6.3 反比例函数与一次函数的综合问题 课件 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

第六章　反比例函数 专题9　反比例函数与一次函数的综合问题 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 专题解读 典例讲练 目录 CONTENTS 数学 九年级上册 BS版 0 1 专题阶段 ◎问题综述 反比例函数与一次函数的综合运用是初中函数知识中最基 础、最核心的内容，是考查数学思想方法、基础知识和基本技 能的重要知识点.这两类函数的综合运用呈现形式丰富，求解方 式灵活，能很好地锻炼和考查思维能力，是历年中考命题的热 点.常见的反比例函数与一次函数分为以下六种类型：图象的共 存问题，图象交点坐标问题，图象交点个数问题，不等式解集 问题，基础面积问题及综合应用问题. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 0 2 典例讲练 类型一　图象共存问题 一次函数 y ＝ ax ＋ a （ a 为常数， a ≠0）与反比例函数 y ＝ （ a 为常数， a ≠0）在同一平面直角坐标系内的图象大致为 （　C　） A B C C D 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】先由反比例函数图象所在象限确定 a 的取值范 围，再确定一次函数的增减性及与 y 轴交点位置是否正确. 【解析】在A，B选项中，由反比例函数图象可知， a ＜0，则一 次函数 y ＝ ax ＋ a 的图象应经过第二、三、四象限，故 A ， B 选 项均错误；在C，D选项中，由反比例函数图象可知， a ＞0，则 一次函数 y ＝ ax ＋ a 应经过第一、二、三象限，故C选项正确， D选项错误.故选C. 【点拨】解答双函数在同一平面直角坐标系中的象限性问题， 宜采用相对判断法. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 在同一平面直角坐标系中，函数 y ＝ kx － k 与 y ＝ （ k ≠0）的大致图象是（　B　） ① ② B ③ ④ A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型二　图象交点坐标问题 已知点 A （ a ， b ）是一次函数 y ＝－ x ＋4和反比例函数 y ＝ 图象的一个交点，则代数式 a2＋ b2的值为 ⁠. 【思路导航】根据点 A （ a ， b ）是一次函数 y ＝－ x ＋4和反比 例函数 y ＝ 图象的一个交点，求出 a ， b 的值，从而求得代数 式 a2＋ b2的值. 14　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】联立解得或 ∵点 A （ a ， b ）是一次函数 y ＝－ x ＋4和反比例函数 y ＝ 图象 的一个交点，∴ A （2＋ ，2－ ）或 A （2－ ，2＋ ）.当 A （2＋ ，2－ ）时， a ＝2＋ ， b ＝2－ ，则 a2＋ b2＝（2＋ ）2＋（2－ ）2＝14；当 A （2－ ，2＋ ）时， a ＝2－ ， b ＝2＋ ，则 a2＋ b2＝（2－ ）2＋ （2＋ ）2＝14.综上所述，代数式 a2＋ b2的值为14.故答案为 14. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】求两函数的交点坐标，把两个函数看成两个方程，则 交点的横、纵坐标就是这个方程组的公共解，所以只需要联立 方程组求解即可. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 已知反比例函数 y ＝ 的图象与一次函数 y ＝2 x ＋1的图象的 一个交点是（1， k ），则反比例函数的表达式是 ⁠. y ＝ 　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 如图，在平面直角坐标系中，△ OAB 的边 OA 在 x 轴正半轴 上，其中∠ OAB ＝90°， AO ＝ AB ，点 C 为斜边 OB 的中点，反 比例函数 y ＝ （ k ＞0， x ＞0）的图象过点 C 且交线段 AB 于点 D ，连接 CD ， OD . 若 S△ OCD ＝ ，则 k 的值为 ⁠. 2　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】设 B （ m ， m ），则 A （ m ，0）.∵点 C 为斜边 OB 的 中点，∴ C . ∵反比例函数 y ＝ （ k ＞0， x ＞0）的图 象过点 C ，∴ k ＝ × ＝ .∵∠ OAB ＝90°，∴点 D 的横坐标 为 m .∵反比例函数 y ＝ （ k ＞0， x ＞0）的图 象过点 D ，∴点 D 的纵坐标为 .如答图， 作 CE ⊥ x 轴于点 E . 答图 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∵ S△ COD ＝ S△ COE ＋ S梯形 ADCE － S△ AOD ＝ S梯形 ADCE ， S△ OCD ＝ ， ∴ （ AD ＋ CE ）· AE ＝ ，即 · ＝ .∴ ＝1.∴ k ＝ ＝2.故答案为2. 答图 答图 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型三　不等式解集问题 如图，一次函数 y1＝－ x ＋4与反比例函数 y2＝ 的图象交于 A ， B 两点.若 y1＜ y2，则自变量 x 的取值范围是 ⁠ ⁠. 0＜ x ＜1或 x ＞ 3　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】先求出两个函数的图象的交点坐标，再根据图 象，找出一次函数的图象在反比例函数的图象下方的 x 的取值范 围即可. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】联立方程组解得或 ∴ A （1，3）， B （3，1）.根据图象可知， 当0＜ x ＜1或 x ＞3时，一次函数的图象在反比例函数图象的下 方，此时 y1＜ y2.故答案为0＜ x ＜1或 x ＞3. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】解答本题的关键是联立两个函数构建方程组，求出交 点的坐标，然后利用数形结合法确定自变量的取值范围. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 已知一次函数 y1＝ kx ＋ b （ k ＜0）与反比例函数 y2＝ （ m ≠0）的图象相交于 A ， B 两点，其横坐标分别是－1和3.当 y1＞ y2时，则 x 的取值范围是（　A　） A. x ＜－1或0＜ x ＜3 B. －1＜ x ＜0或0＜ x ＜3 C. －1＜ x ＜0或 x ＞3 D. 0＜ x ＜3 A 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 如图，一次函数 y ＝ kx ＋ b 与反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图 象交于 A （ m ，6）， B （3， n ）两点.根据图象可知，当 kx ＋ b － ＜0时，则 x 的取值范围是 ⁠. 0＜ x ＜1或 x ＞3　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型四　基础面积问题 如图，已知一次函数 y ＝ ax ＋ b （ a ≠0）的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 A （－1，0）， B ，且 OB ＝2 OA . 直线 AB 与反 比例函数 y ＝ （ k ≠0， x ＜0）的图象交于点 C （－3， n ）. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）在该反比例函数图象上存在点 D ，且点 D 到 x 轴的距离为 2，连接 AD ，直线 CD 交 x 轴于点 E ，求△ ACD 的面积. 【思路导航】（1）先求得点 B 的坐标，然后求得直线 AB 的函 数表达式，进而求得点 C 的坐标，代入 y ＝ 中，即可求得反比 例函数的表达式；（2）求得点 D 的坐标，从而求得直线 CD 的 表达式，进一步求得点 E 的坐标，然后根据 ＝ S△ ACE － S△ ADE 求解. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：（1）∵ A （－1，0），∴ OA ＝1.又∵ OB ＝2 OA ＝2， ∴ B （0，－2）.将点 A （－1，0）， B （0，－2）分别代入 y ＝ ax ＋ b 中，得 解得∴一次函数的表达式为 y ＝－2 x －2. 将 C （－3， n ）代入 y ＝－2 x －2中， 得 n ＝－2×（－3）－2＝4.∴ C （－3，4）. 将 C （－3，4）代入 y ＝ 中，得4＝ . ∴ k ＝－12.∴该反比例函数的表达式为 y ＝－ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）∵点 D 到 x 轴的距离为2，∴ yD ＝2. ∵点 D 在函数 y ＝－ 的图象上，∴ xD ＝－ ＝－6. ∴ D （－6，2）.可得直线 CD 的函数表达式为 y ＝ x ＋6. ∵直线 CD 交 x 轴于点 E ，∴ E （－9，0）. ∴ AE ＝8. ∴ S△ ACD ＝ S△ ACE － S△ ADE ＝ AE · yC － AE · yD ＝ ×8×4－ ×8×2＝8. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】本题是反比例函数和一次函数的综合问题，在求解三 角形面积时，利用割补思想将其转化为两个三角形的面积差是 解题的关键. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，Rt△ OAB 的直 角边 OB 在 x 轴的正半轴上，点 A 的坐标为（6，4），斜边 OA 的 中点 D 在反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上， AB 交该图象于 点 C ，连接 OC . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）求 k 的值； 解：（1）∵点 A 的坐标为（6，4），点 D 为 OA 的中点， ∴点 D 的坐标为（3，2）. ∵点 D 在反比例函数 y ＝ 的图象上， ∴ k ＝3×2＝6. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）求△ OAC 的面积. 解：（2）由题意，得点 C 的横坐标为6， ∴点 C 的纵坐标为 ＝1. ∴ AC ＝4－1＝3. ∴△ OAC 的面积＝ ×3×6＝9. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型五　综合应用问题 如图，在平面直角坐标系中，已知点 M 为 x 轴正半轴上一 点，过点 M 的直线 l ∥ y 轴，且直线 l 分别与反比例函数 y ＝ （ x ＞0）和 y ＝ （ x ＞0）的图象交于 P ， Q 两点， S△ POQ ＝14. （1）求 k 的值； （2）当∠ QOM ＝45°时，求直线 OQ 的函数表 达式； （3）在（2）的条件下，若 x 轴上有一点 N ，使 得△ NOQ 为等腰三角形，请直接写出所有满足 条件的点 N 的坐标. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】（1）由 S△ POQ ＝ S△ POM ＋ S△ MOQ ，结合反比例函 数中 k 的几何意义列式即可求得 k 的值；（2）由题意可得 MO ＝ MQ ，设点 Q （ a ，－ a ），再利用待定系数法即可解答；（3） 先求出点 Q 的坐标和 OQ 的长，然后分三种情况：① OQ ＝ ON ，② QO ＝ QN ，③ NO ＝ NQ 进行解答. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：（1）∵ S△ POQ ＝ S△ POM ＋ S△ QOM ＝14， S△ POM ＝ ×8＝4， S△ QOM ＝ ｜ k ｜， ∴4＋ ｜ k ｜＝14. 解得｜ k ｜＝20. 又∵ k ＜0，∴ k ＝－20. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）∵∠ QOM ＝45°， l ∥ y 轴， ∴∠ QOM ＝∠ OQM ＝45°.∴ MO ＝ MQ . 设点 Q （ a ，－ a ），直线 OQ 的函数表达式为 y ＝ mx . 把点 Q 的坐标代入，得－ a ＝ ma . 解得 m ＝－1. ∴直线 OQ 的函数表达式为 y ＝－ x . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （3）∵点 Q （ a ，－ a ）在反比例函数 y ＝－ 的图象上， ∴－ a2＝－20.解得 a ＝2 （负值舍去）. ∴点 Q 的坐标为（2 ，－2 ）， 则 OQ ＝ ＝2 . 若△ NOQ 为等腰三角形，可分以下三种情况： ①若 OQ ＝ ON ＝2 ，则点 N 的坐标为（2 ，0）或（－2 ，0）；②若 QO ＝ QN ，则点 N 在 x 轴的正半轴上， 且 NO ＝2 OM ＝4 ，∴点 N 的坐标为（4 ，0）； 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ③若 NO ＝ NQ ，此时点 N 与点 M 重合. ∴点 N 的坐标为（2 ，0）. 综上所述，满足条件的点 N 的坐标为 （2 ，0）或（2 ，0）或（－2 ，0） 或（4 ，0）. 【点拨】本题主要考查反比例函数中系数 k 的几何意义、等腰三 角形的性质、勾股定理以及两点间的距离等知识，具有一定的 综合性，熟练掌握相关知识是解题的关键. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是平行四边形， AD ＝6.若 OA ， OB 的长是关于 x 的一元二次方程 x2－7 x ＋12＝0的 两个根，且 OA ＞ OB . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）求 OA ， OB 的长. 解：（1）解方程 x2－7 x ＋12 ＝0，得 x1＝3， x2＝4. ∵ OA ， OB 的长是关于 x 的一元二次方程 x2－ 7 x ＋12＝0的两个根，且 OA ＞ OB ， ∴ OA ＝4， OB ＝3. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）若点 E 为 x 轴正半轴上的点，且 S△ AOE ＝ ，求经过 D ， E 两点的直线的函数表达式及经过点 D 的反比例函数的表达式， 并判断△ AOD 与△ AOE 是否相似. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：（2）如图1，设 E （ x ＞0）， 则 S△ AOE ＝ OA · x ＝ ×4 x ＝ ，解得 x ＝ . ∴ E .∵四边形 ABCD 是平行四边形， AD ＝6， OA ＝4，∴点 D 的坐标是 . 设经过 D ， E 两点的直线的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b . 把点 E ， D 的坐标代入，得解得 图1 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∴经过 D ， E 两点的直线的函数表达式为 y ＝ x － . 设经过点 D 的反比例函数的表达式为 y ＝ . 把点 D 代入，得 m ＝24. ∴经过点 D 的反比例函数的表达式为 y ＝ . 在△ DAO 与△ AOE 中， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ∴ ＝ .又∵∠ OAD ＝∠ AOE ＝90°， ∴△ DAO ∽△ AOE . 图1 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （3）若点 M 在平面直角坐标系内，则在直线 AB 上是否存在点 F ，使得以 A ， C ， F ， M 为顶点且 AC ， AF 为邻边的四边形为 菱形？若存在，写出点 F 的坐标；若不存在，说明理由. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：（3）存在.如图2，连接 AC ，易知 OB ＝ OC ＝3. ∵ OA ＝4，∴ AC ＝5. ∵ AO ⊥ BC ， 易知 AO 平分∠ BAC . 分两种情况考虑： ① AC ， AF 是邻边，点 F 在射线 AB 上时， AF ＝ AC ＝5，∴点 F 与点 B 重合，此时点 F 的坐 标为 ； 图2 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ② AC ， AF 是邻边，点 F 在射线 BA 上时， AF ＝ AC ＝5，点 M 应在直线 AD 上， 且 FC 垂直平分 AM . 又∵ A ， D ， C ，∴ FC ＝8， xF ＝ xC ＝3.∴此时点 F 的坐标为 . 综上所述，满足条件的点 F 存在， 点 F 的坐标为（－3，0）或 . 图2 数学 九年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$