10.1.2 全等三角形(2)-【一课通】2023-2024学年七年级下册数学随堂小练习(鲁教版)

第２课时　全等三角形（２） 【边学边练】 知识点　全等三角形性质与判定的有关证明 １．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ在ＢＥ上，且ＡＤ＝ＡＥ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ。 下列结论：（１）∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ；（２）ＢＤ＝ＣＥ；（３）ＢＤ＝ＤＥ；（４）△ＡＢＤ≌ △ＡＣＥ。其中正确的个数为 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ ２．如图，ＡＣ＝ＡＤ，∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＤ，点Ｅ在ＡＢ上。 （１）你能找出 对全等的三角形； （２）请写出各对全等三角形，并分别进行证明。 【随堂小测】 １．如图，点Ｅ，Ｆ是线段ＢＣ上的两点，如果△ＡＢＦ≌△ＤＣＥ，且ＡＢ＝３，ＡＦ＝５，那么ＣＤ 的长等于 （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ 第１题图 　　　　 第２题图 　　　　 第３题图 ２．如图，在①ＡＢ＝ＡＣ，②ＡＤ＝ＡＥ，③∠Ｂ＝∠Ｃ，④ＢＤ＝ＣＥ四个条件中，能证明△ＡＢＤ 与△ＡＣＥ全等的条件顺序是 （　　） Ａ．①②③ Ｂ．②③④ Ｃ．①②④ Ｄ．③②④ ３．如图，ＡＢ⊥ＣＤ，且ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ，Ｆ是ＡＤ上两点，ＣＥ⊥ＡＤ，ＢＦ⊥ＡＤ。若ＣＥ＝ａ，ＢＦ＝ｂ， ＥＦ＝ｃ，则ＡＤ的长为 （　　） Ａ．ａ＋ｃ Ｂ．ｂ＋ｃ Ｃ．ａ－ｂ＋ｃ Ｄ．ａ＋ｂ－ｃ １５ ４．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，ＡＣ＝５，∠ＤＡＢ＝∠ＤＣＢ＝９０°，则四边形ＡＢＣＤ的 面积为 （　　） Ａ．１５ Ｂ．１２．５ Ｃ．１４．５ Ｄ．１７ ５．下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边 上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角 三角形全等。其中正确命题的序号为 。 ６．如图１是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架如图２所示，已知ＡＢ＝ＡＥ，ＡＣ＝ＡＤ， ∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＣ，∠Ｃ＝３５°，求∠Ｄ的度数。 ７．如图，ＡＣ是四边形ＡＢＣＤ的对角线，∠１＝∠Ｂ，点 Ｅ，Ｆ分别在 ＡＢ，ＢＣ上，ＢＥ＝ＣＤ， ＢＦ＝ＣＡ，连接ＥＦ。 （１）求证：∠Ｄ＝∠２； （２）若ＥＦ∥ＡＣ，∠Ｄ＝７８°，求∠ＢＡＣ的度数。 ２５ 第十章　三角形的有关证明 １　全等三角形 第１课时　全等三角形（１） 【边学边练】 １．Ｂ ２．证明：∵∠ＢＣＥ＝∠ＤＣＡ， ∴∠ＢＣＥ＋∠ＡＣＥ＝∠ＤＣＡ＋∠ＡＣＥ， 即∠ＢＣＡ＝∠ＤＣＥ。 在△ＢＣＡ和△ＤＣＥ中， ∠ＢＣＡ＝∠ＤＣＥ， ＡＣ＝ＥＣ， ∠Ａ＝∠Ｅ { ， ∴△ＢＣＡ≌△ＤＣＥ（ＡＳＡ）。 ∴ＢＣ＝ＤＣ。 【随堂小测】 １．Ｂ ２．Ａ　【解析】在△ＡＢＣ和△ＤＣＢ中， ＡＢ＝ＤＣ， ∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ， ＢＣ＝ＣＢ { ， ∴△ＡＢＣ≌△ＤＣＢ（ＳＡＳ）。故选Ａ。 ３．Ｂ　【解析】∵ＣＦ∥ＡＢ，∴∠Ａ＝∠ＦＣＥ，∠ＡＤＥ＝∠Ｆ。 在△ＡＤＥ和△ＣＦＥ中， ∠Ａ＝∠ＦＣＥ， ∠ＡＤＥ＝∠Ｆ， ＤＥ＝ＦＥ { ， ∴△ＡＤＥ≌△ＣＦＥ（ＡＡＳ）。∴ＡＤ＝ＣＦ＝３。 ∴ＢＤ＝ＡＢ－ＡＤ＝４－３＝１。故选Ｂ。 ４．ＡＤ＝ＡＣ（或∠Ｄ＝∠Ｃ或∠ＡＢＤ＝∠ＡＢＣ或∠ＤＢＥ＝ ∠ＣＢＥ） 【解析】∵∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＢ，ＡＢ＝ＡＢ， ∴当添加 ＡＤ＝ＡＣ时，可根据“ＳＡＳ”判断△ＡＢＤ≌ △ＡＢＣ；当添加∠Ｄ＝∠Ｃ时，可根据“ＡＡＳ”判断 △ＡＢＤ≌△ＡＢＣ；当添加∠ＡＢＤ＝∠ＡＢＣ时，可根据 “ＡＳＡ”判断△ＡＢＤ≌△ＡＢＣ；当添加∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＥ 时，可 得 ∠ＡＢＤ ＝∠ＡＢＣ，可 根 据 “ＡＳＡ”判 断 △ＡＢＤ≌△ＡＢＣ。 ５．证明：∵∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ， ∴∠ＢＡＥ＋∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＋∠ＢＡＤ， 即∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＢ。 在△ＡＤＥ和△ＡＣＢ中， ＡＤ＝ＡＣ， ∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＢ， ＡＥ＝ＡＢ { ， ∴△ＡＤＥ≌△ＡＣＢ（ＳＡＳ）。 ∴ＤＥ＝ＣＢ。 ６．证明：∵ＡＣ是∠ＢＡＥ的平分线， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ。 ∵∠Ｃ＝∠Ｅ，ＡＢ＝ＡＤ， ∴△ＢＡＣ≌△ＤＡＥ（ＡＡＳ）。 ∴ＢＣ＝ＤＥ。 ７．（１）证明：∵点Ｄ是ＢＣ的中点，∴ＢＤ＝ＣＤ。 在△ＡＢＤ和△ＥＣＤ中， ＢＤ＝ＣＤ， ∠ＡＤＢ＝∠ＥＤＣ， ＡＤ＝ＥＤ { ， ∴△ＡＢＤ≌△ＥＣＤ（ＳＡＳ）。 （２）解：∵在△ＡＢＣ中，点Ｄ是ＢＣ的中点， ∴Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＣＤ。 ∵△ＡＢＤ≌△ＥＣＤ， ∴Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＥＣＤ。 ∴Ｓ△ＡＣＥ＝Ｓ△ＡＣＤ＋Ｓ△ＥＣＤ＝５＋５＝１０。 第２课时　全等三角形（２） 【边学边练】 １．Ｄ ２．解：（１）３ （２）①△ＡＢＣ≌△ＡＢＤ。 证明：在△ＡＢＣ和△ＡＢＤ中， ＡＣ＝ＡＤ， ∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＤ， ＡＢ＝ＡＢ { ， ∴△ＡＢＣ≌△ＡＢＤ（ＳＡＳ）。 ②△ＡＥＣ≌△ＡＥＤ。 证明：在△ＡＥＣ和△ＡＥＤ中， ＡＣ＝ＡＤ， ∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＤ， ＡＥ＝ＡＥ { ， ∴△ＡＥＣ≌△ＡＥＤ（ＳＡＳ）。 ③△ＢＣＥ≌△ＢＤＥ。 证明：∵△ＡＢＣ≌△ＡＢＤ， ∴ＢＣ＝ＢＤ，∠ＣＢＥ＝∠ＤＢＥ。 在△ＢＣＥ和△ＢＤＥ中， ＢＣ＝ＢＤ， ∠ＣＢＥ＝∠ＤＢＥ， ＢＥ＝ＢＥ { ， ∴△ＢＣＥ≌△ＢＤＥ（ＳＡＳ）。 【随堂小测】 １．Ａ ２．Ｃ　【解析】当有条件①②④时，可根据“ＳＳＳ”定理证 明△ＡＢＤ与△ＡＣＥ全等；当有条件①③④时，可根据 “ＳＡＳ”定理证明△ＡＢＤ与△ＡＣＥ全等。故选Ｃ。 ３．Ｄ　【解析】∵ＡＢ⊥ＣＤ，ＣＥ⊥ＡＤ，ＢＦ⊥ＡＤ                                                               ， ０１１ ∴∠ＡＦＢ＝∠ＣＥＤ＝９０°，∠Ａ＋∠Ｄ＝９０°，∠Ｃ＋∠Ｄ＝９０°。 ∴∠Ａ＝∠Ｃ。∵ＡＢ＝ＣＤ，∴△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ（ＡＡＳ）。 ∴ＡＦ＝ＣＥ＝ａ，ＤＥ＝ＢＦ＝ｂ。又∵ＥＦ＝ｃ，∴ＡＤ＝ＡＦ＋ ＤＦ＝ａ＋（ｂ－ｃ）＝ａ＋ｂ－ｃ。故选Ｄ。 ４．Ｂ　【解析】如图，过点 Ａ作 ＡＥ⊥ＡＣ，交 ＣＢ的延长线 于点Ｅ。∵∠ＤＡＢ＝∠ＤＣＢ＝９０°， ∴∠Ｄ＋∠ＡＢＣ＝１８０°＝∠ＡＢＥ＋∠ＡＢＣ。 ∴∠Ｄ＝∠ＡＢＥ。 又∵∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＥ＝９０°，∴∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＢ。 又∵ＡＤ＝ＡＢ，∴△ＡＣＤ≌△ＡＥＢ（ＡＳＡ）。 ∴ＡＣ＝ＡＥ，即△ＡＣＥ是等腰直角三角形。 ∴四边形ＡＢＣＤ的面积与△ＡＣＥ的面积相等。 ∵Ｓ△ＡＣＥ＝ １ ２×５×５＝１２．５，∴四边形 ＡＢＣＤ的面积 为１２．５。故选Ｂ。 ５．①②　【解析】①底边和顶角对应相等的两个等腰三 角形全等，正确；②两边及其中一边上的中线对应相 等的两个三角形全等，正确；③斜边和斜边上的中线 对应相等的两个直角三角形全等，不正确。 ６．解：∵∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＣ， ∴∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＣ＋∠ＣＡＤ，即∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤ。 在△ＢＡＣ和△ＥＡＤ中， ＡＢ＝ＡＥ， ∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤ ＡＣ＝ＡＤ { ， ， ∴△ＢＡＣ≌△ＥＡＤ（ＳＡＳ）。 ∴∠Ｄ＝∠Ｃ＝３５°。 ７．（１）证明：在△ＢＥＦ和△ＣＤＡ中， ＢＥ＝ＣＤ， ∠Ｂ＝∠１， ＢＦ＝ＣＡ { ， ∴△ＢＥＦ≌△ＣＤＡ（ＳＡＳ）。 ∴∠Ｄ＝∠２。 （２）解：∵∠Ｄ＝∠２，∠Ｄ＝７８°，∴∠２＝７８°。 ∵ＥＦ∥ＡＣ， ∴∠ＢＡＣ＝∠２＝７８°。 ２　等腰三角形 第１课时　等腰三角形的性质与判定（１） 【边学边练】 １．Ｂ ２．Ｃ　【解析】如图，延长ＥＤ交ＡＣ于点Ｆ。∵△ＡＢＣ是 等腰三角形，∠ＡＢＣ＝１２４°，∴∠Ａ＝∠ＡＣＢ＝２８°。 ∵ＡＢ∥ＤＥ，∴∠ＣＦＤ＝∠Ａ＝２８°。∵∠ＣＤＥ＝∠ＣＦＤ＋ ∠ＡＣＤ＝７２°，∴∠ＡＣＤ＝７２°－２８°＝４４°。故选Ｃ。 ３．Ｄ　【解析】∵ＢＤ，ＣＤ分别平分∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ， ∴∠ＤＢＥ＝∠ＤＢＣ，∠ＤＣＦ＝∠ＤＣＢ。 ∵ＥＦ∥ＢＣ，∴∠ＤＢＣ＝∠ＢＤＥ，∠ＤＣＢ＝∠ＣＤＦ。 ∴∠ＤＢＥ＝∠ＢＤＥ，∠ＤＣＦ＝∠ＣＤＦ。 ∴ＢＥ＝ＤＥ，ＣＦ＝ＤＦ。∴ＥＦ＝ＤＥ＋ＤＦ＝ＢＥ＋ＣＦ。 ∵ＡＢ＝５，ＡＣ＝８，∴△ＡＥＦ的周长为 ＡＥ＋ＥＦ＋ＡＦ＝ ＡＥ＋ＢＥ＋ＣＦ＋ＡＦ＝ＡＢ＋ＡＣ＝５＋８＝１３。故选Ｄ。 ４．证明：在△ＢＤＦ和△ＣＥＦ中， ∠ＤＦＢ＝∠ＥＦＣ， ∠ＦＢＤ＝∠ＦＣＥ， ＢＤ＝ＣＥ { ， ∴△ＢＤＦ≌△ＣＥＦ（ＡＡＳ）。 ∴ＢＦ＝ＣＦ。 ∴∠ＦＢＣ＝∠ＦＣＢ。 又∵∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤ， ∴∠ＦＢＣ＋∠ＡＢＥ＝∠ＦＣＢ＋∠ＡＣＤ，即∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ。 ∴ＡＢ＝ＡＣ。 ∴△ＡＢＣ是等腰三角形。 【随堂小测】 １．Ｂ　【解析】∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＤＦＥ＝∠ＢＡＥ＝５０°。 ∵ＣＦ＝ＥＦ，∴∠Ｃ＝∠Ｅ。 ∵∠ＤＦＥ＝∠Ｃ＋∠Ｅ， ∴∠Ｃ＝１２∠ＤＦＥ＝ １ ２×５０°＝２５°。故选Ｂ。 ２．Ｃ　【解析】∵在等腰△ＡＢＣ中，ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分 线，∠Ａ＝３６°，∴ ∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝２∠ＡＢＤ＝７２°。 ∴∠ＡＢＤ＝３６°＝∠Ａ。∴ＢＤ＝ＡＤ。∴∠ＢＤＣ＝∠Ａ＋ ∠ＡＢＤ＝７２°＝∠Ｃ。∴ＢＤ＝ＢＣ。∵ＡＢ＝ＡＣ＝ａ， ＢＣ＝ｂ，∴ＣＤ＝ＡＣ－ＡＤ＝ａ－ｂ。故选Ｃ。 ３．６６°　４．５０°或８０° ５．（１）证明：∵ＢＥ是△ＡＢＣ的角平分线， ∴∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＥ。 ∵ＤＢ＝ＤＥ，∴∠ＤＥＢ＝∠ＤＢＥ。 ∴∠ＤＥＢ＝∠ＣＢＥ。∴ＤＥ∥ＢＣ。 （２）解：∵ＤＥ∥ＢＣ， ∴∠Ｃ＝∠ＡＥＤ＝４５°                                                               。 １１１