专题04 统计和概率（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

专题04 统计和概率 【考点01 ：随机抽样】 【考点02 ：数据分析百分位数的计算】 【考点03：平均数，中位数，众数和方差】 【考点04：频率分布直方图】 【考点05： 独立事件，互斥事件，对立事件的判断】 【考点05： 独立事件，互斥事件，对立事件概率的计算】 【考点06： 古典概率】 【考点07：统计和概率相结合】 知识点1：普查与抽样调查 优点 缺点 普查 所取得的数据比较全面系统，能较好地把握调查对象的总体数量 当普查的对象数量很大时，普查的工作量就很大，要耗费大量的人力、物力及财力，并且组织工作繁重，时间长，缺乏时效性 抽样 调查 能及时迅速地获取所需数据，并且节约大量的人力、物力、财力，由于调查对象少，可以对被调查个体的信息了解得更为详细，从而使获得的数据更加科学、可靠 所获取的数据不够全面和系统，并且不易把握调查对象的总体数量 知识点2：分层抽样 (1)定义：一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层”． (2)分层抽样的步骤是： ①将总体按一定标准分层； ②计算各层的个体数与总体的个体数的比； ③按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量； ④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)． (3)分层抽样的应用范围： 当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 知识点3：系统调查 (1)定义：将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样． (2)假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，系统抽样的步骤为： ①采用随机的方法将总体中的N个个体编号； ②将编号按间隔k分段，当是整数时，取k＝；当不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除，这时取k＝，并将剩下的总体重新编号； (3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l； (4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l，l＋k，l＋2k，…，l＋(n－1)k的个体抽出． 三种抽样方法的比较 共同点：抽样过程中每个个体被抽取的概率相等. 抽样方法 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 从总体中逐个抽取 最基本的抽样方式 总体中个体数较少 系统抽样 将总体均分成几部分，按事先确定的规律在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中个体数较多 分层抽样 将总体分成几层 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 知识点4：频率分布直方图 1.1 纵轴表示，即小长方形的高=组距； 1.2.小方形的面积==频率 1.3各个小方形的面积总和等于1 2.频率分布表的画法 第一步，求极差，决定组数和组距，组距= 第二步，分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间，第三步，登记频数，计算频率，列出频率分布表 3. 百分位数的求解 【高分技巧】 若一组数据有n个，求k百分位教的方法: 将所有教值按从小到大的顺序排列: 计算 如果结果为整数，那么k百分位数位于第位和下一位中间，通常取这两个位置上数值的平均值作为k百分位数: 如果不是整教，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该住置上的数值即为k百分位数. 频率直方分布图中的百分位数求法 找出百分位数所在的矩形区间la,b); 设组距为d、计算可得k百分位数等于 4.中位数： 在样本中，有50%的个体小于或者等于中位数，同时也有50%的个体大于或者等于中位数，所以，在频率分布直方图中，在中位数的左边和右边直方图的面积是相等的。从而我们可以根据这个来估算出中位数的大小值。 每个矩形的面积就是这组数据的频率。把每个矩形的面积从左加起，加到接近0.5时(没超过)用0.5减去之前加得的面积，再用减得的数值除以下一组的面积，再乘以组距，再加上在与上一组之间的数就得到了中位数。 比如:有4组数据:[0,10)[10,20)[20,30),[30,40]，频率分别为0.1、0.2、0.3、0.4，把前两组频率加起来，得0.3(再加第三组就超过0.5了)，再0.5-0.3=0.2，再0.2/0.3约=0.67，再0.67*10=6.7最后20+6.7=26.7 知识点5：平均数﹑中位，众数和方差 1.平均数 1）平均数：一般地，如果有n个数，，…，，那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”． 2）加权平均数：如果n个数中，出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权． 2．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 3．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． 4.方差 知识点5：有限样本空间与事件 1．有限样本空间 (1)随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具 有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果，，，，则称样本空间={，，，}为有限样本空间. 2.事件的相关概念 知识点6：事件的关系与运算 （1）包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者． （2）相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等． （3）并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）． （4）交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）． （5）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥； 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． （6）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． 知识点7：样本空间中样本点的求法 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举， 即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以 便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法 知识点8：概率的基本性质 （1）对于任意事件都有：． （2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即． （3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则． 推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：． （4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且． （5）概率的单调性：若，则． （6）若，是一次随机实验中的两个事件，则． 知识点9：古典概型 （1）古典概型的定义：一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 2、 古典概型的概率公式：一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． 知识点10：相互独立事件 1、相互独立事件 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）概率的乘法公式：由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质：如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1P()P()或 P(A)+P(B)P(AB) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 P() 1[P(A)+P(B)] P()P() A，B恰有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A) P()+ P()P(B) A，B中至多有一个发生 P(∪A∪B) 1 1P(A)P(B) 知识点11：频率与概率 频率与概率的关系 （1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率． （2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作． （3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率 【考点01 ：随机抽样】 1．下列调查中，适宜采用全面调查的是（    ） A．调查某池墙中现有鱼的数量 B．调查某批次汽车的抗撞击能力 C．选出某班短跑最快的学生参加全校短跑比赛 D．调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准 2．在社区公益活动中，某单位有40名志愿者参与了报名，先将这40名志愿者进行编号，编号为01，02，…，40，从这40名志愿者中抽取10人参加一项活动，选取方法是从随机数表第1行的第4列开始由左到右依次选两个数字，则选出来的第6个样本编号为（    ） 972974836721345267459176245172498563244 377950031417197200304658711420518713682 A．32 B．24 C．17 D．37 3．在北京冬奥会期间，共有1.8万多名赛会志愿者和20余万人次城市志愿者参与服务.据统计某高校共有本科生4400人，硕士生400人，博士生200人申请报名做志愿者，现用分层抽样方法从中抽取博士生10人，则该高校抽取的志愿者总人数为（    ） A．100 B．150 C．200 D．250 3．某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4：1，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多63，则参加体检的人数是（    ） A．105 B．110 C．120 D．144 4．新华中学高三年级有学生1100人，高二年级有学生900人，高一年级有学生1000人，现以年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级中抽取一个容量为150的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取的学生人数为（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 5．一段高速公路有个太阳能标志灯，其中进口的有个，联合研制的有个，国产的有个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为的样本，若采用分层抽样的方法，则进口的标志灯抽取的数量为（    ） A． B． C． D． 6．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有300人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有（    ）人．” A．200 B．100 C．400 D．300 7．2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相.某高中为了解学生对这一新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了30人进行问卷调查，其中高一年级抽取了11人，高二年级抽取了9人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为 人. 【考点02 ：数据分析百分位数的计算】 8．某人用手机记录了他连续10周每周的走路里程（单位：公里），其数据分别为,，则这组数据的分位数是（    ） A．7 B．12 C．13 D．14 9．某班在体育课上组织趣味游戏，统计了第一组14名学生的最终得分：13，10，12，17，9，12，8，9，11，14，15，12，10，12．这组数据的第80百分位数是（    ） A．12 B．13 C．13.5 D．14 10．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取7位小区居民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，4，则这组数据的第60百分位数是（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 11．已知一组数据2，3，3，4，6，8，10，11的第二四分位数为 . 12．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽到10根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果为： 260    263    265    293    296    301    303    305    321    325 则这组数据的第70百分位数是 ； 【考点03：平均数，中位数，众数和方差】 13．已知一组数据为20，30，40，50，50，50，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（    ） A．平均数＝第60百分位数＞众数 B．平均数＜第60百分位数＝众数 C．第60百分位数＝众数＜平均数 D．平均数＝第60百分位数＝众数 14．某市环境保护局公布了该市A，B两个景区2014年至2020年各年的全年空气质量优良天数的数据．现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是（    ） A．景区A这七年的空气质量优良天数的极差为98 B．景区B这七年的空气质量优良天数的中位数为283 C．记景区B这七年的空气质量优良天数的众数为，平均分为，则 D．分别记景区A，B这七年的空气质量优良天数的标准差为，，则 15．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是 A．甲队平均得分高于乙队的平均得分中乙 B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数 C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差 D．甲乙两队得分的极差相等 16．已知一组数据的平均数为，方差为.若的平均数与方差相等，则的最大值为 . 17．已知：，，…，的平均数为a．则，，…，的平均数是 ． 18．甲、乙两人进行5轮投篮训练，每轮投篮10次，每轮投进的次数如下： 甲：7，7，9，7，8； 乙：4，5，7，9，9． 若甲的中位数为a，乙的众数为b，则 ． 19．某中学要从高一年级甲乙两个班级中选择一个班参加电视台组织的“环保知识竞赛”，该校对甲乙两班的参赛选手（每班7人）进行了一次环保知识测试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是85. （1）求，的值； （2）根据茎叶图，求甲乙两班同学方差的大小，并从统计学角度分析，该校应选择甲班还是乙班参赛. 【考点04：频率分布直方图】 20．某市为了了解该市的“全民健身运动”的开展情况，从全体市民中随机调查了100位市民每天的健身运动时间（健身运动时间是考查“全民健身运动”情况的重要指标），所得数据都在区间（单位：分钟）中，其频率直方图如图所示，估计市民健身运动时间的样本数据的百分位数是（    ）    A．29分钟 B．27分钟 C．29.5分钟 D．30.5分钟 21．为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取100名男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率直方图.已知立定跳远195cm及以上成绩为合格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的数据估计全校1000名男生中立定跳远项目合格的男生有（   ） A．660名 B．940名 C．970名 D．800名 22．多选题某学校为了调查学生在放学后体育运动的情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中运动时间在分钟内的有72人，则下列说法正确的是（    ） A．样本中放学后体育运动时间在分钟的频率为0.36 B．样本中放学后体育运动时间不少于40分钟的人数有132 C．的值为200 D．若该校有1000名学生，则必定有300人放学后体育运动时间在分钟 23．某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为 分 24．某果园新采摘了一批雪梨，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照，，，进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．    (1)计算频率分布直方图中的值，并估计这批雪梨的重量的第70百分位数； (2)该果园准备将这批雪梨分拣成两类销售给一家超市，每分拣1000个雪梨，果园需要支付4元分拣费，重量不小于180克的雪梨的销售价格为3元/千克，重量小于180克的雪梨的销售价格为2元/千克．根据样本估计总体，估算果园销售10000个雪梨的收入． 25．某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长.学校准备调查高一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用按比例分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均运动时间的样本数据（单位：小时），并根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，. (1)求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数； (2)求样本数据的平均数. 26．某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查.经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间内，按分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中的值，并估计样本中消费金额的中位数(中位数精确到0.01)； (2)求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数 (同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表). 27．镇海中学为了学生的身心建康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数=）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中x的值和中位数（保留2位小数）； (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[60，70）的学生人数； (3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由. 28．统计某校n名学生期中考试化学成绩（单位：分），由统计结果得如下频数分布表和频率分布直方图： 化学成绩组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 频数 m 26 38 p 8 (1)求出表中m，p的值； (2)估计该校学生化学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该校学生化学成绩达到“化学成绩不低于70分的学生所占比例不低于该校全体学生的80%”的考核标准？ 29．某学校随机抽取了100名学生通过答卷方式进行科学知识普及情况调查，试卷满分为120分.经统计得到成绩的范围是（单位：分），通过整理数据得到如下频率分布直方图： (1)求的值，并求出分数在的人数； (2)估计该校科普知识测试成绩的平均数、中位数和众数. 【考点05： 独立事件，互斥事件，对立事件的判断】 30．一批产品共7件，其中5件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（    ） A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品” B．“恰有1件次品”和“至少1件次品” C．“至多1件次品”和“恰有1件次品” D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品” 31．已知甲袋中有标号分别为的四个小球，乙袋中有标号分别为的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（    ） A．与相互独立 B．与是对立事件 C．与是对立事件 D．与相互独立 32．多选题袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个白球、2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则（    ） A．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”是互斥事件 B．“都是白球”与“都是黑球”是互斥事件 C．“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件 D．“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”相互独立 【考点05： 独立事件，互斥事件，对立事件概率的计算】 33．甲、乙两人各加工一个零件，若甲、乙加工的零件为一等品的概率分别是和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（    ） A． B． C． D． 34．甲、乙两人独立地破译密码,已知甲、乙能破译的概率分别是,则两人都成功破译的概率是（    ） A． B． C． D． 35．一个盒子里装有标号为的5张标签，无放回的随机选取两张标签，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是（    ） A． B． C． D． 36．一个笼子里有只白兔，只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是（    ） A． B． C． D． 37．多选题已知事件A，B，且，则（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果A与B相互独立，那么 D．如果A与B相互独立，那么 38．甲、乙两名优秀大学毕业生准备应聘某世界五百强企业，甲通过面试的概率是，乙通过面试的概率是，且甲、乙是否通过面试是相互独立的．那么这两名大学生至少有一名通过面试的概率为 ． 39．从分别写有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为 ． 40．为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，只有甲答对的概率. (1)求和的值； (2)求甲、乙两人共答对3道题的概率. 41．甲､乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求： (1)2人中恰有1个人译出密码的概率； (2)2人中至少有1人译出密码的概率. 42．2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛．比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场进行．某学校的足球协会举办了足球知识考试，试卷中只有两道题目．已知小张同学答对每道题的概率为，小李同学答对每道题的概率为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．若两人答对题目数相同的概率为． (1)求的值； (2)求两人共答对两道题的概率． 43．甲、乙、丙3人射箭，射一次箭能射中目标的概率分别是、、.现3人各射一次箭，求： (1)3人都射中目标的概率； (2)3人中恰有2人射中目标的概率. 【考点06： 古典概率】 44．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力． （1）求此人被评为优秀的概率； （2）求此人被评为良好及以上的概率． 45．某环保小组共有5名成员，其中男成员有2人，现从这5人中随机选出3人去某社区进行环保宣传. (1)求所选的3人中恰有1名男成员的概率； (2)求所选的3人中至少有2名女成员的概率. 46．2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动. (1)写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间； (2)求选出的2名教师中至多有1名男教师的概率. 47．袋子中放有大小质地完全相同的球若干个，其中红色球1个，黑色球1个，白色球个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到白色球为事件，且事件发生的概率是． (1)求的值； (2)若从袋子中有放回地取球，每次随机取一个，若取到红色球得2分，取到白色球得1分，取到黑色球得0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率． 【考点07：统计和概率相结合】 48．2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，统计结果如图所示： (1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； (2)试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）； (3)现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在的概率. 49．某高校承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求a，b的值； (2)根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为17%，请估算被录取至少需要多少分； (3)在第四､第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人以定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. 50．某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图． (1)根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数； (2)估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）； (3)现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率． 51．为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据（单位：）按分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图 (1)求a并估计这100名学生身高的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人身高不低于160的概率. 52．某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图如图所示. (1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (2)该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 统计和概率 【考点01 ：随机抽样】 【考点02 ：数据分析百分位数的计算】 【考点03：平均数，中位数，众数和方差】 【考点04：频率分布直方图】 【考点05： 独立事件，互斥事件，对立事件的判断】 【考点05： 独立事件，互斥事件，对立事件概率的计算】 【考点06： 古典概率】 【考点07：统计和概率相结合】 知识点1：普查与抽样调查 优点 缺点 普查 所取得的数据比较全面系统，能较好地把握调查对象的总体数量 当普查的对象数量很大时，普查的工作量就很大，要耗费大量的人力、物力及财力，并且组织工作繁重，时间长，缺乏时效性 抽样 调查 能及时迅速地获取所需数据，并且节约大量的人力、物力、财力，由于调查对象少，可以对被调查个体的信息了解得更为详细，从而使获得的数据更加科学、可靠 所获取的数据不够全面和系统，并且不易把握调查对象的总体数量 知识点2：分层抽样 (1)定义：一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层”． (2)分层抽样的步骤是： ①将总体按一定标准分层； ②计算各层的个体数与总体的个体数的比； ③按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量； ④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)． (3)分层抽样的应用范围： 当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 知识点3：系统调查 (1)定义：将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样． (2)假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，系统抽样的步骤为： ①采用随机的方法将总体中的N个个体编号； ②将编号按间隔k分段，当是整数时，取k＝；当不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除，这时取k＝，并将剩下的总体重新编号； (3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l； (4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l，l＋k，l＋2k，…，l＋(n－1)k的个体抽出． 三种抽样方法的比较 共同点：抽样过程中每个个体被抽取的概率相等. 抽样方法 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 从总体中逐个抽取 最基本的抽样方式 总体中个体数较少 系统抽样 将总体均分成几部分，按事先确定的规律在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中个体数较多 分层抽样 将总体分成几层 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 知识点4：频率分布直方图 1.1 纵轴表示，即小长方形的高=组距； 1.2.小方形的面积==频率 1.3各个小方形的面积总和等于1 2.频率分布表的画法 第一步，求极差，决定组数和组距，组距= 第二步，分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间，第三步，登记频数，计算频率，列出频率分布表 3. 百分位数的求解 【高分技巧】 若一组数据有n个，求k百分位教的方法: 将所有教值按从小到大的顺序排列: 计算 如果结果为整数，那么k百分位数位于第位和下一位中间，通常取这两个位置上数值的平均值作为k百分位数: 如果不是整教，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该住置上的数值即为k百分位数. 频率直方分布图中的百分位数求法 找出百分位数所在的矩形区间la,b); 设组距为d、计算可得k百分位数等于 4.中位数： 在样本中，有50%的个体小于或者等于中位数，同时也有50%的个体大于或者等于中位数，所以，在频率分布直方图中，在中位数的左边和右边直方图的面积是相等的。从而我们可以根据这个来估算出中位数的大小值。 每个矩形的面积就是这组数据的频率。把每个矩形的面积从左加起，加到接近0.5时(没超过)用0.5减去之前加得的面积，再用减得的数值除以下一组的面积，再乘以组距，再加上在与上一组之间的数就得到了中位数。 比如:有4组数据:[0,10)[10,20)[20,30),[30,40]，频率分别为0.1、0.2、0.3、0.4，把前两组频率加起来，得0.3(再加第三组就超过0.5了)，再0.5-0.3=0.2，再0.2/0.3约=0.67，再0.67*10=6.7最后20+6.7=26.7 知识点5：平均数﹑中位，众数和方差 1.平均数 1）平均数：一般地，如果有n个数，，…，，那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”． 2）加权平均数：如果n个数中，出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权． 2．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 3．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． 4.方差 知识点5：有限样本空间与事件 1．有限样本空间 (1)随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具 有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果，，，，则称样本空间={，，，}为有限样本空间. 2.事件的相关概念 知识点6：事件的关系与运算 （1）包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者． （2）相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等． （3）并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）． （4）交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）． （5）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥； 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． （6）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． 知识点7：样本空间中样本点的求法 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举， 即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以 便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法 知识点8：概率的基本性质 （1）对于任意事件都有：． （2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即． （3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则． 推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：． （4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且． （5）概率的单调性：若，则． （6）若，是一次随机实验中的两个事件，则． 知识点9：古典概型 （1）古典概型的定义：一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 2、 古典概型的概率公式：一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． 知识点10：相互独立事件 1、相互独立事件 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）概率的乘法公式：由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质：如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1P()P()或 P(A)+P(B)P(AB) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 P() 1[P(A)+P(B)] P()P() A，B恰有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A) P()+ P()P(B) A，B中至多有一个发生 P(∪A∪B) 1 1P(A)P(B) 知识点11：频率与概率 频率与概率的关系 （1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率． （2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作． （3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率 【考点01 ：随机抽样】 1．下列调查中，适宜采用全面调查的是（    ） A．调查某池墙中现有鱼的数量 B．调查某批次汽车的抗撞击能力 C．选出某班短跑最快的学生参加全校短跑比赛 D．调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准 【答案】C 【分析】选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查． 【详解】调查某池塘中现有鱼的数量，应采用抽样调查，故选项A不合题意； 调查某批次汽车的抗撞击能力，应采用抽样调查，故选项B不合题意； 选出某班短跑最快的学生参加全校短跑比赛，适宜采用全面调查，故选项C符合题意； 调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，应采用抽样调查，故选项D不合题意． 故选：C． 2．在社区公益活动中，某单位有40名志愿者参与了报名，先将这40名志愿者进行编号，编号为01，02，…，40，从这40名志愿者中抽取10人参加一项活动，选取方法是从随机数表第1行的第4列开始由左到右依次选两个数字，则选出来的第6个样本编号为（    ） 972974836721345267459176245172498563244 377950031417197200304658711420518713682 A．32 B．24 C．17 D．37 【答案】A 【分析】根据题意从第1行第4列起每两个数字依次读取，取小于等于40的数字，且重复的数字只取一次，即可得到答案. 【详解】由题意得从随机数表第1行的第4列开始由左到右依次选两个数字，且小于等于40的数字为： 36，13，26，17，24，32，37，……， 所以选出来的第6个样本编号为32， 故选：A 3．在北京冬奥会期间，共有1.8万多名赛会志愿者和20余万人次城市志愿者参与服务.据统计某高校共有本科生4400人，硕士生400人，博士生200人申请报名做志愿者，现用分层抽样方法从中抽取博士生10人，则该高校抽取的志愿者总人数为（    ） A．100 B．150 C．200 D．250 【答案】D 【分析】根据题意求出分层抽样比例，进而可得结果. 【详解】根据题意知分层抽样比例为， 所以该高校抽取的志愿者总人数为. 故选：D. 3．某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4：1，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多63，则参加体检的人数是（    ） A．105 B．110 C．120 D．144 【答案】A 【分析】根据分层抽样的性质列方程求解即可 【详解】设参加体检的人数是， 则，解得， 所以参加体检的人数是105人． 故选：A． 4．新华中学高三年级有学生1100人，高二年级有学生900人，高一年级有学生1000人，现以年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级中抽取一个容量为150的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取的学生人数为（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 【答案】C 【分析】根据已知先求出抽样比为，然后即可得出答案. 【详解】由已知可得，全校共有学生3000人，抽样比为， 所以，高三年级应该抽取：人． 故选：C． 5．一段高速公路有个太阳能标志灯，其中进口的有个，联合研制的有个，国产的有个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为的样本，若采用分层抽样的方法，则进口的标志灯抽取的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分层抽样原则直接计算即可. 【详解】根据分层抽样原则知：进口的标志灯应抽取的数量为. 故选：A. 6．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有300人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有（    ）人．” A．200 B．100 C．400 D．300 【答案】B 【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可 【详解】设北面共有人，则由题意可得 ，解得， 所以北面共有100人， 故选：B 7．2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相.某高中为了解学生对这一新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了30人进行问卷调查，其中高一年级抽取了11人，高二年级抽取了9人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为 人. 【答案】2700 【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解. 【详解】每个学生被抽到的概率为，设该校共有n名学生，可得， 解得（人）. 故答案为：2700. 【考点02 ：数据分析百分位数的计算】 8．某人用手机记录了他连续10周每周的走路里程（单位：公里），其数据分别为,，则这组数据的分位数是（    ） A．7 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】先将数据按从小到大顺序排列，再利用百分位计算. 【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列为. 因为， 则这组数据的分位数是这组数据中的第6个和第7个数据的平均数，即. 故选：C. 9．某班在体育课上组织趣味游戏，统计了第一组14名学生的最终得分：13，10，12，17，9，12，8，9，11，14，15，12，10，12．这组数据的第80百分位数是（    ） A．12 B．13 C．13.5 D．14 【答案】D 【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】由题意，将14名学生的最终得分，从小到大排序：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17， 又由，所以这组数据的第80百分位数为第12个数，即为14. 故选：D. 10．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取7位小区居民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，4，则这组数据的第60百分位数是（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】利用百分位数定义规则即可求得这组数据的第60百分位数. 【详解】该组数据从小到大排列为：4，5，5，6，7，8，9，且. 所以第60百分位数是第5个数，即7. 故选：A. 11．已知一组数据2，3，3，4，6，8，10，11的第二四分位数为 . 【答案】5 【分析】根据第二四分位数的定义直接求解即可 【详解】数据2，3，3，4，6，8，10，11的第二四分位数为， 故答案为：5 12．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽到10根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果为： 260    263    265    293    296    301    303    305    321    325 则这组数据的第70百分位数是 ； 【答案】304 【分析】直接计算第70百分位数可得答案. 【详解】由已知得这组数据的第70百分位数是. 故答案为：. 【考点03：平均数，中位数，众数和方差】 13．已知一组数据为20，30，40，50，50，50，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（    ） A．平均数＝第60百分位数＞众数 B．平均数＜第60百分位数＝众数 C．第60百分位数＝众数＜平均数 D．平均数＝第60百分位数＝众数 【答案】B 【分析】从数据为20，30，40，50，50，50，70，80中计算出平均数、第60百分位数和众数，进行比较即可. 【详解】解：平均数为， ，第5个数50即为第60百分位数. 又众数为50， 它们的大小关系是平均数第60百分位数众数. 故选：B. 14．某市环境保护局公布了该市A，B两个景区2014年至2020年各年的全年空气质量优良天数的数据．现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是（    ） A．景区A这七年的空气质量优良天数的极差为98 B．景区B这七年的空气质量优良天数的中位数为283 C．记景区B这七年的空气质量优良天数的众数为，平均分为，则 D．分别记景区A，B这七年的空气质量优良天数的标准差为，，则 【答案】D 【分析】对于A，直接计算极差判断即可；对于B，对数据排列后直接求中位数即可；对于C，计算众数和平均数判断；对于D，由数据的离散程度判断标准差 【详解】解：对于A，景区A这七年的空气质量优良天数的极差为，所以A错误； 对于B，景区B这七年的空气质量优良天数从小到大排列依次为，则中位数为266，所以B错误； 对于C，由图中的数据可知，，则，所以C错误； 对于D，由图中的数据可知，景区A这七年的空气质量优良天数比较分散，而景区B这七年的空气质量优良天数比较集中，所以，所以D正确， 故选：D 15．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是 A．甲队平均得分高于乙队的平均得分中乙 B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数 C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差 D．甲乙两队得分的极差相等 【答案】C 【分析】由茎叶图分别计算甲、乙的平均数，中位数，方差及极差可得答案． 【详解】29；30，∴∴A错误； 甲的中位数是29，乙的中位数是30，29<30,∴B错误； 甲的极差为31﹣26＝5，乙的极差为32﹣28＝4，5∴D错误； 排除可得C选项正确， 故选C． 【点睛】本题考查了由茎叶图求数据的平均数，极差，中位数，运用了选择题的做法即排除法的解题技巧，属于基础题. 16．已知一组数据的平均数为，方差为.若的平均数与方差相等，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据平均数的性质，结合二次函数的最值求解即可 【详解】由题意可得，因为，所以，解得. 令，当时，取得最大值 故答案为： 17．已知：，，…，的平均数为a．则，，…，的平均数是 ． 【答案】或 【分析】由题可得,再利用平均数的定义求解即可 【详解】由题,所以, 则，，…，的平均数: , 故答案为： 18．甲、乙两人进行5轮投篮训练，每轮投篮10次，每轮投进的次数如下： 甲：7，7，9，7，8； 乙：4，5，7，9，9． 若甲的中位数为a，乙的众数为b，则 ． 【答案】2 【分析】分别求出的值，即可得的值. 【详解】由题意得，则． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了求众数和中位数，属于基础题. 19．某中学要从高一年级甲乙两个班级中选择一个班参加电视台组织的“环保知识竞赛”，该校对甲乙两班的参赛选手（每班7人）进行了一次环保知识测试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是85. （1）求，的值； （2）根据茎叶图，求甲乙两班同学方差的大小，并从统计学角度分析，该校应选择甲班还是乙班参赛. 【答案】（1），；（2）乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加． 【分析】（1）利用茎叶图，根据甲班7名学生成绩的平均分是85，乙班7名学生成绩的中位数是85．先求出，， （2）求出乙班平均分，再求出甲班7名学生成绩方差和乙班名学生成绩的方差，由此能求出结果． 【详解】解：（1）甲班的平均分为：； 解得， 乙班7名学生成绩的中位数是85，， （2）乙班平均分为：； 甲班7名学生成绩方差， 乙班名学生成绩的方差， 两个班平均分相同，， 乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加． 【点睛】本题考查茎叶图的应用，解题时要认真审题，属于基础题． 【考点04：频率分布直方图】 20．某市为了了解该市的“全民健身运动”的开展情况，从全体市民中随机调查了100位市民每天的健身运动时间（健身运动时间是考查“全民健身运动”情况的重要指标），所得数据都在区间（单位：分钟）中，其频率直方图如图所示，估计市民健身运动时间的样本数据的百分位数是（    ）    A．29分钟 B．27分钟 C．29.5分钟 D．30.5分钟 【答案】B 【分析】首先分析可得百分位数一定位于内，再根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】健身运动时间在30分钟以下的比例为， 在25分钟以下的比例为，因此百分位数一定位于内， 由，可以估计健身运动时间的样本数据的百分位数是27分钟． 故选：B 21．为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取100名男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率直方图.已知立定跳远195cm及以上成绩为合格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的数据估计全校1000名男生中立定跳远项目合格的男生有（   ） A．660名 B．940名 C．970名 D．800名 【答案】B 【分析】在频率分布直方图中，根据频率之和为1求出a，然后直接计算合格率即可求解. 【详解】由频率分布直方图可知，所以实数， 所以可估计全校1000名男生中立定跳远项目合格的男生有名. 故选：B. 22．多选题某学校为了调查学生在放学后体育运动的情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中运动时间在分钟内的有72人，则下列说法正确的是（    ） A．样本中放学后体育运动时间在分钟的频率为0.36 B．样本中放学后体育运动时间不少于40分钟的人数有132 C．的值为200 D．若该校有1000名学生，则必定有300人放学后体育运动时间在分钟 【答案】ABC 【分析】由频率分布直方图求得运动时间在分钟的频率，从而得出总人数，再计算后判断各选项． 【详解】由频率分布直方图得运动时间在分钟的频率是，A正确； 所以总人数为．C正确； 运动时间不少于40分钟的人数为，B正确； 若该校有1000名学生，根据样本频率估计总体频率，只能说明可能有300人放学后体育运动时间在分钟，D错误． 故选：ABC． 23．某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为 分 【答案】 【分析】利用直方图求学生的平均成绩即可. 【详解】由直方图知：平均成绩为分. 故答案为： 24．某果园新采摘了一批雪梨，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照，，，进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．    (1)计算频率分布直方图中的值，并估计这批雪梨的重量的第70百分位数； (2)该果园准备将这批雪梨分拣成两类销售给一家超市，每分拣1000个雪梨，果园需要支付4元分拣费，重量不小于180克的雪梨的销售价格为3元/千克，重量小于180克的雪梨的销售价格为2元/千克．根据样本估计总体，估算果园销售10000个雪梨的收入． 【答案】(1)，第70百分位数约为172.5克 (2)3494元 【分析】（1）根据频率之和为1，求出的值.进而计算得出第70百分位数位于之间，然后计算即可得出答案； （2）求出重量小于180克以及大于180克的雪梨的总重量，根据题意，即可得出答案. 【详解】（1）由题意，得，解得， 因为的频率为 ， 的频率为 ， 所以第70百分位数位于之间， 设50个雪梨重量的第70百分位数为， 则，解得， 故估计这批雪梨的重量的第70百分位数约为172.5克. （2）重量小于180克的雪梨的总重量约为（千克）， 重量不小于180克的雪梨的总重量约为（千克）， 估计销售收入约为（元）. 25．某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长.学校准备调查高一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用按比例分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均运动时间的样本数据（单位：小时），并根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，. (1)求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数； (2)求样本数据的平均数. 【答案】(1)140人， (2)5.8 【分析】（1）根据分层抽样计算女生人数为，根据百分位数可得，运算求解；（2）以每组区间中点为代表，结合加权平均数估计样本的平均数. 【详解】（1）这300个样本数据中女生人数为人， 因为样本数据中在8小时以下的学生所占比例为 ， 所以85%分位数为落在[8，10]，设为 解得 （2）以每组区间中点为代表，估计样本的平均数为： 26．某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查.经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间内，按分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中的值，并估计样本中消费金额的中位数(中位数精确到0.01)； (2)求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数 (同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表). 【答案】(1)，0.46万元 (2)0.466 【分析】（1）由频率和为1，列方程可求出的值，先判断出中位数在第三组，然后列方程求解即可， （2）根据平均数的定义结合频率分布直方图求解. 【详解】（1）由题可知， 即，所以. 因为前两组的频率和为，前三组的频率和为， 所以中位数在第三组，设中位数为，则，解得， 所以样本中消费金额的中位数约为0.46万元； （2）由频率分布直方图可得 因此，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.466万元. 27．镇海中学为了学生的身心建康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数=）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中x的值和中位数（保留2位小数）； (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[60，70）的学生人数； (3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由. 【答案】(1)，中位数为81.67； (2)应选取评分在的学生人数为10人； (3)“美食”工作需要进一步整改，理由见解析. 【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可求得，在频率分布直方图中频率对应的数为中位数； （2）由低于80分的学生中三组学生的人数比例进行计算； （3）由频率分布直方图求出平均值后与认可系数比较可得． 【详解】（1）由图可知：， 中位数：； （2）低于80分的学生中三组学生的人数比例为， 则应选取评分在的学生人数为：（人） （3）由图可知，认可程度平均分为： ， “美食"工作需要进一步整改. 28．统计某校n名学生期中考试化学成绩（单位：分），由统计结果得如下频数分布表和频率分布直方图： 化学成绩组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 频数 m 26 38 p 8 (1)求出表中m，p的值； (2)估计该校学生化学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该校学生化学成绩达到“化学成绩不低于70分的学生所占比例不低于该校全体学生的80%”的考核标准？ 【答案】(1)； (2)平均数约为75；中位数的为74.7 (3)不能 【分析】（1）根据频率分布直方图进行数据分析，计算可得； （2）利用平均数计算公式计算样本平均数；先判断出中位数落在第三组[70·80）内，设中位数为x，列方程即可求解； （3）先计算出化学成绩不低于70分的学生所占比例约为，再下结论. 【详解】（1）由频率分布直方图将进行数据分析可得： ； ； . （2）化学成绩的样本平均数为 ∴该校学生化学成绩的平均数约为75． 第一组频率为：0.06，第二组频率为：0.26，第三组频率为：0.38． ∵ ∴中位数落在第三组[70，80）内，设中位数为x 则 解得因此，中位数的为74.7 （3）学成绩不低于70分的学生所占比例约为， 由于该估计值小于0.8，故不能认为该校学生化学成绩达到“化学成绩不低于70分的学生所占比例不低于该校全体学生的80%的规定． 29．某学校随机抽取了100名学生通过答卷方式进行科学知识普及情况调查，试卷满分为120分.经统计得到成绩的范围是（单位：分），通过整理数据得到如下频率分布直方图： (1)求的值，并求出分数在的人数； (2)估计该校科普知识测试成绩的平均数、中位数和众数. 【答案】(1)0.02，30人； (2)平均数为94分，中位数为95分，众数为95分. 【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形面积和为1求出m，再求出的频率即可计算作答. （2）利用频率分布直方图求样本平均数，中位数，众数的方法分别计算作答. 【详解】（1）由频率分布直方图得：； 分数在对应频率为，， 所以分数在的人数为30人. （2）依题意，， 所以成绩平均数为94分； 因，， 则成绩的中位数在90分到100分之间，设成绩的中位数为分， 由，解得， 所以成绩的中位数为95分； 因成绩在的频率最大，而，所以成绩的众数为95分. 【考点05： 独立事件，互斥事件，对立事件的判断】 30．一批产品共7件，其中5件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（    ） A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品” B．“恰有1件次品”和“至少1件次品” C．“至多1件次品”和“恰有1件次品” D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品” 【答案】A 【分析】本题考查互斥事件的概念：事件A与事件B不会同时发生． 【详解】5件正品，2件次品，从中随机抽取2件共有如下可能性结果： “两件次品”，“一件正品一件次品”，“两件正品” 根据互斥事件可知：A正确； “至少1件次品”包含“两件次品”和“一件正品一件次品”，B不正确； “至多1件次品”包含“一件正品一件次品”，“两件正品”，C不正确； “恰有1件正品”和“恰有1件次品”是同一事件，D不正确； 故选：A． 31．已知甲袋中有标号分别为的四个小球，乙袋中有标号分别为的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（    ） A．与相互独立 B．与是对立事件 C．与是对立事件 D．与相互独立 【答案】D 【分析】利用互斥，对立，独立事件的定义逐项判断即可. 【详解】由题意可得基本事件总数为， 设 ， 由题意可得与可以同时发生，故不是对立事件， 易知与不同时发生，为互斥事件，但不是对立事件，比如还可以有发生，则错误. ， 则， 从而与不相互独立，与相互独立，故A错误，D正确. 故选：D 32．多选题袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个白球、2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则（    ） A．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”是互斥事件 B．“都是白球”与“都是黑球”是互斥事件 C．“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件 D．“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”相互独立 【答案】BC 【分析】根据互斥，对立事件与相互独立事件的定义逐个判断即可 【详解】对A，“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”均包含“一个白球一个黑球”的情况，故A错误； 对B，“都是白球”与“都是黑球”不能同时发生，且不是对立事件，故为互斥事件，故B正确； 对C，“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件，故C正确； 对D，事件“第一次摸到的是白球”的概率，事件 “第二次摸到的是黑球” 的概率，又，因为，故“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球” 不相互独立，故D错误； 故选：BC 【考点05： 独立事件，互斥事件，对立事件概率的计算】 33．甲、乙两人各加工一个零件，若甲、乙加工的零件为一等品的概率分别是和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用独立事件乘法公式及对立事件概率求法，结合互斥事件加法求目标概率. 【详解】由题意，这两个零件中恰有一个一等品的概率为. 故选：C 34．甲、乙两人独立地破译密码,已知甲、乙能破译的概率分别是,则两人都成功破译的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】根据已知条件,甲、乙能破译的概率分别是, 所以两人都成功破译的概率是. 故选:A. 35．一个盒子里装有标号为的5张标签，无放回的随机选取两张标签，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列出总的基本事件的总数，其中两张标签上的数字为相邻整数的事件数，利用列举法即可求概率. 【详解】由题意得：总的基本事件为，共10个. 其中两张标签上的数字为相邻整数的事件为，共4个. 所以两张标签上的数字为相邻整数的概率是. 故选：C. 36．一个笼子里有只白兔，只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果. 【详解】设只白兔为，只灰兔为， 则所有基本事件为：，，,,,,,,,,共有个， 其中先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的有：,,,,,,共个， 所以所求事件的概率为：. 故选：A 37．多选题已知事件A，B，且，则（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果A与B相互独立，那么 D．如果A与B相互独立，那么 【答案】ABD 【分析】根据事件关系及运算有、，由事件的相互独立知，结合事件的运算求、. 【详解】A：由，则，正确； B：由，则，正确； C：如果A与B相互独立，则， ，错误； D：由C分析及事件关系知：，正确. 故选：ABD. 38．甲、乙两名优秀大学毕业生准备应聘某世界五百强企业，甲通过面试的概率是，乙通过面试的概率是，且甲、乙是否通过面试是相互独立的．那么这两名大学生至少有一名通过面试的概率为 ． 【答案】 【分析】根据相互独立事件的概率和对立事件的概率之和等于1即可求解． 【详解】甲乙两射手的射击相互独立， 甲乙两射手同时瞄准一个目标射击且目标被射中的对立事件是： 甲乙二人都没有射中目标， ∴目标被射中的概率为． 故答案为：． 39．从分别写有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意写出抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字的所有基本事件，然后代入古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】记“抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字”为事件， 事件包括以下种情况：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 而有放回地连续抽取2张卡片共有（种）不同情况， 则． 故答案为：. 40．为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，只有甲答对的概率. (1)求和的值； (2)求甲、乙两人共答对3道题的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立、互斥事件概率公式得到方程组求解； （2）由甲乙总共答对3道题等价于甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，利用独立、互斥事件概率公式计算求得. 【详解】（1）设A：甲同学答对第一题，B：乙同学答对第一题，则，， 设C：甲、乙两人均答对第一题，D：只有甲答对第一题，则，， ∵甲、乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，∴A与B相互独立， ∴，， 由题意得，解得. （2）设：甲同学答对了i道题，：乙同学答对了i道题，， 由题意根据独立性得，，，， 设：甲、乙两人共答对3道题， 则且与互斥，与，与分别互相对立， ∴， ∴甲、乙两人共答对3道题的概率为. 41．甲､乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求： (1)2人中恰有1个人译出密码的概率； (2)2人中至少有1人译出密码的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式，独立事件的乘法公式，以及对立事件的概率公式计算； （2）利用互斥事件的概率加法公式，独立事件的乘法公式，以及对立事件的概率公式计算； 【详解】（1）设“甲独立地译出密码”，“乙独立地译出密码”，“甲不能独立地译出密码”，“乙不能独立地译出密码”，“2人中恰有1个人译出密码”， 为相互独立事件，与与与相互独立 且， 且两个事件为互斥事件， （2）设“2人中至少有1个人译出密码”， 方法一：. 方法二：. 42．2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛．比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场进行．某学校的足球协会举办了足球知识考试，试卷中只有两道题目．已知小张同学答对每道题的概率为，小李同学答对每道题的概率为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．若两人答对题目数相同的概率为． (1)求的值； (2)求两人共答对两道题的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设{甲同学答对了i道题}，{乙同学答对了i道题}，，根据两人答对题目数相同的概率为，列出方程求解即可； （2）两人共答对两道题的概率，计算即可. 【详解】（1）设{甲同学答对了i道题}，{乙同学答对了i道题}，， 所以，，， ，，， 因为两人答对题目数相同的概率为， 所以， 解得或（舍），即的值为； （2）由（1）可得：，，， 两人共答对两道题的概率 ， 即两人共答对两道题的概率为. 43．甲、乙、丙3人射箭，射一次箭能射中目标的概率分别是、、.现3人各射一次箭，求： (1)3人都射中目标的概率； (2)3人中恰有2人射中目标的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立事件的概率公式计算即可； （2）利用独立事件的概率公式与对立事件的概率公式计算即可. 【详解】（1）记“甲、乙、丙射一次箭能射中目标”分别为事件、、， 则，，，3人都射中目标的事件为， 其概率为. （2）设“3人中恰有2人射中目标”为事件， 由（1）知， 因此 ， 所以3人中恰有2人射中目标的概率为. 【考点06： 古典概率】 44．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力． （1）求此人被评为优秀的概率； （2）求此人被评为良好及以上的概率． 【答案】（1） （2） 【详解】试题分析： （1）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（2)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意区分排列与组合；（3）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性. 试题解析：将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345），共有10种，令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则 （1）. （2） 考点：利用古典概型求随机事件的概率. 45．某环保小组共有5名成员，其中男成员有2人，现从这5人中随机选出3人去某社区进行环保宣传. (1)求所选的3人中恰有1名男成员的概率； (2)求所选的3人中至少有2名女成员的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用古典概型公式求解. 【详解】（1）由题意可知该环保小组女成员有3人，记为；男成员有2人，记为. 从5名成员随机选出3人的情况有，共10种. 所选的3人中恰有1名男成员的情况有，共6种， 则所选的3人中恰有1名男成员的概率. （2）所选的3人中至少有2名女成员的情况有，共7种， 则所选的3人中至少有2名女成员的概率. 46．2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动. (1)写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间； (2)求选出的2名教师中至多有1名男教师的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）写出所有可能发生的情况即可； （2）写出所有满足题意的情况数，根据古典概型即可计算概率. 【详解】（1）将2位男教师记为，3位女教师记为， 则样本空间，共10个样本点. （2）设事件表示“选出的2名教师中至多有1名男教师”, 则， 中包含9个样本点,所以. 47．袋子中放有大小质地完全相同的球若干个，其中红色球1个，黑色球1个，白色球个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到白色球为事件，且事件发生的概率是． (1)求的值； (2)若从袋子中有放回地取球，每次随机取一个，若取到红色球得2分，取到白色球得1分，取到黑色球得0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型公式求解即可； （2）将所有基本事件列出，再分析满足各条件的事件个数，进而根据古典概型公式求解即可. 【详解】（1）由题意，从袋子中随机抽取1个小球，共有个结果，每个结果可能性相同， 其中事件发生有种结果，所以，解得． （2）由（1）可知连续取球两次所包含的基本事件有：（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，黑），（白1，红），（白1，白1），（白1，白2），（白1，黑），（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑），（黑，红），（黑，白1），（黑，白2），（黑，黑），所以基本事件的总数为16． 设事件：连续取两次分数之和为3分， 设事件：连续取两次分数之和为4分， 设事件：连续取两次分数之和大于2分，则，且事件与事件互斥， 因为事件所包含的基本事件有：（红，白1），（红，白2），（白1，红），（白2，红），所以， 因为事件所包含的基本事件有：（红，红），所以， 故． 即两次取球所得分数之和大于2分的概率为． 【考点07：统计和概率相结合】 48．2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，统计结果如图所示： (1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； (2)试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）； (3)现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图直接平均数求法解决即可；（2）根据频率分布直方图中位数求法解决即可；（3）根据分层抽样得在分组中抽取的人数为人，在分组中抽取的人数为2人，有古典概型概率求法解决即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数 （2）因为成绩在的频率为，成绩在的频率为， 所以中位数为 （3）在和两组中的人数分别为 和人， 所以在分组中抽取的人数为人，记为， 在分组中抽取的人数为2人，记为， 所以这5人中随机抽取2人的情况有共10种， 其中两人得分都在的情况有1种， 所以两人得分都在的概率为. 49．某高校承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求a，b的值； (2)根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为17%，请估算被录取至少需要多少分； (3)在第四､第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人以定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. 【答案】(1)，； (2)79分； (3). 【分析】（1）根据三、四、五组的频率之和为0.7，及各组的频率之和为1建立方程组即可解得答案； （2）根据题意确定出录取分数落在第四组，进而根据频率为0.17建立方程解得答案即可； （3）先确定出两组应分别抽取多少人，进而利用列举法求得答案. 【详解】（1）由题意得，解得，. （2）由频率分布直方图得和的频率分别为0.2，0.05，故录取分数落在第四组，设其为x，，解得，所以被录取至少需要79分. （3）由题意在第四组中抽取4人，设为a､b､c､d，在第五组中抽取1人，设为e. 在5人中随机抽取2人，则试验的样本空间ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10个样本点，记事件A=“两人来自不同组”，则Aae，be，ce，de，共有4个样本点，故，所以两人来自同一组的概率为. 50．某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图． (1)根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数； (2)估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）； (3)现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率． 【答案】(1)中位数是，第80百分位数为 (2) (3) 【分析】（1）利用中位数与第百分位数的定义即可求解； （2）利用在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和即可求解； （3）利用列举法写出基本事件的个数，结合古典概型的计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意可知，甲组20名同学成绩的中位数是， ∵，∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为． 所以甲组20名同学成绩的中位数为119, 甲组20名同学成绩的第80百分位数为133. （2）由频率分布直方图可知：乙组20名同学成绩的平均数分为： ． （3）甲组20名同学的成绩不低于140（分）的有2个，记作、；乙组20名同学的成绩不低于140（分）的有个，记作、、． 记事件为“取出的2个成绩不是同一组”，任意选出2个成绩的所有样本点为：，，，，，，，，，，共10个，其中两个成绩不是同一组的样本点是：，，，，，，共6个， ∴． 所以取出的2个人的成绩不在同一组的概率为. 51．为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据（单位：）按分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图 (1)求a并估计这100名学生身高的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人身高不低于160的概率. 【答案】(1)，平均数为 (2) 【分析】（1）由频率分布直方图求解即可； （2）先确定与抽取的人数并分别标记，再结合古典概型的概率公式求解即可 【详解】（1）. 平均数为， 即这100名学生身高的平均数为； （2）身高在的学生有人，身高在的学生有人， 故身高在的学生共有50人， 用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取名，记为1，2， 从身高在的学生中抽取名，记为. 从这5名学生中随机选取2名学生的所有结果为，共10种， 其中这2人中至少有1人身高不低于的结果有9种. 故所求概率. 52．某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图如图所示. (1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (2)该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率. 【答案】(1)众数为70，平均数为65； (2) 【分析】(1)根据频率分布直方图与众数、平均数的计算方法依次计算即可； (2)先求出6人中第一、二组抽到的人数，求出样本空间的样本点个数和事件“2人来自不同的组”包含的样本点个数，代入概率公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 众数为； 5个组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.35，0.3， 所以平均数为 ； （2）由频率分布直方图可知第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.1， 则第一组的人数为5人，第二组的人数为10人， 所以按分层抽样的方法抽到的6人中， 第一组抽2人，记为；第二组抽4人，记为， 则， 设事件为抽到的2人来着不同的组， 则， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$