专题04 二项式定理（两类常规题型，23道强化练习题）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

专题04 二项式定理 题型01 二项式定理系数问题 题型02 二项式定理性质应用 题型01 二项式定理系数问题 一、单选题 1．（23-24高二下·广东广州·期中）已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法不正确的是（   ） A． B．展开式中各项系数的和为 C．展开式中只有第4项的二项式系数最大 D．展开式中含项的系数为84 2．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三下·全国·专题练习）已知的展开式中各项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，若，则展开式中的常数项为（   ） A．180 B．60 C．280 D．240 4．（2023·江西南昌·三模）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（    ） A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 5．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知的展开式中所有项的系数和为，则展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）求的展开式中的系数（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·河南·期中）的展开式中，的系数为（    ） A．160 B．40 C．120 D．80 二、多选题 8．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）在二项式展开式中，所有项的系数和为，所有奇数项的二项式系数和为，且满足时，下列说法正确的有（    ） A． B． C．展开式中二项式系数最大的项为第三项和第四项 D．展开式中各项的系数最大的为第三项 9．（23-24高二下·浙江·期中）已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·福建·期中），已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）的展开式中的常数项为 ． 13．（2024·四川绵阳·一模）若的展开式中有理项的系数和为2，则展开式中的系数为 ． 题型02 二项式定理性质应用 一、单选题 1．（23-24高二下·湖南常德·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知，则被8除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）在某个章节学习完成后，进行系统化归纳梳理以及个性化回顾整理，不仅可以帮助我们构建完整的知识框架，也能够及时查漏补缺，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等学科素养．某同学在学完“计数原理”这一章之后的纠错本整理过程中发现以下四个课后习题中仍然有一个结论是错误的，则该同学（    ）项中结论有误，需要进一步落实纠错． A．能被整除 B．乘积展开后，共有项 C．一含有5个元素的集合，其含有3个元素的子集共有20个 D．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58 4．（23-24高二下·湖南长沙·期中）今天是星期天，则天后是（    ） A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一 二、多选题 5．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且各项系数的和为0，则（    ） A． B．的展开式中的有理项有5项 C．的展开式中偶数项的二项式系数之和为512 D．除以9的余数为8 6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，则下列描述不正确的是（    ） A． B．除以5所得的余数是1 C． D． 7．（22-23高二下·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 三、填空题 8．（23-24高二下·上海·阶段练习）若，则正整数的个位数为 ． 9．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）下列结论正确的是 ． （1）的展开式中的系数为； （2）被除的余数为； （3）若，则； （4）的展开式中第项的二项式系数为，且展开式中各项系数和为1024，则展开式中第6项的系数最大． 10．（23-24高二下·福建莆田·阶段练习）能被9整除的正整数的最小值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二项式定理 题型01 二项式定理系数问题 题型02 二项式定理性质应用 题型01 二项式定理系数问题 一、单选题 1．（23-24高二下·广东广州·期中）已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法不正确的是（   ） A． B．展开式中各项系数的和为 C．展开式中只有第4项的二项式系数最大 D．展开式中含项的系数为84 【答案】C 【分析】利用二项式系数的性质求出，再逐项分析判断即得. 【详解】对于A，由的展开式的二项式系数和为128，得，解得，A正确； 对于B，取，则展开式中各项系数的和为，B正确； 对于C，展开式共有8项，则第4项和第5项的二项式系数相等，都最大，C错误； 对于D，展开式中含项为，因此展开式中含项的系数为84，D正确. 故选：C 2．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式定理展开公式，结合系数最大列出不等式即可求解. 【详解】的展开式的通项为， 由题可知，解得． 故选：A 3．（2024高三下·全国·专题练习）已知的展开式中各项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，若，则展开式中的常数项为（   ） A．180 B．60 C．280 D．240 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的二项式系数之和与各项系数之和求出n，结合二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】的展开式中各项的二项式系数之和． 对于，令，则． 由，解得． 所以的展开式的通项公式为， 令，则， 故的展开式中的常数项为． 故选：D． 4．（2023·江西南昌·三模）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（    ） A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 【答案】B 【分析】先利用二项式系数的增减性求出的值，再根据展开式的通项公式求解即可. 【详解】因为的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大， 所以，解得， 则的展开式通项为， 当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数， 所以展开式中系数最大时，为偶数， 由展开式通项可知，，， ，， 所以展开式中系数最大的是第三项， 故选：B 5．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知的展开式中所有项的系数和为，则展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用赋值法求得，进而根据两个多项式相乘及展开式的通项求解 【详解】令，得，解得 则， 展开式的通项； 当时，展开式中的系数为， 当时，展开式中的系数为， 所以展开式中的系数为 故选：D 6．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）求的展开式中的系数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，多项式可看成的5个三项式的乘积，结合组合的定义和组合数的计算公式，即可求解. 【详解】因为多项式可看成的5个三项式的乘积， 根据组合数的定义和计算公式，可得项为， 所以的系数为. 故选：C. 7．（23-24高二下·河南·期中）的展开式中，的系数为（    ） A．160 B．40 C．120 D．80 【答案】B 【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数 【详解】展开式的通项公式为， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，即可得到； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，即可得到； 据此可得：的系数为. 故选：B. 二、多选题 8．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）在二项式展开式中，所有项的系数和为，所有奇数项的二项式系数和为，且满足时，下列说法正确的有（    ） A． B． C．展开式中二项式系数最大的项为第三项和第四项 D．展开式中各项的系数最大的为第三项 【答案】BC 【分析】令，可得，再由二项式系数的特征得到，即可求出，判断A、B，根据二项式系数的增减性判断C，写出展开式的通项，第项的系数最大，即可得到不等式组，解得，即可判断D. 【详解】对于，令，可得所有项的系数和为， 又所有奇数项的二项式系数和为， 因为，即， 所以，所以，故A错误，B正确； 所以二项式展开式一共有项， 则其展开式中二项式系数最大的项为第三项和第四项，故C正确； 又二项式展开式的通项为（其中且）， 令第项的系数最大，则，即，解得， 又，所以， 即展开式中系数最大的为第五项，故D错误. 故选：BC 9．（23-24高二下·浙江·期中）已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据已知求出，则，令和即可判断A；先求导，再令即可判断B；根据的通项公式求出即可判断C；由通项公式判断的正负，结合计算即可判断D. 【详解】由展开式的二项式系数和为512， 可得，解得，所以. A：在，中， 令，得，令，得， 所以，故A错误； B：， 等式两边同时求导，得， 令，得，故B正确； C：∵， ∴，故C错误； D：， 两式相加得，两式相减得. 又展开式的通项公式为（）， 则当为奇数时，为负，当为偶数时，为正， 所以 ，故D正确. 故选：BD 10．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用赋值法计算判断AD；按二项式展开求出判断BC. 【详解】对于A，令，则，A错误； 对于B，， 显然的系数为4，即，B正确； 对于C，的系数即展开式最高次项系数1，因此，C正确； 对于D，令，则，D正确. 故选：BCD 11．（23-24高二下·福建·期中），已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先写出展开式的通项公式，利用得到，再求进而得到；令得到系数之和，结合得到；左右两边同时求导数再令得到. 【详解】展开式的通项公式，令得； 令得；含有的项为，所以，故A正确； ，故B正确； 令得，所以，故C错误； 令得，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）的展开式中的常数项为 ． 【答案】 【分析】根据分配律，结合二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，求得，令，求得， 由于， 故其展开式中的常数项为 故答案为：. 13．（2024·四川绵阳·一模）若的展开式中有理项的系数和为2，则展开式中的系数为 ． 【答案】1 【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】 时为有理项，， 由系数：, 故答案为：1. 题型02 二项式定理性质应用 一、单选题 1．（23-24高二下·湖南常德·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由赋值法求解即可. 【详解】令，则①， 令，则②， ②减①可得：. 故选：A. 2．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知，则被8除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】先对二项展开式中的进行赋值，得出，再将展开成，利用二项展开式特点分析即得. 【详解】令，得，令，得， 两式相减，． 因为， 其中被8整除，所以被8除的余数为1， 从而能被8整除． 故选：D. 3．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）在某个章节学习完成后，进行系统化归纳梳理以及个性化回顾整理，不仅可以帮助我们构建完整的知识框架，也能够及时查漏补缺，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等学科素养．某同学在学完“计数原理”这一章之后的纠错本整理过程中发现以下四个课后习题中仍然有一个结论是错误的，则该同学（    ）项中结论有误，需要进一步落实纠错． A．能被整除 B．乘积展开后，共有项 C．一含有5个元素的集合，其含有3个元素的子集共有20个 D．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58 【答案】C 【分析】利用二项式的展开式可判断A，利用乘法原理可判断B，利用排列组合知识可判断CD． 【详解】对于A， ， 因为为正整数，所以能被整除，故正确； 对于B，利用乘法原理，在中有种取法，在中也有种取法， 所以共有种取法，即乘积展开后，共有项，故B正确； 对于C，一含有5个元素的集合，其含有3个元素的子集共有个，故C错误； 对于D，正方体有8个顶点，从8个顶点中随机选取4个顶点，有种取法， 且这4个顶点共面的情况有这四个顶点在正方体的6个面或者6个对角面上，即4个顶点共面的情况有， 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是个，故D正确． 故选：C． 4．（23-24高二下·湖南长沙·期中）今天是星期天，则天后是（    ） A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一 【答案】B 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】因为， 所以除以7的余数为6，所以天后是星期六． 故选：B. 二、多选题 5．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且各项系数的和为0，则（    ） A． B．的展开式中的有理项有5项 C．的展开式中偶数项的二项式系数之和为512 D．除以9的余数为8 【答案】BD 【分析】由二项式系数的概念和组合数的性质可判断选项A；结合有理项的概念，根据二项式的通项可判断选项B；由偶数项的二项式系数和可判断选项C；结合二项式定理可判断选项D. 【详解】由的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等可得：， 由组合数的对称性可得：，故选项A错误； 因为的展开式中各项系数的和为0， 所以令可得：，解得：. 则的二项式通项为. 由为整数可得：， 所以的展开式中的有理项有5项，故选项B正确； 因为展开式中偶数项的二项式系数之和为，故选项C错误； 因为 所以除以9的余数为8，故选项D正确. 故选：BD. 6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，则下列描述不正确的是（    ） A． B．除以5所得的余数是1 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用赋值法即可判断AC、求导数后结合赋值法可判断D，根据二项式展开式的通项即可求解B. 【详解】， 令，可得，再令，可得， ,故A错误． 由于，即展开式各项系数和系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确． 把函数两边同时对求导数，可得， 再令，可得，，可得， 故,故D错误． 故选：ACD． 7．（22-23高二下·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 【答案】ACD 【分析】对于选项A，通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项B，通过展开式的通项公式，得到，再通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项C，通过，再利用二项展开式展开即可判断出结果的正误；对于选项D，通过对等式两边同时求导，再进行赋值即可得出结果的正误. 【详解】选项A，因为，令，得到，所以选项A正确； 选项B，因为二项展开式的通项公式为， 由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，所以， 由，令，得到， 令，得到， 所以，所以选项B错误； 选项C，因为， 所以除以5所得的余数是1，选项C正确； 对于选项D，因为， 两边同时对求导，得到， 令，得到，所以选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 8．（23-24高二下·上海·阶段练习）若，则正整数的个位数为 ． 【答案】2 【分析】利用赋值和求，再利用二项式定理的应用，转化为余数问题，即可求解. 【详解】当时，， 当时，， 两式相加得， , 由展开式可知，的个位数为2. 故答案为：2 9．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）下列结论正确的是 ． （1）的展开式中的系数为； （2）被除的余数为； （3）若，则； （4）的展开式中第项的二项式系数为，且展开式中各项系数和为1024，则展开式中第6项的系数最大． 【答案】（1）、（3）、（4） 【分析】（1）写出的通项，求出和，系数相加即可得答案；（2）利用二项式定理将展开，然后观察最后一项即可；（3）令以及可得答案；（4）先根据第项的二项式系数求出，再令求，进而可得答案. 【详解】（1）的展开式的通项为，当时，，当时，，故的系数为，故（1）正确； （2），展开式中除最后一项外，其它各项都是7的整数倍，所以被7除的余数等于被7除的余数，结果为3．故（2）错误； （3）当时，， 当时，， 所以．故（3）正确： （4）由题意，，所以（负值舍去）， 又展开式中各项系数之和为1024，所以，因为，所以， 展开式中的二项式系数与对应项的系数相同，所以展开式中第6项的系数最大．故（4）正确； 故答案为：（1）、（3）、（4）. 10．（23-24高二下·福建莆田·阶段练习）能被9整除的正整数的最小值为 . 【答案】 【分析】由已知可得，则可得，可求得. 【详解】因为 ， 因为，所以S能被9整除的正整数a的最小值是，得.故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$