专题06 生活中的轴对称期末复习题型【七大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年七年级数学下册期末重点复习攻略（北师大版）

专题06 生活中的轴对称期末复习之七大题型 目录 【题型一 轴对称图形的识别】 1 【题型二 根据成轴对称图形的特征进行求解】 3 【题型三 利用轴对称图形的性质解决折叠问题】 4 【题型四 线段的垂直平分线】 6 【题型五 角的角平分线】 8 【题型六 在网格中画轴对称图形】 11 【题型七 尺规作垂直平分线或角平分线】 14 【过关检测卷】 17 【期末题型】 【题型一 轴对称图形的识别】 例题：（23-24八年级上·浙江台州·期末）下列是杭州亚运会宣传的运动图标，是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以A是轴对称图形． 故选A． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北随州·期末）如图所示的运动图标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A错误； B．不是轴对称图形，故B错误； C．不是轴对称图形，故C错误； D．是轴对称图形，故D正确． 故选：D． 2．（23-24八年级上·山东德州·期末）杭州第19届亚运会于2023年9月23日—2023年10月8日举行，在整个赛事中，中国健儿表现出了不畏艰难、团结向上的精神，最终以201金位列第一的成绩完美收官．以下体育运动图标是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念判断即可解答． 【详解】解：A选项：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； B选项：沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C选项：沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D选项：沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 3．（22-23七年级下·四川成都·期末）甲骨文， 又称“契文” “甲骨卜辞” “殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 【题型二 根据成轴对称图形的特征进行求解】 例题：（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ，故②正确； 和关于直线对称， 线段、、被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，与关于直线对称，，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理，由轴对称的性质可得，再由三角形内角和定理进行计算即可．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：和关于直线对称，， ， 又∵， ， 故选：C． 【题型三 利用轴对称图形的性质解决折叠问题】 例题：（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则    【答案】/56度 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，邻补角．根据邻补角的性质可得，再由折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，将一张长方形纸片按如下步骤折叠：（1）如图1，将纸片对折，点落在点处，得到折痕后展开纸片；（2）如图2，将对折，点落在折痕上的点处，得到折痕；（3）如图3，将对折，点落在折痕上的点处，得到折痕，则的度数为 度． 【答案】 【分析】 本题主要考查了折叠的性质，先由折叠的性质得到，进而得到，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型四 线段的垂直平分线】 例题：（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D，E，若，的周长为38，则的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，先根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长即可求解，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 【详解】解：是的垂直平分线，且， ，， 又的周长为38， 的周长， 故答案为：28． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，，，的垂直平分线交于点D，则的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长 故答案为： 2．（22-23七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，长方形中，请依据尺规作图的痕迹，求出等于 ．    【答案】56°/56度 【分析】根据尺规作图的痕迹，作了的垂直平分线和的平分线，先根据矩形的性质和平行线的性质得到的度数，再利用角平分线和互余计算出的对顶角的度数，然后根据对顶角的性质得到的度数． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹，垂直平分，平分，    ∵在矩形中， ∴ ∴ ∴的度数为 故答案为： 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质． 3．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，点为上一点，的垂直平分线交于点，将沿着折叠，点恰好和点重合，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及折叠的性质是解题的关键．先利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而利用三角形的外角可得，然后利用折叠的性质可得，从而可得，最后根据三角形内角和定理可得，从而进行计算即可解答． 【详解】解：点在的垂直平分线上， ， ， 是的一个外角， ， ， 由折叠得： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型五 角的角平分线】 例题：（23-24八年级上·河北保定·期末）小明学习了角的平分线后，发现角平分线分得的和的面积比与两边长有关．如图，若，，你能帮小明算出下面的比值吗________；（    ）    A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解答本题的关键，过点D作于点E，于点F，根据角平分线定理可知，再利用三角形面积公式即可求得答案． 【详解】过点D作于点E，于点F， 平分， ， ． 故选：A．    【变式训练】 1．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 【答案】24 【分析】 本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．过作于，由角平分线的性质得到，而，即可求出的面积． 【详解】 解：过作于， ，， ， ， 的面积． 故答案为：24． 2．（22-23八年级下·陕西西安·期中）如图，若的平分线与的外角的平分线相交于点Р连接，若，则等于 度． 【答案】 【分析】先根据条件求出，过点P作于点N，交的延长线于点F，于点M，根据角平分线的性质与判定，可得到平分，故求得． 【详解】 过点P作于点N，交的延长线于点F，于点M 平分，平分 ， ∵， 平分 故答案为： 【点睛】本题主要考查角平分线的性质及判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型六 在网格中画轴对称图形】 例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)在直线l上找一点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用轴对称求最短路线的方法得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：点即为所求， 点A与点关于y轴对称， 此时的值最小． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，有一个以格点为顶点的． (1)作关于直线l对称的图形； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质，割补法求三角形的面积； （1）根据轴对称的性质，找到对应点，顺次连接，即可求解； （2）根据长方形的面积减去3个三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）的面积为 2．（23-24八年级上·山东临沂·期末）（1）如图，在正方形网格上有一个．作关于直线的对称图形（不写作法）；    （2）在直线找一点P，使的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）； （3）若网格上的最小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（4） 【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题，解题的关键是： （1）作出、、关于直线的对称点、、即可； （2）连接，与y轴交于点P即可； （3）利用割补法求面积即可． 【详解】解：（1）如图即为所求作； （2）如图：点P即为所求作；      （3）此三角形面积为：． 【题型七 尺规作垂直平分线或角平分线】 例题：（23-24八年级上·吉林松原·期末）如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站P，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？请你画出点P．（不写作法，保留痕迹）    【答案】图见详解 【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键；因此此题可以点A、B为圆心，大于长为半径画弧，然后问题可求解 【详解】解：所作点P如图所示：      【变式训练】 1．（22-23八年级上·甘肃天水·期末）在劳动植树节活动中，两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路的AB，AC交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请同学们用圆规、直尺在图中画出供应点P的位置，保留画图痕迹，不要证明． 【答案】见解析 【分析】因为P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，所以P应是∠BAC的平分线和MN的垂直平分线的交点． 【详解】解：∠BAC的平分线和MN的垂直平分线的交点P即为所求，如图， 【点睛】此题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，需仔细分析题意，结合图形，利用线段的垂直平分线和角的平分线的性质是解答此题的关键． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，，． (1)用尺规求作点P，点P在上，且．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及作垂线，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段的端点的距离相等，据此即可作答． （2）先根据直角三角形两个锐角互余，得，结合等边对等角，得，列式，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，连接 在中，∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 3．（23-24八年级上·江西鹰潭·期末）如图，在正方形网格中，已知线段．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，过点作的平行线； (2)在图2中，过点作的垂直平分线． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题主要考查了作图，掌握网格作图的特点以及正方形的性质是解题的关键． （1）根据网格线的特点作图； （2）根据正方形的性质作图． 【详解】（1）解：如图1，即为所求； （2）如图2，即为所求． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏南京·期末）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（    ） A．清华大学 B．北京大学 C．中国人民大学 D．浙江大学 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形逐一判断即可． 【详解】解：A．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，符合题意； C．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，由折叠可得，，进而由得到，根据三角形面积即可得到，进而求解，由折叠的性质得到是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：． 3．（22-23七年级下·四川泸州·期末）如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点落在点的位置，点D落在点的位置，的延长线交于点G．若，则的度数（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；以及折叠前后对应角相等．根据平行线的性质得出，再根据折叠的性质得出，最后结合平行线的性质，即可解答． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， 故选：D． 4．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为(   )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，线段垂直平分线的性质定理的逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．由作法可知，，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，可得，，又因为，根据直角三角形两锐角互余，可求得，即，再求出的度数，即得答案． 【详解】以点A为圆心，的长为半径作弧， ， 分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P， ，且，， ， ， ， ， ， ， ． 故选D． 5．（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，长方形中，点E，点F分别在上，连接，点C落在点G处；将沿折叠，点B落在点H处；，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠以及角的运算，易得因为平角，故因为，则即可作答． 【详解】解：由折叠得到： 又∵ ∴ ∵， ∴ 故选：A． 6．（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图，平分，且于点，若的面积等于10，则的面积等于（    ）    A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】B 【分析】延长交于点，通过证明，得到，根据三角形中线的性质，即可求解，本题考查了，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，根据中线求三角形面积，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形． 【详解】解：延长交于点， 平分， ， 又于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：． 二、填空题 7．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出 个． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】根据题意，画图如下： 有，，，共3个三角形， 故答案为：3． 8．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，以所在直线为对称轴作，，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了轴对称性质．根据轴对称性质，对应的角相等，． 【详解】解：与关于所在直线为对称， ，， 又， ， ． 故答案为：． 9．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点B，C均落于边上一点G处，线段，为折痕．若，则 ． 【答案】/94度 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到的度数． 由折叠的性质可知：，，根据三角形的内角和为，可求出的度数，进而得到的度数，问题得解． 【详解】解：∵线段为折痕， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，在长方形中，，点E、F分别在、上，将长方形沿折叠，使点A、D分别落在长方形外部的点，，则整个阴影部分图形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质； 由折叠的性质得出整个阴影部分图形的周长为长方形的周长，然后计算即可． 【详解】解：由折叠得：，，， ∴整个阴影部分图形的周长为长方形的周长，即， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，三角形纸片，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点G，连接交于点F．若，，，的面积为4，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查翻折变换，三角形的面积等知识，求出的面积．根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由翻折可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 12．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，在Rt纸片中，，，，将Rt纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4．其中正确的有 ．    【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了折叠问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键解答此题先由折叠的性质得出，，和三角形的周长计算方法，再由此对结论进行判断即可．． 【详解】解：①由折叠的性质得：，则平分，故①正确； ②由折叠的性质得：，故②正确； ③由于在中，，，，所以不等于，和不相等，故③不正确； ④的周长，由折叠的性质得，，所以，的周长，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题 13．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边上建一自来水厂向A村与B村供水，若要使水厂到A，B村的水管（同样的料）用料最省，则水厂应建在什么位置？ (1)请利用尺规作图的方法找出水厂应建位置（保留作图痕迹）； (2)请根据画法写出每一步的详细作图步骤； (3)请根据画法证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了学生利用轴对称求最短路径， （1）利用轴对称求最短路线的方法即可得出； （2）作A点关于直线的对称点，再连接交于点N，点N即为所求； （3）根据轴对称的性质可得，根据两点之间，线段最短即可证明． 【详解】（1）解： （2）解：作A点关于直线的对称点，再连接交于点N，点N即为所求． （3）证明：∵A点关于直线的对称点是， ∴， ∴（两点之间，线段最短） 14．（22-23八年级上·江西上饶·期末）（1）如图①，已知正方形在直线上，，仅用无刻度的直尺画出一个等腰三角形； （2）在图②中，已知正五边形，请用无刻度的直尺画出它的一条对称轴． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据正方形的性质即可找到点O，是等腰三角形． （2）连接交于点O，直线即为所求． 【详解】解：（1）如图所示， （2）如图所示， 15．（23-24八年级上·广东珠海·期末）在中，，求证：．    (1)如图1，小明以“折叠”为思路：将沿折叠，使点C落在边的点D处．然后可以证明，试写出小明的证明过程； (2)在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图2中设计一种不同于小明的证明方法（要求有必要的辅助线和证明过程）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了翻折变换，三角形外角定义，解决本题的关键是掌握翻折的性质． （1）由折叠的性质得，根据为的外角，即可解决问题； （2）将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，由折叠的性质得，再根据为的外角，即可解决问题． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得， 为的外角， ， ， 即； （2）证明：将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，    由折叠的性质得， 为外角， ， ， 即． 16．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线对称； (2)在直线上作一点，使得的值最小： (3)求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称变换作图，熟练掌握轴对称变换的性质是解答本题的关键． （1）利用轴对称性质，作出、、三点关于直线对称的点、、，顺次连接得到； （2）根据两点间线段最短，连接，交直线于点，即，点即为所求． （3）根据题意，得到，分别计算长方形的面积和各个三角形的面积，由此得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，作关于直线对称如下图： 即为所求． （2）如图，点即为所求， （3）如图， ． 17．（23-24七年级上·广西贵港·期末）在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点落在点处，为折痕，如图1； 【操作2】在图1条件下，点是线段上一点，角顶点沿线段折叠，点落在点处，且点在长方形内． 【任务】 (1)在图1中，若，求的度数； (2)在操作2中，当点刚好落在线段上时，如图2，求的度数； (3)在操作2中；当点不在线段上时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或，理由详见解析． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键． （1）根据折叠的性质，可得，即可求解； （2）①根据折叠的性质，可得，，从而得到，即可求解； ②分两种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：， ， ， ； （2）解：由折叠性质可知：，， ， ， 即； （3）解： ，，之间的数量关系为： 或． 理由：由折叠性质可知：，， ①当点在点的左侧时，如图3， ， ， ； ②当点在点的右侧时，如图4， ， ， ， 综上所述，，，之间的数量关系为： 或． 18．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，直线，直线，直线交直线于点A，交直线于点B，直线交直线于点C，交直线于点 D，点 E为线段的中点，F为线段上一点，连接，．    (1)若，求证：平分； (2)若的面积为2，的面积为8，求的面积； (3)若，请写出线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义的逆运用，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过边的等量代换，得，，结合平行线的性质，即可作答． （2）由平行线的性质，得，由线段的中点，得，证明，得，通过面积的关系，得，即可作答． （3）由全等三角形的性质，得，结合“三线合一”证明为等腰三角形，因为平行线的性质，得，证明得，再结合线段的和差关系，即可作答． 【详解】（1）证明：∵E为的中点， ∴ 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴平分； （2）解：如图，延长，交直线于点H    ∵ ∴ ∵E为的中点， ∴ 在△BEF和△DEH中 ∴， ∴ ∴ ∵EF=EH ； （3）解：，证明如下： 如图，延长，交直线于点P，连接    由（2）可知， ∴ ∵ ∴， 即 ∴为等腰三角形， 又∵直线，直线 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 生活中的轴对称期末复习之七大题型 目录 【题型一 轴对称图形的识别】 1 【题型二 根据成轴对称图形的特征进行求解】 3 【题型三 利用轴对称图形的性质解决折叠问题】 4 【题型四 线段的垂直平分线】 6 【题型五 角的角平分线】 8 【题型六 在网格中画轴对称图形】 11 【题型七 尺规作垂直平分线或角平分线】 14 【过关检测卷】 17 【期末题型】 【题型一 轴对称图形的识别】 例题：（23-24八年级上·浙江台州·期末）下列是杭州亚运会宣传的运动图标，是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以A是轴对称图形． 故选A． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北随州·期末）如图所示的运动图标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A错误； B．不是轴对称图形，故B错误； C．不是轴对称图形，故C错误； D．是轴对称图形，故D正确． 故选：D． 2．（23-24八年级上·山东德州·期末）杭州第19届亚运会于2023年9月23日—2023年10月8日举行，在整个赛事中，中国健儿表现出了不畏艰难、团结向上的精神，最终以201金位列第一的成绩完美收官．以下体育运动图标是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念判断即可解答． 【详解】解：A选项：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； B选项：沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C选项：沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D选项：沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 3．（22-23七年级下·四川成都·期末）甲骨文， 又称“契文” “甲骨卜辞” “殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 【题型二 根据成轴对称图形的特征进行求解】 例题：（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ，故②正确； 和关于直线对称， 线段、、被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，与关于直线对称，，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理，由轴对称的性质可得，再由三角形内角和定理进行计算即可．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：和关于直线对称，， ， 又∵， ， 故选：C． 【题型三 利用轴对称图形的性质解决折叠问题】 例题：（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则    【答案】/56度 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，邻补角．根据邻补角的性质可得，再由折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，将一张长方形纸片按如下步骤折叠：（1）如图1，将纸片对折，点落在点处，得到折痕后展开纸片；（2）如图2，将对折，点落在折痕上的点处，得到折痕；（3）如图3，将对折，点落在折痕上的点处，得到折痕，则的度数为 度． 【答案】 【分析】 本题主要考查了折叠的性质，先由折叠的性质得到，进而得到，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型四 线段的垂直平分线】 例题：（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D，E，若，的周长为38，则的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，先根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长即可求解，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 【详解】解：是的垂直平分线，且， ，， 又的周长为38， 的周长， 故答案为：28． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，，，的垂直平分线交于点D，则的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长 故答案为： 2．（22-23七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，长方形中，请依据尺规作图的痕迹，求出等于 ．    【答案】56°/56度 【分析】根据尺规作图的痕迹，作了的垂直平分线和的平分线，先根据矩形的性质和平行线的性质得到的度数，再利用角平分线和互余计算出的对顶角的度数，然后根据对顶角的性质得到的度数． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹，垂直平分，平分，    ∵在矩形中， ∴ ∴ ∴的度数为 故答案为： 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质． 3．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，点为上一点，的垂直平分线交于点，将沿着折叠，点恰好和点重合，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及折叠的性质是解题的关键．先利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而利用三角形的外角可得，然后利用折叠的性质可得，从而可得，最后根据三角形内角和定理可得，从而进行计算即可解答． 【详解】解：点在的垂直平分线上， ， ， 是的一个外角， ， ， 由折叠得： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型五 角的角平分线】 例题：（23-24八年级上·河北保定·期末）小明学习了角的平分线后，发现角平分线分得的和的面积比与两边长有关．如图，若，，你能帮小明算出下面的比值吗________；（    ）    A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解答本题的关键，过点D作于点E，于点F，根据角平分线定理可知，再利用三角形面积公式即可求得答案． 【详解】过点D作于点E，于点F， 平分， ， ． 故选：A．    【变式训练】 1．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 【答案】24 【分析】 本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．过作于，由角平分线的性质得到，而，即可求出的面积． 【详解】 解：过作于， ，， ， ， 的面积． 故答案为：24． 2．（22-23八年级下·陕西西安·期中）如图，若的平分线与的外角的平分线相交于点Р连接，若，则等于 度． 【答案】 【分析】先根据条件求出，过点P作于点N，交的延长线于点F，于点M，根据角平分线的性质与判定，可得到平分，故求得． 【详解】 过点P作于点N，交的延长线于点F，于点M 平分，平分 ， ∵， 平分 故答案为： 【点睛】本题主要考查角平分线的性质及判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型六 在网格中画轴对称图形】 例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)在直线l上找一点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用轴对称求最短路线的方法得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：点即为所求， 点A与点关于y轴对称， 此时的值最小． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，有一个以格点为顶点的． (1)作关于直线l对称的图形； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质，割补法求三角形的面积； （1）根据轴对称的性质，找到对应点，顺次连接，即可求解； （2）根据长方形的面积减去3个三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）的面积为 2．（23-24八年级上·山东临沂·期末）（1）如图，在正方形网格上有一个．作关于直线的对称图形（不写作法）；    （2）在直线找一点P，使的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）； （3）若网格上的最小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（4） 【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题，解题的关键是： （1）作出、、关于直线的对称点、、即可； （2）连接，与y轴交于点P即可； （3）利用割补法求面积即可． 【详解】解：（1）如图即为所求作； （2）如图：点P即为所求作；      （3）此三角形面积为：． 【题型七 尺规作垂直平分线或角平分线】 例题：（23-24八年级上·吉林松原·期末）如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站P，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？请你画出点P．（不写作法，保留痕迹）    【答案】图见详解 【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键；因此此题可以点A、B为圆心，大于长为半径画弧，然后问题可求解 【详解】解：所作点P如图所示：      【变式训练】 1．（22-23八年级上·甘肃天水·期末）在劳动植树节活动中，两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路的AB，AC交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请同学们用圆规、直尺在图中画出供应点P的位置，保留画图痕迹，不要证明． 【答案】见解析 【分析】因为P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，所以P应是∠BAC的平分线和MN的垂直平分线的交点． 【详解】解：∠BAC的平分线和MN的垂直平分线的交点P即为所求，如图， 【点睛】此题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，需仔细分析题意，结合图形，利用线段的垂直平分线和角的平分线的性质是解答此题的关键． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，，． (1)用尺规求作点P，点P在上，且．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及作垂线，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段的端点的距离相等，据此即可作答． （2）先根据直角三角形两个锐角互余，得，结合等边对等角，得，列式，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，连接 在中，∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 3．（23-24八年级上·江西鹰潭·期末）如图，在正方形网格中，已知线段．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，过点作的平行线； (2)在图2中，过点作的垂直平分线． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题主要考查了作图，掌握网格作图的特点以及正方形的性质是解题的关键． （1）根据网格线的特点作图； （2）根据正方形的性质作图． 【详解】（1）解：如图1，即为所求； （2）如图2，即为所求． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏南京·期末）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（    ） A．清华大学 B．北京大学 C．中国人民大学 D．浙江大学 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形逐一判断即可． 【详解】解：A．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，符合题意； C．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，由折叠可得，，进而由得到，根据三角形面积即可得到，进而求解，由折叠的性质得到是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：． 3．（22-23七年级下·四川泸州·期末）如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点落在点的位置，点D落在点的位置，的延长线交于点G．若，则的度数（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；以及折叠前后对应角相等．根据平行线的性质得出，再根据折叠的性质得出，最后结合平行线的性质，即可解答． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， 故选：D． 4．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为(   )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，线段垂直平分线的性质定理的逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．由作法可知，，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，可得，，又因为，根据直角三角形两锐角互余，可求得，即，再求出的度数，即得答案． 【详解】以点A为圆心，的长为半径作弧， ， 分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P， ，且，， ， ， ， ， ， ， ． 故选D． 5．（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，长方形中，点E，点F分别在上，连接，点C落在点G处；将沿折叠，点B落在点H处；，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠以及角的运算，易得因为平角，故因为，则即可作答． 【详解】解：由折叠得到： 又∵ ∴ ∵， ∴ 故选：A． 6．（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图，平分，且于点，若的面积等于10，则的面积等于（    ）    A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】B 【分析】延长交于点，通过证明，得到，根据三角形中线的性质，即可求解，本题考查了，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，根据中线求三角形面积，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形． 【详解】解：延长交于点， 平分， ， 又于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：． 二、填空题 7．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出 个． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】根据题意，画图如下： 有，，，共3个三角形， 故答案为：3． 8．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，以所在直线为对称轴作，，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了轴对称性质．根据轴对称性质，对应的角相等，． 【详解】解：与关于所在直线为对称， ，， 又， ， ． 故答案为：． 9．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点B，C均落于边上一点G处，线段，为折痕．若，则 ． 【答案】/94度 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到的度数． 由折叠的性质可知：，，根据三角形的内角和为，可求出的度数，进而得到的度数，问题得解． 【详解】解：∵线段为折痕， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，在长方形中，，点E、F分别在、上，将长方形沿折叠，使点A、D分别落在长方形外部的点，，则整个阴影部分图形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质； 由折叠的性质得出整个阴影部分图形的周长为长方形的周长，然后计算即可． 【详解】解：由折叠得：，，， ∴整个阴影部分图形的周长为长方形的周长，即， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，三角形纸片，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点G，连接交于点F．若，，，的面积为4，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查翻折变换，三角形的面积等知识，求出的面积．根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由翻折可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 12．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，在Rt纸片中，，，，将Rt纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4．其中正确的有 ．    【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了折叠问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键解答此题先由折叠的性质得出，，和三角形的周长计算方法，再由此对结论进行判断即可．． 【详解】解：①由折叠的性质得：，则平分，故①正确； ②由折叠的性质得：，故②正确； ③由于在中，，，，所以不等于，和不相等，故③不正确； ④的周长，由折叠的性质得，，所以，的周长，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题 13．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边上建一自来水厂向A村与B村供水，若要使水厂到A，B村的水管（同样的料）用料最省，则水厂应建在什么位置？ (1)请利用尺规作图的方法找出水厂应建位置（保留作图痕迹）； (2)请根据画法写出每一步的详细作图步骤； (3)请根据画法证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了学生利用轴对称求最短路径， （1）利用轴对称求最短路线的方法即可得出； （2）作A点关于直线的对称点，再连接交于点N，点N即为所求； （3）根据轴对称的性质可得，根据两点之间，线段最短即可证明． 【详解】（1）解： （2）解：作A点关于直线的对称点，再连接交于点N，点N即为所求． （3）证明：∵A点关于直线的对称点是， ∴， ∴（两点之间，线段最短） 14．（22-23八年级上·江西上饶·期末）（1）如图①，已知正方形在直线上，，仅用无刻度的直尺画出一个等腰三角形； （2）在图②中，已知正五边形，请用无刻度的直尺画出它的一条对称轴． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据正方形的性质即可找到点O，是等腰三角形． （2）连接交于点O，直线即为所求． 【详解】解：（1）如图所示， （2）如图所示， 15．（23-24八年级上·广东珠海·期末）在中，，求证：．    (1)如图1，小明以“折叠”为思路：将沿折叠，使点C落在边的点D处．然后可以证明，试写出小明的证明过程； (2)在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图2中设计一种不同于小明的证明方法（要求有必要的辅助线和证明过程）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了翻折变换，三角形外角定义，解决本题的关键是掌握翻折的性质． （1）由折叠的性质得，根据为的外角，即可解决问题； （2）将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，由折叠的性质得，再根据为的外角，即可解决问题． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得， 为的外角， ， ， 即； （2）证明：将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，    由折叠的性质得， 为外角， ， ， 即． 16．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线对称； (2)在直线上作一点，使得的值最小： (3)求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称变换作图，熟练掌握轴对称变换的性质是解答本题的关键． （1）利用轴对称性质，作出、、三点关于直线对称的点、、，顺次连接得到； （2）根据两点间线段最短，连接，交直线于点，即，点即为所求． （3）根据题意，得到，分别计算长方形的面积和各个三角形的面积，由此得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，作关于直线对称如下图： 即为所求． （2）如图，点即为所求， （3）如图， ． 17．（23-24七年级上·广西贵港·期末）在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点落在点处，为折痕，如图1； 【操作2】在图1条件下，点是线段上一点，角顶点沿线段折叠，点落在点处，且点在长方形内． 【任务】 (1)在图1中，若，求的度数； (2)在操作2中，当点刚好落在线段上时，如图2，求的度数； (3)在操作2中；当点不在线段上时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或，理由详见解析． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键． （1）根据折叠的性质，可得，即可求解； （2）①根据折叠的性质，可得，，从而得到，即可求解； ②分两种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：， ， ， ； （2）解：由折叠性质可知：，， ， ， 即； （3）解： ，，之间的数量关系为： 或． 理由：由折叠性质可知：，， ①当点在点的左侧时，如图3， ， ， ； ②当点在点的右侧时，如图4， ， ， ， 综上所述，，，之间的数量关系为： 或． 18．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，直线，直线，直线交直线于点A，交直线于点B，直线交直线于点C，交直线于点 D，点 E为线段的中点，F为线段上一点，连接，．    (1)若，求证：平分； (2)若的面积为2，的面积为8，求的面积； (3)若，请写出线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义的逆运用，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过边的等量代换，得，，结合平行线的性质，即可作答． （2）由平行线的性质，得，由线段的中点，得，证明，得，通过面积的关系，得，即可作答． （3）由全等三角形的性质，得，结合“三线合一”证明为等腰三角形，因为平行线的性质，得，证明得，再结合线段的和差关系，即可作答． 【详解】（1）证明：∵E为的中点， ∴ 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴平分； （2）解：如图，延长，交直线于点H    ∵ ∴ ∵E为的中点， ∴ 在△BEF和△DEH中 ∴， ∴ ∴ ∵EF=EH ； （3）解：，证明如下： 如图，延长，交直线于点P，连接    由（2）可知， ∴ ∵ ∴， 即 ∴为等腰三角形， 又∵直线，直线 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$