第十八章平行四边形的性质课堂练习题 2023-2024学年人教版数学八年级下册

第十八章 平行四边形 第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定 第2课时 用一组对边判定平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1.下列命题中,是假命题的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 A 基础通关 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 用一组对边判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 3 2.如图,将三角尺ABC的一边BC贴着位置固定的直尺推移到△DEF的位置,下列结论中,不一定正确的是(　　) A.DE∥AB B.四边形ABED是平行四边形 C.AD∥BE D.AD=AB D 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 用一组对边判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 3.[2022•河北中考]如图所示,依据图中所标数据,下列一定为平行四边形的是 (　　) A. B. C. D. D 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 用一组对边判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 4.如图是嘉淇不完整的推理过程. 　 小明为保证嘉淇的推理成立,需在四边形ABCD中添加条件,下列正确的是 (　　) A.∠B+∠C=180° B.AB=CD C.∠A=∠B D.AD=BC B ∵∠A+∠D=180°, ∴AB∥CD. ∵(　　), ∴四边形ABCD是平行四边形.　 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 用一组对边判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 5. 【原创题】如图,在▱ABCD中,点E在AD上由A向D运动;点F在CB上由C向B运动,两点同时出发且运动速度相同,连接EF,下列结论中:①AE=CF;②EF一定经过点O;③EF能将▱ABCD的面积二等分;④△AOE≌△COF;⑤四边形AECF一定是平行四边形,正确的有 (　　) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 A 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 用一组对边判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 6.【易错题】如图,在▱ABCD中,要在对角线BD上找两点E,F,使四边形AECF为平行四边形,现有①,②,③三种方案,①只需要满足BE=DF;②只需要满足AE⊥BD,CF⊥BD;③只需要满足AE=CF,则其中正确有　　　　.  ①② 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 用一组对边判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 7.[2023·四川广安中考]如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O, BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠AEB=∠CFD=90°. ∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF, 又∵∠BAC=∠DCA,∴△AEB≌△CFD(ASA).∴AB=CD. ∵∠BAC=∠ACD,∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形. 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 用一组对边判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 8.[2023·邯郸武安区二模]如图1,在▱ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角.要用尺规作图的方法在对边AD,BC上分别找点M,N,使四边形ANCM为平行四边形,现有图2中的甲、乙、丙三种方案,则正确的方案 (　　) 甲:按照如图所示的方法,分别在AD,BC上确定点M,N; 乙:分别以点B,D为圆心、AB,CD长为半径画弧,交BC,AD于点N,M; 丙:在BC上取一点N,使BA=BN,以点C为圆心、BN长为半径画弧,交AD于点M. A.只有乙、丙才是 B.只有甲、丙才是 C.只有甲、乙才是 D.甲、乙、丙都是 能力突破 C 10 9 8 11 图2 第2课时 用一组对边判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 9.如图,把含45°,30°角的两块直角三角板放置在同一平面内,若AB∥CD,AB=CD=2,当AD=4时,AD与BC之间的距离是 (　　) A.+2 B. C. D. 10.如图,已知△ABC的面积为24,点D在线段AC上,将DC向右平移得到EF,且BF=5CF,四边形DCFE是　　　　,则图中阴影部分的面积为　　　　.  B 平行四边形 6 10 9 8 11 第2课时 用一组对边判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 11.[教材第47页练习第4题改编]如图,在▱ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,分别过点E,F作EG⊥BD,FH⊥BD,垂足分别为G,H,连接EH,FG. 求证:EH∥FG. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC.∴∠ADB=∠CBD. ∵EG⊥BD,FH⊥BD, ∴∠DGE=∠EGH=∠BHF=∠FHG=90°. ∴EG∥FH. ∵DE=BF,∴△DGE≌△BHF(AAS). ∴EG=FH.∴四边形HFGE是平行四边形. ∴EH∥FG. 10 9 8 11 第2课时 用一组对边判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 12. 【几何直观、推理能力】如图,在▱ABCD中,AC与BD交于点M,点F在AD上,AF=6cm,BF=12cm,∠FBM=∠CBM,E是BC的中点,若点P以1cm/s的速度从点A出发,沿AD向点F运动;点Q同时以2cm/s的速度从点C出发,沿CB向点B运动,点P运动到F点时停止运动,点Q也同时停止运动,当点P运动　　　s时,以P,Q,E,F为顶点的四边形是平行四边形.请说明理由. 素养达标 12 3或5 第2课时 用一组对边判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 12 理由:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC.∴∠ADB=∠MBC. 又∵∠FBM=∠MBC,∴∠ADB=∠FBM. ∴BF=DF=12cm.∴AD=AF+DF=18cm. ∵E是BC的中点,∴EC=BC=AD=9cm. ∵以点P,Q,E,F为顶点的四边形是平行四边形,∴PF=EQ. 设点P运动的时间为t s,则AP=t cm, 故PF=(6-t)cm,CQ=2t cm,EQ=(9-2t)cm或(2-9t)cm,即6-t=9-2t或6-t=2t-9. 解得t=3或5. 第2课时 用一组对边判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 $$第十八章 平行四边形 周测（18.12.118.2.2） 第十八章 平行四边形 一、选择题(共10题,每题4分,共40分) 1.下列说法错误的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.对角线相等的四边形是矩形 B.四个角都相等的四边形是矩形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 A 7 6 5 4 3 2 1 8 10 9 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 2.[教材第61页习题第7题改编]如图,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个锐角为60°的菱形,剪口与折痕所成的角α的度数应为 (　　) A.15°或30° B.30°或45° C.45°或60° D.30°或60° 3.[2023·保定三中分校期末]如图,矩形ABCD和矩形BDEF,点A在EF边上,设矩形ABCD和矩形BDEF的面积分别为S1,S2,则S1与S2的大小关系为 (　　) A.S1=S2 B.S1>S2 C.S1<S2 D.3S1=2S2 D A 7 6 5 4 3 2 1 8 10 9 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 4.如图,用尺规作图的方法在一个平行四边形内作菱形ABCD,下列作法中错误的是 (　　) A. B. C. D. A 7 6 5 4 3 2 1 8 10 9 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 5.如图,在△ABC中,D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥ AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是 (　　) A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形 B.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形 C.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形 D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形 D 7 6 5 4 3 2 1 8 10 9 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 6.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,F是线段DE上的一点.连接AF,BF,∠AFB=90°,且AB=8,BC=14,则EF的长是 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 B 7 6 5 4 3 2 1 8 10 9 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 7.问题:如图,四边形ABCD是菱形,E,F是直线AC上两点,AF=CE. 求证:四边形FBED是菱形. 几名同学对这个问题,给出了如下几种解题思路,其中正确的是 (　　) 甲:利用全等,证明四边形FBED四条边相等,进而说明该四边形是菱形; 乙:连接BD,利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形,判定四边形FBED是菱形; 丙:该题目错误,根据已知条件不能够证明该四边形是菱形. A.甲、乙对,丙错 B.乙、丙对,甲错 C.三个人都对 D.甲、丙对,乙错 A 7 6 5 4 3 2 1 8 10 9 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 8.顺次连接矩形ABCD四条边的中点E,F,G,H,得到的四边形EFGH是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.四边形 C 7 6 5 4 3 2 1 8 10 9 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 9.如图,直线l和直线l外一点A,求作:过点A与直线l平行的直线.(尺规作图) 甲的作法:(1)在直线l上分别取B,C两点(点B在点C的左边);(2)以点A为圆心、BC长为半径画弧,再以点C为圆心、AB长为半径画弧,两弧交于点D(点B,点D在直线AC的两侧);(3)作直线AD,则直线AD即为所求. 乙的作法:(1)在直线l上分别取B,C两点(点B在点C的左边);(2)连接BA并延长,在射线BA上截取AD=AB;(3)连接DC,作线段DC的垂直平分线交DC于点E;(4)作直线AE,则直线AE即为所求. 下列说法正确的是 (　　) A.甲对,乙错 B.甲错,乙对 C.甲、乙都错 D.甲、乙都对 D 7 6 5 4 3 2 1 8 10 9 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 10.如图,在▱ABCD中,以点A为圆心、AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B,F为圆心、大于BF的相同长度为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点E,连接EF.下列说法正确的是 (　　) C ①∠1=∠2;②四边形ABEF是平行四边形,但不是菱形;③四边形ABEF是菱形;④若四边形ABEF的周长为16,AE=4,则∠C=60°. A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④ 7 6 5 4 3 2 1 8 10 9 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 二、填空题(共4题,每题5分,共20分) 11. 【原创题】如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AD=12,CD=5,则四边形OCED的周长为　　　　.  12.[2023·甘肃武威中考]如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,BE⊥AB,DF⊥CD,垂足分别为B,D,若AB=6 cm,则EF=　　　　cm.  26 2 11 12 14 13 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,∠ACD=3∠BCD,E是斜边AB的中点,则∠ECA=　　　　 .  14. 【易错题】[2023·江西中考]如图,在▱ABCD中, ∠B=60°,BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转角α(0°< α<360°)得到AP,连接PC,PD.当△PCD为直角三角形时,旋转角α的度数为　　 　　　　　　.   22.5° 90°或270°或180° 11 12 14 13 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 三、解答题(共4题,共40分) 15.(8分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,E为边BC上一点,且EC=AD,连接AC. (1)求证:四边形AECD是矩形; 证明:∵AD∥BC,EC=AD, ∴四边形AECD是平行四边形. 又∵∠D=90°, ∴四边形AECD是矩形. 15 16 18 17 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 (2)若AC平分∠DAB,AB=5,EC=2,求AE的长. 解:∵AC平分∠DAB,∴∠BAC=∠DAC. ∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB. ∴∠BAC=∠ACB.∴AB=BC=5. ∵EC=2,∴BE=3. ∴在Rt△ABE中,根据勾股定理,得AE===4. 15 16 18 17 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 16.(10分) 【传统文化】“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题,今天人们已经知道,仅用圆规直尺是不可能做出的.在探索中,有人曾利用过如图所示的图形,其中,四边形ABCD是矩形(AD∥CB),F是DA延长线上一点,G 是CF上一点,并且∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F,你能证明∠ECB=∠ACB吗? 证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC. ∴∠F=∠ECB. ∴∠ACG=∠AGC=∠GAF+∠F=2∠F=2∠ECB. ∴∠ACB=∠ACG+∠ECB=3∠ECB. ∴∠ECB=∠ACB. 15 16 18 17 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 17.(10分)[2023·浙江台州中考]如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A= ∠C,BD为对角线. (1)证明:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD. ∵∠A=∠C, ∴180°-=180°-(∠CBD+∠C),即∠ABD=∠CDB. ∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形. 15 16 18 17 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 (2)已知AD>AB,请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF,顶点E,F分别在边BC,AD上(保留作图痕迹,不要求写作法). 解:如图所示,四边形BEDF就是所求作的菱形. 15 16 18 17 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 18.【几何直观、推理能力】(12分) 将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中,点O(0,0),点A(3,0),点C(0,6),点P在边OC上(点P不与点O,C重合),折叠该纸片,使折痕所在的直线经过点P,并与x轴的正半轴相交于点Q,且∠OPQ=30°,点O的对应点O'落在第一象限.设OQ=t. (1)如图1,当t=1时,求∠O'QA的大小和点O'的坐标; 15 16 18 17 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 解:在Rt△POQ中,由∠OPQ=30°,得∠OQP=90°-∠OPQ=60°. 根据折叠,知△PO'Q≌△POQ.∴O'Q=OQ,∠O'QP=∠OQP=60°. ∴∠O'QA=180°-∠O'QP-∠OQP=60°. 如图,过点O'作O'H⊥OA,垂足为H,则∠O'HQ=90°. ∴在Rt△O'HQ中,得∠QO'H=90°-∠O'QA=30°. 由t=1,得OQ=1,则O'Q=1. 由QH=O'Q=,O'H2+QH2=O'Q2, 得OH=OQ+QH=,O'H==. ∴点O'的坐标为. 15 16 18 17 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 (2)如图2,若折叠后重合部分为四边形,O'Q,O'P分别与边AB相交于点E,F,试用含有t的式子表示O'E的长,请直接写出t的取值范围; 解:∵点A(3,0),∴OA=3.又∵OQ=t,∴QA=OA-OQ=3-t. 由(1)知,O'Q=t,∠O'QA=60°. ∵四边形OABC是矩形,∴∠OAB=90°. 在Rt△EAQ中,∠QEA=90°-∠EQA=30°,得QA=QE. ∴QE=2QA=2(3-t)=6-2t.∴O'E=O'Q-QE=3t-6. 如图,当点O'在AB上时,OQ=O'Q=t,∠AQO'=60°,则∠AO'Q=30°, ∴AQ=t,∴t+t=3,解得t=2. ∴t的取值范围是2<t<3. 15 16 18 17 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 (3)若折叠后重合部分的面积为3,则t的值可以是　　　 。　　　　 　　 　　　 　　　 　　　 　　　 (请直接写出两个不同的值即可).  3,(答案不唯一,满足3≤t<2即可) 15 16 18 17 周测（18.2.118.2.2） 选择题 填空题 解答题 $$第十八章 平行四边形 第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形边和角的性质 平行四边形的概念 1.如图,在△ABC中,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,则下列结论中不一定成立的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.四边形AFDE是平行四边形 B.FD=FB C.∠BFD=∠DEC D.DF=AE B 基础通关 8 7 6 5 4 3 2 1 9 第1课时 平行四边形边和角的性质 能力突破 素养达标 基础通关 3 2.如图,在▱ABCD中,∠A=140°,则∠B的度数是 (　　) A.40° B.70° C.110° D.140° 3. 【易错题】在▱ABCD中,连接AC,∠ACD=80°,作∠EAC交射线BC于点E,且∠EAC=10°,则∠BAE的度数是　　 　　.  70°或90° A 8 7 6 5 4 3 2 1 9 第1课时 平行四边形边和角的性质 能力突破 素养达标 基础通关 平行四边形边的性质 4.在▱ABCD中,下列结论不一定正确的是 (　　) A.AB=CD B.AC=AD C.AD=BC D.∠BAD=∠BCD 5.如图,E为▱ABCD内任一点,且▱ABCD的面积为6,则图中阴影部分的面积为　　　　.  B 3 8 7 6 5 4 3 2 1 9 第1课时 平行四边形边和角的性质 能力突破 素养达标 基础通关 平行四边形角的性质 6.[教材第43页练习第1题改编]在▱ABCD中,∠B+∠D=200°,则∠A=　　　　°.  80 8 7 6 5 4 3 2 1 9 第1课时 平行四边形边和角的性质 能力突破 素养达标 基础通关 7.[2023·四川南充中考]如图,在▱ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF.求证:(1)AE=CF; 证明:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD,∠ABC=∠ADC,∠BAE=∠FCD. ∵∠CBE=∠ADF,∠ABC=∠ADC, ∴∠ABE=∠CDF.∴△ABE≌△CDF. ∴AE=CF. 8 7 6 5 4 3 2 1 9 第1课时 平行四边形边和角的性质 能力突破 素养达标 基础通关 (2)BE∥DF. 证明:由(1),得△ABE≌△CDF, ∴∠AEB=∠CFD. ∵∠AEB+∠BEF=∠CFD+∠EFD=180°, ∴∠BEF=∠EFD.∴BE∥DF. 8 7 6 5 4 3 2 1 9 第1课时 平行四边形边和角的性质 能力突破 素养达标 基础通关 两平行线之间的距离 8.如图所示,直线a∥b,A是直线a上的一个定点,线段BC在直线b上移动,那么在移动过程中△ABC的面积 (　　) A.变大 B. 变小C.保持不变 D. 无法确定 9. 【原创题】如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则　　 (填“>”“<”或“=”),理由:　  . 　  . 　  . C = 因为平行线间的距离处处相等,所以S△ABC和S△DBC是同底等高的两个三角形,因此面积相等 8 7 6 5 4 3 2 1 9 第1课时 平行四边形边和角的性质 能力突破 素养达标 基础通关 11.[2023·四川遂宁中考]如图,在▱ABCD中,BD为对角线,分别以点A,B为圆心、大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN交AD于点E,交AB于点F,若AD⊥BD,BD=4,BC=8,则AE的长为　　　　.   10. 【易错题】在平行四边形ABCD中,∠A=30°,AD=4,BD=4,则平行四边形ABCD的面积等于　　 　 　 .  能力突破 16或8 12 11 10 13 5 第1课时 平行四边形边和角的性质 能力突破 素养达标 基础通关 12.如图,已知在▱ABCD中,F是AD的中点,连接CF并延长交BA的延长线于点E. (1)若CF平分∠BCD,求证:BC=2AB; 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD,BC=AD. ∴∠E=∠DCF. ∵F是AD中点,∴AF=DF. ∵∠EFA=∠CFD,∴△AFE≌△DFC(AAS). ∴CD=AE.∴AB=AE. ∵CF平分∠BCD,∴∠BCF=∠DCF=∠E. ∴BE=BC.∴BC=BE=2AB. 12 11 10 13 第1课时 平行四边形边和角的性质 能力突破 素养达标 基础通关 (2)在(1)的条件下,若∠E=30°,CE=8,求BC的长. 解:由(1),得EF=CF,BC=BE, ∴BF⊥CE . ∵∠E=30°,CE=8,∴∠BCF=30°,CF=4. ∴BC=2BF. 在Rt△BFC中,根据勾股定理,得 BF2+CF2=BC2,即BF2+42=4BF2. 解得BF=∴BC=. 12 11 10 13 第1课时 平行四边形边和角的性质 能力突破 素养达标 基础通关 13.[2023·保定十三中月考]如图,在▱ABCD中,BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC,交AC于点E,G. 求证:BE∥DG,BE=DG; 证明:在▱ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC, ∴∠DAC=∠BCA,AD=BC,AB=CD. ∵BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC, ∴∠ADG=∠CBE. ∴△ADG≌△CBE(ASA).∴BE=DG. ∵∠DGE=∠DAC+∠ADG,∠BEG=∠BCA+∠CBE, ∴∠DGE=∠BEG.∴BE∥DG. 12 11 10 13 第1课时 平行四边形边和角的性质 能力突破 素养达标 基础通关 过点E作EF⊥AB,垂足为F.若▱ABCD的周长为56,EF=6,求△ABC的面积. 解:如图所示,过点E作EH⊥BC于点H. ∵BE平分∠ABC,EF⊥AB,∴EH=EF=6. ∵▱ABCD的周长为56,∴AB+BC=28. ∴S△ABC=AB·EF+BC·EH =EF·(AB+BC)=×6×28 =84. 12 11 10 13 第1课时 平行四边形边和角的性质 能力突破 素养达标 基础通关 14. 【几何直观、推理能力】问题:如图,在▱ABCD中,AB=8,AD=5, ∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF分别与直线CD交于点E,F,求EF的长. 素养达标 14 第1课时 平行四边形边和角的性质 能力突破 素养达标 基础通关 探究:(1) 把“问题”中的条件“AB=8”去掉,其余条件不变. ①当点E与点F重合时,求AB的长; 解:如图所示, ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ CD=AB,BC=AD=5,AB∥CD. ∴ ∠DEA=∠BAE. ∵ AE平分∠DAB,∴ ∠DAE=∠BAE. ∴ ∠DEA=∠DAE.∴ DE=AD=5. 同理可得BC=CF=5. ∵点E与点F重合,∴ AB=CD=DE+CF=10. 14 第1课时 平行四边形边和角的性质 能力突破 素养达标 基础通关 ②当点E与点C重合时,求EF的长. 解:如图所示,∵ 点E与点C重合, ∴ DE=DC=5. ∵ CF=BC=5, ∴ 点F与点D重合. ∴ EF=DC=5 . 14 第1课时 平行四边形边和角的性质 能力突破 素养达标 基础通关 (2)若把问题中的条件“AB=8,AD=5”去掉,其余条件不变,当点C,D,E,F相邻两点间的距离相等时,求的值. 解:分三种情况: ①如图1,由(1),得AD=DE. ∵ C,D,E,F相邻两点间的距离相等, ∴ AD=DE=EF=CF.∴ =; ②如图2,由(1),得AD=DE=CF.∵ DF=FE=CE,∴ =; ③如图3,由(1),得AD=DE=CF.∵ DF=DC=CE,∴ =2. 综上所述,的值为或或2. 图1 图2 图3 14 第1课时 平行四边形边和角的性质 能力突破 素养达标 基础通关 $$第十八章 平行四边形 第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第2课时 平行四边形对角线的性质 平行四边形对角线互相平分 1.[2023·四川成都中考]如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.AC=BD B.OA=OC C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD B 基础通关 8 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 平行四边形对角线的性质 能力突破 素养达标 基础通关 3 2.在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=10cm,AB=4cm,则△COD的周长为 (　　) A.14cm B.9cm C.7cm D.5cm 3. 【易错题】如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过对角线的交点O,则图中全等三角形的对数有 (　　) A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 C B 8 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 平行四边形对角线的性质 能力突破 素养达标 基础通关 4.[2023·石家庄裕华区模拟]证明:平行四边形对角线互相平分. 已知:四边形ABCD是平行四边形,如图所示. 求证: OA=OC,OB=OD. 以下是排乱的证明过程,正确的顺序应是(　　) ①∴∠ABO=∠CDO,∠BAC=∠DCA. ②∵四边形ABCD是平行四边形, ③∴AB∥CD,AB=CD.④∴△AOB≌△COD. ⑤∴OA=OC,OB=OD. A.②①③④⑤ B.②③⑤①④ C.②③①④⑤ D.③②①④⑤ C 8 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 平行四边形对角线的性质 能力突破 素养达标 基础通关 7.如图,▱ABCD的周长为16cm,AC,BD交于点O,且AD>CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M,连接CM,则△CDM的周长为　　　　cm.  6.平行四边形对角线长分别为x,y,一边长为12,则x,y的值可能是下列各组数中的 (　　) A.8与14 B.10与14C.18与20 D.10与48 5.[教材第44页例2改编]如图,平行四边形的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC,若AB=4,AC=6,则BD的长是 (　　) A.12 B.10 C.8 D.11 B C 8 8 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 平行四边形对角线的性质 能力突破 素养达标 基础通关 8.如图,在▱ABCD中,EF过对角线的交点O,AB=8,AD=6,OE=2,求四边形BCEF的周长. 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AB∥CD,AD=BC,OA=OC. ∴∠ACD=∠CAB. ∵∠COE=∠AOF, ∴△COE≌△AOF(ASA).∴CE=AF,OE=OF=2. ∴CE+BF=AF+BF=AB=8. ∵BC=AD=6, ∴四边形BCEF的周长BF+EC+BC+EF=AB+BC+EF=8+6+4=18. 8 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 平行四边形对角线的性质 能力突破 素养达标 基础通关 9.如图,四边形ABCD是平行四边形,E是CD边上一点,且BC=EC, CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确结论的个数有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 能力突破 D 11 10 9 12 第2课时 平行四边形对角线的性质 能力突破 素养达标 基础通关 10.如图1,平行四边形纸片ABCD的面积为60,沿对角线AC,BD将其裁剪成四个三角形纸片,将纸片△AOD翻转后,与纸片△COB拼接成如图2所示的四边形(点A与点C,点D与点B重合),则拼接后的四边形的两条对角线之积为　　　　 .  60 11 10 9 12 第2课时 平行四边形对角线的性质 能力突破 素养达标 基础通关 11. 【原创题】已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若点O的坐标为(1,1),点C在x轴上,且到原点的距离是3,则点A的坐标为　　　　. 　　　　.  (-1,2)或(5,2) 11 10 9 12 第2课时 平行四边形对角线的性质 能力突破 素养达标 基础通关 12.【原创题】如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O.M,N在AC上,且AM=CN. 求证:(1)BM=DN,BM∥DN; 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD. ∵AM=CN,∴OM=ON.∵∠BOM=∠DON, ∴△BOM≌△DON(SAS).∴∠OBM=∠ODN,BM=DN. ∴BM∥DN. 11 10 9 12 第2课时 平行四边形对角线的性质 能力突破 素养达标 基础通关 (2)若M在OA的延长线上,N在OC的延长线上,且AM=CN,那么(1)中的结论还成立吗?请说明理由. 解:(1)中的结论还成立. 理由:如图,M,N分别在OA,OC的延长线上, ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD. ∵AM=CN,∴OM=ON. ∵∠BOM=∠DON,∴△BOM≌△DON(SAS). ∴∠OBM=∠ODN,BM=DN.∴BM∥DN . 11 10 9 12 第2课时 平行四边形对角线的性质 能力突破 素养达标 基础通关 13. 如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=2AD,点E在线段OC上,且OE=CE. (1)求证:∠OBE=∠ADO; 素养达标 13 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC,DO=BO=BD,∴∠ADB=∠DBC. ∵BD=2AD,∴AD=DO.∴BC=BO.∴△BOC是等腰三角形. ∵E是CO中点,∴∠OBE=∠OBC. ∴∠OBE=∠ADO. 第2课时 平行四边形对角线的性质 能力突破 素养达标 基础通关 (2)若AC=12,AB=15,求BE的长. 解:∵OB=BC,OE=EC,∴BE⊥OC. ∵AC=12 ,∴AE=9. 在Rt△ABE中,根据勾股定理,得BE===12. 13 第2课时 平行四边形对角线的性质 能力突破 素养达标 基础通关 $$第十八章 平行四边形 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形 第2课时 矩形的判定 有一个角是直角的平行四边形是矩形 1.如图,在△ABC中,AC=BC,D,E分别是边AB,AC的中点,延长DE到F使EF=DE,则四边形ADCF一定是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 A 基础通关 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 矩形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 3 2.如图,关于四边形ABCD的4个结论中,正确的是 (　　) ①它的两组对边分别相等;②它是矩形; ③它是平行四边形;④它有一个角是直角. A.由①推出③,由③和④推出② B.由④推出②,由②推出①,由①推出③ C.由②推出④,由④推出① D.由③推出④,由①和④推出② A 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 矩形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 对角线相等的平行四边形是矩形 3.[2023·邢台第三中摸底]如图,在四边形ABCD中,给出部分数据,若添加一个数据后,四边形ABCD是矩形,则添加的数据是 (　　) A.CD=4 B.CD=2 C.OD=2 D.OD=4 D 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 矩形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 4. 【易错题】你用什么方法检查教室刚安装的门框是不是矩形?如果仅有一根较长的绳子,你怎么检查?请说明你的检查方法以及所蕴含的数学原理. 解:检查的方法是①先用绳子测量门框的对边是否相等,若相等,则可判定其为平行四边形,所运用的数学原理是两组对边分别相等的四边形是平行四边形;②再用绳子测量门框的对角线是否相等,若相等,则可肯定门框是矩形,所运用的数学原理是对角线相等的平行四边形是矩形. 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 矩形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 5.[教材第60页习题18.2第1题改编]如图,将▱ABCD的边AB延长至点E,使BE=AB,连接DE,EC,BD,DE交BC于点O. (1)求证:△ABD≌△BEC; 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC, AD∥BC. ∴∠A=∠CBE. 又∵AB=BE, ∴△ABD≌△BEC(SAS). 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 矩形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 (2)若∠BOD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,即BE∥CD. 又∵AB=BE,∴BE=DC. ∴四边形BECD是平行四边形.∴ OD=OE,OC=OB. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠BCD.即∠A=∠OCD. 又∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC, ∴∠OCD=∠ODC.∴OC=OD.∴OC+OB=OD+OE,即BC=ED. ∴四边形BECD是矩形. 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 矩形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 有三个角是直角的四边形是矩形 6.[2023·保定第十七中期末]如图所示,依据图中所标数据,下列四边形不一定为矩形的是 (　　) A. B. C. D. A 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 矩形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,P为AB边上的一个动点,过点P作PD⊥BC于点D, PE⊥AC于点E,则DE长的最小值为　　　　.  2 7 6 5 4 3 2 1 第2课时 矩形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 8. 【原创题】如图,在▱ABCD中,AB=3,AC=4,对角线AC⊥AB,E,F分别是BC,AD上的两个动点,点E由点B向点C运动,点F由点D向点A运动,两点同时出发,速度相同.AE= 　　　　时,四边形AECF是矩形.  能力突破 2.4 9 8 10 第2课时 矩形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 9.[2023·四川乐山中考]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AB边上任意一点(不与点A,B重合),过点D作DE∥BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,连接EF. (1)求证:四边形ECFD是矩形; 证明:∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形ECFD是平行四边形. ∵∠C=90°,∴四边形ECFD是矩形. 9 8 10 第2课时 矩形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 (2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离. 解:∵∠C=90°,CF=2,CE=4, 在Rt△CEF中,根据勾股定理,得EF===2. 设点C到EF的距离为h, ∵S△CEF=CE·CF=EF·h,∴4×2=2h,解得h=. ∴点C到EF的距离为. 9 8 10 第2课时 矩形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 10.[2023·新疆中考]如图,AD和BC相交于点O,∠ABO=∠DCO=90°,OB=OC.E,F分别是AO,DO的中点. (1)求证:OE=OF; 证明:在△AOB与△DOC中, ∴△AOB≌△DOC.∴OA=OD. 又∵E,F分别是AO,DO的中点,∴OE=OF. 9 8 10 第2课时 矩形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 (2)当∠A=30°时,求证:四边形BECF是矩形. 证明：∵OB=OC,OF=OE, ∴四边形BECF是平行四边形,BC=2OB,EF=2OE. ∵E为AO的中点,∠ABO=90°,∴EB=EO=EA. ∵∠A=30°,∴∠BOE=60°.∴△BOE是等边三角形. ∴OB=OE.∴BC=EF. ∴四边形BECF是矩形. 9 8 10 第2课时 矩形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 11. 【几何直观、推理能力】如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠A= 90°,AB=24cm,AD=6cm,CD=28cm.点P从点A出发,以2 cm/s的速度向点B运动;点Q从点C出发,以4 cm/s的速度向点D运动.规定其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.设Q点运动的时间为t s. 素养达标 11 第2课时 矩形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 (1)若P,Q两点同时出发, ①当四边形APQD是矩形时,求出t值; 解:如图, 当四边形APQD是矩形时,即AP=DQ. ∵AP=2t cm,DQ=(28-4t)cm, ∴2t=28-4t,解得t=. 11 第2课时 矩形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 ②当四边形BCQP是平行四边形时,求t的值; 解:如图, 当四边形BCQP是平行四边形时,即CQ=BP. ∵CQ=4t cm,BP=(24-2t)cm, ∴4t=24-2t,解得t=4. 11 第2课时 矩形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 (2)若点P先运动2s后停止运动.此时点Q从点C出发,到达点D后运动立即停止.则t为　　　　s时,△DPQ是直角三角形(直接写出结果).  6或 11 第2课时 矩形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 $$第十八章 平行四边形 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.2 菱形 第2课时 菱形的判定 定义法 1.问题背景:如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形.讨论交流: 小明说:“若AB=AC,则四边形ADCE是矩形.” 小强说:“若∠BAC=90°,则四边形ADCE是菱形.” 下列说法正确的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.小明不对,小强对 B.小明对,小强不对 C.小明和小强都对 D.小明和小强都不对 C 基础通关 6 5 4 3 2 1 第2课时 菱形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 3 2.[教材第58页练习第3题改编]如图,两把完全一样的直尺交叉叠放在一起,重合的部分构成一个四边形,这个四边形是　　　　形;如果直尺的宽度是cm,两把直尺所夹的锐角为45°,那么这个四边形的周长为　　　　cm. 菱 12 6 5 4 3 2 1 第2课时 菱形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.在数学课上,老师提出问题:如图1,将锐角三角形纸片ABC(BC>AC)经过两次折叠,得到边AB,BC,CA上的点D,E,F,使得四边形DECF恰好为菱形.小明给出的折叠方法:如图2,①AC边向BC边折叠,使AC边落在BC边上,得到折痕CD交AB于点D;②C点向AB边折叠,使点C与点D重合,得到折痕EF交BC边于点E,交AC边于点F.老师说:“小明的作法正确.”请回答:小明这样折叠的依据是①　　　　 　是平行四边形;②　　　　　 　是菱形.  对角线互相平分的四边形 对角线互相垂直的平行四边形 6 5 4 3 2 1 第2课时 菱形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 4.[2023·湖南怀化中考]如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F. (1)证明:△BOF≌△DOE; 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC.∴∠EDO=∠FBO,∠OED=∠OFB. ∵O是BD的中点,∴BO=DO. ∴△BOF≌△DOE. 6 5 4 3 2 1 第2课时 菱形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 (2)连接BE,DF,证明:四边形EBFD是菱形. 证明:∵△BOF≌△DOE,∴ED=BF. 又∵ED∥BF,∴四边形EBFD是平行四边形. ∵EF⊥BD,∴四边形EBFD是菱形. 6 5 4 3 2 1 第2课时 菱形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 四条边相等的四边形是菱形 5.两个边长为2的等边三角形按如图所示的方式,拼凑出一个平行四边形ABCD,则对角线BD的长为 (　　) A.2 B.4 C. D.2  6.如图,在▱ABCD中,以点A为圆心、AB长为半径画弧,交BC于点E,交AD于点F,请给▱ABCD添加一个条件　　　　,使四边形ABEF为菱形,并说明理由.  D ∠B=60° 6 5 4 3 2 1 第2课时 菱形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 7.如图,将两张宽为2,长为8的矩形纸片交叉叠放在一起,得到四边形ABCD,则下列判断正确的是 (　　) 结论Ⅰ:四边形ABCD是菱形; 结论Ⅱ:四边形ABCD的周长的最大值与最小值的差为9. A.结论Ⅰ,Ⅱ都对 B.结论Ⅰ,Ⅱ都不对 C.只有结论Ⅰ对 D.只有结论Ⅱ对 能力突破 A 8 7 9 第2课时 菱形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 8. 【原创题】如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,E,F分别是AD,BC上的两个动点,点E从点A出发,沿AD以每秒1个单位长度的速度向点D运动,点F从点C出发,沿CB向点B运动,速度为每秒1个单位长度,两点同时出发,当点E运动到点D时,则点E,F停止运动,连接BE,DF,　　秒后,四边形BEDF是菱形.  3 8 7 9 第2课时 菱形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 9.如图,在矩形ABCD中,分别以对角线BD的两个端点为圆心、大于BD长为半径画弧,两弧分别交于点M,N,连接MN分别交AD,BC于点E,F,交BD于点O,连接BE,DF. (1)求证:△BOF≌△DOE; 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,DO=BO. ∴∠EDO=∠FBO. 又∵∠DOE=∠FOB,∴△BOF≌△DOE(ASA). 8 7 9 第2课时 菱形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 (2)求证:四边形EBFD是菱形; (3)若∠ABE=30°,EF=4,直接写出矩形ABCD的周长和面积. 证明:∵△BOF≌△DOE,∴BF=DE. ∵四边形ABCD是矩形,∴BF∥DE.∴四边形EBFD是平行四边形. ∵MN是BD的垂直平分线,∴EB=DE.∴四边形EBFD是菱形. 解:矩形ABCD的周长为12+4,面积为12. 8 7 9 第2课时 菱形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 证明:∵DC=BC,CE⊥BD,∴CE垂直平分BD.∴DE=BE.∴∠BDE=∠DBE. ∵DE∥BC,∴∠BDE=∠DBC.∴∠DBE=∠DBC. 又∵DC=BC,∴∠DBC=∠BDC.∴∠DBE=∠BDC.∴DC∥BE. ∴四边形BCDE为平行四边形. ∵CE⊥BD,∴四边形BCDE为菱形. 10. 在四边形ABCD中,BC=CD.连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连接DE. (1)如图1,若DE∥BC,求证:四边形BCDE为菱形; 素养达标 10 第2课时 菱形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 (2)如图2,连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC. (ⅰ)求∠CED的大小; 解:∵CE垂直平分BD,∴BE=DE.∴∠BEC=∠CED. ∵DE垂直平分AC,∴AE=CE,DE⊥AC. ∴∠AED=∠CED.∴∠AED=∠CED=∠BEC. ∵∠AED+∠CED+∠BEC=180°, ∴∠CED==60°. 10 第2课时 菱形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 (ⅱ)若AF=AE,求证:BE=CF. 10 解:由(ⅰ)得,AE=CE, ∵∠AEC=∠AED+∠DEC=120°,∴∠ACE=30°. 同理可得,在等腰△DEB中,∠EBD=30°,∴∠ACE=∠ABF=30°. ∵AE=AF,∠CAE=∠BAF, ∴△ABF≌△ACE(AAS).∴AC=AB. ∵AE=AF,∴BE=CF. 第2课时 菱形的判定 能力突破 素养达标 基础通关 $$第十八章 平行四边形 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形 正方形的概念 1.下列命题为真命题的是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.对角线相等的平行四边形是正方形 B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C.有一个内角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形 D.有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 C 基础通关 6 5 4 3 2 1 7 18.2.3 正方形 能力突破 素养达标 基础通关 3 正方形的性质 2.[2023·廊坊四中期中]正方形具有而菱形不一定具有的性质是 (　　) A.四边相等 B.对角线相等 C.对角相等 D.对角线互相垂直 B 6 5 4 3 2 1 7 18.2.3 正方形 能力突破 素养达标 基础通关 3.如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为 (　　) A.45° B.60° C.67.5° D.77.5° 4. 【易错题】已知,正方形ABCD,以AD为边作等边△ADE,则∠BAE=　　　　 °. 150或30 C 6 5 4 3 2 1 7 18.2.3 正方形 能力突破 素养达标 基础通关 正方形的判定 5.[教材第59页练习第1题改编]将长方形纸片按如图所示的方式折叠,使A点落在BC上的点F处,折痕为BE,若沿EF剪下,则折叠部分是一个正方形,其数学原理是 (　　) A.邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.两个全等的直角三角形构成正方形 D.轴对称图形是正方形 A 6 5 4 3 2 1 7 18.2.3 正方形 能力突破 素养达标 基础通关 6. 【原创题】如图,正方形ABCD,对角线AC,BD交于点O,EF经过点O,交AD,BC分别于E,F两点,用尺规作图在AB,CD上分别取点G,H,使EGFH是正方形.(保留作图痕迹,不写作法) 解:如图所示.(方法不唯一) 6 5 4 3 2 1 7 18.2.3 正方形 能力突破 素养达标 基础通关 7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形. 证明:∵ 四边形ABCD是菱形. ∴ OA=OC,OB=OD,AC⊥BD. ∵ BE=DF,∴ OB-BE=OD-DF,即OE=OF. ∵OE=OA,∴OA=OC=OE=OF,AC=EF. 又∵AC⊥EF,∴ 四边形AECF是正方形. 6 5 4 3 2 1 7 18.2.3 正方形 能力突破 素养达标 基础通关 8.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,如图,在正方形纸板ABCD中,BD为对角线,E,F分别为BC,CD的中点,AP⊥EF分别交BD,EF于O,P两点,M,N分别为BO,DO的中点,连接AP,NF,沿图中实线剪开即可得到一副七巧板,则在剪开之前,关于该图形,下列说法:①图中的三角形都是等腰直角三角形;②四边形MPEB是菱形;③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的.正确的有 (　　) A.① B.①② C.①③ D.②③ 能力突破 C 9 8 10 18.2.3 正方形 能力突破 素养达标 基础通关 9.如图,四边形ABCD为正方形,E是BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到B的对应点为F,延长EF交线段DC于点P,若AB=6,则DP的长度为　　　　.  2 9 8 10 18.2.3 正方形 能力突破 素养达标 基础通关 10.[2023·浙江绍兴中考]如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,垂足分别为E,F.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H. (1)求证:∠DAG=∠EGH. 证明:在正方形ABCD中,AD⊥CD, ∵GE⊥CD,∴AD∥GE.∴∠DAG=∠EGH. 9 8 10 18.2.3 正方形 能力突破 素养达标 基础通关 (2)判断AH与EF是否垂直,请说明理由. 解:AH与EF垂直. 理由:如图,连接GC交EF于点O. ∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠ADG=∠CDG=45°. 又∵DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△CDG(SAS). ∴∠DAG=∠DCG. 在正方形ABCD中,∠ECF=90°, 又∵GE⊥CD,GF⊥BC,∴四边形FCEG是矩形. ∴OE=OC.∴∠OEC=∠OCE.∴∠DAG=∠OEC. 又∵∠DAG=∠EGH, ∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°. ∴∠GHE=90°.∴AH⊥EF. 9 8 10 18.2.3 正方形 能力突破 素养达标 基础通关 CE⊥CF 11. 【几何直观、推理能力】如图1,在△ABC中,O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠DCA的平分线于点F. (1)线段CE与CF的位置关系是　　　　;  素养达标 11 18.2.3 正方形 能力突破 素养达标 基础通关 (2)探究:线段OE与OF的数量关系,请加以证明; 解:线段OE与OF的数量关系是OE=OF. 证明:∵CE平分∠BCA,CF平分∠OCD, ∴∠BCE=∠ACE,∠FCD=∠ACF. ∵MN∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠FCD. ∴∠OEC=∠ACE,∠OFC=∠ACF. ∴EO=OC,OF=OC.∴OE=OF. 11 18.2.3 正方形 能力突破 素养达标 基础通关 (3)如图2,当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形,请说明理由; (4)在(3)的前提下,直接写出△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形. 11 解:O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形. 理由:∵O是AC的中点,∴AO=OC,且OE=OF=OC. ∴四边形AECF是平行四边形. ∵CE⊥CF,∴四边形AECF是矩形. ∴当O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形. 解:当∠ACB=90°时,四边形AECF是正方形. 18.2.3 正方形 能力突破 素养达标 基础通关 $$第十八章 平行四边形 第十八章 平行四边形 微探究小专题3 四边形中的裁剪、折叠问题 知识点清单 四边形中的裁剪问题 四边形中的折叠问题 四边形中的裁剪问题 1.如图是一个边长为10 cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪线长度所标的数据(单位:cm)不正确的是 (　　) 　　 A. B. C. D. A 1 2 微探究小专题3 四边形中的裁剪、折叠问题 返回知识点清单 2.如图1,菱形纸片ABCD的面积为30cm2,对角线AC的长为6cm,将这个菱形纸片沿对角线剪开,得到四个全等的直角三角形,将这四个直角三角形按图2所示的方式拼成一个大正方形,则大正方形中空白小正方形的面积是　　　　cm2.  4 1 2 微探究小专题3 四边形中的裁剪、折叠问题 返回知识点清单 四边形中的折叠问题 类型1　求角度 3.如图,将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠,使顶点C,D分别落在点C',D'处,C'E交AF于点G,若∠CEF=70°,则∠GFD'=　　　　°.  40 9 8 7 6 5 4 3 10 微探究小专题3 四边形中的裁剪、折叠问题 返回知识点清单 4. 【传统文化】《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(蜨,同“蝶”),它的基本组件为斜角形,包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只,共十三只(图1中的“樣”和“隻”为“样”和“只”).图2为某蝶几设计图,其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件(“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形),已知某人位于点P处,点P与点A关于直线DQ对称,连接CP,DP.若∠ADQ=24°,则∠DCP= 　　　　°.  21 9 8 7 6 5 4 3 10 微探究小专题3 四边形中的裁剪、折叠问题 返回知识点清单 类型2　求线段长度 5.如图,将矩形纸片ABCD折叠(AD>AB),使AB落在AD上,AE为折痕,然后将矩形纸片展开铺在一个平面上,点E不动,将BE边折起,使点B落在AE上的点G处,连接DE,若DE=EF,CE=2,则AD的长为 (　　) A.2+4 B. 2 C.+1 D.2+2 A 9 8 7 6 5 4 3 10 微探究小专题3 四边形中的裁剪、折叠问题 返回知识点清单 6.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=6.折叠该菱形,使点A落在BC边上的点M处,折痕分别与边AB,AD交于点E,F.当点M与点B重合时,EF的长为　　　　;当点M的位置变化时,DF长的最大值为　　　　.  3 6-3 9 8 7 6 5 4 3 10 微探究小专题3 四边形中的裁剪、折叠问题 返回知识点清单 7.[2023·邯郸二模]如图,将一张长为1、宽为a的矩形纸片(0.5<a<1)折一下,剪下一个边长等于宽度a的正方形(称为第一次操作);再将剩下的矩形按如图所示折一下,再次剪下一个边长等于该矩形宽度的正方形(称为第二次操作)……如此反复操作下去,直到第n次操作后,剩下的小矩形为正方形时停止操作. (1)第一次操作后,剩下的矩形的周长为　　　　;  (2)当n=3时,a的值为　　　　.  2 或 9 8 7 6 5 4 3 10 微探究小专题3 四边形中的裁剪、折叠问题 返回知识点清单 8.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点E处,AE交CD于点F. (1)试证明△ACF是等腰三角形; 证明:由折叠可得,∠BAC=∠EAC, 由AB∥CD,得∠BAC=∠DCA, ∴∠EAC=∠DCA.∴AF=CF. ∴△ACF是等腰三角形. 9 8 7 6 5 4 3 10 微探究小专题3 四边形中的裁剪、折叠问题 返回知识点清单 (2)求CF的长. 解:设CF=x,则AF=x,DF=4-x, ∵∠D=90°, ∴在Rt△ADF中,根据勾股定理,得AD2+DF2=AF2,即32+(4-x)2=x2,解得x=. ∴CF的长为. 9 8 7 6 5 4 3 10 微探究小专题3 四边形中的裁剪、折叠问题 返回知识点清单 类型3　折叠中的最值 9.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E是BC边上的一个动点,将△ABE沿AE折叠,得到△AFE,则当CF最小时,折痕AE的长为　　　　.  3 9 8 7 6 5 4 3 10 微探究小专题3 四边形中的裁剪、折叠问题 返回知识点清单 10.如图,将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠,使点C刚好落在线段AD上,且折痕分别与边BC,AD相交,设折叠后C,D的对应点分别为G,H,折痕分别与边BC,AD相交于点E,F. (1)判断四边形CEGF的形状,请证明你的结论; 解:四边形CEGF是菱形. 证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴∠GFE=∠FEC. ∵图形翻折后点G与点C重合,EF为折线,∴∠GEF=∠FEC. ∴∠GFE=∠GEF.∴GF=GE. ∵图形翻折后EC与GE完全重合,∴GE=EC.∴GF=EC. ∴四边形CEGF为平行四边形.∴四边形CEGF为菱形. 9 8 7 6 5 4 3 10 微探究小专题3 四边形中的裁剪、折叠问题 返回知识点清单 (2)若AB=3,BC=9,求线段CE的最大值和最小值. 解:如图1,当点F与点D重合时,CE取最小值, 由折叠的性质,得CE=GE,CD=DG,∠CDE=∠GDE=45°, ∵∠ECD=90°,∴∠DEC=45°=∠CDE. ∴CE=CD=DG=GE. ∵DG∥CE,∴四边形CEGD是正方形. ∴CE=CD=AB=3. 如图2,当点G与点A重合时,CE取最大值, 由折叠的性质,得AE=CE, ∵∠B=90°,∴AE2=AB2+BE2, 即CE2=32+(9-CE)2.解得CE=5. 综上所述,CE最小为3,CE最大为5. 图1 图2 9 8 7 6 5 4 3 10 微探究小专题3 四边形中的裁剪、折叠问题 返回知识点清单 $$第十八章 平行四边形 周测（18.1.118.1.2） 第十八章 平行四边形 一、选择题(共10题,每题4分,共40分) 1.下列说法正确的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.平行四边形是轴对称图形 B.平行四边形的邻边相等 C.平行四边形的对角线互相垂直 D.平行四边形的对角线互相平分 2.点A,B,C,D在同一平面内,从①AB∥DC;②AB=DC;③BC∥AD;④BC=AD这四个条件中任意选取两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有 (　　) A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 D C 7 6 5 4 3 2 1 8 10 9 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 3.[2023·廊坊第四中期中]如图,在△ABC中,DE是△ABC的中位线,F是边BC的中点,连接DF,若BC=6,AC=4,则四边形DFCE的周长为 (　　) A.8 B.10 C.12 D.14 B 7 6 5 4 3 2 1 8 10 9 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 4.[教材第46页例3改编]如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F分别为OA,OC的中点,连接BE,ED,DF,FB.求证:四边形EBFD是平行四边形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, … ∴四边形EBFD是平行四边形. 上面缺少的过程的顺序是打乱的: ①∵E,F分别为OA,OC的中点, ②∴OE=OF. ③∴OA=OC,OB=OD. 则正确顺序是 (　　) A.③①② B.①②③ C.①③② D.②①③ A 7 6 5 4 3 2 1 8 10 9 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 5.在平行四边形ABCD中,∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D的值可以是 (　　) A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2 ∶3 ∶2 ∶3 6.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且互相平分,则图中全等三角形的对数有 (　　) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 D D 7 6 5 4 3 2 1 8 10 9 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 7.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在CD,BC的延长线上,AE∥BD, EF⊥BF,AB=,EF=4,则CF的长是 (　　) A. B. C.2 D. C 7 6 5 4 3 2 1 8 10 9 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 8.[2021·河北中考]如图1,▱ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角.要在对角线BD上找两点N,M,使四边形ANCM为平行四边形,现有图2中的甲、乙、丙三种方案,则正确的方案 (　　) 图2 A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、乙才是 C.只有甲、丙才是 D.只有乙、丙才是 A 7 6 5 4 3 2 1 8 10 9 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 9.[2023·廊坊第四中期中]如图,M是▱ABCD一边上任意一点,设△AMD的面积为S1,△BMC的面积为S2,△CDM的面积为S,则 (　　) A.S=S1+S2 B.S>S1+S2 C.S<S1+S2 D.不能确定 A 7 6 5 4 3 2 1 8 10 9 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 10.如图,已知△ABC是边长为6的等边三角形,D是线段BC上的一个动点(点D不与点B,C重合),△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交线段AB,AC于点F,G,连接BE和CF,则下列结论中:①BE=CD;②∠BDE=∠CAD;③四边形BCGE是平行四边形;④当CD=2时,S△AEF=2,其中正确的有 (　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 A 7 6 5 4 3 2 1 8 10 9 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 二、填空题(共4题,每题5分,共20分) 11.在四边形ABCD中,AD∥BC,请添加一个条件　　 　　,使四边形ABCD是平行四边形.  12. 【易错题】在一个平行四边形中,若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段,该平行四边形的周长是　　　 　. AD=BC(或AB∥CD) 14 cm或16 cm 11 12 14 13 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 13. 【原创题】如图,在△ABC中,AB⊥BC,∠A=30°,AB=4,D是边AC上一动点,以A,B,D三个点为顶点构造平行四边形,第四个顶点为E,则DE的最小值为　　　　.  2 11 12 14 13 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 14. 【推理能力】如图,在图1中,A1,B1,C1分别是△ABC的边BC,CA,AB的中点,在图2中,A2,B2,C2分别是△A1B1C1的边B1C1,C1A1,A1B1的中点,…,按此规律,则第2个图形中平行四边形共有　　个,第n个图形中平行四边形共有　　　　个.  6 3n 11 12 14 13 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 三、解答题(共4题,共40分) 15.(8分)[2023·四川自贡中考]如图,在平行四边形ABCD中,点M,N分别在边AB,CD上,且AM=CN.求证:DM=BN. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD. ∵AM=CN,∴AB-AM=CD-CN,即BM=DN. 又∵BM∥DN,∴四边形MBND是平行四边形. ∴DM=BN. 15 16 18 17 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 16.(10分)如图,在▱ABCD中,BD是它的一条对角线. 求证:△ABD≌△CDB; 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC. 又∵BD=BD,∴△ABD≌△CDB(SSS). 15 16 18 17 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 尺规作图:作BD的垂直平分线EF,分别交AD,BC于点E,F(不写作法,保留作图痕迹); 解:如图所示. 15 16 18 17 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 连接BE,若∠DBE=25°,求∠AEB的度数. 解:如图所示. ∵EF垂直平分BD,∠DBE=25°, ∴EB=ED. ∴∠DBE=∠BDE=25°. ∵∠AEB是△BED的外角, ∴∠AEB=∠DBE+∠BDE= 25°+25°=50°. 15 16 18 17 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 17.(10分)[2023·张家口桥西区期末]如图,AD是△ABC的角平分线,CE∥AD,且与BA的延长线相交于点E,点F在AD的延长线上,连接FC,且FC=AC. 求证:(1)四边形AFCE为平行四边形; 证明:∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAF=∠CAF. 又∵FC=AC,∴∠CAF=∠F.∴∠F=∠BAF.∴AE∥CF. 又∵CE∥AF,∴四边形AFCE为平行四边形. 15 16 18 17 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 求证: (2)△ACE是等腰三角形. 证明:∵四边形AFCE为平行四边形, ∴AE=FC. 又∵FC=AC,∴AE=AC,∴△ACE是等腰三角形. 15 16 18 17 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 18.【几何直观、推理能力】(12分) 如图1,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,M是DC的中点,N是AB的中点. (1)求证:∠PMN=∠PNM. 证明: ∵P是对角线BD的中点,M是DC的中点,N是AB的中点, ∴PM,PN分别是△BCD和△ABD的中位线. ∴PM=BC,PN=AD. ∵AD=BC,∴PM=PN.∴∠PMN=∠PNM. 15 16 18 17 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 (2)如图2,在上边题目的条件下,延长上图中的线段AD交NM的延长线于点E,延长线段BC交NM的延长线于点F. 求证:∠AEN=∠F. 证明:由(1),得∠PMN=∠PNM,MP∥BF,AE∥NP. ∴∠AEN=∠PNM,∠F=∠PMN.∴∠AEN=∠F. (3)若(1)中的∠A+∠ABC=122°,则∠F的度数为　　　　.  29° 15 16 18 17 周测（18.1.118.1.2） 选择题 填空题 解答题 $$第十八章 平行四边形 第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定 第1课时 用边、角、对角线判定平行四边形 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 1.在四边形ABCD中,AD∥BC,若四边形ABCD是平行四边形,则还需要满足 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.∠A+∠B=180° B.∠A+∠C=180° C.∠B+∠C=180° D.∠B+∠D=180° C 基础通关 7 6 5 4 3 2 1 2.如图,将两块含30°角的直角三角尺按照如图的方式摆放在一起,则四边形ABCD是　　　　形,理由是　 .  平行四边 两组对边平行的四边形是平行四边形 第1课时 用边、角、对角线判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3.下列给出的条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的是 (　　) A.AB∥CD,AD=BC B.AB=CD,AD=BC C.∠A=∠B,∠C=∠D D.AB=AD,CB=CD B 7 6 5 4 3 2 1 第1课时 用边、角、对角线判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 4.如图,A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以A,C为圆心、BC,AB长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB,AD,CD,则四边形ABCD是平行四边形.其依据是 (　　) A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 B 7 6 5 4 3 2 1 第1课时 用边、角、对角线判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5.在四边形ABCD中,若∠A+∠C=100°,要使四边形ABCD是平行四边形,则∠B=　　　　. 130° 7 6 5 4 3 2 1 第1课时 用边、角、对角线判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 对角线互相平分的四边形是平行四边形 6.要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形,根据图中所标数据,可以添加的条件是 (　　) A.OC=5 B.OC=3 C.CD=3 D.CD=9 B 7 6 5 4 3 2 1 第1课时 用边、角、对角线判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 7.[教材第46页例3改编]如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F是BD上的两点,若再添加一个条件,就可证出四边形CFAE是平行四边形,请完成以下问题: (1)你添加的条件是　　 　 　;  (2)请根据题目中的条件和你添加的条件进行证明. BE=DF（答案不唯一） 证明:如图,连接AF,CE, ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD. ∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF. ∴四边形CFAE是平行四边形. 7 6 5 4 3 2 1 第1课时 用边、角、对角线判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 8.[2023·河北中考]综合实践课上,嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.图1~图3是其作图过程. (1)作BD的垂直平分线交BD于点O; (2)连接AO,在AO的延长线上截取OC=AO; (3)连接DC,BC,则四边形ABCD即为所求. 在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是 (　　) A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 能力突破 C 10 9 8 11 第1课时 用边、角、对角线判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 9. 【易错题】如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.嘉嘉说:“作DP∥OC,CP∥OD,DP与CP相交于点P,则由O,C,D,P四点构成的四边形是平行四边形.”琪琪说:“作DQ=OC,CQ=OD,DQ与CQ相交于点Q,则由O,C,D,Q四点构成的四边形是平行四边形.”则下列判断正确的是 (　　) A.两人的说法都正确 B.嘉嘉的说法正确,琪琪的说法不正确 C.嘉嘉的说法不正确,琪琪的说法正确 D.两人的说法都不正确 B 10 9 8 11 第1课时 用边、角、对角线判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 10. 【原创题】如图△ABC,用无刻度的直尺和圆规作平行四边形ABCD(保留作图痕迹,不写作法),至少用两种不同的方法. 解:(答案不唯一)如图所示. 10 9 8 11 第1课时 用边、角、对角线判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 11.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于点E,E是BD的中点,过A点作AF∥BD交CD的延长线于点F. (1)求证:AE=CE. 证明:∵AD∥BC , ∴∠ADB=∠CBD ,∠CAD=∠ACB. ∵E是BD的中点,∴DE=BE . ∴△ADE≌△CBE(AAS).∴AE=CE. 10 9 8 11 第1课时 用边、角、对角线判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 (2)求证:四边形ABDF是平行四边形. 证明:由(1),得AE=CE, ∵DE=BE,∴四边形ABCD 是平行四边形. ∴AB∥CD.∴AB∥DF . ∵AF∥BD, ∴四边形ABDF是平行四边形. 10 9 8 11 第1课时 用边、角、对角线判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 (3)若AB=4,AF=8,∠F=30°,求四边形ABCF的面积. 解:如图,过点D作DG⊥AF于点G,过点C作CH⊥BD 于点H. ∵四边形ABDF是平行四边形,AB=4,AF=8, ∴CD=AB=DF=4,BD=AF=8,BD∥AF. ∵∠F=30°,∴∠BDC=∠F=30° . 在Rt△DFG 中,DG=DF=×4=2 , 在Rt△DCH中,CH=CD=×4=2, ∴四边形ABCF的面积=S▱ABDF+S△BCD = DG·AF+BD·CH=2×8+×8×2=24. 10 9 8 11 第1课时 用边、角、对角线判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 12. 【模型思想、推理能力】如图1所示,四边形ABCD是某乐园一个主题区域的平面示意图,A,B,C,D分别是该区域的四个入口,两条主干道AC,BD交于点O,且AO=CO,BO=DO.请你帮助乐园的管理人员解决以下问题: (1)求证:四边形ABCD是平行四边形. 素养达标 12 证明:∵AO=CO,BO=DO, ∴四边形ABCD是平行四边形. 第1课时 用边、角、对角线判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 (2)若AB=1.3km,AC=2km,BD=2.6km,如图2,乐园的管理人员为提升游客游览的体验感,准备修建三条绿道AN,MN,CM,其中点M在OB上,点N在OD上,且BM=ON(点M与点O,B不重合),并计划在△AON与△COM两块绿地所在区域种植花期长久的马鞭草,求种植马鞭草区域的面积. 12 第1课时 用边、角、对角线判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 解:∵四边形ABCD是平行四边形,AB=1.3 km,AC=2 km,BD=2.6 km, ∴OA=AC=1 km,OB=BD=1.3 km. ∴AB=OB=1.3 km.∴△AOB是等腰三角形. 如图,连接AM,过点B作BE⊥OA于点E, ∵AB=BO,BE⊥AO,∴AE=OE=OA=0.5 km. ∴BE==1.2 km. ∴S△AOB=OA·BE=×1×1.2=0.6(km2).∵OA=OC,BM=ON, ∴S△COM=S△AOM,S△ABM=S△AON. ∴S△AON+S△COM=S△ABM+S△AOM=S△AOB=0.6 km2. ∴种植马鞭草区域的面积为0.6km2. 12 第1课时 用边、角、对角线判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 (3)若将该区域扩大,如图3,此时AC⊥BD,AC=6km,BD=3km,BM=ON,修建(2)中的绿道每千米费用为4万元,请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值. 12 第1课时 用边、角、对角线判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 解:如图所示,过点M作MP∥AN,过点A作AP∥MN交MP于点P,则四边形APMN是平行四边形,∴AN=PM,AP=MN. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=BD=1.5 km. ∵BM=ON,∴MN=ON+OM=BM+OM=OB=1.5 km. ∴AP=MN=1.5 km.∴AN+MN+CM=PM+CM+1.5. ∴当C,M,P三点共线时,PM+CM最小,即AN+MN+CM最小,最小值为PC+1.5. 在Rt△APC中,由勾股定理,得PC==km, ∴AN+MN+CM的最小值为km. ∴修建这三条绿道投入资金的最小值为×4=万元. 12 第1课时 用边、角、对角线判定平行四边形 能力突破 素养达标 基础通关 $$第十八章 平行四边形 第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定 第3课时 三角形的中位线 三角形中位线的定义 1.在△ABC中,D,E,F分别是三边的中点,则下列选项中,是三角形中位线的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.AF B.BE C.CD D.EF 2.如图,在△ABC中,DE是△ABC的中位线,延长DE到点F,使EF=DE,连接AF,CF,CD,则下列结论中,不一定正确的是 (　　) A.四边形ADCF一定是平行四边形 B.AF=CD C.CF=AD D.AC=DF D 基础通关 D 7 6 5 4 3 2 1 8 第3课时 三角形的中位线 能力突破 素养达标 基础通关 3 三角形中位线的性质 3.[教材第49页练习第3题改编]如图,A,B两地被池塘隔开,小明在AB外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E.为了测出A,B两地间的距离,则可以选择测量以下线段中哪一条的长度 (　　) A.AC B.AD C.DE D.CD 4.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是线段AB,CD,AC,BD的中点,则四边形EGFH的周长 (　　) A.只与AB,CD的长有关 B.只与AD,BC的长有关 C.只与AC,BD的长有关 D.与四边形ABCD各边的长都有关 C B 7 6 5 4 3 2 1 8 第3课时 三角形的中位线 能力突破 素养达标 基础通关 5.[2023·四川泸州中考]如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边AB相交于点P,E是PD的中点,若AD=4,CD=6,则EO的长为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 6. 【易错题】如图,在等边三角形ABC中,中线AD,BE交于点F,则图中共有　　　　个等腰三角形.  7.如图,在△ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点.若AC=5,四边形BDEF的周长是10,则△ABC的周长是　　　　.  A 6 15 7 6 5 4 3 2 1 8 第3课时 三角形的中位线 能力突破 素养达标 基础通关 8. 【原创题】如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,E是BC的中点,连接OE,且AC⊥AB,∠CAD=30°.求证:BC=4OE. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=OC, AD∥BC. ∵E是BC的中点,∴BE=CE.∴AB=2OE. ∵AD∥BC,∠CAD=30°,∴∠ACB=30°. ∵AC⊥AB,∴BC=2AB.∴BC=4OE. 7 6 5 4 3 2 1 8 第3课时 三角形的中位线 能力突破 素养达标 基础通关 9.[2023·保定三中期末]如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于点D,BD=,若E,F分别为AB,BC的中点,则EF的长为 (　　) A. B. C. D. 能力突破 A 11 10 9 12 第3课时 三角形的中位线 能力突破 素养达标 基础通关 10.[2023·石家庄三模]现有一四边形ABCD,借助此四边形作平行四边形EFGH,两位同学提供了如下方案,对于方案I、Ⅱ,下列说法正确的是 (　　) A.Ⅰ可行,Ⅱ不可行 B.Ⅰ不可行,Ⅱ可行 C.Ⅰ,Ⅱ都可行 D.Ⅰ,Ⅱ都不可行 C 方案Ⅰ 分别作边AB,BC,CD,AD的垂直 平分线l1,l2,l3,l4,交AB,BC,CD,AD 于点E,F,G,H,顺次连接,这四点 围成的四边形EFGH即为所求 方案Ⅱ 连接AC,BD,过四边形ABCD各 顶点分别作AC,BD的平行线EF, GH,EH,FG,这四条平行线围成 的四边形EFGH即为所求 11 10 9 12 第3课时 三角形的中位线 能力突破 素养达标 基础通关 11.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有▱ADCE中,DE的最小值是　　　　　.  3 11 10 9 12 第3课时 三角形的中位线 能力突破 素养达标 基础通关 12.如图,D是△ABC内一点,E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点. (1)求证:四边形EFGH是平行四边形; 证明:∵E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点, ∴EF∥BC,EF=BC,GH∥BC,GH=BC. ∴EF∥GH,EF=GH. ∴四边形EFGH是平行四边形. 11 10 9 12 第3课时 三角形的中位线 能力突破 素养达标 基础通关 (2)如果∠BDC=90°,∠DBC=30°,AD=6,CD=3,求四边形EFGH的周长. 解:∵E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点,∴EH=AD,FG=AD. ∵AD=6,∴EH=FG=3. ∵∠BDC=90°,∠DBC=30°,CD=3, ∴BC=2CD=6.∴EF=GH=BC=3. ∴四边形EFGH的周长为3×4=12. 11 10 9 12 第3课时 三角形的中位线 能力突破 素养达标 基础通关 13. 【几何直观、推理能力】如图,在△ABC中,D是BC边的中点,点E在△ABC内,AE平分∠BAC,CE⊥AE,点F在边AB上,EF∥BC. (1)求证:四边形BDEF是平行四边形. 素养达标 13 证明:如图所示,延长CE交AB于点G. ∵AE⊥CE,AE平分∠BAC,∴△ACG是等腰三角形. ∴AC=AG,E是CG的中点. ∵D是边BC的中点, ∴DE是△BCG的中位线,∴DE∥AB. 又∵EF∥BC,∴四边形BDEF是平行四边形. 第3课时 三角形的中位线 能力突破 素养达标 基础通关 13 线段BF,AB,AC之间的数量关系是AB=2BF+AC. 证明:∵四边形BDEF是平行四边形,∴DE为△BCG的中位线,AC=AG, ∴BF=DE,DE=BG.∴BF=BG. ∵AB=BG+AG, ∴AB=2BF+AC. (2)判断线段BF,AB,AC之间具有怎样的数量关系?请证明你所得到的结论. 第3课时 三角形的中位线 能力突破 素养达标 基础通关 $$第十八章 平行四边形 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形 第1课时 矩形的性质 矩形的概念 1. 【原创题】如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC=65°,固定BC边不动,AB边绕B点转动得到平行四边形A1BCD1,要使平行四边形A1BCD1成为矩形,则∠ABA1的度数是(　　)　　　　　　　　　　　　　　 A.90° B.25° C.35° D.不能确定 B 基础通关 7 6 5 4 3 2 1 8 9 第1课时 矩形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 3 2.[2023·石家庄第二十一中期中改编]如图,已知直线m∥n,点A,C分别在直线m,n上,且AB⊥直线n,垂足为B,P为直线m上的动点.关于甲、乙的说法,下列判断正确的是 (　　) 甲:点P到直线n的距离等于AB的长度; 乙:若PC∥AB,则四边形ABCP是矩形. A.只有甲正确 B.只有乙正确 C.甲、乙都正确 D.甲、乙都不正确 C 7 6 5 4 3 2 1 8 9 第1课时 矩形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 矩形的四个角都是直角 3.[2023·承德平泉市期末]如图,矩形ABCD是一个正在倒水的水杯的截面图,杯中水面与CD的交点为E,当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时,∠AED的大小为 (　　) A.27° B.53° C.57° D.63° 4.[2023·浙江台州中考]如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为F,则BF的长为　　　　.  D 2 7 6 5 4 3 2 1 8 9 第1课时 矩形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 5.如图,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为E,AE与CD交于点F. (1)求证:△DAF≌△ECF; 证明:将矩形ABCD沿对角线AC折叠, 则AD=BC=EC,∠D=∠B=∠E=90°. 在△DAF和△ECF中, ∴△DAF≌△ECF(AAS). 7 6 5 4 3 2 1 8 9 第1课时 矩形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 6.[教材第53页例1改编]如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若∠AOD=120°,AB=3,则BC的长为　　　　.  7.如图,在矩形ABCD中,两对角线相交于点O,AE⊥BD于点E,若∠DAE=3∠BAE,则∠DAE=　　　　,∠DAO=　　　　.  3 67.5° 22.5° 7 6 5 4 3 2 1 8 9 第1课时 矩形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 8.如图,在△ABC中∠ABC=90°,D是AC边上的中点,AB=6,BC=8,则BD=　　　　.  5 7 6 5 4 3 2 1 8 9 第1课时 矩形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 9.在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,F是BC的中点,若∠DFE=60°,判断△DEF的形状,请说明理由. 解:△DEF是等边三角形. 理由:∵CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,F是BC的中点, ∴EF=DF=BC. ∵∠DFE=60°,∴△DEF是等边三角形. 7 6 5 4 3 2 1 8 9 第1课时 矩形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 10.如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,BC=10,P为边BC上一动点,过点P作PE∥AC交AB于点E,过点P作PF∥AB交AC于点F,连接EF,则EF的最小值为 (　　) A. B. C. D. 能力突破 C 12 11 10 13 第1课时 矩形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 11. 【易错题】若矩形一个角的平分线把矩形一边分为2cm和3cm两部分,则这个矩形的面积为　　　 　.  12.如图,在矩形ABCD中,点M在AB边上,把△BCM沿直线CM折叠,使点B落在AD边上的点E处,连接EC,过点B作BF⊥EC,垂足为F,若CD=1,CF=2,则线段AE的长为　　　　. 10 cm2或15 cm2 -2 12 11 10 13 第1课时 矩形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 13.如图,长方形纸片 ABCD,AD∥BC,将长方形纸片折叠, 使点 D 与点 B 重合,点 C 落在点 C'处,折痕为 EF. (1)求证:BE=BF. 证明:由题意,得∠BEF=∠DEF, ∵四边形 ABCD 为矩形,∴DE∥BF. ∴∠BFE=∠DEF.∴∠BEF=∠BFE. ∴BE=BF. 12 11 10 13 第1课时 矩形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 (2)若∠ABE=24°,求∠BFE 的度数. 解:∵四边形 ABCD 为矩形, ∴∠ABF=90°. ∵∠ABE=24°,∴∠EBF=90°-24°=66° . 又∵BE=BF,∴∠BFE ==57°. 12 11 10 13 第1课时 矩形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 (3)若 AB=4,AD=8,求 AE 的长. 解:由题意知,BE=DE, 设 AE=x,则 BE=DE=8-x. 在Rt△ABE中,由勾股定理,得(8-x)2=42+x2,解得x=3. ∴ AE 的长为 3. 12 11 10 13 第1课时 矩形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 14. 【几何直观、推理能力】在矩形ABCD中,AB=4,BC=3.若P是CD上任意一点,如图1,PE⊥BD于点E,PF⊥AC于点F. (1)猜想PE和PF之间有怎样的数量关系,请写出你的理由. 素养达标 14 解:(1)PE+PF=. 理由:如图,连接OP.设点C到BD的距离为h1, 在Rt△BCD中,由勾股定理,得BD===5, 由S△BCD=BD·h1=BC·CD,得h1===. ∵四边形ABCD是矩形,∴OC=OD. 由S△COD=S△DOP+S△COP,得OD·h1=OD·PE+OC·PF, 化简,得PE+PF=h1=. 第1课时 矩形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 解:PE+PF=. (2)当P是AD上任意一点时,如图2,直接写出PE和PF之间的数量关系; 14 第1课时 矩形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 (3)当P是DC上任意一点时,如图3,猜想PE和PF之间有怎样的数量关系,请写出推理过程. PF-PE=. 证明:如图,连接OP,BP. 由S△BPD=S△COD+S四边形BOCP=S△COD+S△COP+S△BOP, 得BD·PF=OD·h1+OC·PE+OB·PF. 化简,得2PF=h1+PE+PF,即PF-PE=h1=. 14 第1课时 矩形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 $$第十八章 平行四边形 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质 菱形的概念 1.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,则四边形ODEC是　　　　.  菱形 基础通关 7 6 5 4 3 2 1 8 第1课时 菱形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 3 菱形的四条边相等 2. 【原创题】如图,已知菱形ABCD的周长为20cm,对角线AC,BD相交于O点,∠CBA=120°,DH⊥AB于点H,连接OH,则OH的长为　　　　cm.  2.5 7 6 5 4 3 2 1 8 第1课时 菱形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 3.[2023·浙江嘉兴中考]如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF. (1)求证:AE=AF; 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,∠B=∠D, 又∵AE⊥BC,AF⊥CD, ∴∠AEB=∠AFD=90°. ∴△ABE≌△ADF(AAS).∴AE=AF. 7 6 5 4 3 2 1 8 第1课时 菱形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 (2)若∠B=60°,求∠AEF的度数. 解:∵四边形ABCD是菱形,∴∠B+∠BAD=180°. ∵∠B=60°,∴∠BAD=120°. 又∵∠AEB=90°,∠B=60°,∴∠BAE=30°. 由(1)知,△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF=30°. ∴∠EAF=120°-30°-30°=60°. ∵AE=AF,∴△AEF等边三角形.∴∠AEF=60°. 7 6 5 4 3 2 1 8 第1课时 菱形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 4.[2023·浙江丽水中考]如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为 (　　) A. B.1 C. D. D 7 6 5 4 3 2 1 8 第1课时 菱形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 5.[2023·武安期末]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OE⊥AD,垂足为E,AC=8,BD=6,则OE的长为　　　　 .  7 6 5 4 3 2 1 8 第1课时 菱形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 6.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N.求证:(1)△ADE≌△CDF. 证明:由菱形的性质可知,∠DAE=∠DCF,AB=BC=CD=DA, ∵ BE=BF,∴AB-BE=BC-BF,即AE=CF. 在△ADE和△CDF中, ∴△ADE≌△CDF(SAS). 7 6 5 4 3 2 1 8 第1课时 菱形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 求证：(2)ME=NF. 证明:如图,连接BD交AC于点O. 由菱形的性质可知,AC⊥BD,∠ADO=∠CDO,∴∠DOM=∠DON=90°. 由(1)知,△ADE≌△CDF,∴∠ADE=∠CDF,DE=DF. ∴∠ADO-∠ADE=∠CDO-∠CDF,即∠MDO=∠NDO. 在△MDO和△NDO中, ∴△MDO≌△NDO(ASA).∴DM=DN. ∴DE-DM=DF-DN.∴ME=NF. 7 6 5 4 3 2 1 8 第1课时 菱形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 菱形的面积公式 7.[2023·甘肃武威中考]如图,将矩形ABCD对折,使边AB与DC,BC与AD分别重合,展开后得到四边形EFGH.若AB=2,BC=4,则四边形EFGH的面积为 (　　) A.2 B.4 C.5 D.6 B 8.[教材第57页练习第2题改编]已知菱形的周长为8,一条对角线的长为2,则菱形另一条对角线的长为　　　　,菱形的面积为　　　　.  2 2 7 6 5 4 3 2 1 8 第1课时 菱形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 9.[2023·保定十七中期末]如图,菱形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,若AC=12,菱形ABCD的面积为96,EO∥AD,则EO的长为 (　　) A.6 B.5 C.10 D.8 能力突破 B 10 9 11 10. 【易错题】[2023·浙江绍兴中考]如图,在菱形ABCD中,∠DAB=40°, 连接AC,以点A为圆心、AC长为半径画弧,交直线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是　　 　.   10°或80° 第1课时 菱形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 11.[2023·廊坊第四中期中]如图,已知在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,延长DC到点E,使CE=CD,延长BC到点F,使CF=BC,顺次连接点B,E, F,D,且BD=1,AC=. (1)求菱形ABCD的面积; 解:∵四边形ABCD是菱形,BD=1,AC=, ∴S菱形ABCD=AC·BD=××1=. 10 9 11 第1课时 菱形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 (2)求证:四边形BEFD是矩形; 证明:∵CE=CD,CF=BC,∴四边形BEFD是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD,∴BF=DE. ∴四边形BEFD是矩形. (3)四边形BEFD的周长为　　　　. 2+2 10 9 11 第1课时 菱形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 12. 在菱形ABCD中,∠ABC=60°中,P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE,点E的位置随点P的位置变化而变化. (1)如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE. ①BP与CE的数量关系是什么?请写出结论并证明. 素养达标 12 解:BP=CE. 证明:如图所示,连接AC.∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°, ∴△ABC是等边三角形.∴AB=AC,∠BAC=60°. ∵△APE是等边三角形,∴AP=AE ,∠PAE=60° . ∴∠BAP=∠CAE. ∴△ABP≌△ACE(SAS).∴BP=CE. 第1课时 菱形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 ②CE与AD的位置关系是什么?请写出结论并证明. 解:CE⊥AD. 证明:如图所示,连接AC,延长CE交AD于点F. ∵菱形对角线平分对角,∴∠ABD=∠ABC=30°. ∵△ABP≌△ACE,∴∠ACF=∠ABD=30°. ∵∠ACD=∠ADC=60°,∴∠DCF=30°. ∴∠DCF+∠ADC=90°.∴∠CFD=90°. ∴CF⊥AD ,即CE⊥AD. 12 第1课时 菱形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 (2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理) . 12 第1课时 菱形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 解:(1)中的结论:BP=CE,CE⊥AD 仍然成立. 选择题图3进行证明. 证明:如图所示,连接AC,设CE交AD于点H. ∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,∴△ABC和△ACD都是等边三角形. ∴AB=AC,∠BAD=120° ,∠BAP=120°+∠DAP. ∵△APE是等边三角形,∴AP=AE ,∠PAE=60° . ∴∠CAE=60°+60°+∠DAP=120°+∠DAP. ∴∠BAP=∠CAE.∴△ABP≌△ACE(SAS). ∴BP=CE,∠ACE=∠ABD=30°. ∴∠DCE=30° . ∵∠ADC=60°,∴∠DCE+∠ADC=90° . ∴∠CHD=90° .∴CE⊥AD. ∴(1)中的结论:BP=CE,CE⊥AD 仍然成立. 12 第1课时 菱形的性质 能力突破 素养达标 基础通关 $$第十八章 平行四边形 章末整合集训 第十八章 平行四边形 知识点清单 平行四边形的性质与判定 三角形的中位线 矩形、菱形的性质与判定 正方形的性质与判定 平行四边形的性质与判定 1.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数有 (　　) ①图甲,DE⊥AC,BF⊥AC; ②图乙,DE平分∠ADC,BF平分∠ABC; ③图丙,E是AB的中点,F是CD的中点; ④图丁,E是AB上一点,EF⊥AB. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 3 2 1 章末整合集训 返回知识点清单 2.如图,在▱ABCD中,AD=10,对角线AC 与BD相交于点O,AC+BD=22,则△BOC的周长为　　　　.  21 3 2 1 章末整合集训 返回知识点清单 3.[2023·重庆中考]学习了平行四边形后,小虹进行了拓展性研究.她发现,如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线,那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分. 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空: 用直尺和圆规,作AC的垂直平分线交DC于点E,交AB于点F,垂足为O.(只保留作图痕迹) 解:作图如图所示. 3 2 1 章末整合集训 返回知识点清单 已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC是对角线,EF垂直平分AC,垂足为O. 求证:OE=OF. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DC∥AB. ∴∠ECO= ①　　　　　　.  ∵EF垂直平分AC, ∴②　　　　　　.  又∵∠ECO=③　　　　　　.  ∴△COE≌△AOF(ASA). ∴OE=OF. ∠FAO AO=CO ∠FOA 3 2 1 章末整合集训 返回知识点清单 小虹再进一步研究发现,过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征.请你依照题意完成下面命题: 过平行四边形对角线中点的直线④　　　　 　.  　　　　 　.  被一组对边截得的线段被对角线的中点平分 3 2 1 章末整合集训 返回知识点清单 三角形的中位线 4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点.若EF的长为10,则CD的长为　　　　.  10 5 4 章末整合集训 返回知识点清单 5.在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边的中点,顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形. (1)我们知道:无论四边形ABCD怎样变化,它的中点四边形EFGH都是平行四边形.特殊的: ①当对角线AC=BD时,四边形ABCD的中点四边形为　　　　形;  ②当对角线AC⊥BD时,四边形ABCD的中点四边形是　　　　形.  菱 矩 5 4 章末整合集训 返回知识点清单 (2)如图,在四边形ABCD中,已知∠B=∠C=60°,且BC=AB+CD,请利用(1)中的结论,判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明. 5 4 章末整合集训 返回知识点清单 解:四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形. 证明:如图,分别延长BA,CD相交于点M,连接AC,BD. ∵∠ABC=∠BCD=60°,∴△BCM是等边三角形, ∴MB=BC=CM,∠M=60°. ∵BC=AB+CD,∴MA=CD,DM=AB.∴MA+AB=AB+CD=CD+DM, 在△ABC和△DMB中, ∴△ABC≌△DMB(SAS).∴AC=DB. ∴四边形ABCD的对角线相等,中点四边形EFGH是菱形. 5 4 章末整合集训 返回知识点清单 矩形、菱形的性质与判定 6.[2023·石家庄第四十中期中]下列说法中,错误的是 (　　) A.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C.有一个内角是直角的四边形是矩形 D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形 C 8 7 6 章末整合集训 返回知识点清单 7.如图,线段 AB的长为10,点 D在 AB 上,△ACD是边长为3的等边三角形,过点 D作与 CD垂直的射线 DP,过 DP上一动点 G(不与 D重合)作矩形 CDGH,记矩形 CDGH的对角线交点为 O,连接 OB,则线段 OB的最小值为 (　　) A.4 B.5 C.3 D.4 B 8 7 6 章末整合集训 返回知识点清单 8.[2023·廊坊安次区期末]如图1,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD. (1)求证:∠DAC=∠DCA; 证明:∵AB∥DC,∴∠OAB=∠DCA. ∵AC平分∠BAD,∴∠OAB=∠DAC. ∴∠DAC=∠DCA. (2)求证:四边形ABCD是菱形; 证明:∵AB∥DC,AB=DC,∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠DAC=∠DCA,AD=DC, ∴平行四边形ABCD是菱形. 8 7 6 章末整合集训 返回知识点清单 (3)如图2,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.若AB=, BD=2,求OE的长. 解:∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,OB=OD,BD⊥AC. ∵CE⊥AB,∴OE=OA=OC.∵BD=2,∴OB=BD=1. 在Rt△AOB中,由勾股定理,得OA===2, ∴OE=OA=2. 8 7 6 章末整合集训 返回知识点清单 正方形的性质与判定 9.[2023·廊坊广阳区二模]如图,一个四边形顺次添加下列条件中的三个便可以得到正方形: a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等 d.一个角是直角 顺次添加的条件: ①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c. 则正确的是 (　　) A.仅① B.仅③ C.①② D.②③ C 10 9 章末整合集训 返回知识点清单 10.教材中有这样一道题:如图1,四边形ABCD是正方形,G是BC上的任意一点,DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F.求证:AF-BF=EF. 小明通过证明△AED≌△BFA解决了问题,在此基础上他进一步提出了以下问题,请你解答. 10 9 章末整合集训 返回知识点清单 (1)若图1中的G为CB延长线上一点,其余条件不变,如图2所示,猜想此时AF,BF,EF之间的数量关系,请证明你的结论. 解:AF+BF=EF. 证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°. ∴∠BAG+∠EAD=90°. ∵DE⊥AG,∴∠AED=90°. ∴∠EAD+∠ADE=90°.∴∠ADE=∠BAF. 又∵BF∥DE,∴∠AFB=∠AED=90°. ∴△AED≌△BFA.∴BF=AE. ∵AF+AE=EF,∴AF+BF=EF. 10 9 章末整合集训 返回知识点清单 (2)将图1中的△ABF绕点A逆时针旋转,使得AB与AD重合,记此时点F的对应点为点F',如图3所示,若正方形的边长为3,求EF'的长度. 解:由题意得△AED≌△BFA,∴AF=DE, 由旋转的性质知,∠FAF'=90°,DE=AF'=AF, ∴∠F'AE=∠AED=90°,∴AF'∥DE. ∴四边形AEDF'为平行四边形. 又∵∠AED=90°,∴四边形AEDF'是矩形. ∴EF'=AD=3. 10 9 章末整合集训 返回知识点清单 $$