第7课　一元二次方程的解法及应用 课件 2024年中考数学专题突破

第二章　 方程与不等式 第7课　一元二次方程的解法及应用 记忆导图 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 知识点 课标要求 广州市数学近三年命题分析 题型 一元二次方程根的判别式 掌握 2021年中考卷第14题(3分) 2022年中考卷第21题(5分) 2023年中考卷第10题(3分) 选择、填空、解答题 解一元二次方程 掌握 2021年中考卷第12题(3分) 2023年中考卷第17题(4分) 填空、解答题 课标解读 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 记忆导图 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 知识梳理 1.定义：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程. 2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 3.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.方程的判别式Δ＝ 　 　，当Δ　 　时，方程有两个实数根； 当Δ　 　时，方程无实数根.  　＜0　 　≥0　 　b2－4ac　 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 点对点练习 　　　　　 　　　　 　　　　 1.下列方程是关于x的一元二次方程的是( ) A.x2＋＝0 B.(x＋1)(x－2)＝1 C.ax2＋bx＋c＝0 D.2x(x－1)＝2x2＋3 B 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 2.关于x的一元二次方程3x2＝2x－1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A.3，－2，－1 B.3，2，－1 C.－3，－2，1 D.3，－2，1 3.关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值为( ) A.1 B.－1 C.1或－1 D. B D 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 知识梳理 1.直接开平方法：对于形如(x－h)2＝k(k≥0)的方程，两边开平方，得到方程的解为x＝h±. 2.配方法：①把一元二次方程化成一般形式；②把二次项系数化为1；③把常数项移到等号右边；④两边都加上一次项系数一半的平方；⑤把左边写成平方形式；⑥两边开平方降次为两个一元一次方程，求出两个实数根. 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 3.公式法：①把一元二次方程化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；②把系数a，b，c代入公式x＝(当b2－4ac≥0时)；③在②中计算右边代数式的值，即得ax2＋bx＋c＝0的两个实数根. 4.因式分解法：①先把一元二次方程化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；②再把ax2＋bx＋c分解为两个一次因式的积；③最后使每一个一次因式为0，降次为两个一元一次方程，求出两个根. 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 点对点练习 　　　　　 　　　　 　　　　 4.解方程：(x－1)2＝9. 解：两边开方，得x－1＝±3. 解得x1＝4，x2＝－2.     夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 5.解方程：2x2＋3x－1＝0. 解：由方程，得a＝2，b＝3，c＝－1. ∵Δ＝32－4×2×(－1)＝17＞0， ∴x＝. ∴x1＝. 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 6.解方程：x(x－2)＝x－2. 解：∵x(x－2)－(x－2)＝0， ∴(x－2)(x－1)＝0. ∴x－2＝0或x－1＝0. ∴x1＝2，x2＝1. 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 知识梳理 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)： (1)Δ＝b2－4ac＞0⇔ax2＋bx＋c＝0有 　 　；  (2)Δ＝b2－4ac＝0⇔ax2＋bx＋c＝0有 　 　；  (3)Δ＝b2－4ac＜0⇔ax2＋bx＋c＝0　 　.  　无实数根　 　两个相等的实数根x1，x2，即x1＝x2　 　两个不相等的实数根x1，x2，即x1≠x2　 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 点对点练习 　　　　　 　　　　 　　　　 7.已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2mx＋m＋3＝0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)当m取最大整数时，求方程的根. 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 解：(1)根据题意，得 解得m＜6且m≠2. (2)∵满足条件的m的最大整数为5， ∴原方程化为3x2＋10x＋8＝0. ∴(3x＋4)(x＋2)＝0. 解得x1＝，x2＝－2. 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 知识梳理 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1和x2，则： x1＋x2＝；　x1·x2＝. 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 点对点练习 　　　　　 　　　　 　　　　 8.已知方程x2＋5x＋1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x12＋＝ 　 　.  　23　 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 知识梳理 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 1.审：通过审题，分析已知量和未知量； 2.设：设出能够表示题意的一个未知量； 3.列：根据相等关系列出相应的等式，从而列出方程； 4.解：解这个方程，求出未知数的值； 5.检：检验是否符合实际情况； 6.答：在对求出的方程的解作出是否合理判断的基础上，写出答案. 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 点对点练习 　　　　　 　　　　 　　　　 9.某市楼盘原准备以每平方米5 000元的均价对外销售，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050元的均价开盘销售.若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率. 解：设平均每次下调的百分率为x. 根据题意，得5 000(1－x)2＝4 050， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去). 答：平均每次下调的百分率为10%. 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 【例1】(2022·广东)若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，则a＝　 　.  分析：根据一元二次方程的解的定义代入求值即可. 　1　 中考演练 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 【变式1】若x＝－1是关于x的一元二次方程ax2＋bx－1＝0的一个根，则2b－2a的值是( ) 　A.－1 B.－2 　C.1 D.2 B 中考演练 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 【例2】若关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2. (1)求k的取值范围； (2)若＝－1，求k的值. 中考演练 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 解：(1)由题意知Δ＝(2k＋3)2－4k2＞0. 解得k＞. (2)由题意，得x1＋x2＝－2k－3，x1x2＝k2. ∴＝－1. 解得k1＝3，k2＝－1.经检验，k1＝3，k2＝－1都是原分式方程的解.又∵k＞，∴k＝3. 分析：(2)方程有两个实数根x1和x2，则x1＋x2＝，x1·x2＝.即可求解. 中考演练 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； (2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值及该方程的根. 中考演练 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 解：(1)依题意，得 Δ＝2×2－4×1×(2k－4)＞0.解得k＜. (2)∵k＜且k为正整数，∴k＝1或2. 当k＝1时，方程为x2＋2x－2＝0， 此方程无整数根； 当k＝2时，方程为x2＋2x＝0， 解得，x1＝0，x2＝－2. ∴k＝2，方程的根为x1＝0，x2＝－2. 中考演练 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 【例3】梭梭树因其顽强的生命力和防风固沙的作用，被称为“沙漠植被之王”.新疆北部某沙漠2021年有16万亩梭梭树，经过两年的人工种植和自然繁殖，2023年达到25万亩. (1)求这两年的年平均增长率； (2)估计2024年该沙漠梭梭树的面积. 中考演练 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 解：(1)设这两年的平均增长率为x. 根据题意，得16(1＋x)2＝25. 解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不符合题意，舍去). 答：这两年的平均增长率为25%. (2)根据题意，得 25×(1＋25%)＝31.25(万亩). 答：估计2024年该沙漠梭梭树的面积为31.25万亩. 中考演练 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 【变式3】(2023·白云二模)我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增加到12.1万人. (1)求这两个月游客人数的月平均增长率. (2)若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？ (2)若平均增长率不变，预计6月份的游客人数是13.31万人. 解：(1)这两个月游客人数的月平均增长率为10%； 中考演练 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 A组基础 1.用配方法解方程x2－2x＝2时，配方后正确的是( ) A.(x＋1)2＝3 B.(x＋1)2＝6 C.(x－1)2＝3 D.(x－1)2＝6 2.若16m＋2＜0，则关于x的方程mx2－(2m＋1)x＋m－1＝0的根的情况是( ) A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 A C 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 A.(60－x)(40－2x)＝2 128 B.(60－2x)(40－x)＝2 128 C.2 400－140x＝2 128 D.2 400－100x＋2x2＝2 128 　 (第3题) 3.王师傅家在油菜花观赏区承包了一块长为60 m，宽为40 m的矩形土地用于种植油菜，如图是土地的规划图，阴影部分为小路(小路的宽度相同).已知王师傅实际种植油菜花的面积是2 128 m2，则小路的宽度为多少米？设小路的宽度为x m，则根据题意，列方程为 ( ) B 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 4.《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺，根据题意，可列方程为( ) A.(x＋6)2＋x2＝102　 B.(x－6)2＋x2＝102 C.(x＋6)2－x2＝102　 D.62＋x2＝102 A 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 5.(2022·海珠模拟)已知T＝. (1)化简T； (2)若a，b是方程x2－7x＋5＝0的两个根，求T的值. 解：(1)T＝ (2)∵a，b是方程x2－7x＋5＝0的两个根，∴a＋b＝7. ∴T＝. 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 6.冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，冰墩墩造型的玩偶非常畅销.某超市经销一种冰墩墩造型玩偶，每件成本为60元.经市场调研，当该玩偶每件的销售价为70元时，每个月可销售300件，若每件的销售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件. (1)若该超市某月销售这种造型玩偶200件，求这个月每件玩偶的销售价； (2)若该超市某月销售这种造型玩偶共获得利润4 000元，求这个月每件玩偶的销售价. 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 解：(1)设这个月每件玩偶的售价为x元. 根据题意，得300－10(x－70)＝200.解得x＝80. 答：这个月每件玩偶的销售价为80元. (2)根据题意，得(x－60)[300－10(x－70)]＝4 000. 整理，得x2－160x＋6 400＝0.解得x1＝x2＝80. 答：这个月每件玩偶的销售价为80元. 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 B组提升 7.一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个根为x1，x2，则 x12＋3x2＋x1x2－2的值是 ( ) A.10 B.9 C.8 D.7 8.(2023·天河二模)若关于x的一元二次方程ax2－x＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则点P(a＋1，－a－3)在第　 　象限.  　四　 D 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 C组培优 9.(2022·广东模拟)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0. (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与 都为整数，求k所有可能的值. ( 1 )证明：∵Δ＝[－(2k＋1)]2－4×(k2＋k)＝1＞0， ∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根. 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 (2)解：∵x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0， 即(x－k)[x－(k＋1)]＝0. 解得x＝k或x＝k＋1. ∴. 如果1＋为整数，则k为1的因数. ∴k＝±1. 如果1 为整数，则k＋1为1的因数. ∴k＋1＝±1.∴k为0或－2. ∴整数k的所有可能的值为±1，0或－2. 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 $$