第01讲 二次函数 （1个知识点+3种经典题型+习题试卷）2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第01讲 二次函数 （1个知识点+3种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 【例1】（2023秋•江干区校级期中）下列函数中，是二次函数的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022秋•诸暨市期末）已知关于的二次函数解析式为，则　　 A． B．1 C． D． 【变式2】（2023秋•西湖区校级月考）函数是二次函数，则　　． 【变式3】（2023秋•义乌市月考）如果函数是二次函数，那么的值一定是 　． 【变式4】（2023•南湖区校级开学）已知函数， （1）当为何值时，此函数是一次函数？ （2）当为何值时，此函数是二次函数？ 经典题型汇编 题型一.列二次函数关系式 1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）顶点在函数的图象上，请写出一个满足条件的二次函数表达式 ． 4．（21-22九年级上·浙江·期中）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 5．（21-22·浙江宁波·期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 题型二.二次函数的识别 6．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）下列各选项中，解析式为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）有下列函数： ①y=5x-4；②；③；④；⑤； 其中属于二次函数的是 （填序号）． 8．（九年级上·浙江绍兴·阶段练习）一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，称该函数为偶函数．那么在下列四个函数①；②；③；④中，偶函数是 （填出所有偶函数的序号）． 9．（九年级上·浙江·课后作业）已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m. (1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围． (2)若这个函数是一次函数，求m的值． (3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？ 10．（2022九年级上·全国·专题练习）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y＝3x—1； （2） ； （3）  ； （4） ； （5） ； （6） 题型三.根据二次函数的定义求参数 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．或 C． D．不存在 12．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果函数是关于x的二次函数，那么m的值一定是 ． 14．（19-20九年级上·浙江·阶段练习）已知y关于 x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1. （1）当m为何值时，此函数是一次函数？     （2）当m为何值时，此函数是二次函数？ 15．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． (1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值； (2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江台州·期末）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）若抛物线经过点，则a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（九年级上·浙江·课后作业）下列函数关系中，不能看做二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型的是( ) A．圆的半径和其面积的变化关系 B．我国人口年自然增长率x，两年中从12亿增加到y亿的x与y的变化关系 C．掷铅球水平距离与高度的关系 D．面积一定的三角形底边与高的关系 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知y关于x的二次函数解析式为，则（    ） A． B．1 C． D． 7．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）已知是y关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．0或4 8．（2022九年级上·浙江·专题练习）若函数是二次函数，则m的值为（　　） A．0或 B．0或1 C． D．1 9．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为(    ) A． B． C． D． 10．（九年级上·浙江温州·阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，a+b=16，则Rt△ABC的面积S关于边长a的函数关系式为(     )． A． B． C． D． 二、填空题 11．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）若关于x的函数是二次函数，则m＝ ． 12．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数，则二次项系数 ，一次项系数 ． 13．（九年级上·浙江杭州·阶段练习）请写出一个y关于x的二次函数，同时符合如下条件：（1）开口向上，（2）经过原点，这个函数解析式可以为： ． 14．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）在直角平面坐标系中，二次函数（a，b为常数，），当点在函数图象上，则＝ ． 15．（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）圆的半径为x（cm），那么圆的面积y（cm2）可以表示为y＝πx2；存入银行2万元，先存一个一年期，一年后将本息转存为又一个一年期，设年利率均为x，那么两年后共得本息y（万元）可以表示为y＝2（1+x）2；…还可以表示许多不同情境中变量之间的类似这种特殊函数关系，请你再列举一例： ． 16．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，，，，四边形是的内接矩形，如果的长为，矩形的面积为，则与的函数关系式为 ． 17．（九年级上·浙江杭州·期末）将二次函数化成的形式为 ． 18．（九年级上·浙江杭州·阶段练习）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym².则y与x之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ； 三、解答题 19．（2022九年级上·全国·专题练习）已知函数 是关于x的二次函数，求满足条件的m的值． 20．（九年级上·全国·单元测试）一个二次函数y=（k﹣1）x+2x﹣1． （1）求k值． （2）求当x=0.5时y的值？ 21．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知函数（m为常数）． (1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． (2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 22．（20-21九年级下·全国·课后作业）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 23．（22-23九年级·假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 24．（22-23九年级上·全国·课后作业）已知函数y=（a+1） +（a﹣2）x（a为常数），求a的值： (1)函数为二次函数； (2)函数为一次函数． 25．（九年级上·浙江·课后作业）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC上一点，F为CD上一点，且AE＝AF.设△AEF的面积为y，CE＝x. (1)求y关于x的函数表达式． (2)当△AEF为正三角形时，求△AEF的面积． 26．（九年级·全国·课后作业）若函数y=（a-1）xb+1+x2+1是二次函数，试讨论a、b的取值范围. $$第01讲 二次函数 （1个知识点+3种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 【例1】（2023秋•江干区校级期中）下列函数中，是二次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数的一般式是，其中． 【解答】解：、，是正比例函数，故本选项不符合题意； 、，是反比例函数，故本选项不符合题意； 、，符合定义，故本选项符合题意； 、，是一次函数，故本选项不符合题意； 故选． 【点评】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键． 【变式1】（2022秋•诸暨市期末）已知关于的二次函数解析式为，则　　 A． B．1 C． D． 【分析】根据形如，，为常数且，可得且，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 且， 且， ， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 【变式2】（2023秋•西湖区校级月考）函数是二次函数，则　2　． 【分析】根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程，求出的值即可． 【解答】解：由题意得：， 解得， ， 整理得，， 解得，，， 综上所述，． 故答案为2． 【点评】本题考查二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0． 【变式3】（2023秋•义乌市月考）如果函数是二次函数，那么的值一定是 　0　． 【分析】根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可． 【解答】解：由题意得：， 解得或； 又， ． 当时，这个函数是二次函数． 故答案为：0． 【点评】本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数． 【变式4】（2023•南湖区校级开学）已知函数， （1）当为何值时，此函数是一次函数？ （2）当为何值时，此函数是二次函数？ 【分析】（1）直接利用一次函数的定义进而分析得出答案； （2）直接利用二次函数的定义进而分析得出答案． 【解答】解：（1）函数，是一次函数， ，， 解得：； （2）函数，是二次函数， ， 解得：且． 【点评】此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义，正确把握次数与系数的值是解题关键． 经典题型汇编 题型一.列二次函数关系式 1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键． 2．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则： ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）顶点在函数的图象上，请写出一个满足条件的二次函数表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，写出一个顶点在原点的二次函数表达式即可． 【详解】解：∵函数的图象过原点， ∴当顶点为原点时，二次函数表达式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（21-22九年级上·浙江·期中）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【答案】(1)()； (2)() 【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可； （2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可． 【详解】（1）设与的函数关系式为 ． 时，， 时，， ， 解得， ， 根据部门规定，得． （2） 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 5．（21-22·浙江宁波·期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【答案】(1) (2) (3)24元/千克 【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论； （2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论； （3）令y=480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可． 【详解】（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克， 故答案为：（40+10x）． （2）根据题意得， 整理得 （3）令，代入函数得， 解方程，得， 因为要尽可能地清空库存，所以舍去取 此时荔枝定价为（元/千克） 答：应将价格定为24元/千克． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 题型二.二次函数的识别 6．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）下列各选项中，解析式为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据“形如是函数，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：A、解析式不为二次函数，故本选项不符合题意； B、解析式不为二次函数，故本选项不符合题意； C、解析式不为二次函数，故本选项不符合题意； D、解析式为二次函数，故本选项符合题意； 故选：D 7．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）有下列函数： ①y=5x-4；②；③；④；⑤； 其中属于二次函数的是 （填序号）． 【答案】②④ 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：②y=；④y=﹣1符合二次函数的定义，属于二次函数； ①y=5x﹣4是一次函数，不属于二次函数； ③y=自变量的最高次数是3，不属于二次函数； ⑤y=的右边不是整式，不属于二次函数． 综上所述，其中属于二次函数的是②④． 故答案为：②④． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 8．（九年级上·浙江绍兴·阶段练习）一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，称该函数为偶函数．那么在下列四个函数①；②；③；④中，偶函数是 （填出所有偶函数的序号）． 【答案】④ 【详解】试题分析：设点A的坐标是（a，b），则点A关于y轴对称的对称点B的坐标是（-a，b），并且B也在函数图象上，只要把A、B的坐标代入解析式都满足时才对，根据结果即可选出答案． 设点A的坐标是（a，b）， 则点A关于y轴对称的对称点B的坐标是（-a，b）， 并且B也在函数图象上， 只有④满足b=a2+1同时也满足b=（-a）2+1， 故答案是④ 考点：1．二次函数图象与几何变换；2．一次函数的图象；3．正比例函数的图象；4．反比例函数的图象． 9．（九年级上·浙江·课后作业）已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m. (1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围． (2)若这个函数是一次函数，求m的值． (3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？ 【答案】(1). m≠0且m≠1.(2). m＝0.(3). 不可能 【详解】试题分析：（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案； （2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案； （3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数． 试题解析： (1)∵这个函数是二次函数， ∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0， ∴m≠0且m≠1. (2)∵这个函数是一次函数， ∴∴m＝0. (3)不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2， ∴不可能是正比例函数． 10．（2022九年级上·全国·专题练习）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y＝3x—1； （2） ； （3）  ； （4） ； （5） ； （6） 【答案】（2）（4）是二次函数 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解∶（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1． （2）是二次函数，因为符合二次函数的概念． （3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3． （4）是二次函数，因为符合二次函数的概念． （5）不是二次函数，因为原式整理后为y=－x． （6）不是二次函数，因为x－2为分式，不是整式． 故（2）（4）是二次函数． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（其中a、b、c均为常数，且）的函数关系称为二次函数是解题的关键． 题型三.根据二次函数的定义求参数 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．或 C． D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得，解得：， 故选：． 12．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入计算即可． 【详解】解：由题意得： 把代入得： 等号两边同除以得： 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握代入法转化为关于的关系式是解决本题的关键． 13．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果函数是关于x的二次函数，那么m的值一定是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ，且， ∴， 故答案为：． 14．（19-20九年级上·浙江·阶段练习）已知y关于 x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1. （1）当m为何值时，此函数是一次函数？     （2）当m为何值时，此函数是二次函数？ 【答案】（1）m=-2;（2）m≠﹣2且m≠0 【分析】（1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解. 【详解】（1）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数， ∴m2+2m=0，m≠0，        解得：m=﹣2；            （2））∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数， ∴m2+2m≠0，            解得：m≠﹣2且m≠0． 【点睛】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟知各函数的特点. 15．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． (1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值； (2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可； （2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可． 【详解】（1）解：依题意把点代入解析式， 得，化简得：，解得：； （2）解：设点是函数的一个不动点， 则有，化简得，， 关于的方程有实数解， ，解得：． 【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江台州·期末）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的识别，形如的函数为二次函数，据此即可求解． 【详解】解：由二次函数的定义可知，C为二次函数， 故选：C 2．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）若抛物线经过点，则a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将点P代入函数表达式中，解方程可得a值． 【详解】解：将代入中，得： ， 解得：， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，不是二次函数，不符合题意； B、，是二次函数，符合题意； C、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意； D、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意； 故选B． 4．（九年级上·浙江·课后作业）下列函数关系中，不能看做二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型的是( ) A．圆的半径和其面积的变化关系 B．我国人口年自然增长率x，两年中从12亿增加到y亿的x与y的变化关系 C．掷铅球水平距离与高度的关系 D．面积一定的三角形底边与高的关系 【答案】D 【详解】A、圆的半径和其面积变化关系式为：S=πr2，正确； B、我国人口年自然增长率x，两年中从12亿增加到y亿的x与y的变化关系式为： y=12（1+x）2，即y=12x2+24x+12，符合二次函数的定义，正确； C、因为掷铅球投掷的过程形成的是抛物线，所以其关系式应为y=ax2+bx+c（a≠0），正确； D、面积一定的三角板底边与高的关系为：a=，是反比例函数关系，错误． 故选D． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据形如，，为常数，的函数是二次函数，判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意； B、是一次函数，故此选项不符合题意； C、是反比例函数，故此选项不符合题意； D、是二次函数，故此选项符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 6．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知y关于x的二次函数解析式为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义得，进行计算即可得． 【详解】解：∵y关于x的二次函数解析式为， ∴ 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义，正确计算． 7．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）已知是y关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．0或4 【答案】C 【分析】利用二次函数定义可得：，且，再解即可． 【详解】由题意得：，且， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如(a、b、c是常数，)的函数，叫做二次函数． 8．（2022九年级上·浙江·专题练习）若函数是二次函数，则m的值为（　　） A．0或 B．0或1 C． D．1 【答案】C 【分析】利用二次函数定义可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：或且， 故， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，我们把形如（其中a，b，c是常数，）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 9．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可． 【详解】解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4， ∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16， ∴y=（x+4）2-16=x2+8x， 故选：C． 【点睛】本题考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键． 10．（九年级上·浙江温州·阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，a+b=16，则Rt△ABC的面积S关于边长a的函数关系式为(     )． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题解析： 故选B. 二、填空题 11．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）若关于x的函数是二次函数，则m＝ ． 【答案】2 【分析】根据二次函数的定义得到，解方程求出m即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴， 解得, 故答案为：2 【点睛】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义：函数（，a、b、c为常数）叫二次函数． 12．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数，则二次项系数 ，一次项系数 ． 【答案】 3 -5 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数，一次项系数， 故答案为：3；-5． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 13．（九年级上·浙江杭州·阶段练习）请写出一个y关于x的二次函数，同时符合如下条件：（1）开口向上，（2）经过原点，这个函数解析式可以为： ． 【答案】y=x2． 【详解】试题解析：∵二次函数的图象开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数的图象过原点， ∴c=0． 故解析式满足a＞0，c=0即可， 如y=x2． 考点：二次函数的性质 14．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）在直角平面坐标系中，二次函数（a，b为常数，），当点在函数图象上，则＝ ． 【答案】4 【分析】根据函数的表达式，先求出函数的对称轴，再根据当得出当最后将点代入函数表达，将m和n用a、b表示出来即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴为：， ∵ ∴当即：， 整理得：， 将点代入得： ， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据函数表达式分析函数的对称轴以及最值． 15．（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）圆的半径为x（cm），那么圆的面积y（cm2）可以表示为y＝πx2；存入银行2万元，先存一个一年期，一年后将本息转存为又一个一年期，设年利率均为x，那么两年后共得本息y（万元）可以表示为y＝2（1+x）2；…还可以表示许多不同情境中变量之间的类似这种特殊函数关系，请你再列举一例： ． 【答案】一个圆柱的高等于底面半径，那么它的表面积S与半径r之间的关系式为 【分析】根据给出的实例得出所列解析式为（a≠0，h为任意实数）即可． 【详解】解：答案不唯一： 例：一个圆柱的高等于底面半径，那么它的表面积S与半径r之间的关系式为． 故答案为：一个圆柱的高等于底面半径，那么它的表面积S与半径r之间的关系式为． 【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是特殊二次函数的应用． 16．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，，，，四边形是的内接矩形，如果的长为，矩形的面积为，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，得出，进而根据矩形的面积即可求解． 【详解】，， ． 四边形 是 的内接矩形， ，，， ， ． ，， ∴， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 17．（九年级上·浙江杭州·期末）将二次函数化成的形式为 ． 【答案】 【分析】利用配方法整理即可得解． 【详解】解：， 所以． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：为常数)； (2)顶点式：； (3)交点式(与轴)：． 18．（九年级上·浙江杭州·阶段练习）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym².则y与x之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ； 【答案】， 【分析】根据矩形的面积公式列出关于二次函数解析式；根据墙长、x、y所表示的实际意义来确定x的取值范围． 【详解】由题意得： y＝x•＝−x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25． 故答案是：y＝−x2+20x， 0＜x≤25 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立二次函数模型是解题的关键. 三、解答题 19．（2022九年级上·全国·专题练习）已知函数 是关于x的二次函数，求满足条件的m的值． 【答案】5 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解∶根据题意得∶ ，且， 解得m=5， 即满足条件的m的值为5． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（其中a、b、c均为常数，且）的函数关系称为二次函数是解题的关键． 20．（九年级上·全国·单元测试）一个二次函数y=（k﹣1）x+2x﹣1． （1）求k值． （2）求当x=0.5时y的值？ 【答案】（1）k=2；（2）y= 【分析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2-3k+4=2，且k-1≠0，再解即可； （2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x=0.5代入可得y的值． 【详解】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0， 解得：k=2； （2）把k=2代入y=（k﹣1）+2x﹣1得：y=x2+2x﹣1， 当x=0.5时，y=． 【点睛】此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件． 21．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知函数（m为常数）． (1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． (2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)且． 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：依题意且， 所以； （2）解：依题意， 所以且． 【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 22．（20-21九年级下·全国·课后作业）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）长方体有6个面，然后根据长方形的面积公式即可得到，再去括号整理即可； （2）把（1）中的除以5即可得到． 【详解】解：（1） ； （2）． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据实际问题确定二次函数关系式，建立二次函数的数学模型来解决问题． 23．（22-23九年级·假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (2)不是； (3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (4)不是 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （2），不含二次项，故不是二次函数； （3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （4）中不是整式，故不是二次函数． 【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项． 24．（22-23九年级上·全国·课后作业）已知函数y=（a+1） +（a﹣2）x（a为常数），求a的值： (1)函数为二次函数； (2)函数为一次函数． 【答案】(1)a=1 (2)a=0或﹣1 【分析】（1）直接利用二次函数的定义得出a2+1=2，a+1≠0得出即可； （2）利用一次函数的定义分别求出即可． 【详解】（1）当 时，函数为二次函数， 解得：a=±1，a≠-1， ∴a=1； （2）当 时，函数为一次函数， 解得：a=0， 当a+1=0，即a=﹣1时，函数为一次函数， 所以，当函数为二次函数时，a=1，当函数为一次函数时，a=0或﹣1． 【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 25．（九年级上·浙江·课后作业）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC上一点，F为CD上一点，且AE＝AF.设△AEF的面积为y，CE＝x. (1)求y关于x的函数表达式． (2)当△AEF为正三角形时，求△AEF的面积． 【答案】(1). y＝－x2＋4x. (2). 32－48. 【详解】试题分析：（1）根据AB，CE长度，利用S△AEF=16-S△ABE-S△ADF-S△CE即可解决． （2）根据△AEF为正三角形时得∠BAE=15°，在AB上取一点M使得AM=ME，则∠MAE=∠AEM=15°，所以∠BME=30°，设BE=a，则AM=ME=2a，BM=4-2xa，在RT△MBE利用勾股定理即可求出a，进而得出EC，再利用（1）结论计算． 试题解析： (1)∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD. 又∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)． ∴BE＝DF.∴CE＝CF. ∵CE＝x，AB＝4，∴CF＝x，BE＝DF＝4－x， ∴S△ADF＝S△ABE＝AB·BE＝×4×(4－x)＝8－2x，S△CEF＝CE·CF＝x2， ∴y＝S正方形ABCD－2S△ABE－S△CEF＝42－2(8－2x)－x2＝－x2＋4x. (2)当△AEF为正三角形时，AE＝EF， ∴AE2＝EF2，即16＋(4－x)2＝2x2. 整理，得x2＋8x－32＝0，解得x＝－4±4. 又∵x>0，∴x＝4－4. ∴y＝－x2＋4x＝－×(4－4)2＋4×(4－4)＝32－48，即S△AEF＝32－48. ∴当△AEF为正三角形时，△AEF的面积为32－48. 26．（九年级·全国·课后作业）若函数y=（a-1）xb+1+x2+1是二次函数，试讨论a、b的取值范围. 【答案】①a≠0；②b=0或-1，a取全体实数③当a=1，b为全体实数时，y=x2+1是二次函数 【详解】试题分析：根据二次函数的二次项的次数是2，二次项的系数不等于零，列出相应的不等式和方程，分类讨论，求解即可. 试题解析：①b+1=2， 解得b=1， a-1+1≠0， 解得a≠0； ②b+1≠2，则b≠1， ∴b=0或-1， a取全体实数． ③当a=1，b为全体实数时，y=x2+1是二次函数． $$