小专题1 平行四边形中的动态问题-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

小专题 1　 平行四边形中的动态问题 一、与矩形有关的动态问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 已知矩形 ABCD,一条直线将该矩形分割成两个多边形,则所得任一多边形的内角 和度数不可能是 (　 　 ) A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° 2. (易错题)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 6,BC= 8,E,F 是对角线 AC 上的 两个动点,分别从点 A,C 同时出发相向而行,速度均为每秒 1 个单位长 度,运动时间为 t 秒,其中 0≤t≤10,G,H 分别是 AD,BC 的中点,当四 边形 EGFH 为矩形时,t 的值为 。 3. 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 5 cm,BC = 10 cm,动点 M 从点 D 出发,按折线 DCBAD 方向以 3 cm / s 的速度运动,动点 N 从点 D 出发,按折线 DABCD 方向以 2 cm / s 的速 度运动。 点 E 在线段 BC 上,且 BE= 1 cm,若 M,N 两点同时从点 D 出发,到第一次 相遇时停止运动。 (1)求经过几秒 M,N 两点停止运动; (2)求点 A,E,M,N 构成平行四边形时,M,N 两点运动的时间。 二、与菱形有关的动态问题 4. 如图,在菱形 ABCD 中,AB= 5 cm,∠ADC= 120°,点 E,F 同时由 A,C 两点出发,分别 沿 AB,CB 方向向点 B 匀速移动(到点 B 为止),点 E 的速度为 1 cm / s,点 F 的速度 为 2 cm / s,经过 t s,△DEF 为等边三角形,则 t 的值为 (　 　 ) A. 3 4 B. 4 3 C. 3 2 D. 5 3 71 5. 如图,将菱形 ABCD 沿 AC 方向平移至 A′B′C′D′,A′D′交 CD 于点 E,A′B′交 BC 于点 F,判断四边形 A′FCE 是不是菱形,并说明理由。 三、与正方形有关的动态问题 6. 如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 上的动点,三角形 AEF 是 等边三角形,连接 AC 交 EF 于点 G,下列结论:①BE =DF;②AG = 2CG; ③BE+DF=EF;④S△CEF = 2S△ABE。 正确的有 (只填序号)。 7. 如图,正方形 ABCD 的对角线相交于点 O,O 是正方形 A′B′C′O 的一个顶点,如果两 个正方形的边长相等,正方形 A′B′C′O 绕点 O 自由转动,设两个正方形重叠部分的 面积为 S1,正方形 ABCD 的面积为 S2。 求证:S1 = 1 4 S2。 四、与平行四边形有关的动态问题 8. (核心素养·几何直观)如图,C 是线段 AB 上的动点(不与点 A,B 重合),分别以 AC,BC 为边向上作等边三角形 ACD 和 BCE,延长 AD,BE 交于点 F,若 AB = 4,则四 边形 CEFD 的周长为 (　 　 ) A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 分别从 A,C 两点同时出发, 以相同的速度向终点 O 运动。 (1)当点 E 与点 F 不重合时,四边形 DEBF 是平行四边形吗? 请说明理由; (2)若点 E,F 的运动速度都是 4 cm / s,且 BD = 24 cm,AC = 32 cm,当运动时间为 s 时,(1)中的四边形 DEBF 是矩形。 81 ∴ S△BAF = S△ADE。 ∴ S△BAF - S△AOF = S△ADE - S△AOF,即 S△AOB =S四边形DEOF。 故④正确;无法证明 OA=OE,故③ 错误。 故选 B。 5. 3　 【解析】如图,过点 P 作 PF⊥AB 于点 F。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB = BC = CD = AD。 ∴ ∠PAE= ∠PAB。 ∵ PE⊥AD,PF⊥AB,PE = 3,∴ PF =PE= 3。 ∴ 点 P 到直线 AB 的距离为 3。 6. AB=AD(答案不唯一) 7.证明:∵ ∠ACB= 90°,DE⊥BC,DF⊥AC, ∴ 四边形 CFDE 是矩形。 又∵ CD 平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC, ∴ DE=DF。 ∴ 四边形 CFDE 是正方形。 8.解:(1)∵ EB=BC=EC, ∴ △EBC 是等边三角形。 ∴ ∠EBC= 60°。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠CBD= 45°。 ∴ ∠EBD= ∠EBC-∠CBD= 60°-45° = 15°。 (2)线段 FC 与 BE 之间的数量关系是 FC·BE = 2a。 理由如下: 如右图,连接 AF 交 BE 于点 G。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=BC,∠ABD= ∠CBD。 ∵ BF=BF, ∴ △ABF≌△CBF(SAS)。 ∴ AF=CF,∠BAF= ∠BCF。 ∵ EB=EC, ∴ ∠ECB= ∠EBC。 ∵ ∠ABC= ∠DCB= 90°, ∴ ∠ABE= ∠DCE。 ∴ ∠ABE+∠BAF= ∠DCE+∠BCF= 90°。 ∴ ∠AGB= 90°。 ∴ AF⊥BE。 ∴ S四边形ABFE =S△ABE +S△BEF = 1 2 BE·AG+ 1 2 BE·FG = 1 2 BE·AF= 1 2 BE·CF。 ∵ S四边形ABFE =a, ∴ 1 2 BE·CF=a。 ∴ FC·BE= 2a。 小专题 1　 平行四边形中的动态问题 1. D　 【解析】不同的划分方法有 4 种,如图,所得任一 多边形的内角和度数可能是 360°或 540°或 180°。 故 选 D。 　 　 　 2. 2 或 8　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥BC, AD=BC。 ∴ ∠GAE= ∠HCF。 ∵ E,F 是对角线 AC 上 的两个动点,速度均为每秒 1 个单位长度,∴ AE = CF = t。 ∵ G,H 分别是 AD,BC 的中点,∴ AG = 1 2 AD,CH = 1 2 BC。 ∴ AG = CH。 ∴ △AEG ≌ △CFH ( SAS)。 ∴ EG = FH, ∠AEG = ∠CFH。 ∴ ∠FEG = ∠EFH。 ∴ EG∥HF。 ∴ 四边形 EGFH 是平行四边形。 如图,连 接 GH。 ∵ AG =BH,AG∥BH,∠B = 90°,∴ 四边形 ABHG 是矩形。 ∴ GH= AB = 6。 若四边形 EGFH 是矩形,则 EF=GH= 6。 ①如图 1,当点 E,F 未相遇时,EF = 10- 2t= 6。 ∴ t= 2。 图 1 　 　 图 2 ②如图 2,当点 E,F 相遇后,EF = t+t-10 = 2t-10 = 6。 ∴ t= 8。 ∴ 当四边形 EGFH 为矩形时,t 的值为 2 或 8。 3.解:(1)∵ 在矩形 ABCD 中,AB= 5 cm,BC= 10 cm, ∴ M,N 两点同时从点 D 出发,到第一次相遇时共运 动了 2×(5+10)= 30(cm)。 ∴ t= 30÷(2+3)= 6(s)。 ∴ 经过 6 s,M,N 两点停止运动。 (2)由题意知,当点 N 在 AD 边上运动,点 M 在 BC 边 上运动时,点 A,E,M,N 才可能组成平行四边形。 设 经过 t s,四点可组成平行四边形。 ①当构成▱AEMN 时,10-2t= 10-1+5-3t,解得 t= 4。 ②当构成▱AMEN 时,10-2t= 3t-(10-1+5), 解得 t= 4. 8。 ∴ 当点 A,E,M,N 构成平行四边形时,M,N 两点运动 的时间为 4 s 或 4. 8 s。 4. D　 【解析】如图,连接 BD。 ∵ 四 边 形 ABCD 是 菱 形, ∴ AB = AD, ∠ADB = 1 2 ∠ADC = 60°, ∠ABC = ∠ADC= 120°。 ∴ △ABD 是等边三角形。 ∴ ∠ABD = ∠BAD = 60°,AD = BD。 ∴ ∠DBF = ∠ABC- ∠ABD = 60° = ∠DAE。 又∵ △DEF 是等边三角形,∴ ∠EDF = 60°。 又∵ ∠ADB = 60°,∴ ∠ADE = ∠BDF。 ∴ △ADE≌ △BDF(ASA)。 ∴ AE= BF。 ∵ AE = t cm,CF = 2t cm, ∴ BF=BC-CF= 5-2t。 ∴ t= 5-2t。 ∴ t= 5 3 。 故选 D。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 021 5.解:四边形 A′FCE 是菱形。 理由如下, ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AD=CD,AD∥BC,AB∥CD,∠DAC= ∠DCA。 ∵ 菱形 ABCD 沿 AC 方向平移至 A′B′C′D′, ∴ AD∥A′D′,CD∥C′D′。 ∴ ∠DAC= ∠D′A′C,A′E∥BC,CE∥A′B′。 ∴ ∠D′A′C= ∠DCA,四边形 A′FCE 是平行四边形。 ∴ A′E=CE。 ∴ 平行四边形 A′FCE 是菱形。 6. ①④　 【解析】∵ △AEF 是等边三角形,∴ ∠EAF= 60°, AE=AF。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠BAC=∠DAC= 45°,AB= AD,∠B = ∠D = ∠BAD = 90°。 ∴ Rt △ABE≌ Rt△ADF(HL)。 ∴ BE = DF。 故①正确;∴ ∠BAE = ∠DAF。 ∵ AC 平 分 ∠BAD, ∴ ∠BAG = ∠DAG。 ∴ ∠EAG= ∠FAG。 ∴ AG 垂直平分 EF。 ∴ G 是 EF 的中点。 ∵ ∠ECF = 90°,∴ CG = 1 2 EF,即 EF = 2CG。 而 EF>AG,∴ AG<2CG。 故②错误;∵ ∠EAG= 1 2 ∠EAF =30°,∠BAE= 45° -30° = 15°,∴ BE≠EG。 ∵ BE+DF = 2BE,EF= 2EG。 ∴ BE+DF≠EF。 故③错误;如图,延 长 CB 到点 F′,使 BF′ = DF,过点 E 作 EH⊥AF′于点 H,可得△ABF′≌△ABE。 ∴ ∠EAF′= 30°。 设 CG= x,则 EG=FG = x,AE = 2x。 ∴ EH = x。 ∴ S△AF′E = 1 2 × 2x × x = x2 = 2S△ABE, S△CEF = 1 2 × x × 2x = x2。 ∴ S△CEF = 2S△ABE。 故④正确。 综上所述,正确的结论 有①④。 7.证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ OA=OB,AC⊥BD,∠BAD= ∠ABC= 90°。 ∴ ∠OAE= ∠OBF= 45°,∠AOB= 90°。 ∵ 四边形 A′B′C′O 是正方形, ∴ ∠EOF= 90°。 ∴ ∠AOB= ∠EOF。 ∴ ∠AOE= ∠BOF。 ∴ △AOE≌△BOF(ASA)。 ∴ S△AOE =S△BOF。 ∴ 四边形 EOFB 的面积 S1 =S△AOB = 1 4 S2 , 即 S1 = 1 4 S2 。 8. B 　 【解析】 ∵ △ACD 和 △BCE 都是等边三角形, ∴ ∠A= ∠BCE= ∠ACD = ∠B = 60°,CD = AD = AC,CE =BE=BC。 ∴ AF∥CE,CD∥BF。 ∴ 四边形 CDFE 是 平行四边形。 ∴ CD = EF,CE = DF。 ∵ ∠A = ∠B = 60°,∴ ∠F = 60°。 ∴ △ABF 是等边三角形。 ∴ AF = BF=AB= 4。 ∴ 四边形 CEFD 的周长为 2(DF+CD)= 2(DF+AD)= 2AF= 8。 故选 B。 9.解:(1)四边形 DEBF 是平行四边形。 理由如下, ∵ 点 E,F 分别从 A,C 两点同时出发,以相同的速度 向终点 O 运动,∴ AE=CF。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ OD=OB,OA=OC。 ∴ OA-AE=OC-CF,即 OE=OF。 ∴ 四边形 DEBF 是平行四边形。 (2)∵ 四边形 DEBF 是平行四边形, ∴ 当 BD=EF 时,四边形 DEBF 是矩形。 ∴ EF=BD= 24 cm。 ∴ OE=OF= 12 cm。 ∵ AC=32 cm,∴ OA=OC=16 cm。 ∴ AE=OA-OE=4 cm。 ∵ 点 E,F 的运动速度都是 4 cm / s, ∴ 当运动时间为 4÷ 4 = 1( s) 时,四边形 DEBF 是矩 形。 故答案为 1。 6. 4　 三角形的中位线定理 【边学边练】 1. A 　 【解析】 ∵ ∠A = 70°,∠AED = 65°,∴ ∠ADE = 180°-∠A-∠AED= 45°。 ∵ D,E 分别是 AB,AC 的中 点,∴ DE∥BC。 ∴ ∠B= ∠ADE= 45°。 故选 A。 2.证明:(1)∵ D,F 分别是 AB,BC 边的中点, ∴ DF 是△ABC 的中位线。 ∴ DF∥AC,DF= 1 2 AC。 ∴ ∠BDF= ∠BAC。 (2)∵ AH⊥BC 于点 H,E 是 AC 边的中点, ∴ EH= 1 2 AC。 ∴ DF=EH。 【随堂小测】 1. B　 【解析】∵ D,E,F 分别是 AB,AC,BC 的中点,AB= BC=AC= 4,∴ DE,EF,DF 是△ABC 的中位线。 ∴ DE= 1 2 BC= 2,EF= 1 2 AB= 2,DF= 1 2 AC= 2。 ∴ △DEF 的周长为 2+2+2 = 6。 故选 B。 2. B　 【解析】∵ D,F 分别是 AB,AC 的中点,∴ DF∥BC,DF = 1 2 BC。 ∴ DF∥BE。 ∵ E 是 BC 的中点,∴ BE= 1 2 BC。 ∴ DF=BE。 ∴ 四边形BEFD 是平行四边形。 ∴ BD=EF。 ∴ △BDE≌△FED(SSS)。 同理可证△DAF≌△FED, △EFC≌△FED,即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED。 ∴ S△DEF = 1 4 S△ABC = 1 4 ×16=4(cm2)。 故选 B。 3. D　 【解析】∵ DG⊥EG,∴ ∠DGE= 90°。 ∵ F 是 DE 的 中点,∴ FG= 1 2 DE。 ∵ FG= 3,∴ DE= 6。 ∵ D,E 分别 是 AB,AC 的中点,∴ DE 是△ABC 的中位线。 ∴ BC = 2DE= 12。 故选 D。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 121