10.2.2 一元线性回归模型及应用（分层作业）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（北师大版2021·拓展模块一下册）

10.2.2 一元线性回归模型及应用 分层作业基础巩固 1．某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表如下： 气温（℃） 5 3 -2 -3 用电量（度） 62 64 66 72 表中数据得回归直线方程中的，预测当气温为-5℃时，用电量为（    ） A．75.25度 B．76.25度 C．78.25度 D．83.25度 【答案】D 【分析】先求样本数据的中心点，代入回归直线方程可得，然后代入可求. 【详解】回归直线过，， 由题意得，， 将（0.75，66）代入，解得，则， 当时，， 即当气温为-5℃时用电量约为83.25度． 故选：D. 2. 有人调查了某高校14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到如下数据表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 利用最小二乘法计算的儿子身高关于父亲身高的回归直线为. 根据以上信息进行的如下推断中，正确的是（   ） A．当时，，若一位父亲身高为，则他儿子长大成人后的身高一定是 B．父亲身高和儿子身高是正相关，因此身高更高的父亲，其儿子的身高也更高 C．从回归直线中，无法判断父亲身高和儿子身高是正相关还是负相关 D．回归直线的斜率可以解释为父亲身高每增加，其儿子身高平均增加 【答案】D 【分析】由回归直线中的为估计值并不绝对，可排除A、B，可排除C. 【详解】对A选项：为估计值，并不一定，故错误； 对B选项：同上，该值为估计值，并不绝对，故错误； 对C选项：由，故可判断父亲身高和儿子身高是正相关，故错误； 都D选项：回归直线的斜率可以解释为父亲身高每增加，其儿子身高平均增加，故正确. 故选：D. 3．已知变量与之间的一组数据如表： 2 4 5 6 8 30 50 70 若与的线性回归方程为，则的值为（    ） A．60 B．70 C．100 D．110 【答案】C 【分析】首先求出，根据回归直线方程必过样本中心点，即可求出，再由平均数公式计算可得. 【详解】因为，又与的线性回归方程为， 所以，即，解得. 故选：C. 4．某人对一地区近几年的年人均可支配收入x（单位：千元）与年人均消费支出y（单位：千元）进行统计调查，发现y与x具有线性相关关系，且得到回归方程．若该地区去年的年人均消费支出为4万3千元，试估计该地区去年的年人均消费支出占人均可支配收入的百分比． 【答案】 【分析】根据回归直线方程求出人均可支配收入，即可求得百分比. 【详解】当时，，解得， 所以该地区去年的年人均消费支出占人均可支配收入的百分比为. 5．某产品的广告费投入与销售额的统计数据如下表所示． 广告费x/万元 4 2 3 5 销售额y/万元 49 26 39 54 根据上表建立的回归方程中，．的实际意义是什么？ 【答案】广告费投入每增加1万元，销售额平均增加万元. 【分析】根据给定的回归方程，结合回归方程斜率的意义回答即可. 【详解】依题意，是指产品的广告费投入每增加1万元，销售额平均增加约为万元. 6．《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据： 单价（元/件） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量（万件） 90 84 83 80 75 68 (1)根据以上数据，求关于的线性回归方程； (2)若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润，最大利润是多少. 附：参考公式：回归方程， 其中，. 参考数据：，. 【答案】(1) (2)该产品的单价定为元时，工厂获得利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）计算相关数据代入回归方程公式中计算即可； （2）设工厂获得的利润为万元，写出关于单价的二次函数，求出最大利润即可. 【详解】（1）因为， ， 所以. 则， 因此回归直线方程为. （2）设工厂获得的利润为万元， 则， 所以该产品的单价定为元时，工厂获得利润最大，最大利润为万元. 能力进阶 1．根据与之间的一组数据求得两个变量之间的经验回归方程为，已知数据的平均值为1.2，则数据的平均值为（    ） A．2.6 B．2.3 C．1.8 D．1.5 【答案】A 【分析】根据回归直线过样本中心点可求. 【详解】将代入回归直线方程， 可得． 故选：A. 2．下表是A市住宅楼房屋销售价格y和房屋面积x的有关数据： 房屋面积（） 115 110 80 135 105 销售价格（万元） 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)画出数据对应的散点图； (2)设线性回归方程为，已计算得，计算及； (3)据（2）的结果，估计面积为的房屋销售价格． 【答案】(1)作图见解析 (2)，． (3)万元． 【分析】（1）分析题意，首先以房屋面积为轴，销售价格为轴，建立坐标系并作题中所给各点的散点图； （2）由平均数公式求，由求解； （3）求出线性回归方程，并计算当时，销售价格的估计值. 【详解】（1）数据对应的散点图如图所示，        （2）， . （3）线性回归方程为， 当时，. 即面积为的房屋销售价格估计值为万元. 3．学习了《高中数学必修》的内容后，高二年级某学生认为：考试成绩与考试次数存在相关关系.于是他收集了自己进入高二以后的前5次考试成绩，列表如下： 第次考试 考试成绩 经过进一步研究，他发现：考试成绩与考试的次数具有线性相关关系. (1)求关于的线性回归方程； (2)判断变量与之间是正相关还是负相关（只写出结论即可）； (3)按计划，高二年级两学期共有次考试，请你预测该同学高二最后一次考试的成绩（四舍五入，结果保留整数）. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 【答案】(1) (2)与之间是正相关 (3)分 【分析】（1）使用最小二乘法估计公式进行计算即可； （2）由线性回归直线方程的斜率进行判断即可； （3）由线性回归直线方程进行预测即可. 【详解】（1）根据已知可得，， ∴， ， ∴，， ∴关于的线性回归方程为. （2）∵关于的线性回归方程为，， ∴变量与之间是正相关. （3）由第（1）问所得关于的线性回归方程为， 当时，， ∴该同学高二最后一次考试的成绩大约为134分. 4．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司2014年至2020年的年销售额y关于年份代号x的统计数据如下表（已知该公司的年销售额与年份代号线性相关）． 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代号x 1 2 3 4 5 6 7 年销售额y(单位：亿元) 29 33 36 44 48 52 59 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)根据（1）中的线性回归方程，预测2022年该公司的年销售额． 附：样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． 参考数据：，，． 【答案】(1)； (2)68亿元. 【分析】（1）利用最小二乘法即得线性回归方程； （2）把代入线性回归直线方程即得. 【详解】（1）∵，， ∴, 又∵，, ∴, ∴y关于x的线性回归方程为； （2）2022年的年份代号为， ∴， ∴预测2022年该公司的年销售额为68亿元． 5．有5名学生的数学和化学成绩如表所示： A B C D E 数学成绩（x） 87 76 73 66 63 化学成绩（Y） 78 66 71 64 61 (1)如果Y与x具有线性相关关系，求经验回归方程； (2)如果某学生数学成绩为79分，请预测他的化学成绩．（结果取整数） 【答案】(1) (2)72分 【分析】（1）先计算出，即可得到经验回归方程； （2）依据将代入经验回归方程所得值，即可预测他的化学成绩． 【详解】（1）因为，， 所以，则， 所以Y关于x的经验回归方程为． （2）当时，， 所以预测该学生的化学成绩为72分． 6．某连锁日用品销售公司下属5个社区便利店某月的销售额与利润额如下表所示． 便利店编号 1 2 3 4 5 销售额x/万元 30 60 45 80 89 利润额y/万元 2.3 3.5 3.2 4.0 5.3 (1)绘制销售额和利润额的散点图； (2)若销售额和利润额具有线性相关关系，试计算利润额y与销售额x的经验回归直线方程． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据散点图的作法作出图形即可； （2）根据经验回归直线方程的求解方法求解. 【详解】（1）根据题意，作散点图图如下， （2），， 设回归直线方程为， =， ， 所以经验回归直线方程为. 素养提升 1．某种鱼苗育种基地，饲养员每隔两天观察并统计育种池内鱼苗的尾数，统计结果如下表： 第x天 2 4 6 8 10 鱼苗尾数y 72 140 212 284 340 (1)若y与x之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程； (2)根据（1）中所求的线性回归方程，估计第20天时育种池内鱼苗的尾数（四舍五入精确到整数）． 附：样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． 参考数据：，，． 【答案】(1) (2)686 【分析】(1)计算出、和代入即可. (2)把代入已求出的方程可得答案. 【详解】（1）， ． ． 则y关于x的线性回归方程为． （2）当时，， 估计第20天时育种池内有鱼苗686尾. 2．某地级市受临近省会城市的影响，近几年高考生人数逐年下降，下面是最近五年该市参加高考人数与年份代号之间的关系统计表. 年份代号 1 2 3 4 5 高考人数（千人） 35 33 28 29 25 （其中2018年代号为1，2019年代号为2，…2022年代号为5） (1)求关于的线性回归方程； (2)根据（1）的结果预测该市2023年参加高考的人数； (3)试分析该市参加高考人数逐年减少的原因. （参考公式：） 【答案】(1) (2)22.8千人 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题中数据计算得即可解决；（2）根据（1）中回归方程计算即可；（3）言之有理，客观分析即可. 【详解】（1）设回归方程为，由表中数据知， ，. 所以， 所以， 所以关于的回归方程. （2）由（1）得关于的回归方程. 令，（千人）， 所以预测该市2023年参加高考的人数为22.8千人. （3）①该市经济发展速度慢； ②该市人口数量减少； ③到省会城市求学人数增多. 3．2021年是中国加入世界贸易组织20周年，“入世”是中国对外开放的一个里程碑，中国已经连续11年成为货物贸易出口第一大国，经济全球化是历史潮流，大势所趋.“入世”20年，中国的发展证明，世界经济离不开中国，中国发展也离不开世界.下表是中国2016~2020这5年来的国内生产总值（GDP）数据，已知年份代码和国内生产总值呈线性相关关系. 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 国内生产总值y/万亿美元 11.2 12.3 13.9 14.3 14.7 (1)求年份代码x和国内生产总值y的回归直线方程 (2)预测2022年的国内生产总值. 参考数据：.参考公式：线性回归方程中，. 【答案】(1) (2)16.88万亿美元 【分析】（1）根据最小二乘法即可求解线性回归方程，（2）利用线性回归方程代入即可预测. 【详解】（1）， ， ， 所以， ， 所以年份代码x和国内生产总值y的回归直线方程 （2）令，得， 所以2022年的国内生产总值大约为16.88万亿美元. 4．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价（单位：元件）及相应月销售量（单位：万件），对近5个月的月销售单价和月销售量（，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如下表数据： 月销售单价（元/件） 10 15 20 25 30 月销售量为（万件） 11 10 8 6 5 (1)求关于的回归直线方程； (2)利用（1）的回归方程，当该产品月销售单价为元/件，月销售量的预测值为多少？ 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：，其中， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入公式中求出，求出回归直线方程；（2）将代入第一问求出的回归直线方程，求出销售量的预测值. 【详解】（1），， ， ， 所以关于的回归直线方程为； （2）当时，， 所以当该产品月销售单价为元/件，月销售量的预测值为万件. 5．现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位：万元）如表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 物流成本 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5 利润 114 116 106 122 132 114 132 根据最小二乘法公式求得线性回归方程为. (1)若9月份物流成本是90万元，预测9月份利润； (2)经再次核实后发现8月份真正利润应该为116万元，重新预测9月份的利润. 附：，，，. ，. 【答案】(1)136.2万元 (2)131.2万元 【分析】(1)直接利用回归方程预测求解； (2)根据题意，结合已知数据利用最小二乘法公式求解即可. 【详解】（1）9月份利润：万元. （2）由已知数据可得：， 因为点在回归直线上，所以， 所以, 因为8月份的真正利润应该为116万元， 此时， 又，所以， ， 所以数据核实后的新的线性回归方程为， 令，得万元. 所以重新预测9月份的利润为万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2.2 一元线性回归模型及应用 分层作业基础巩固 1．某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表如下： 气温（℃） 5 3 -2 -3 用电量（度） 62 64 66 72 表中数据得回归直线方程中的，预测当气温为-5℃时，用电量为（    ） A．75.25度 B．76.25度 C．78.25度 D．83.25度 2. 有人调查了某高校14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到如下数据表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 利用最小二乘法计算的儿子身高关于父亲身高的回归直线为. 根据以上信息进行的如下推断中，正确的是（   ） A．当时，，若一位父亲身高为，则他儿子长大成人后的身高一定是 B．父亲身高和儿子身高是正相关，因此身高更高的父亲，其儿子的身高也更高 C．从回归直线中，无法判断父亲身高和儿子身高是正相关还是负相关 D．回归直线的斜率可以解释为父亲身高每增加，其儿子身高平均增加 3．已知变量与之间的一组数据如表： 2 4 5 6 8 30 50 70 若与的线性回归方程为，则的值为（    ） A．60 B．70 C．100 D．110 4．某人对一地区近几年的年人均可支配收入x（单位：千元）与年人均消费支出y（单位：千元）进行统计调查，发现y与x具有线性相关关系，且得到回归方程．若该地区去年的年人均消费支出为4万3千元，试估计该地区去年的年人均消费支出占人均可支配收入的百分比． 5．某产品的广告费投入与销售额的统计数据如下表所示． 广告费x/万元 4 2 3 5 销售额y/万元 49 26 39 54 根据上表建立的回归方程中，．的实际意义是什么？ 6．《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据： 单价（元/件） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量（万件） 90 84 83 80 75 68 (1)根据以上数据，求关于的线性回归方程； (2)若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润，最大利润是多少. 附：参考公式：回归方程， 其中，. 参考数据：，. 能力进阶 1．根据与之间的一组数据求得两个变量之间的经验回归方程为，已知数据的平均值为1.2，则数据的平均值为（    ） A．2.6 B．2.3 C．1.8 D．1.5 2．下表是A市住宅楼房屋销售价格y和房屋面积x的有关数据： 房屋面积（） 115 110 80 135 105 销售价格（万元） 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)画出数据对应的散点图； (2)设线性回归方程为，已计算得，计算及； (3)据（2）的结果，估计面积为的房屋销售价格． 3．学习了《高中数学必修》的内容后，高二年级某学生认为：考试成绩与考试次数存在相关关系.于是他收集了自己进入高二以后的前5次考试成绩，列表如下： 第次考试 考试成绩 经过进一步研究，他发现：考试成绩与考试的次数具有线性相关关系. (1)求关于的线性回归方程； (2)判断变量与之间是正相关还是负相关（只写出结论即可）； (3)按计划，高二年级两学期共有次考试，请你预测该同学高二最后一次考试的成绩（四舍五入，结果保留整数）. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 4．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司2014年至2020年的年销售额y关于年份代号x的统计数据如下表（已知该公司的年销售额与年份代号线性相关）． 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代号x 1 2 3 4 5 6 7 年销售额y(单位：亿元) 29 33 36 44 48 52 59 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)根据（1）中的线性回归方程，预测2022年该公司的年销售额． 附：样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． 参考数据：，，． 5．有5名学生的数学和化学成绩如表所示： A B C D E 数学成绩（x） 87 76 73 66 63 化学成绩（Y） 78 66 71 64 61 (1)如果Y与x具有线性相关关系，求经验回归方程； (2)如果某学生数学成绩为79分，请预测他的化学成绩．（结果取整数） 6．某连锁日用品销售公司下属5个社区便利店某月的销售额与利润额如下表所示． 便利店编号 1 2 3 4 5 销售额x/万元 30 60 45 80 89 利润额y/万元 2.3 3.5 3.2 4.0 5.3 (1)绘制销售额和利润额的散点图； (2)若销售额和利润额具有线性相关关系，试计算利润额y与销售额x的经验回归直线方程． 素养提升 1．某种鱼苗育种基地，饲养员每隔两天观察并统计育种池内鱼苗的尾数，统计结果如下表： 第x天 2 4 6 8 10 鱼苗尾数y 72 140 212 284 340 (1)若y与x之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程； (2)根据（1）中所求的线性回归方程，估计第20天时育种池内鱼苗的尾数（四舍五入精确到整数）． 附：样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． 参考数据：，，． 2．某地级市受临近省会城市的影响，近几年高考生人数逐年下降，下面是最近五年该市参加高考人数与年份代号之间的关系统计表. 年份代号 1 2 3 4 5 高考人数（千人） 35 33 28 29 25 （其中2018年代号为1，2019年代号为2，…2022年代号为5） (1)求关于的线性回归方程； (2)根据（1）的结果预测该市2023年参加高考的人数； (3)试分析该市参加高考人数逐年减少的原因. （参考公式：） 3．2021年是中国加入世界贸易组织20周年，“入世”是中国对外开放的一个里程碑，中国已经连续11年成为货物贸易出口第一大国，经济全球化是历史潮流，大势所趋.“入世”20年，中国的发展证明，世界经济离不开中国，中国发展也离不开世界.下表是中国2016~2020这5年来的国内生产总值（GDP）数据，已知年份代码和国内生产总值呈线性相关关系. 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 国内生产总值y/万亿美元 11.2 12.3 13.9 14.3 14.7 (1)求年份代码x和国内生产总值y的回归直线方程 (2)预测2022年的国内生产总值. 参考数据：.参考公式：线性回归方程中，. 4．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价（单位：元件）及相应月销售量（单位：万件），对近5个月的月销售单价和月销售量（，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如下表数据： 月销售单价（元/件） 10 15 20 25 30 月销售量为（万件） 11 10 8 6 5 (1)求关于的回归直线方程； (2)利用（1）的回归方程，当该产品月销售单价为元/件，月销售量的预测值为多少？ 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：，其中， 5．现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位：万元）如表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 物流成本 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5 利润 114 116 106 122 132 114 132 根据最小二乘法公式求得线性回归方程为. (1)若9月份物流成本是90万元，预测9月份利润； (2)经再次核实后发现8月份真正利润应该为116万元，重新预测9月份的利润. 附：，，，. ，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$