7.2 勾股定理-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

7. 2　 勾股定理 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 勾股定理 1. 直角三角形两直角边的边长分别为 3 cm 和 4 cm,则斜边长为 (　 　 ) A. 5 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 10 cm 2. 一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大 3,另一直角边长为 9,则斜边长为 (　 　 ) A. 15 B. 12 C. 10 D. 9 知识点二　 勾股定理的证明 3. 如图是一种验证勾股定理的办法,你能利用它证明勾股定理吗? 请写出你的证明过 程。 (提示:如图三个三角形均是直角三角形) 知识点三　 勾股定理的应用 4. (传统文化)《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一,奠定了中国 传统数学的基本框架。 如图是其中记载的一道“折竹”问题:“今有竹高 一丈,末折抵地,去根三尺,问折者高几何?”题意是一根竹子原高 1 丈 (1 丈= 10 尺),中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根 3 尺,试问折断处 离地面多高? 答:折断处离地面　 　 　 　 尺高。 【随堂小测】 1. (必考题)如图,字母 A 所代表的正方形的面积为 (　 　 ) A. 4 B. 16 C. 36 D. 64 2. (易错题)一直角三角形的两条边长分别为 5 和 12,则第三边的长的平方为 (　 　 ) A. 169 B. 49 C. 169 或 49 D. 169 或 119 52 3. (教材改编题)一架长 25 m 的云梯,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距墙底端 7 m, 如果梯子的顶端沿墙下滑了 4 m,那么梯足将滑动 (　 　 ) A. 5 m B. 8 m C. 13 m D. 15 m 4. (核心素养·模型观念)如图,有一个水池,水面是边长为 8 尺的正方形,在水池中 央有一根芦苇,它高出水面 1 尺,如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰 好到达池边的水面,这根芦苇的长度为 (　 　 ) A. 7. 5 尺 B. 8 尺 C. 8. 5 尺 D. 9 尺 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 5. (易错题)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3,AD = 4,P 是 AD 上不与点 A 和点 D 重合的 一个动点,过点 P 分别作 AC 和 BD 的垂线,垂足分别为 E,F,则 PE+PF= 　 　 　 　 。 6. (数学文化)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”,后人 称之为“赵爽弦图”,它是由 4 个全等的直角三角形和一个小正方形组成。 如图,直 角三角形的直角边长为 a,b,斜边长为 c,若 b-a = 4,c = 20,则每个直角三角形的面 积为 。 7. (核心素养·运算能力)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AC = 6,BC = 8,将此图 形折叠得图 2,折痕为 AF,且点 C 恰好落在边 AB 上的点 C′处,求 C′F 的长。 图 1 　 图 2 8. (核心素养·推理能力)如图,公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇,且∠QPN = 30°, 在 A 处有一所中学,AP= 120 m,此时有一辆消防车在公路 MN 上沿 PN 方向以每秒 5 m 的速度行驶,假设消防车行驶时周围 100 m 以内有噪音影响。 (1)学校是否会受到影响? 请说明理由; (2)若受到影响,则影响时间是多长? 62 (3) -3 -( 6 ) 2 = 3-6 = -3。 8.解:(1) 400 = 20(m),4×20 = 80(m)。 ∴ 原来正方形场地的周长为 80 m。 (2)这些铁栅栏够用。 理由如下, 设这个长方形场地的宽为 3a m,则长为 5a m。 根据题意,得 3a×5a= 300,即 a2 = 20。 ∴ a= 20 。 ∴ 这个长方形场地的周长为 2 ( 3a + 5a) = 16a = 16 20 m。 ∵ 80 = 16×5 = 16× 25 >16 20 , ∴ 这些铁栅栏够用。 7. 2　 勾股定理 【边学边练】 1. A　 【解析】∵ 直角三角形两直角边边长分别为 3 cm 和 4 cm,∴ 斜边长为 42 +32 = 5(cm)。 故选 A。 2. A　 【解析】设斜边长为 x,则一直角边长为 x-3。 根 据勾股定理,得 92 + ( x - 3) 2 = x2。 解得 x = 15。 故 选 A。 3.证明:∵ 1 2 (a+b)(a+b)= 2× 1 2 ab+ 1 2 c2 , ∴ (a+b) 2 =2ab+c2。 ∴ a2+2ab+b2 =2ab+c2。 ∴ a2+b2 =c2 。 4. 4. 55　 【解析】设折断处离地面 x 尺高。 根据题意,得 x2 +32 =(10-x) 2。 解得 x= 4. 55。 【随堂小测】 1. C　 【解析】如图,∵ 正方形 PQED 的面积为 64,正方 形 PRGF 的面积为 100,∴ PQ2 = 64,PR2 = 100。 又 ∵ △PQR 是直角三角形,根据勾股定理,得 PR2 =PQ2 + QR2,∴ QR2 =PR2 -PQ2 = 100-64 = 36,即正方形 QMNR 的面积为 36。 故选 C。 2. D　 【解析】设第三边为 x。 ①若直角边长为 12,则第 三边是斜边。 由勾股定理,得 52 +122 = x2,∴ x2 = 169。 ②若斜边长为 12,则第三边是直角边。 由勾股定理, 得 52 +x2 = 122。 ∴ x2 = 119。 ∴ 第三边的长的平方为 169 或 119。 故选 D。 3. B　 【解析】梯子的顶端距墙底端的距离为 252 -72 = 24 ( m), 顶 端 下 滑 后 梯 足 距 墙 底 端 的 距 离 为 252 -(24-4) 2 = 15(m)。 15-7 = 8(m)。 故选 B。 4. C　 【解析】设芦苇的长度为 x 尺,则 AB 为(x-1)尺。 根据勾股定理,得(x-1) 2 +( 8 2 ) 2 = x2。 解得 x = 8. 5, 即芦苇的长度为 8. 5 尺。 故选 C。 5. 12 5 　 【解析】 如 图, 连 接 OP。 ∵ AB= 3,BC = AD = 4,∴ S矩形ABCD =AB·BC= 12,AC= AB2+BC2 = 32+42 =5。 ∴ S△AOD = 1 4 S矩形ABCD = 3,OA = OD = 1 2 AC = 5 2 。 ∴ S△AOD = S△AOP +S△DOP = 1 2 OA·PE+ 1 2 OD· PF= 1 2 OA(PE+PF)= 1 2 × 5 2 ×(PE+PF)= 3。 ∴ PE+PF= 12 5 。 6. 96　 【解析】根据题意,得 a2 +b2 = c2 = 202。 ∵ b-a= 4, ∴ (b-a) 2 = 16。 ∴ ab = 192。 ∴ S直角三角形 = 1 2 ab = 1 2 × 192 = 96。 7.解:由折叠,得 AC′=AC= 6,C′F⊥AB,CF=C′F。 在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,BC= 8,AC= 6, ∴ AB= AC2 +BC2 = 62 +82 = 10。 ∴ BC′=AB-AC′= 10-6 = 4。 设 C′F= x,则 BF= 8-x。 ∴ x2 +42 = (8-x) 2 。 解得 x= 3,即 C′F= 3。 8.解:(1)学校会受到噪音影响。 理由如下, 如图,过点 A 作 AB⊥MN 于点 B。 ∵ AP= 120 m,∠QPN= 30°, ∴ AB= 1 2 AP= 60 m。 ∵ 60 m<100 m, ∴ 消防车在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校会受 到噪音影响。 (2)如图,以点 A 为圆心,100 m 为半径画弧,交 MN 于 C,D 两点。 ∵ AB⊥CD, ∴ BC=BD。 在 Rt△ABC 中,AC= 100 m,AB= 60 m, BC= AC2 -AB2 = 80 m。 ∴ CD= 2BC= 160 m。 ∵ 消防车的速度为 5 m / s, ∴ 消防车在公路MN 上的 CD 段行驶所需要的时间为 160÷5 = 32(s)。 ∴ 学校受影响的时间为 32 s。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 421