决胜2024年中考数学解答题：一次函数与实际问题4大考点汇总与跟踪训练

决胜2024年中考数学解答题：一次函数与实际问题4大考点汇总与跟踪训练 4大考点汇总 考点1：分配方案问题 考点2：最大利润问题 考点3：行程问题 考点4：几何问题 6大考点跟踪训练 考点1：分配方案问题 1．甲、乙两个绿化队共同承担两个荒地的绿化任务，在工期内，甲、乙两个绿化队分别可以绿化30万平方米和70万平方米，两个荒地需要绿化的面积分别为60万平方米与40万平方米，且两个绿化队在两个荒地完成1万平方米的绿化任务的成本如下：设甲绿化队在荒地绿化 万平方米 完成这两个荒地共需总成本万元． 荒地完成1万平方米绿化的成本 荒地完成1万平方米绿化的成本 甲绿化队 90元 70元 乙绿化队 60元 50元 (1)求与的函数关系式； (2)是否能等于 6500万元，请说明理由； (3)若在施工过程中，甲绿化队在 荒地绿化1万平方米的成本减小元，但仍高于甲绿化队在荒地绿化1万平方米成本，求如何分配绿化任务，使总成本最小． 2．为调动实习员工工作的积极性，某公司出台了两种工资方案，实习员工任选其中一种方案与公司签订合同．方案一：月工资y（单位：元）与生产的产品数量x（单位：件）的函数关系如图所示；方案二：每生产一件产品可得25元． (1)选择了工资方案一的实习员工甲，第一个月生产了60件产品，他该月得到的工资是多少元？ (2)某月实习员工乙发现，他选择方案一比选择方案二月工资多450元，求乙员工该月生产产品的数量． 3．今年元宵节期间，20余万名游客欢聚南京夫子庙观灯，景区内某知名小吃店计划购买甲、乙两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买甲种食材和乙种食材共需49元，购买甲种和乙种食材共需53元． (1)求甲、乙两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共，其中甲种食材的质量不少于乙种食材的3倍，当甲，乙两种食材分别购买多少时，总费用最少？并求出最小总费用． 4．国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下： 甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费） 乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费（不足一小时按一小时计费）． 根据以上信息，解决下列问题： (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数关系式； (2)请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算． 考点2：最大利润问题 5．中华优秀传统文化源远流长,是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用720元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买6本． (1)求两种图书的单价分别为多少元； (2)为筹备“国际数学节 3月14日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大,书店打折优惠，两种图书均按九折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少． 6．“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在端午节来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒定价为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为P盒． (1)当时，P等于______； (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？ 7．2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进2个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要100元；购进3个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要90元． (1)分别求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； (2)该销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为40元，每个“天宫”模型的售价为30元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ 8．景德镇被誉为“千年瓷都”，据统计，2024年五一假期累计接待游客523万人次．这里不仅有享誉世界的陶瓷，更有种类繁多的特色小吃．“饺子”、“冷粉”摊位前排满了游客．若购买冷粉4份，饺子粑2份需要48元；购买冷粉2份，饺子粑4份需要54元． (1)求冷粉，饺子粑每份售价分别多少元？ (2)据调查，某商家制作一份冷粉需要成本4元，一份饺子成本6元．该商家结合市场需求，某天可售卖冷粉和饺子粑共1000份，且冷粉的数量至少为饺子粑的3倍．若商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是多少？ 考点3：行程问题 9．小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小红同学骑自行车的速度为 千米/小时； (2)当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式； (3)当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离． 10．、两地相距米．甲、乙两机器人分别从、两地同时出发，匀速而行，去往目的地，．图中，分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系． (1)求所在直线的函数表达式． (2)当甲机器人到达目的地时，求此时乙机器人行走的距离． 11．已知学校、文具店、图书馆依次在同一条直线上，学校离图书馆，文具店离图书馆．某天小华步行从学校出发去图书馆，当他匀速走了后，想起要去买彩笔，于是按原路匀速返回，走了到达刚经过的文具店，在文具店停留了，买彩笔后，匀速走了到达图书馆．下面图中表示时间，表示离图书馆的距离，图像反映了这个过程中小华离图书馆的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： 小华离开学校的时间 6 10 20 26 小华离图书馆的距离 1850 1800 (1)①填表： ， ． ②填空：学校到文具店的距离为 ，小华从文具店出发到图书馆的速度为 ． ③当时，请求出小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式． (2)有同学小强与小华同时从学校出发去图书馆，小强匀速走了到达图书馆，那么小强去图书馆的途中遇到小华时离图书馆的距离是多少？（直接写出结果） 12．共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元； (2)当时，写出的函数关系式为________； (3)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？ 考点4：几何问题 13．如图，在矩形中 ，和交于点O，，点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿折线D→C→A 方向运动，到达A点停止运动，设运动时间为t 秒，的面积为y．    (1)请直接写出y 关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y 的图象，并写出函数y的一条性质；    (3)结合函数图象，写出时，自变量t的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过）． 14．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式； (2)若为直线上一动点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在直线上是否存在动点，便得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 15．如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，两个一次函数的图象相交于点． (1)求，的解析式； (2)若直线上存在一点，使，求符合条件的点的坐标； (3)若点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．综合运用 (1)如图1，，顶点在直线上，过点作于点，过点作于点，当时，判断线段与的数量关系（直接写出结果，不要求写解答过程） (2)如图2，直线与坐标轴交于点，，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数解析式． (3)如图3，四边形为长方形，其中为坐标原点，点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，是线段上的动点，是直线上的动点且在第四象限，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)不能等于6500万元， 理由见解析 (3)分配方案见解析 【分析】（1）设甲绿化队在 荒地绿化万平方米，则甲绿化队在荒地绿化万平方米，乙绿化队在荒地绿化万平方米，乙绿化队在 荒地绿化万平方米，根据题意，求出表达式即可得到答案； （2）假设，代入函数关系式，解方程得到，由即可判断； （3）由题意，的东岸总成本与 荒地绿化面积的函数关系，讨论一次项系数的正负，利用一次函数增减性分析求解即可得到问题． 【详解】（1）解：设甲绿化队在 荒地绿化万平方米，则甲绿化队在荒地绿化万平方米，乙绿化队在荒地绿化万平方米，乙绿化队在 荒地绿化万平方米， 由题意得， ∴与的函数关系式为∶； （2）解：不能等于6500万元， 理由如下∶ 当时，， 解得， ∵， ∴不符合题意， ∴不能等于6500万元； （3）解：由题意得， ∵，解得， ∴， ①当时，则， ∴随的增大而增大， ∴时，有最小值， 此时，甲绿化队在 荒地绿化10万平方米，则甲绿化队在荒地绿化20万平方米，乙绿化队在荒地绿化50万平方米，乙绿化队在 荒地绿化20万平方米； ②当时，则， ∴随的增大而减小， ∴时，有最小值， 此时，甲绿化队在 荒地绿化20万平方米，则甲绿化队在荒地绿化10万平方米，乙绿化队在荒地绿化40万平方米，乙绿化队在 荒地绿化30万平方米； ③当时，总成本与分配绿化任务无关，均是6200万元． 【点睛】本题考查一次函数解实际应用题，涉及待定系数法确定函数关系式、解一元一次方程、一次函数增减性求最值等知识，读懂题意，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． 2．(1)1800元 (2)70个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确求出解析式是解题关键． （1）由待定系数法求出方案一中，当时，月工资y(元)与生产产品(件)的关系式为，根据代入即可解决问题； （2）根据选择方案一比选择方案二月工资多450元，列出一元一次方程，解方程即可 【详解】（1）设当时，月工资y（元）与生产的产品数量x（件）的关系式为， 由图象知点，， 代入得：， 解得：， 月工资y（元）与生产的产品数量x（件）的关系式为， 当时 ， 答：他该月得到的工资是1800元． （2）解：由题意可知，当时，不满足题意； 当时，， 解得：， 所以该实习员工生产产品的件数为70件． 3．(1)甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克． (2)甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式得应用； （1）设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，根据题意列二元一次方程组即可； （2）设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质求解即可 【详解】（1）设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，由题意可得： 解得 答：甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克． （2）设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元． 由题意得：． ∴ w随m的增大而增大． 又， ∴． ∴ 当时，w有最小值为（元）． 答：甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元． 4．(1)， (2)当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算 【分析】此题考查了一次函数的综合运用，解题关键是用待定系数法求出一次函数的解析式． （1）根据两家公司的费用计算方法求解即可； （2）结合两个一次函数解析式，分为三种情况：，，，分别求出对应x的值可判断哪个方案合算． 【详解】（1）解：根据题意，， 当时，， ∴，； （2）解：时，，选择乙公司比较合算， 时，，选择乙公司比较合算， 时，，选择乙公司比较合算； 当时， 当时，， 解得， 此时选择甲乙公司一样合算； 当时，且， 解得， 此时选择乙公司合算； 当时，， 解得， 此时选择甲公司合算； ∴当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算． 5．(1)《孙子算经》30元，《周髀算经》40元； (2)《孙子算经》106本，《周髀算经》54本，最少4806元． 【分析】（1）设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元，利用数量总价单价，结合用720元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买6本，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出《周髀算经》的单价，再将其代入中，即可求出《孙子算经》的单价； （2）设购买本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购买这两种图书共花费元，利用总费用单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元； （2）解：设购买本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》， 根据题意得：， 解得：． 设购买这两种图书共花费元，则， ， ， 随的增大而减小， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时． 答：当购买106本《孙子算经》、54本《周髀算经》时，总费用最少． 6．(1)400； (2)当时，取最大值，最大值为8750元； (3)小红错误，理由见详解． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，可以得到与之间的函数关系式，把代入解析式计算即可； （2）根据每盒利润销售盒数总利润可得关于的关系式，由二次函数性质可得答案； （3）根据题意，在正确的的范围中求出日销售额的最大值，判断小强是否正确，根据题意列出不等式，结合的范围求出不等式的解集，判断小红是否正确． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即每天的销售量（盒与每盒售价（元之间的函数关系式是， 当时，， 故答案为：400． （2）解：由题意可得， ， 由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒， ， 即，解得． 当时，取得最大值，此时， 答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润（元最大，最大利润是8750元； （3）解：小强：， 设日销售额为元， ， 当时，值最大，此时， 当时，值最大，此时， 小强正确． 小红：当日销售利润不低于8000元时， 即， ，解得：， ， 当日销售利润不低于8000元时，． 故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，． 7．(1)每个“神舟”模型的进货价格为20元，每个“天宫”模型的进货价格为15元 (2)当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为1665元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用、不等式的应用和一次函数的应用． （1）设每个“神舟”模型的进货价格为元，每个“天宫”模型的进货价格为元，根据题意，列出二元一次方程组求解即可； （2）设购进个“神舟”模型，个“天宫”模型时，销售这批模型的利润为元，用表示，再根据题意求出的取值范围，最后求最值即可． 【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进货价格为元，每个“天宫”模型的进货价格为元 由题意得，，解得， 每个“神舟”模型的进货价格为20元，每个“天宫”模型的进货价格为15元； （2）设购进个“神舟”模型，个“天宫”模型时，销售这批模型的利润为元， 由题意得， ，解得， 随的增大而增大 由题意知，取整数 当时，取得最大值，为 当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为1665元． 8．(1)冷粉每份售价是7元，饺子粑每份售价是10元 (2)商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润为3250元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用： （1）设冷粉，饺子粑每份售价分别是x元和y元，则购买冷粉4份，饺子粑2份需要48元；购买冷粉2份，饺子粑4份需要54元，列出方程组，即可求解； （2）设售卖冷粉m份，则售卖饺子粑份，根据某天可售卖冷粉和饺子粑共1000份，且冷粉的数量至少为饺子粑的3倍，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设总利润为w元，利用总利润=销售利润×销售数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设冷粉，饺子粑每份售价分别是x元和y元，根据题意得， ， 解得， 答：冷粉每份售价是7元，饺子粑每份售价是10元 （2）解：设售卖冷粉m份，则售卖饺子粑份，根据题意得， ， ∴； 又 ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的最大值为（元） 答：商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润为3250元 9．(1) (2) (3)千米 【分析】本题考查一次函数的应用，理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式时解题的关键． （1）根据：速度=路程/时间，计算即可． （2）利用待定系数法求解即可． （3）根据：速度=路程/时间，解出小红距甲地距离与之间的函数关系式，当小红到达乙地时，，代入求出相对应的值，将的值代入，可得，即为小明距离甲地的距离，在根据：小明距离乙地的距离＝甲乙两地的距离－小明距离甲地的距离，计算即可． 【详解】（1）由图象可知，小红同学在小时内骑了千米， 故其骑自行车的速度为（千米/小时）， 故答案为． （2）当时，设小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 点和在直线上，代入到中， 可得， 解得， ∴当时，小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为． （3）设小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 小红同学骑自行车的速度为千米/小时，且点在直线上， ∴， 故小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为：， 当小红到达乙地时，，代入解得：， 解得：， 将带入到中， 解得：， 故（千米）， ∴当小红到达乙地时，小明距乙地的距离为千米． 10．(1) (2)米 【分析】本题主要考查一次函数与行程问题的综合，掌握一次函数图象的性质，行程问题中的数量关系是解题的关键． （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）根据题意，把代入（1）中解析式即可求解． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 直线过点，， ， 解得， 所在直线的表达式为； （2）解：当时，，（米）， 答：此时乙机器人行走的距离为米． 11．(1)①1550；1800；②500；100；③ (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意、从图像中获得所需信息是解题的关键． （1）①首先求得小华前12分钟的速度，然后计算10分钟时，小华离图书馆的距离即可；由图像可知，26分钟时小华位于文具店，即可获得答案；②利用学校与图书馆距离减去文具店到图书馆的距离，即可求得学校到文具店的距离；利用文具店到图书馆的距离除以行走时间，即可获得答案；③当时，，根据图像中的点、，代入计算求出解析式即可； （2）首先确定两人途中相遇应在12分钟至20分钟之间，根据此阶段两人到图书馆的距离与时间的关系式，计算求出答案即可． 【详解】（1）解：①根据题意，小华前12分钟的速度为， ∴10分钟时，小华离图书馆的距离为，即， 由图像得：26分钟时小华位于文具店，离图书馆的距离为，即， 故答案为：1550；1800； ②学校到文具店的距离为， 小华从文具店出发到图书馆的速度为， 故答案为：500；100； ③当时，由图像得点、， 设小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式为， 将点、代入得：， 解得：， ∴当时，小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式为； （2）解：根据题意，小强行走的速度为， 由（1）得：小华前12分钟的速度为， ∴前12分钟，小华行走速度小强行走速度， 到20分钟时，小强离图书馆的距离为， ∴两人途中相遇应在12分钟至20分钟之间， 设小强离图书馆的距离关于时间的函数解析式为， 将点，代入，得：， 解得：， ∴小强离图书馆的距离关于时间的函数解析式为， 两人途中相遇时，则，即， 解得：， ∴两人途中相遇时离图书馆的距离为． 答：小强去图书馆的途中遇到小华时离图书馆的距离是． 12．(1) (2) (3)小明选择品牌共享电动车更省钱，可以省元 【分析】本题主要考查一次函数的实际运用，理解一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）根据一次函数图象可得骑行10分钟后的路程和费用，由此即可求解； （2）根据的图象，运用待定系数法即可求解； （3）分别算出两种品牌的费用进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，（元），（）， ∴（元/）， 故答案为； （2）解：设时，，且函数图象过， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：； （3）解：， ∴， 设品牌的费用为，且图象过， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，品牌的费用为（元）， 品牌的费用为（元）， ∵，且（元）， ∴小明选择品牌的共享电动车更省钱，可以省元． 13．(1) (2)图见解析，当时，y随t的增大而增大；当时，y随t的增大而减小 (3)自变量 t 的取值范围为 【分析】本题考查矩形的性质、一次函数的图象与性质： （1）分、两种情况，根据矩形性质和和三角形的面积公式求解即； （2）根据（1）中表达式画出函数图象，根据图象写出函数的性质即可； （3）先求得时对应的自变量值，结合图象求解即可． 理解动点问题是解答的关键． 【详解】（1）四边形是矩形，且，， ，， 在中，，， ， 当时， ， 当时， 如图：过点作于，   ， ，即：， 解得：， ， 综上所述：． （2）如图所示：    当 时，y随t的增大而增大； 当 时，y随t的增大而减小． （3）由图得： 当时， ，即：， ，即：， 时，自变量t的取值范围． 14．(1)直线的解析式为：； (2)点的坐标或； (3)存在，点的坐标为，，理由见详解． 【分析】（1）根据直线，点的坐标分别求出点的坐标，由此即可求解； （2）根据题意分别算出的坐标，算出的面积，再算出的面积，设，根据，即可求解； （3）根据题意可得，图形结合，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交点， ∴令时，；令时，； ∴，， ∴，则， ∵点是直线与线段的交点， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：； （2）解：由（1）可知直线的解析式为：， 令时，，则， ∵，，， ∴， ∴， ∵点为直线上一动点，且直线的解析式为， ∴设，如图所示，连接， ∴， ， 当点在轴右边时，，， ∴， 解得，， ∴； 当点在轴左边时，， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标或； （3）解：存在，点的坐标为，，理由如下， 已知，， ∴直线的解析式为：， ∴，，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴若，则， 第一种情况，如图所示，连接交于点， ∵，， ∴是等腰三角形，，， ∵是的外角，即， ∴点即为所求点的位置， 设直线的解析式为，，， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 联立直线与直线的解析式， ∴， 解得，， ∴； 第二种情况，如图所示，关于的对称，则， ∴， 由第一种情况可得，，， 根据中点坐标公式得，， 综上所述，存在，点的坐标为，． 【点睛】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数与二元一次方程组求交点，相似三角形的判定和性质，角度的和差计算的方法，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 15．(1)， (2)点的坐标为或 (3)的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、解含绝对值符号的一元一次方程以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式，找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程；（3）利用平行四边形的性质求解． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，得到，，然后根据列方程求解即可； （3）首先得到，，，然后分3种情况讨论：①当为对角线时；②当为对角线时；③当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）将代入，得， 解得． 将代入，得， 解得． ，的解析式分别为，； （2）对于，当时，；当时，． 点的坐标为，点的坐标为． 对于，当时，；当时，． 点的坐标为，点的坐标为． ，． ． 设点的坐标为． 则． ， ， 解得或 符合条件的点的坐标为或； （3）存在，点的坐标为或或． 如解图，由（1）（2）可知，，， 设点的坐标为． ①当为对角线时，，， 解得，． ∴点的坐标为； ②当为对角线时，，， 解得，． ∴点的坐标为； ③当为对角线时，，， 解得，． ∴点的坐标为． 综上所述，当点的坐标为或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 16．(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据可判定，即可得出结论； （2）过点做交直线于点，过点作轴于，根据，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式； （3）根据是以点为直角顶点的等腰直角三角形，当点是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点在矩形的内部时，当点在矩形的外部时，设，分别根据，得出，据此列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 又，， ，， ， ， ， ； （2）解：直线与坐标轴交于点，， 、， 如图2，过点做交直线于点，过点作轴于， ，，， ， 将直线绕点顺时针旋转至直线， ， ， ， ，， ， 点坐标为， 设的解析式为，将，点坐标代入，得， 解得， 的函数表达式为； （3）解：当点是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况： 当点在矩形的内部时，如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设，则，，， 由（1）可得，，则， 即：， 解得， ， ， 此时，，，符合题意； 当点在矩形的外部时，如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设，则，，， 同理可得：，则， 即：， 解得， ， ，， 此时，，，，符合题意， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$