湖北省武汉市华中科技大学附属中学2024届高三下学期高考信息预测卷02数学试题

回归课本—2024年高考信息预测卷02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题单位：华科附中教育教研中心 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 定义差集且，已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知复数满足，则（    ） A．2 B．1 C． D． 3．已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4.现某社区服务中心俱乐部将5名京剧演员、2名说书演员分配到甲、乙、丙3个居民区去义演，则每个居民区都有京剧演员的分配方法有（    ） A．240种 B．640种 C．1350种 D．1440种 5.已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6.如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，，分别为母线、的中点，则异面直线和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 7．已知的内角A，，对边分别为，，，满足，若，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8.在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，平面截正方体外接球所得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 9.已知函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．若曲线的两个相邻对称中心之间的距离为，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．若，则在区间上的最大值为 10．已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．在定义域内单调递减 D．为奇函数 11．已知为坐标原点，点为抛物线：的焦点，点，直线：交抛物线于，两点（不与点重合），则以下说法正确的是（   ） A． B．存在实数，使得 C．若，则 D．若直线与的倾斜角互补，则 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中常数项为_______ 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为___________. 14．若实数，满足，则 ． 四.解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸 15.已知正项数列的前项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 16.已知函数． (1)若，求函数在上的最大值和最小值； (2)讨论函数的单调性． 17.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形． （1）若直线是平面和平面的交线，证明：； （2）若四棱锥的体积为，二面角和二面角都是，求直线与平面所成角的正弦值． 18.已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2． (1)求该机器生产的零件为不合格品的概率； (2)从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值． 附：若，取，． 19.已知O为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，． (1)求抛物线C的方程； (2)若点，连接AD，BD，证明：； (3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 回归课本—2024年高考信息预测卷02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题单位：华科附中教育教研中心 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 定义差集且，已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 1．【答案】B 【提示】因为，，所以，所以． 故选：B 2.已知复数满足，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【提示】由复数， 所以，所以，则. 故选：D. 3．已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】由向量在向量上投影向量为， 所以得， 又因为，所以，故C正确. 故选：C. 4.现某社区服务中心俱乐部将5名京剧演员、2名说书演员分配到甲、乙、丙3个居民区去义演，则每个居民区都有京剧演员的分配方法有（    ） A．240种 B．640种 C．1350种 D．1440种 【答案】C 【提示】将2名说书演员分配到3个居民区，有（种）分配方法. 若每个居民区都有京剧演员，则将京剧演员分成3组，各组的人数分别为1，1，3或2，2，1. 当京剧演员分成三组的人数为1，1，3时，此时共有（种）分配方法； 当京剧演员分成三组的人数为2，2，1时，此时共有（种）分配方法. 综上可知，每个居民区都有京剧演员的分配方法有（种）. 故选：C 5.已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【提示】由已知，得， 又，又， 所以，解得或（舍去） 故选：B. 6.如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，，分别为母线、的中点，则异面直线和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】取中点，连接，如图，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则, 又，分别为母线、的中点，所以， 则，，设异面直线和所成角的， 则，又，所以. 故选：C. 7．已知的内角A，，对边分别为，，，满足，若，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】由， 由正弦定理得， 又，且， 所以，故， 又，所以， 由，即，得， 面积的最大值为，故选：C． 8.在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，平面截正方体外接球所得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】取正方体的中心为，连接， 由于正方体的棱长为2，所以正方体的面对角线长为，体对角线长为， 正方体外接球球心为点，半径， 又易得，且， 所以三棱锥为正四面体，如图所示，取底面正三角形的中心为， 即点到平面的距离为，又正三角形的外接圆半径为， 由正弦定理可得，即，所以， 即正方体外接球的球心到截面的距离为， 所以截面被球所截圆的半径， 则截面圆的面积为. 故选：D. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 9.已知函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．若曲线的两个相邻对称中心之间的距离为，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．若，则在区间上的最大值为 【答案】BCD 【提示】由于函数是偶函数，所以， 由于将的图象向左平移个单位长度， 再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象，则， 对于A，因为曲线的两个相邻对称中心之间的距离为， 故，解得，故A不正确； 所以函数，则或， ，则或， 对于B，令，解得， 所以当时，的图象关于直线对称，故B正确； 对于C,令，解得， 所以当时，所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，或， 所以或， 当时，当时，， 所以在上单调递增，故函数的最大值为； 当时，当时，， 所以在上单调递减，故函数的最大值为，故D正确； 故选：BCD. 10．已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．在定义域内单调递减 D．为奇函数 【答案】BC 【提示】对于，令，则， 因，故得，故A正确； 对于由， 令，则， 则，即， 故是以为首项，2为公比的等比数列， 于是，故B错误； 对于，由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则①， 把都取成，可得②， 将②式代入①式，可得， 化简可得即为奇函数，故D正确； 对于C，在上单调递减，函数为奇函数，可得在上单调递减， 但是不能判断在定义域上的单调性，例如，故C错误. 故选：BC. 11．已知为坐标原点，点为抛物线：的焦点，点，直线：交抛物线于，两点（不与点重合），则以下说法正确的是（   ） A． B．存在实数，使得 C．若，则 D．若直线与的倾斜角互补，则 【答案】ACD 【提示】由已知，抛物线：，∴，，焦点， 不妨设为，，设，到准线的距离分别为，，      对于A，∵由标准方程知，抛物线顶点在原点，开口向右，， 直线：过焦点， ∴由抛物线的定义，故选项A正确； 对于B，消去，化简得（显然）， 则，， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴， ∴不存在实数，使得，选项B错误； 对于C，，， ∵，∴，∴， 又∵由选项B判断过程知，， ∴解得，，或，，， ∴若，则，选项C正确； 对于D，由题意，，，，， 直线与的倾斜角互补时，斜率均存在，且， ∴，代入，，化简得， 由选项B的判断知，， ∴，∴，故选项D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中常数项为_______ 【答案】112 【提示】由题意知，常数项为. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为___________. 【答案】 【提示】由题意，不妨设点P在第一象限，如图. 因为，则，，. 因为，则，可知， 则，即，整理得. 由得，解得或（舍去）， 所以C的离心率为. 故答案为：. 14．若实数，满足，则 ． 【答案】 【提示】先证明不等式， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，当时取等号， 所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 因为，当时取等号， 所以，且，， 解得， 所以， 故答案为： 四.解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸 15.已知正项数列的前项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【提示】（1）当时，由，即，解得：， 所以，则数列为首项为，公差为的等差数列； 所以，则， 当时，， 当时，满足条件， 所以的通项公式为 （2）由（1）知，， 所以， 故， 即 16.已知函数． (1)若，求函数在上的最大值和最小值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)最大值为，最小值为；(2)答案见解析. 【提示】（1）当时，，则， 令，得或， 由于， 所以当，，在单调递减， 所以当，，在单调递增， 所以在时取到极小值，且， 又因为，， 综上，函数在上的最大值为，最小值为. （2）因为，所以， 当，即时，， 在单调递增， 当，即时， 令，则， 所以当，，在单调递增， 当，，在单调递减， 当，，在单调递增. 综上所述，当时，在单调递增， 当时，在，单调递增，在单调递减. 17.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形． （1）若直线是平面和平面的交线，证明：； （2）若四棱锥的体积为，二面角和二面角都是，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【提示】（1）∵正方形，， 平面，平面，平面， 又平面，直线是平面和平面的交线，； （2）如图，过点作平面的垂线，垂足为，过点作，垂足为，连接， 因为二面角和二面角都是， 可知点在正方形内， 四棱锥的体积为，即，可得， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，所以为二面角的平面角， 可得，可得，同理可得点到的距离为，       以为坐标原点，向量，与平面垂直的方向分别为轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得． 设平面的法向量为 有取，可得 所以，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18.已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2． (1)求该机器生产的零件为不合格品的概率； (2)从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值． 附：若，取，． 【答案】(1)0.09； (2). 【详解】（1）记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D． 因为，所以， ， ． 所以 ， 所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09． （2）从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则， 所以． 由，解得． 所以当时，； 当时，；所以最大． 因此当时，最大． 19.已知O为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，． (1)求抛物线C的方程； (2)若点，连接AD，BD，证明：； (3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)8 【提示】（1）设直线的方程为， 由，得， 设，， 则，， 从而，解得， 所以抛物线C的方程为； （2）要证，即证DG平分，即证， 由（1）可知，， 则 ， 故； （3）记AM，AN分别与圆G切于点T，F，连接TG，MG，NG， 由题意，得， 由切线长定理，知，，， 所以， 又 ，解得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故面积的最小值为8． 学科网（北京）股份有限公司 $$