专题04二元一次方程组全章复习攻略（2个概念2个解法6个应用1个技巧4种思想专练）-2023-2024学年七年级数学下学期期末考点大串讲（人教版）

专题04 二元一次方程组全章复习攻略（2个概念2个解法6个应用1个技巧4种思想专练） 2个概念 【考查题型一】二元一次方程（组） 二元一次方程的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 二元一次方程组的定义 （1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 【例1】（2023秋•成都期末）下列是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【变式1-1】．（2023秋•东明县期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【变式1-2】．（2023春•浦江县期末）已知是关于、的二元一次方程组，求是　　 A．15 B．3 C．9 D．12 【变式1-3】．（2023春•东丽区期末）在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，且，满足关于，的二元一次方程． （Ⅰ）求，的坐标． （Ⅱ）若点为轴负半轴上的一个动点．如图，，当时，与的平分线交于点，求的度数． 【考查题型二】二元一次方程（组）的解 二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 【例2】．（2023秋•苍梧县期末）下列哪对，的值是二元一次方程的解　　 A． B． C． D． 【变式2-1】．（2023秋•信宜市期末）写出二元一次方程的一组整数解 　 　． 【变式2-2】．（2023秋•丰顺县期末）已知是方程的解，则代数式的值为 　　． 【变式2-3】．（2023秋•运城期末）如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是　　 A． B． C． D． 2个解法 【考查题型三】二元一次方程组的解法 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 【例3】．（新罗区期末）解方程组 【变式3-1】．（2023秋•叶县期末）解下列方程组： （1）； （2）． 【变式3-2】．（2023秋•蒙城县期末）解方程组． 【考查题型四】三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 【例4】．（2023春•南安市期末）感悟思想：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入要求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值．如①②可得；①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： （1）已知二元一次方程组，则　　； （2）三元一次方程组的解是 　　． 【变式4-1】．（2023春•唐河县期末）感悟思想：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数，满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如①②可得：，①②可得：． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： （1）已知二元一次方程组，则　　，　　； （2）已知方程组：，则　　； （3）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 　　元． 6个应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【考查题型五】二元一次方程的应用 【例5】．（2023春•庄河市期末）如图，6块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块地砖的长和宽分别是多少？ 【变式5-1】．（2023春•会同县期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①，将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，求的值． 【变式5-2】．（2023春•滨江区期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． （1）若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ （2）若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【考查题型六】二元一次方程组与实数的综合应用 【例6】．（2023春•崆峒区期末）在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标分别为，，其中，满足关系式，求，两点的坐标． 【考查题型七】二元一次方程组与点的坐标的综合应用 【例7】．（2023春•南通期末）用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【考查题型八】二元一次方程组与几何的综合应用 【例8】．（2023春•沛县期末）如图，已知边长分别为、的两个正方形，其面积之差为32． （1）根据题意，请你列出一个关于、的方程组 　 　； （2）请将（1）中的方程组，转化为一个二元一次方程组； （3）分别求两个正方形的面积． 【变式8-1】．（2023春•农安县期末）如图，将三个相同的长方形沿着“横竖横”的顺序排列在一个边长分别为，的长方形中，则图中空白部分的面积为 　　． 【变式8-2】．（2023春•平舆县期末）汛期即将来临，防汛指挥部在长江某一危险地带的两岸各安置了一个探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯射出的光线自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且，满足，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且． （1）　　，　　． （2）若灯先转动20秒，灯才开始转动，在灯射出的光线到达之前，灯转动多长时间时，两灯射出的光线互相平行？ 【变式8-3】．（2023春•德清县期末）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到型长方形纸板和型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张型长方形纸板或5张型正方形纸板，如图1所示．（单位： （1）每张原材料板材可以裁得型纸板 　　张或裁得型纸板 　　张； （2）现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到型与型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．问：怎样裁剪才能使剪出的，型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【变式8-4】．（2023春•赵县期末）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图甲，（单位： （1）列出方程（组，求出图甲中与的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生型板材 　　张，型板材 　　张； ②已知①中的型板材和型板材恰好做成竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，求、的值． 【考查题型九】二元一次方程组在古代算数中的应用 【例9】．（2023春•东湖区校级期末）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒瓶，薄酒瓶．根据题意，可列方程组为　　 A． B． C． D． 【变式9-1】．（2023春•西丰县期末）《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有个人，物品价格为钱，则下列方程组中正确的是　　 A． B． C． D． 【变式9-2】．（2023春•南通期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （2）某商人准备用28两银子买牛和羊（要求既有羊又有牛，且银两须全部用完），且羊的数量不少于牛数量的2倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【考查题型十】二元一次方程组在实际中的应用 【例10】．（2023春•通道县期末）小芳家新房装修，厨房采用彩色地砖和单色地砖搭配使用，彩色地砖24元块，单色地砖12元块，购买的单色地砖数是彩色地砖数的2倍少15块，买两种地砖共花去2220元，求购买的彩色地砖数和单色地砖数．若设彩色地砖数是，单色地砖数是，则列的方程是　　 A． B． C． D． 【变式10-1】．（2023春•莘县期末）李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示： 购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用 第一次 5 5 900 第二次 6 7 1180 第三次 9 8 1064 （1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元？ （2）若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？ 【变式10-2】．（2023春•新乡期末）随着生活水平的提高，人们越来越重视运动健身．为了满足大众需求，某体育运动品牌店铺推出了，两种运动套装，每套运动套装的成本为120元，每套运动套装的成本为100元，每套运动套装的售价比每套运动套装的售价少40元，卖3套运动套装的利润和卖4套运动套装的利润相同． （1）求每套运动套装和运动套装的售价； （2）为了吸引顾客，该体育运动品牌店铺针对这两种运动套装新推出以下两种促销方案： 方案一：50元购买一张打折优惠券后（限购一张），买这两种运动套装均打七五折； 方案二：每满50元立减10元． 若小明准备购买1套运动套装和1套运动套装，请你算算，哪种方案更划算？ 【变式10-3】．（2023春•路桥区期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表： 琮琮 莲莲 进价（元个） 60 70 售价（元个） 80 100 （1）该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？ （2）后来该玩具店以60元个的价格购进50个吉祥物“宸宸”，并以90元个的价格售出，这家店将销售完这150个吉祥物所得利润的捐赠给“希望工程”，求该玩具店捐赠了多少元？ 1个技巧 【考查题型十一】换元法 【例11】．（2023春•樊城区期末）阅读探索． 【知识累积】解方程组 解：设，，原方程组可变为 解方程组，得：即 解得此种解方程组的方法叫换元法． 【举一反三】运用上述方法解下列方程组： 【能力运用】已知关于，的方程组的解为则关于，的方程组的解能求出代数式的值为 　 　． 【变式11-1】．（2024春•襄汾县月考）阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． （1）已知关于，的二元一次方程组的解为，那么在关于，的二元一次方程组中，的值为 　　，的值为 　　； （2）用材料中的方法解二元一次方程组． 【变式11-2】．（2024春•尧都区期中）阅读下列材料，完成任务： 解方程组，某同学提供了如下解法： 解：设，，则原方程可化为，解得， ，解得 原方程组的解为 任务： （1）由上述解法可以看出，对于一些较复杂的解方程组问题，若把其中某些部分看成一个 　　，用字母代替，则能使复杂的问题简单化，因而把这种解方程组的方法称为换元法． （2）已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为 　　． （3）利用上述方法解方程组：． 【变式11-3】．（2024春•印江县月考）阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法． （1）已知关于，的二元一次方程组，的解为，那么在关于，的二元一次方程组，中，　　，　　； （2）用材料中的方法解二元一次方程组． 4种思想 【考查题型十二】数形结合思想 【例12】．（2023春•河东区期末）利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是　　 A． B． C． D． 【变式12-1】．（2023秋•南山区校级期末）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，1张小长方形卡片的面积是　　 A．72 B．68 C．64 D．60 【变式12-2】．（2023春•山阳县校级期末）如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．已知，，则此图形的面积为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【变式12-3】．（2023春•黄石港区期末）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是　　 A．123 B．124 C．125 D．126 【考查题型十三】整体思想 【例13】．（2023秋•兰州期末）已知方程组的解满足，则的值为　　 A． B．2 C． D．1 【变式13-1】．（2023春•仁寿县期末）阅读材料：小明在解二元一次方程组时采用了一种“整体代换”的解法： 解：由①，得：③ 将③代入②得，，即， 把代入③，得． 方程组的解为． 请你模仿小明的方法，解决下列问题： （1）若，则　　． （2）解方程； （3）已知关于、的方程组，求的值． 【变式13-2】．（2023春•平泉市期末）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将①③联立可得一个新的不含的二元一次方程组 小辉：哈哈！直接①②可以更简便地求出的值 请结合他们的对话，解答下列问题： （1）按照小云的方法，的值为 　　，的值为 　　． （2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【变式13-3】．（2023春•宝应县期末）在解二元一次方程组时，我们常常也会采用了一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即③，其次把方程①代入③得：，即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为，请你解决以下问题： （1）你能否尝试用“整体代入消元”的方法解方程组； （2）已知、满足方程组． ①求的值； ②求出这个方程组的所有整数解． 【变式13-4】．（2023春•宜州区期末）先阅读，再解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组 【考查题型十四】分类讨论思想 【例14】．（2023春•宁波期末）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． （1）求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； （2）若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案； （3）若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费2500元，现我校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 【变式14-1】．（2023春•南川区期末）某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共180件，其进价和售价如表： 甲 乙 进价（元件） 14 35 售价（元件） 20 43 （1）若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利1240元，问甲、乙两种用品应分别购进多少件？（请用二元一次方程组求解） （2）若商家计划投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 【变式14-2】．（2023春•武汉期末）蔬菜大王小明牛年春节前欲将一批蔬菜运往外地销售，若用2辆型车和1辆型车载满蔬菜一次可运走10吨，用1辆型车和2辆型车载满蔬菜一次可运走11吨．现有蔬菜31吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满蔬菜．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆型车和1辆型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案； （3）若1辆型车需租金100元次，1辆型车需租金120元次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【变式14-3】．（2023春•罗山县期末）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【考查题型十五】转化思想 【例15】．（2023春•衢江区期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式15-1】．（2023春•潞城区校级期末）如图1，把两个（正方形）、两个（长方形）、1个（正方形）无缝拼接成如图2所示的大长方形，若大长方形的长为13，宽为7，则小长方形的周长为　　 A．14 B．18 C．20 D．26 【变式15-2】．（2023春•漳州期末）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 　　． 【变式15-3】．（2023春•巴彦淖尔期末）小强同学解方程组时，求得方程组的解为，由于不慎，将一些墨水滴到了作业本上，刚好遮住了●处和◆处的数，那么●处表示的数应该是 　　． 【变式15-4】（2023春•石狮市校级期中）先阅读下列材料；再解决相关问题： 解方程组 解：设，，原方程组可转化为 解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法． （1）如果用换元法解方程组：，可以设　　，　　，则该方程组可以转化为关于、的方程组：　　； （2）用换元法解方程组：． 【变式15-5】．（2023春•忻州期末）综合与实践 问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，，则原方程组可化为 　　，解关于，的方程组，得，所以，解方程组，得 　　； 探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：； 拓展延伸：（3）已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的方程组的解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程组全章复习攻略（2个概念2个解法6个应用1个技巧4种思想专练） 2个概念 【考查题型一】二元一次方程（组） 二元一次方程的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 二元一次方程组的定义 （1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 【例1】（2023秋•成都期末）下列是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程的定义判断即可． 【解答】解：选项，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，符合题意； 选项，的次数是2，不符合题意； 选项，不是整式方程，不符合题意； 选项，不含两个未知数，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 【变式1-1】．（2023秋•东明县期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【解答】解：．含有三个未知数，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意； ．符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意； ．第2个方程的未知数的最高次数是2，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意． ．第2个方程含未知数的项的最高次数是2，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意． 故选：． 【点评】本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 【变式1-2】．（2023春•浦江县期末）已知是关于、的二元一次方程组，求是　　 A．15 B．3 C．9 D．12 【分析】把已知条件中两个方程相加，求出，再把的值代入所求代数式计算即可． 【解答】解：， ①②得，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握应用加减消元法解二元一次方程组． 【变式1-3】．（2023春•东丽区期末）在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，且，满足关于，的二元一次方程． （Ⅰ）求，的坐标． （Ⅱ）若点为轴负半轴上的一个动点．如图，，当时，与的平分线交于点，求的度数． 【分析】（1）根据二元一次方程的定义列式计算； （2）作，根据角平分线的定义、平行线的性质计算，得到答案． 【解答】解：（1）由题意得，，，， 解得，，， 则点的坐标为，点的坐标为； （2）如图，作， ， ， ， ， ， ， ， 与的平分线交于点， ，， ，， ，， ． 【点评】本题考查的是二元一次方程的定义、平行线的性质，掌握二元一次方程的定义、平行线的性质和正确作辅助线是解题的关键． 【考查题型二】二元一次方程（组）的解 二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 【例2】．（2023秋•苍梧县期末）下列哪对，的值是二元一次方程的解　　 A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程的解的定义解决此题． 【解答】解：．当，，得，那么，不是的解，故不符合题意． ．当，，得，那么，不是的解，故不符合题意． ．当，，得，那么，是的解，故符合题意． ．当，，得，那么，不是的解，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决本题的关键． 【变式2-1】．（2023秋•信宜市期末）写出二元一次方程的一组整数解 　 　． 【分析】用表示出，确定出整数解即可． 【解答】解：方程， 解得：， 当时，， 则二元一次方程的一组整数解为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2-2】．（2023秋•丰顺县期末）已知是方程的解，则代数式的值为 　　． 【分析】把代入方程得出，变形后代入，即可求出答案． 【解答】解：把代入方程得： ， 所以． 故答案为：9． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，能求出是解此题的关键． 【变式2-3】．（2023秋•运城期末）如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是　　 A． B． C． D． 【分析】把代入各选项的方程，看左边是否等于右边即可． 【解答】解：选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项符合题意； 选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； 选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； 选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即：将解代入原方程组，这是解题的关键． 2个解法 【考查题型三】二元一次方程组的解法 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 【例3】．（新罗区期末）解方程组 【分析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可． 【解答】解： ①②，可得， 解得， 把代入①，解得， 原方程组的解是． 【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用． 【变式3-1】．（2023秋•叶县期末）解下列方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可． （2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可． 【解答】解：（1）， 由②，可得：③， ③代入①，可得：， 解得， 把代入③，解得， 原方程组的解是． （2）原方程组可化为：， ①②，可得， 解得， 把代入①，解得， 原方程组的解是． 【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用． 【变式3-2】．（2023秋•蒙城县期末）解方程组． 【分析】先把方程组化简后，再用适当的方法进行求解． 【解答】解：原方程组可化为：， （2）（1）得：， ， 把代入（1）得：． ． 【点评】解答此题应根据各方程组的特点，有括号的去括号，有分母的去分母，然后再用代入法或加减消元法解方程组． 【考查题型四】三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 【例4】．（2023春•南安市期末）感悟思想：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入要求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值．如①②可得；①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： （1）已知二元一次方程组，则　　； （2）三元一次方程组的解是 　　． 【分析】（1）利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答； （2）利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， ①②得：， 解得：， 故答案为：5； （2）， ①②③得：， 解得：④， ①④得：， ②④得：， ③④得：， 原方程组的解为：， 故答案为：． 【点评】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键． 【变式4-1】．（2023春•唐河县期末）感悟思想：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数，满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如①②可得：，①②可得：． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： （1）已知二元一次方程组，则　　，　　； （2）已知方程组：，则　　； （3）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 　　元． 【分析】（1）利用①②，可得出的值；利用①②，可得出的值，方程两边再同时除以5，即可求出的值； （2）利用①②③，可得出的值，方程两边再同时除以2，即可求出的值； （3）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，可列出关于，，的三元一次方程组，利用①①，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【解答】解：（1）， ①②得：； ①②得：， ． 故答案为：，5； （2）， ①②③得：， ． 故答案为：6； （3）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 根据题意得：， ①①得：， ， 购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 故答案为：30． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用、解三元一次方程组以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）熟练掌握利用“整体思想”解二元一次方程组的方法；（2）熟练掌握利用“整体思想”解三元一次方程组的方法；（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组． 6个应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【考查题型五】二元一次方程的应用 【例5】．（2023春•庄河市期末）如图，6块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块地砖的长和宽分别是多少？ 【分析】设长方形地砖的长为，宽为，根据图中长宽，2个长个长个宽，列出二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设长方形地砖的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， 答：长方形地砖的长为，宽为． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式5-1】．（2023春•会同县期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①，将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，求的值． 【分析】根据每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， ． 答：的值为1． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式5-2】．（2023春•滨江区期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． （1）若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ （2）若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【分析】（1）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完300张长方形纸板和100张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）是5的整数倍，设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合，均为正整数，即可得出是5的整数倍． 【解答】解：（1）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个； （2）是5的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是5的整数倍． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【考查题型六】二元一次方程组与实数的综合应用 【例6】．（2023春•崆峒区期末）在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标分别为，，其中，满足关系式，求，两点的坐标． 【分析】根据非负数的性质得到二元一次方程组，求出，的值，得到，两点的坐标． 【解答】解：， 解得： ，两点的坐标分别为：，． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，解决本题的关键是根据非负数的性质得到关于，的二元一次方程组． 【考查题型七】二元一次方程组与点的坐标的综合应用 【例7】．（2023春•南通期末）用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】本题结合点的坐标与观察图形可以发现，图形中存在两个数量关系．即从竖直方向看：长方形的两个宽一长；从水平方向看，两个长方形的长一个长方形的长一个长方形的宽，从而求出长方形的长与宽．又通过图形可以发现，关于点，两个长方形的长，一个长方形的长一个长方形的宽，从而求出点的坐标． 【解答】解：设长方形的长为，宽为， 则， 解得， 则，； 点在第二象限， ，， 故选：． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的综合运用，体现了数形结合思想，方程建模思想，并考查了学生的计算能力，观察能力．而解出长方形的长与宽之后，学生容易忘记从代数问题回归到几何问题，考虑第二象限坐标的正负性问题，是本题的易错点． 【考查题型八】二元一次方程组与几何的综合应用 【例8】．（2023春•沛县期末）如图，已知边长分别为、的两个正方形，其面积之差为32． （1）根据题意，请你列出一个关于、的方程组 　 　； （2）请将（1）中的方程组，转化为一个二元一次方程组； （3）分别求两个正方形的面积． 【分析】（1）根据两边之和等于16，面积之差等于32，列出方程组即可； （2）根据平方差公式，将分解因式得，再将，代入即可； （3）根据（2）直接求出，即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意可知： ， 故答案为：． （2）， 又， ， 转化为一个二元一次方程组为：． （3）， 解得：， 故面积为：，． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是掌握因式分解，理解题意． 【变式8-1】．（2023春•农安县期末）如图，将三个相同的长方形沿着“横竖横”的顺序排列在一个边长分别为，的长方形中，则图中空白部分的面积为 　　． 【分析】由图形可看出：小长方形的2个长加1个宽等于大长方形的长，设小长方形的长为，则宽为，依据小长方形的2个宽加1个长等于大长方形的宽列出方程求解，最后用大长方形的面积减去3个小长方形的面积即可得答案． 【解答】解：设小长方形的长为，则宽为， 依题意可得：， 解得：， 则， 故：小长方形的长为，则宽为， 则空白部分的面积为：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用；解题的关键是：弄懂题意，找出等量关系，列出方程． 【变式8-2】．（2023春•平舆县期末）汛期即将来临，防汛指挥部在长江某一危险地带的两岸各安置了一个探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯射出的光线自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且，满足，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且． （1）　　，　　． （2）若灯先转动20秒，灯才开始转动，在灯射出的光线到达之前，灯转动多长时间时，两灯射出的光线互相平行？ 【分析】（1）根据，联立方程组可得； （2）根据情况分别进行讨论． 【解答】解：（1）， ，， 故：， 解得：． 故答案为：3；1； （2）设灯转动秒时，两灯射出的光线互相平行（记灯射出的光线为，灯射出的光线为， ，， ， ①当时，此时在右侧， 则在左侧，且， 即，解得， ②当时，此时在右侧， 则在左侧，且， 即，解得， ③当时，该情况不存在， ④当时，在左侧， 则在右侧，且， 即， 解得（不合题意，舍去）． 综上所述，当秒或85秒时，两灯的光束互相平行． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解和平行线的判断，掌握解二元一次方程组的方法和平行线的判断方法是关键． 【变式8-3】．（2023春•德清县期末）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到型长方形纸板和型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张型长方形纸板或5张型正方形纸板，如图1所示．（单位： （1）每张原材料板材可以裁得型纸板 　　张或裁得型纸板 　　张； （2）现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到型与型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．问：怎样裁剪才能使剪出的，型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【分析】（1）根据题意，可得每张原材料板材可以裁得型纸板（张，每张原材料板材可以裁得型纸板（张； （2）设用张原材料板材裁剪型纸板，可得：，即可解得答案． 【解答】解：（1）根据题意，每张原材料板材可裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张型长方形纸板或5张型正方形纸板， 每张原材料板材可以裁得型纸板（张，每张原材料板材可以裁得型纸板（张； 故答案为：9，15； （2）设用张原材料板材裁剪型纸板，则用张原材料板材裁剪型纸板， 根据题意得：， 解得， ， ， 用200张原材料板材裁剪型纸板，用60张原材料板材裁剪型纸板，能做450个纸盒． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 【变式8-4】．（2023春•赵县期末）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图甲，（单位： （1）列出方程（组，求出图甲中与的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生型板材 　　张，型板材 　　张； ②已知①中的型板材和型板材恰好做成竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，求、的值． 【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生型板材和型板材的张数； ②根据竖式与横式礼品盒所需要的、两种型号板材的张数列出关于、的二元一次方程组，然后求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 答：图甲中与的值分别为：60、40； （2）①由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：， 所以两种裁法共产生型板材为（张， 由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：， 所以两种裁法共产生型板材为（张， 故答案为：64，38； ②根据题意竖式有盖礼品盒的个，横式无盖礼品盒的个， 则型板材需要个，型板材需要个， 所以， 解得． 【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出、的值，根据图示列出算式以及关于、的二元一次方程组． 【考查题型九】二元一次方程组在古代算数中的应用 【例9】．（2023春•东湖区校级期末）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒瓶，薄酒瓶．根据题意，可列方程组为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，列方程求解即可． 【解答】解：设有好酒瓶，薄酒瓶， 根据“总共饮19瓶酒”可得： 根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得： 综上：， 故选：． 【点评】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组． 【变式9-1】．（2023春•西丰县期末）《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有个人，物品价格为钱，则下列方程组中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据每人出8钱，则多出3钱，可得，根据每人出7钱，则还差4钱，可得，从而可以列出相应的方程组． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 【变式9-2】．（2023春•南通期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （2）某商人准备用28两银子买牛和羊（要求既有羊又有牛，且银两须全部用完），且羊的数量不少于牛数量的2倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【分析】（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买头牛，只羊，根据某商人准备用28两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数量不少于牛数量的2倍，得，然后求出满足条件的正整数解即可． 【解答】解：（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子， 依题意得：， 解得：， 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子； （2）设购买头牛，只羊， 依题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 为2的倍数， 羊的数量不少于牛数量的2倍， ， 或， 商人有2种购买方法： ①购买2头牛，11只羊； ②购买4头牛，8只羊． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程． 【考查题型十】二元一次方程组在实际中的应用 【例10】．（2023春•通道县期末）小芳家新房装修，厨房采用彩色地砖和单色地砖搭配使用，彩色地砖24元块，单色地砖12元块，购买的单色地砖数是彩色地砖数的2倍少15块，买两种地砖共花去2220元，求购买的彩色地砖数和单色地砖数．若设彩色地砖数是，单色地砖数是，则列的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】根据“购买的单色地砖数是彩色地砖数的2倍少15块，买两种地砖共花去2220元”，可列出关于，的一元二次方程，以此即可选择． 【解答】解：设彩色地砖数是，单色地砖数是， 由题意得：． 故选：． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是理清题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 【变式10-1】．（2023春•莘县期末）李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示： 购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用 第一次 5 5 900 第二次 6 7 1180 第三次 9 8 1064 （1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元？ （2）若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？ 【分析】（1）设甲商品的标价是元，乙商品的标价是元，利用总价单价数量，结合前两次购买的数量及总费用，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设商场是打折出售这两种商品的，利用总价单价数量，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设甲商品的标价是元，乙商品的标价是元， 依题意得：， 解得：， 答：甲商品的标价是80元，乙商品的标价是100元； （2）设商场是打折出售这两种商品的， 依题意得：， 解得：， 答：商场是打7折出售这两种商品的． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式10-2】．（2023春•新乡期末）随着生活水平的提高，人们越来越重视运动健身．为了满足大众需求，某体育运动品牌店铺推出了，两种运动套装，每套运动套装的成本为120元，每套运动套装的成本为100元，每套运动套装的售价比每套运动套装的售价少40元，卖3套运动套装的利润和卖4套运动套装的利润相同． （1）求每套运动套装和运动套装的售价； （2）为了吸引顾客，该体育运动品牌店铺针对这两种运动套装新推出以下两种促销方案： 方案一：50元购买一张打折优惠券后（限购一张），买这两种运动套装均打七五折； 方案二：每满50元立减10元． 若小明准备购买1套运动套装和1套运动套装，请你算算，哪种方案更划算？ 【分析】（1）根据“卖3套运动套装的利润和卖4套运动套装的利润相同”列方程求解； （2）先算每种方案所需要的钱数，再比较大小． 【解答】解：（1）设每套运动套装的售价为元，则每套运动套装的售价为元， 由题意得：， 解得：， ， 答：每套运动套装的售价为200元，则每套运动套装的售价为160元； （2）按照方案一：（元， 按照方案二：，（元， ， 选择方案二更划算． 【点评】本题考查了方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 【变式10-3】．（2023春•路桥区期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表： 琮琮 莲莲 进价（元个） 60 70 售价（元个） 80 100 （1）该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？ （2）后来该玩具店以60元个的价格购进50个吉祥物“宸宸”，并以90元个的价格售出，这家店将销售完这150个吉祥物所得利润的捐赠给“希望工程”，求该玩具店捐赠了多少元？ 【分析】（1）设该玩具店购进“琮琮” 个，“莲莲” 个，利用总价单价数量，结合玩具店花费6600元购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用该玩具店捐赠钱数每个吉祥物的销售利润销售数量，即可求出结论． 【解答】解：（1）设该玩具店购进“琮琮” 个，“莲莲” 个， 根据题意得：， 解得：． 答：该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个； （2）根据题意得： （元． 答：该玩具店捐赠了820元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． 1个技巧 【考查题型十一】换元法 【例11】．（2023春•樊城区期末）阅读探索． 【知识累积】解方程组 解：设，，原方程组可变为 解方程组，得：即 解得此种解方程组的方法叫换元法． 【举一反三】运用上述方法解下列方程组： 【能力运用】已知关于，的方程组的解为则关于，的方程组的解能求出代数式的值为 　　． 【分析】（1）根据换元法设，，进行求解计算即可； （2）根据换元法设，进行求解计算即可． 【解答】解：（1）设，， 原方程组可变为： 解得： 即 解得： （2）设， 可得， 解得：． 【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 【变式11-1】．（2024春•襄汾县月考）阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． （1）已知关于，的二元一次方程组的解为，那么在关于，的二元一次方程组中，的值为 　　，的值为 　　； （2）用材料中的方法解二元一次方程组． 【分析】（1）设，，原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）设，，原方程组可化为，解得，即，即可求解． 【解答】解：（1）设，， 原方程组可化为， 的解为， ， 故答案为：，10； （2） 设，， 原方程组可化为， 解得， 即， 解得， 原方程组的解为． 【点评】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键． 【变式11-2】．（2024春•尧都区期中）阅读下列材料，完成任务： 解方程组，某同学提供了如下解法： 解：设，，则原方程可化为，解得， ，解得 原方程组的解为 任务： （1）由上述解法可以看出，对于一些较复杂的解方程组问题，若把其中某些部分看成一个 　　，用字母代替，则能使复杂的问题简单化，因而把这种解方程组的方法称为换元法． （2）已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为 　　． （3）利用上述方法解方程组：． 【分析】（1）根据题意解答即可； （2）仿照题目提供的思路，利用换元法进行计算即可解答； （3）仿照题目提供的思路，利用换元法进行计算即可解答． 【解答】解：（1）若把其中某些部分看成一个整体，用字母代替，则能使复杂的问题简单化，因而把这种解方程组的方法称为换元法． 故答案为：整体； （2）关于，的方程组的解为， 关于，的方程组的解为， 解得； 故答案为：； （3）设，，则原方程可化为， 解得， ， 解得． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键． 【变式11-3】．（2024春•印江县月考）阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法． （1）已知关于，的二元一次方程组，的解为，那么在关于，的二元一次方程组，中，　　，　　； （2）用材料中的方法解二元一次方程组． 【分析】（1）设，，原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）设，，原方程组可化为，解得，即，即可求解． 【解答】解：（1）设，， 原方程组可化为， 的解为， ， 故答案为：；10； （2）， 设，， 原方程组可化为， 解得， 即， 解得， 原方程组的解为． 【点评】本题考查了用换元法解二元一次方程组，掌握合理换元是解题的关键． 4种思想 【考查题型十二】数形结合思想 【例12】．（2023春•河东区期末）利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是　　 A． B． C． D． 【分析】设桌子的高度为 ，木块截面（图中阴影部分）长比宽多 ，观察两个图形，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设桌子的高度为 ，木块截面（图中阴影部分）长比宽多 ， 依题意得：， 解得：， 桌子的高度为． 故选：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式12-1】．（2023秋•南山区校级期末）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，1张小长方形卡片的面积是　　 A．72 B．68 C．64 D．60 【分析】设小长方形卡片的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【解答】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ， 张小长方形卡片的面积是68． 故选：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式12-2】．（2023春•山阳县校级期末）如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．已知，，则此图形的面积为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，列出二元一次方程组，解之得出、的值，即可解决问题． 【解答】解：设小长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， ， 即此图形的面积为8， 故选：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式12-3】．（2023春•黄石港区期末）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是　　 A．123 B．124 C．125 D．126 【分析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为个、个，根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据、的系数表示出并判断为5的倍数，然即可解决问题． 【解答】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为个、个， 根据题意得：， 整理得：， 、都是正整数， 是5的倍数， 、124、125、126四个数中只有125是5的倍数， 的值可能是125． 故选：． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【考查题型十三】整体思想 【例13】．（2023秋•兰州期末）已知方程组的解满足，则的值为　　 A． B．2 C． D．1 【分析】将方程组中两方程相减可得，根据可得关于的方程，解之可得． 【解答】解：， ②①，得：， ， ， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．也考查了整体思想的运用． 【变式13-1】．（2023春•仁寿县期末）阅读材料：小明在解二元一次方程组时采用了一种“整体代换”的解法： 解：由①，得：③ 将③代入②得，，即， 把代入③，得． 方程组的解为． 请你模仿小明的方法，解决下列问题： （1）若，则　　． （2）解方程； （3）已知关于、的方程组，求的值． 【分析】（1）依据题意，由，然后整体代入即可得解； （2）依据题意，由可得，再将进行变形然后整体代入，解方程组即可得解； （3）依据题意，将、，分别看成整体，解方程组可以得解． 【解答】解：（1）， ． 故答案为：9； （2）， 由①，得③， 把③代入②得，， ． ． 把代入③得，， ． 原方程组的解为． （3）原方程组可化为：， 令，， 方程组化为：． ②①得，． ． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题时要熟练掌握整体思想并能准确计算是关键． 【变式13-2】．（2023春•平泉市期末）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将①③联立可得一个新的不含的二元一次方程组 小辉：哈哈！直接①②可以更简便地求出的值 请结合他们的对话，解答下列问题： （1）按照小云的方法，的值为 　　，的值为 　　． （2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【分析】（1）联立①③，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值； （2）利用①②，可得出，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【解答】解：（1）联立①③得：， ①②得：， 将代入③得：， 解得：， 原方程组的解为． 故答案为：5，； （2）， ①②得：， ， ， ． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）解不含的二元一次方程组，求出，的值；（2）两方程作差结合结合，找出关于的一元一次方程． 【变式13-3】．（2023春•宝应县期末）在解二元一次方程组时，我们常常也会采用了一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即③，其次把方程①代入③得：，即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为，请你解决以下问题： （1）你能否尝试用“整体代入消元”的方法解方程组； （2）已知、满足方程组． ①求的值； ②求出这个方程组的所有整数解． 【分析】（1）把第二个方程变形后代入第一个方程消去求出的值，进而求出的值即可； （2）①把第一个方程变形后代入第二个方程消去求出的值即可； ②由与为整数，根据的值求出与的值，代入检验即可． 【解答】解：（1）将方程②变形：， 即③， 把方程①代入③得：， 解得：， 把代入方程①得：， 解得：， 所以方程组的解为； （2）①由方程①得：③， 将③代入方程②得：， 解得：； ②由①得， 与是整数， 或或或， 由①得：， 或符合题意， 则原方程组的所有整数解是或． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用了整体代入的思想，弄清阅读材料中的整体代入法是解本题的关键． 【变式13-4】．（2023春•宜州区期末）先阅读，再解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组 【分析】观察方程组的特点，把看作一个整体，得到，将之代入②，进行消元，得到，解得，进一步解得，从而得解． 【解答】解：， 由①得，③， 代入②得， 解得， 把代入③得，， 解得． 故原方程组的解为． 【点评】本题考查了二元一次方程组的特殊解法：整体代入法．解方程（组要根据方程组的特点灵活运用选择合适的解法． 【考查题型十四】分类讨论思想 【例14】．（2023春•宁波期末）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． （1）求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； （2）若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案； （3）若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费2500元，现我校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 【分析】（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为元，乙品牌消毒液每瓶的价格为元，根据购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设需要购买甲品牌消毒液瓶，购买乙品牌消毒液瓶，根据甲，乙两种品牌消毒液总共列出方程，求出方程的所有整数解，即可得到答案； （3）设购买甲品牌消毒液瓶，购买乙品牌消毒液瓶，设使用天，根据购甲，乙两种品牌消毒液共花费2500元，全校师生一天共需要消毒液，列出方程组，变形后代入即可得到答案． 【解答】解：（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为元，乙品牌消毒液每瓶的价格为元，由题意可得， 解得， 答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； （2）设需要购买甲品牌消毒液瓶，购买乙品牌消毒液瓶，则由题意可得， ， 整理得，， 当时，， 当时，， 当时，， 方案一：购买15瓶甲消毒液，2瓶乙消毒液； 方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液； 方案三：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； （3）设购买甲品牌消毒液瓶，购买乙品牌消毒液瓶，设使用天，则由题意可得， ， 由①得③， 把③代入②得，， 解得， 答：这批消毒液可使用5天． 【点评】此题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程和方程组是解题的关键． 【变式14-1】．（2023春•南川区期末）某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共180件，其进价和售价如表： 甲 乙 进价（元件） 14 35 售价（元件） 20 43 （1）若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利1240元，问甲、乙两种用品应分别购进多少件？（请用二元一次方程组求解） （2）若商家计划投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 【分析】（1）设购进甲种用品件，乙种用品件，根据“购进甲、乙两种抗疫用品共180件，且销售完这批抗疫用品后能获利1240元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种用品件，则购进乙种用品件，根据“投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数即可得出各购货方案，再利用总利润销售每件的利润销售数量，可分别求出3个购货方案可获得的利润，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设购进甲种用品件，乙种用品件， 依题意得：， 解得：． 答：购进甲种用品100件，乙种用品80件． （2）设购进甲种用品件，则购进乙种用品件， 依题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以取61，62，63， 共有3种购货方案， 方案1：购进甲种用品61件，乙种用品119件； 方案2：购进甲种用品62件，乙种用品118件； 方案3：购进甲种用品63件，乙种用品117件． 方案1可获得的利润为（元； 方案2可获得的利润为（元； 方案3可获得的利润为（元． ， 获利最大的购货方案为：购进甲种用品61件，乙种用品119件． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【变式14-2】．（2023春•武汉期末）蔬菜大王小明牛年春节前欲将一批蔬菜运往外地销售，若用2辆型车和1辆型车载满蔬菜一次可运走10吨，用1辆型车和2辆型车载满蔬菜一次可运走11吨．现有蔬菜31吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满蔬菜．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆型车和1辆型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案； （3）若1辆型车需租金100元次，1辆型车需租金120元次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【分析】（1）设1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，根据“用2辆型车和1辆型车载满蔬菜一次可运走10吨，用1辆型车和2辆型车载满蔬菜一次可运走11吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据一次运送31吨蔬菜，即可得出关于，的二元一次方程，根据，均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆车的租金租车数量，可分别求出三种租车方案的租车费，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送吨， 依题意得：， 解得：． 答：1辆型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送4吨． （2）依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或， 该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆型车，1辆型车； 方案2：租用5辆型车，4辆型车； 方案3：租用1辆型车，7辆型车． （3）方案1所需租车费为（元； 方案2所需租车费为（元； 方案3所需租车费为（元． ， 费用最少的租车方案为：租用1辆型车，7辆型车，最少租车费为940元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总租金每辆车的租金租车数量，分别求出三种租车方案的租车费． 【变式14-3】．（2023春•罗山县期末）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【分析】（1）每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；列出方程组，再解即可； （2）①根据题意可得小客车辆运的人数大客车辆运的人数，然后求出整数解即可；②根据①所得方案和小客车每辆租金200元，大客车每辆租金380元分别计算出租金即可． 【解答】解：（1）设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生 根据题意，得， 解得， ， 答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生． （2）①由题意得：， ， 、为非负整数， 或或， 租车方案有三种： 方案一：小客车20车、大客车0辆， 方案二：小客车11辆，大客车4辆， 方案三：小客车2辆，大客车8辆； ②方案一租金：（元， 方案二租金：（元， 方案三租金：（元， ， 方案三租金最少，最少租金为3440元． 【点评】此题主要考查了二元一次方程（组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 【考查题型十五】转化思想 【例15】．（2023春•衢江区期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】把方程组的解代入方程组，得到关于，的二元一次方程组，求出，，然后解答即可． 【解答】解：把代入方程组得：， 由①得：， 把代入②得：， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组． 【变式15-1】．（2023春•潞城区校级期末）如图1，把两个（正方形）、两个（长方形）、1个（正方形）无缝拼接成如图2所示的大长方形，若大长方形的长为13，宽为7，则小长方形的周长为　　 A．14 B．18 C．20 D．26 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由大长方形的长，大方长方形的宽，建立方程组利用加减消元法求解即可． 【解答】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由题意，得，解得， 根据图形可知小长方形的长为：，宽为：， 故小长方形的周长为， 故选：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用根据所给的图形，找到长方形边长：长及宽和各个图形之间的边长：长和宽之间数量关系，理解题意，找到等量关系列二元一次方程组采用加减消元法是解决问题的关键． 【变式15-2】．（2023春•漳州期末）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 　　． 【分析】将方程组中两个方程相加，得，由于，代入得解即可． 【解答】解：将中两个方程相加得 即， ， ， 解得， 故答案为：2． 【点评】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，注意观察方程组中两个方程的特征，采用了转化和整体代入是解题的关键． 【变式15-3】．（2023春•巴彦淖尔期末）小强同学解方程组时，求得方程组的解为，由于不慎，将一些墨水滴到了作业本上，刚好遮住了●处和◆处的数，那么●处表示的数应该是 　　． 【分析】先把的值代入，求出，再把，的值代入，进行计算即可． 【解答】解：把代入得： ， ， ， 把，代入得： ， ●处表示的数应该是7， 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是了解方程解的定义是：能够让方程左右两边相等的未知数的值． 【变式15-4】（2023春•石狮市校级期中）先阅读下列材料；再解决相关问题： 解方程组 解：设，，原方程组可转化为 解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法． （1）如果用换元法解方程组：，可以设　　，　　，则该方程组可以转化为关于、的方程组：　　； （2）用换元法解方程组：． 【分析】（1）观察方程组的特点，可以设，即可解决问题； （2）设，然后根据题目提供的解方程组的方法解答即可． 【解答】解：（1）用换元法解方程组：，可以设， 则该方程组可以转化为关于、的方程组； 故答案为：，； （2）设， 则原方程组可以转化为关于、的方程组， 解这个方程组，得， 即， 解得． 【点评】本题考查了二元一次方程组的求解，正确理解题意、掌握换元法求解的方法是解题的关键． 【变式15-5】．（2023春•忻州期末）综合与实践 问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，，则原方程组可化为 　　，解关于，的方程组，得，所以，解方程组，得 　　； 探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：； 拓展延伸：（3）已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于，的方程组，然后得到关于，的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； （3）将所求方程组变形，然后得出，进而可得答案． 【解答】解：（1）设，， 则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得， 所以， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设，， 则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得， 所以， 解方程组，得； （3）方程组可化为， 关于，的二元一次方程组的解为， ， ． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$