小专题2 巧作辅助线解决有关问题-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

小专题 2　 巧作辅助线解决有关问题 一、有线段中点构造三角形的中位线 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 如图,在四边形 ABCD 中,M 是 AD 上的动点,N 是 CD 上一定点,E,F 分别是 BM, NM 的中点,当点 M 从点 A 向点 D 移动时,下列结论一定正确的是 (　 　 ) A. 线段 EF 的长度逐渐减小 B. 线段 EF 的长度逐渐增大 C. 线段 EF 的长度不改变 D. 线段 EF 的长度不能确定 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,在四边形 ABCD 中,AB= 2,CD= 9,由尺规作图可以确定边 BC 上一点 E,取 AD 的中点 F,连接 EF,则 EF 的长可能为 (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 3. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,CD⊥AD 于点 D,G 是 BC 的中点。 若 AB = 8,AC = 6,求 DG 的值。 二、有正方形作出正方形的对角线 4. 如图,过正方形 ABCD 的顶点 B 作 BE∥CA,且作 AE = AC,CF∥AE,则下列等式成立 的是 (　 　 ) A. ∠BCF= 1 2 ∠AEB B. ∠BCF= 1 3 ∠AEB C. ∠BCF= 1 5 ∠CAE D. ∠BCF= ∠BFC 5. 如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 在对角线 BD 上,AE∥CF,连接 AF,CE。 (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)试判断四边形 AECF 的形状,并说明理由。 12 三、构造全等三角形 6. 如图,三个边长均为 2 的正方形重叠在一起,O1,O2 是其中两 个正方形对角线的交点,若把这样的 n 个正方形按如图所示方 式摆放,则重叠部分的面积为　 　 　 　 。 7. 我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 类似地,我们定义:至少有一组 对边相等的四边形叫做等对边四边形。 如图,在△ABC 中,AB>AC,点 D,E 分别在 AB,AC 上,设 CD,BE 相交于点 O,如果∠A 是锐角,∠DCB= ∠EBC= 1 2 ∠A。 探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形? 请证明你的结论。 四、分割图形求面积 8. 如图,在菱形 ABCD 中,P 是对角线 AC 上一动点,过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,PF⊥AB 于点 F。 若菱形 ABCD 的周长为 20,面积为 24,则 PE+PF 的值为 (　 　 ) A. 4 B. 24 5 C. 6 D. 48 5 五、构造等腰三角形证垂直 9. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在 CB 的延长线上,使 CE = AC,连接 AE,F 是 AE 的中 点,连接 BF,DF。 求证:BF⊥DF。 22 4. 8　 【解析】∵ C,D 分别是 OA,OB 的中点,∴ CD 是 △AOB 的中位线。 ∴ AB= 2CD。 ∵ CD = 4 cm,∴ AB = 2CD= 8 cm。 5. 14　 【解析】 ∵ D,E,F 分别是 AB,AC,BC 的中点, ∴ DE= 1 2 BC,EF= 1 2 AB,BD= 1 2 AB,BF= 1 2 BC。 ∴ 四边形 DBFE 的周长为 DE+BD+BF+EF=AB+BC=14。 6.证明:∵ D,E,F 分别是 AC,AB,BC 的中点, ∴ DE,DF 是△ABC 的中位线。 ∴ DE∥BC,DF∥AB。 ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形。 ∴ OB=OD。 7.解:四边形 DEGF 是平行四边形。 证明如下, ∵ D,E 是△ABC 边 AB,AC 的中点, ∴ DE= 1 2 BC,DE∥BC。 ∵ F,G 是 OB,OC 的中点, ∴ FG= 1 2 BC,FG∥BC。 ∴ DE=FG,DE∥FG。 ∴ 四边形 DEGF 是平行四边形。 8. (1)证明:∵ AB=AC, ∴ ∠ABC= ∠ACB。 ∵ DE∥BC, ∴ ∠ADE= ∠ABC,∠AED= ∠ACB。 ∴ ∠ADE= ∠AED。 ∴ AD=AE。 ∴ DB=EC。 ∵ F,G,H 分别为 BE,DE,BC 的中点, ∴ FG 是△EDB 的中位线,FH 是△BCE 的中位线。 ∴ FG= 1 2 BD,FH= 1 2 CE。 ∴ FG=FH。 (2)解:当∠A 为 90°时,FG⊥ FH。 理由如下, 如图,延长 FG 交 AC 于点 N。 ∵ FG 是△EDB 的中位线,FH 是△BCE 的中位线, ∴ FH∥AC,FN∥AB。 ∴ ∠HFN+∠FNE= 180°,∠A= ∠FNE。 ∵ FG⊥FH,∴ ∠A= 90°。 ∴ 当∠A= 90°时,FG⊥FH。 小专题 2　 巧作辅助线解决有关问题 1. C　 【解析】如图,连接 BN。 ∵ E,F 分别是 BM,NM 的中点,∴ EF= 1 2 BN。 ∵ N 是 CD 上一定点,B 是定点,∴ BN 的长度不变,即 EF 的 长度不改变。 故选 C。 2. C　 【解析】如图,连接 BD,取 BD 的中点 M,连接 EM, FM。 由题意可知 E 是 BC 的中点。 ∵ F 是 AD 的中点, ∴ FM 是△ABD 的中位线,EM 是△BCD 的中位线。 ∴ FM= 1 2 AB = 1,EM = 1 2 CD = 9 2 。 ∵ EM-FM<EF< EM+FM,∴ 9 2 -1<EF< 9 2 +1,即 7 2 <EF< 11 2 。 故选 C。 3.解:如图,延长 CD 交 AB 于点 E。 ∵ AD 平分∠BAC,CD⊥AD, ∴ ∠CAD= ∠EAD,∠ADC= ∠ADE。 又∵ AD=AD,∴ △ACD≌△AED(ASA)。 ∴ AE=AC= 6,CD=DE。 ∴ D 是 CE 的中点。 ∵ G 是 BC 的中点,∴ DG 是△CEB 的中位线。 ∴ DG= 1 2 BE= 1 2 (AB-AE)= 1 2 ×(8-6)= 1。 4. A　 【解析】如图,过点 A 作 AG⊥BE 于点 G, 连 接 BD, 交 AC 于 点 O。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AC⊥ BD,OA = OB。 ∵ BE∥CA,∴ BD⊥ BE。 ∴ 四 边 形 AGBO 是 正 方 形。 ∴ ∠ABG= ∠ABO = 45°,AG = AO = 1 2 AC。 ∵ AE = AC, ∴ AG = 1 2 AE。 又∵ AG⊥BE,∴ ∠AEG = 30°。 ∵ CF∥AE,∴ ∠CFB = ∠AEG = 30°。 又∵ ∠FBC = ∠FBA + ∠ABC = 135°, ∴ ∠BCF = 180° - ∠CFB - ∠FBC = 15°。 ∴ ∠BCF = 1 2 ∠AEB。 故选 A。 5. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=CD,∠ABE= ∠CDF= 45°。 ∵ AE∥CF, ∴ ∠AEF= ∠CFE。 ∴ ∠AEB= ∠CFD。 ∵ ∠ABE= ∠CDF,AB=CD, ∴ △ABE≌△CDF(AAS)。 (2)解:四边形 AECF 是菱形。 理由如下, 如图,连接 AC 与 BD 交于点 O。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 221 ∵ △ABE≌△CDF, ∴ BE=DF。 又∵ OB=OD,∴ OB-BE =OD-DF, 即 OE=OF。 ∵ OA=OC, ∴ 四边形 AECF 是平行四边形。 又∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AC⊥BD。 ∴ 四边形 AECF 是菱形。 6. n- 1　 【解析】如图,标注 各 点, 连 接 O1B, O1C。 ∵ ∠BO1F+∠FO1C = 90°, ∠FO1C + ∠CO1G = 90°, ∴ ∠BO1F=∠CO1G。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠O1BF= ∠O1CG= 45°。 ∴ △O1BF≌△O1CG(ASA)。 ∴ 前两个正方形阴影部 分的面积是 1 4 S正方形 = 1 4 ×2×2 = 1。 同理另外两个正 方形阴影部分的面积也是 1 4 S正方形 = 1,∴ 把这样的 n 个小正方形按如图所示方式摆放,则重叠部分的面 积为 n-1。 7.解:此时存在等对边四边形,是 四边形 DBCE。 证明如下: 如图,过点 C 作 CG⊥BE 于点 G,过点 B 作 BF⊥CD 交 CD 的 延长线于点 F。 ∵ ∠DCB= ∠EBC= 1 2 ∠A,BC 为公共边, ∴ △BCF≌△CBG。 ∴ BF=CG。 ∵ ∠BDF= ∠ABE+∠EBC+∠DCB, ∠CEG= ∠ABE+∠A, ∴ ∠BDF= ∠CEG。 ∵ ∠BFD= ∠CGE,BF=CG, ∴ △BDF≌△CEG。 ∴ BD=CE。 ∴ 四边形 DBCE 是等对边四边形。 8. B　 【解析】如图,连接 BP。 ∵ 四边形 ABCD 为菱形,菱 形 ABCD 的周长为 20,∴ BA = BC = 20 ÷ 4 = 5, S△ABC = 1 2 S菱形ABCD = 12。 ∵ S△ABC = S△PAB+S△PBC,∴ 1 2 ×5×PF+ 1 2 ×5×PE = 12。 ∴ PE+PF = 24 5 。 故选 B。 9.证明:如图, 延长 BF 交 DA 的延长线于点 M, 连 接 BD。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ MD∥BC。 ∴ ∠AMF= ∠EBF,∠MAF= ∠E。 ∵ F 是 AE 的中点, ∴ FA=FE。 ∴ △AFM≌△EFB。 ∴ AM=EB,FM=FB。 ∵ 在矩形 ABCD 中,AC=BD,AD=BC, ∴ BC+BE=AD+AM,即 CE=MD。 ∵ CE=AC,∴ AC=BD=MD。 ∵ FB=FM,∴ BF⊥DF。 第 7 章　 实数 7. 1　 算术平方根 【边学边练】 1. C　 2. C 3. 13 4. 5 　 【解析】设正方形桌布的边长为 a m。 由题意,得 a2 = 5。 ∴ a= 5,即正方形桌布的边长为 5 m。 5.解:(1)∵ 大正方形的面积为 5+5 = 10(cm2 ), ∴ 大正方形的边长为 10 cm。 (2)不够。 理由如下: ∵ 分到每条边的彩纸长为 12÷4 = 3(cm), 且 3 cm< 10 cm, ∴ 12 cm 长的彩纸不够。 【随堂小测】 1. C 2. A　 【解析】∵ m 是 a 的算术平方根,∴ (m) 2 = a,即 m2 =a。 故选 A。 3. D　 【解析】∵ | x | = 5,∴ x= 5 或-5。 ∵ y 是 36 的算术 平方根,∴ y= 6。 当 x= 5,y= 6 时,x+y= 5+6 = 11;当 x = -5,y= 6 时,x+y= -5+6 = 1。 故选 D。 4. D　 【解析】当 x= 1 时, 3x+1 = 4 = 2,不能输出;当 x= 2 时, 3x+1 = 7 >2,可以输出。 故选 D。 5. 5 　 7　 16　 【解析】∵ ( 5 ) 2 = 5,( 7 ) 2 = 7,(-2) 2 = 4,42 = 16,∴ 5 的算术平方根是 5, 7是 7 的算术平方 根,(-2) 2 是 16 的算术平方根。 6. 5 　 【解析】设矩形的宽为 x,则长为 3x。 根据题意, 得 3x2 = 15。 解得 x = 5 (负值舍去)。 ∴ 矩形的宽 为 5。 7.解:(1) 1 7 9 = 16 9 = 4 3 。 (2) 1- 16 25 = 9 25 = 3 5 。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 321