,yi)与点(xi,bix+a)的“距离”越小. 用表达式 来刻画这n对样本与直线整体的接近程度，使上面的表达式达到最小值的直线就是所求的直线. （五）典例辨析 例2. 随着网络的普及，网上购物的方式已经受到越来越多年轻人的青睐，某家网络店铺商品的成交量x(单位：件)与店铺的浏览量y(单位；次)之间的对应数据如下表所示： x/件 2 4 5 6 8 y/次 30 40 50 60 70 (1)根据表中数据画出散点图； (2)根据表中的数据，求出y关于x的经验回归方程； (3)当这种商品的成交量突破100件(含100 件)时，预测这家店铺的浏览量至少为多少？ 解： (1)散点图如图所示． (2)根据散点图可得，变量x与y之间具有线性相关关系． 根据数据可知，＝5，＝50，xiyi＝1 390，x＝145，代入公式得＝＝＝7，＝－＝50－7×5＝15． 故所求的回归直线方程是＝7x＋15． (3)根据上面求出的经验回归方程，当成交量突破100件(含100件)，即x＝≥100时，≥715，所以预测这家店铺的浏览量至少为715次． （六）巩固练习 1.某人计划购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表： 月份编号t 1 2 3 4 5 销量y(万辆) 0.5 0.6 1 1.4 1.7 经分析发现，可用线性回归模型拟合该品牌新能源汽车的实际销量y(万辆)与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的经验回归方程＝t＋，并预测月份编号t为6时，该品牌新能源汽车的销量． 解:　易知＝＝3， ＝＝1.04，＝12＋22＋32＋42＋52＝55， iyi＝1×0.5＋2×0.6＋3×1＋4×1.4＋5×1.7＝18.8， ＝＝ ＝＝0.32， ＝－＝1.04－0.32×3＝0.08． 则y关于t的经验回归方程为＝0.32t＋0.08， 当t＝6时，＝2，即月份编号为6时，当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆． 2．根据如下样本数据： x 2 3 4 5 6 Y 4 2.5 －0.5 －2 －3 得到的经验回归方程为＝x＋，则 (　　) A．＞0，＞0 B．＞0，＜0 C．＜0，＞0 D．＜0，＜0 解：　由题干表中的数据可得，变量Y随着x的增大而减小，则＜0，又回归方程为＝x＋经过(2,4)，(3,2.5)，可得＞0． 3．已知变量x，Y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其经验回归方程可能为 (　　) A．＝1.5x＋2 B．＝－1.5x＋2 C．＝1.5x－2 D．＝－1.5x－2 解：设经验回归方程为＝x＋，由题干中散点图可知变量x，Y之间负相关，经验回归直线在Y轴上的截距为正数， 所以＜0，＞0，因此方程可能为＝－1.5x＋2． （七）课堂小结 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固概念. （八）作业布置 随堂练习10.2.2；习题10.2-1,2,4题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$