第1章 勾股定理 基础题过关检测【6个考点50题专练】2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第1章 勾股定理 基础题过关检测【6个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 考点梳理 一．勾股定理 二．勾股定理的证明 三．勾股定理的逆定理 四．勾股数 五．勾股定理的应用 六．平面展开−最短路径问题 考点精讲精练 一．勾股定理 · 勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 1．（2024春•旅顺口区校级月考）如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为　　 A．225 B．200 C．150 D．15 2．（2024春•高安市月考）在等腰直角三角形中，，，，的对应边长分别为，，，则下列式子成立的是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•宁河区期中）如图，直角三角形的三边长分为、、，下列各式正确的是　　 A． B． C． D．以上都不对 4．（2024春•锦江区校级期中）如图，在中，，，且，．则长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024春•凤台县月考）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高是　　 A． B． C． D． 6．（2024春•路南区校级月考）已知一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4，则第三边长是　　 A．5 B．25 C． D．5或 7．（2023秋•三元区期末）在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 8．（2022秋•连平县校级期末）等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为　　，面积为　　． 9．（2023春•靖宇县校级期中）已知直角三角形的两条直角边长分别是1和3，则斜边长等于 　　． 10．（2023春•汉阴县期末）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 　　． 11．（2022春•贺州期中）如图，在中，，，则　　． 12．（2023春•重庆期末）已知一个直角三角形两直角边长分别是1和2，则第三边的长为 　　． 13．（2023春•南昌期末）如图，以直角的三边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则　　． 14．（2023春•吉林期中）如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和，已知，则的长为 　　． 15．（2024春•开州区期中）如图，在中，，点是上一点，，若，，则　　． 16．（2023秋•临泽县校级期中）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，，，则等于 　　． 17．（2022秋•滨海新区校级期中）如图，正方形的边长为，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长等于 　　． 18．（2023秋•建邺区期末）在中，，，，且． （1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点作，垂足为．设． 在中，， 在中，①， ①． 化简得，． ，，②． ． ． 其中，①是 　　；②是 　　． （2）如图②，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系并证明． 19．（2024春•青山区期中）如图，在中，是边上一点，，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 20．（2024春•海淀区校级期中）如图，在中，，，，求长． 21．（2024春•西城区校级月考）如图，四边形中，，，，，，求的长． 22．（2023秋•清远期末）如图，小明计划周末到离家正东方向的书店买书，买完书后再去距离书店正北方向的体育中心打篮球，求小明家距离体育中心有多远？ 23．（2024春•江汉区期中）如图，四边形中，，过点作于点，恰好是的中点，若，，． （1）直接写出四边形的周长； （2）求四边形的面积． 24．（2024春•凉州区期中）在中，，，，求． 25．（2024春•南昌期中）如图，在中，，，，于． 求：（1）的长和的面积；（2）的长． 26．（2024春•朝阳区校级期中）设直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为 （1）已知，，求； （2）已知，，求． 二．勾股定理的证明 · 勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 27．（2024春•龙门县期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图所示的图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是　　 A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．方程思想 28．（2023春•武威期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为，较长直角边为，下列说法： ①；②；③；④． 其中正确结论序号是　　． 三．勾股定理的逆定理 · 勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 29．（2024春•宁乡市期中）下列各组数，能作为直角三角形三边长的是　　 A．2，3，4 B．3，4，5 C．1，1，2 D．4，6，7 30．（2023秋•衡阳期末）将下列各组数据作为三角形的边长，能够组成直角三角形的是　　 A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 31．（2024春•确山县期中）满足下列条件的，其中是直角三角形的为　　 A． B． C．，， D．， 32．（2023秋•陈仓区期末）下列条件不能判断一个三角形是直角三角形的是　　 A．三个角的比为 B．三条边满足关系 C．三条边的比为 D．三个角满足关系 33．（2024春•西城区校级期中）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是　　 A．1，1，1 B．2，3，4 C． D．1，2，3 34．（2023秋•北碚区期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　 A．1，1， B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，11 35．（2024春•闽侯县期中）下列条件中，，，分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是　　 A． B．，， C．，， D． 36．（2023秋•广平县期末）下列各组数中，能作为直角三角形边长的是　　 A．1，2，3 B．6，7，8 C．1，1， D．5，12，13 37．（2024春•南岗区校级期中）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是　　 A．3，4，5 B．1，1， C．7，25，24 D．8，17，19 38．（2023秋•泰山区期末）在中，，，的对边分别为，，，有以下5个条件：①；②；③；④；⑤．其中能判断是直角三角形的是 　　（填序号）． 39．（2024春•广州期中）四边形中，，，，．求证：． 40．（2024春•会昌县期中）如图，在中，，，，且，． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求四边形的面积． 41．（2024春•新丰县期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在网格的格点上． （1）填空：　　，　　，　　； （2）判断的形状，并说明理由； （3）求的面积． 四．勾股数 · 勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 42．（2023秋•岱岳区期末）下列各组数中，是勾股数的是　　 A．1，2，3 B．8，15，17 C． D．1，2， 43．（2024春•铜梁区期中）下列各组数据中是勾股数的是　　 A．0.3，0.4，0.5 B．1，2， C．4，5，7 D．5，12，13 五．勾股定理的应用 · 勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 44．（2024春•海曙区校级期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远　　 A．10.5步 B．16.5步 C．24.5步 D．25.5步 45．（2023春•东港区校级月考）有两根木棒，分别长，，要再在的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，这第三根木棒要取的长度是　　． 46．（2023春•越秀区校级期中）有一长，宽，高分别为，，的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细，形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是　 　． 47．（2024春•长垣市期中）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是米； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为米； 【问题解决】设旗杆的高度为米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）用含有的式子表示为 　　米； （2）若米，米，请你求出旗杆的高度． （3）保持（2）条件不变，小明在处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂（拉绳处与脚底的连线与地面垂直），后退至将绳子刚好拉直为止（如图，测得小明手臂伸直后的高度为2米，问小明需要后退几米？ 六．平面展开−最短路径问题 · 平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 48．（2021秋•揭西县期末）如图，圆柱的高为，底面半径为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面处的食物，已知四边形的边、恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是 　　．取 49．（2024春•赣州期中）如图①，圆柱的底面直径为，高，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点爬到点的最短路径长多少厘米． （1）图②是将圆柱侧面沿裁剪后展开形成的四边形，点在线段上，求的长取； （2）在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度． 50．（2024•惠州模拟）如图，小方同学发现学校三栋楼围成的平面图是一个扇形，经过测量，，．小方同学站在1号楼梯口处，她想走到2号楼梯口处，三栋楼都有通道可以．请你帮她计算一下，应该走哪条路线比较近．取 第1章 勾股定理 基础题过关检测【6个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．勾股定理 1．（2024春•旅顺口区校级月考）如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为　　 A．225 B．200 C．150 D．15 【答案】 【分析】根据勾股定理得，从而得出答案． 【解答】解：在中，， 由勾股定理得，， 正方形和正方形的面积和为225， 故选：． 2．（2024春•高安市月考）在等腰直角三角形中，，，，的对应边长分别为，，，则下列式子成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，可得为斜边，，为直角边，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：在等腰直角中，，，，的对应边分别是，，， 为斜边，，为直角边， ，， ， 故选：． 3．（2024春•宁河区期中）如图，直角三角形的三边长分为、、，下列各式正确的是　　 A． B． C． D．以上都不对 【分析】由勾股定理即可得出结论，注意是斜边长． 【解答】解：， 由勾股定理得：． 故选：． 4．（2024春•锦江区校级期中）如图，在中，，，且，．则长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 【解答】解：在中，，， ， ， ． 故选：． 5．（2024春•凤台县月考）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】求出三角形的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高． 【解答】解：四边形是正方形，面积是4； ，的面积相等，且都是． 的面积是：． 则的面积是：． 在直角中根据勾股定理得到：． 设边上的高线长是．则， 解得：． 故选：． 6．（2024春•路南区校级月考）已知一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4，则第三边长是　　 A．5 B．25 C． D．5或 【答案】 【分析】根据勾股定理进行计算即可． 【解答】解：和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长是， 即第三边长是5． 故选：． 7．（2023秋•三元区期末）在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】 【分析】在直角三角形中，已知两直角边为6、8，则根据勾股定理即可计算斜边的长度． 【解答】解：在直角三角形中， 根据勾股定理：两直角边的平方和为斜边的平方， 斜边长， 故选：． 8．（2022秋•连平县校级期末）等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为　3　，面积为　　． 【分析】根据等腰三角形的性质求得高的长，从而再根据面积公式求得面积即可． 【解答】解：根据等腰三角形的三线合一得底边上的高也是底边的中线，则底边的一半是4， 根据勾股定理求得底边上的高是3，则三角形的面积． 9．（2023春•靖宇县校级期中）已知直角三角形的两条直角边长分别是1和3，则斜边长等于 　　． 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：直角三角形的两条直角边长分别是1和3， 斜边长， 故答案为：． 10．（2023春•汉阴县期末）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 　20　． 【答案】20． 【分析】由勾股定理求出即可． 【解答】解：由勾股定理得，， 正方形的面积是20， 故答案为：20． 11．（2022春•贺州期中）如图，在中，，，则　4　． 【答案】4． 【分析】由，则为斜边，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：中，，， ， 故答案为：4． 12．（2023春•重庆期末）已知一个直角三角形两直角边长分别是1和2，则第三边的长为 　　． 【答案】． 【分析】利用勾股定理计算即可． 【解答】解：直角三角形的两直角边长分别是1和2， 斜边， 故答案为：． 13．（2023春•南昌期末）如图，以直角的三边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则　12　． 【分析】根据勾股定理的几何意义解答． 【解答】解：直角三角形， ， ，，，，， ． 14．（2023春•吉林期中）如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和，已知，则的长为 　5　． 【答案】5． 【分析】利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：由题意，得：， ， ， 在中，， ， （负值已舍去）． 故答案为：5． 15．（2024春•开州区期中）如图，在中，，点是上一点，，若，，则　1.4　． 【分析】设，在和中，利用勾股定理列式表示出，然后解方程即可． 【解答】解：设，则， 在中，， 在中，， 所以，， 解得， 即． 故答案为：1.4． 16．（2023秋•临泽县校级期中）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，，，则等于 　169　． 【分析】根据勾股定理直接计算即可． 【解答】解：分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆， ． ，， ． 故答案为：169 17．（2022秋•滨海新区校级期中）如图，正方形的边长为，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长等于 　　． 【分析】设剪去三角形的直角边长，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为，即正八边形的边长为，依题意得，解方程即可求出正八边形的边． 【解答】解：设剪去三角形的直角边长，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为，即正八边形的边长为， ， ， 正八边形的边长等于， 故答案为： 18．（2023秋•建邺区期末）在中，，，，且． （1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点作，垂足为．设． 在中，， 在中，①， ①． 化简得，． ，，②． ． ． 其中，①是 　　；②是 　　． （2）如图②，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系并证明． 【答案】（1），； （2），证明见解析． 【分析】（1）在中根据勾股定理即可表示出，从而得出，然后进行判断即可； （2）过点作的延长线，垂足为，设，在和中分别根据勾股定理表示出，然后仿照（1）中的方法判断即可． 【解答】解：（1）如图①，过点作，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 其中，①是；②是； 故答案为：，； （2）； 证明：如图， 过点作的延长线，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 19．（2024春•青山区期中）如图，在中，是边上一点，，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）的长为14． 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】（1）证明：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ； （2）解：， ， ，， ， ， ， 的长为14． 20．（2024春•海淀区校级期中）如图，在中，，，，求长． 【答案】． 【分析】过点作的延长线于点，由可得，得到为等腰直角三角形，即得到，由勾股定理可得，进而得，再根据勾股定理即可求解， 【解答】解：过点作的延长线于点，则， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 21．（2024春•西城区校级月考）如图，四边形中，，，，，，求的长． 【答案】． 【分析】延长，交于点，证明是等边三角形，可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，即可求解． 【解答】解：如图，延长，交于点， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ． 22．（2023秋•清远期末）如图，小明计划周末到离家正东方向的书店买书，买完书后再去距离书店正北方向的体育中心打篮球，求小明家距离体育中心有多远？ 【答案】． 【分析】根据题意易得，，，根据勾股定理列式化简计算，即可作答． 【解答】解：依题意．，，， ， 小明家距离体育中心为． 23．（2024春•江汉区期中）如图，四边形中，，过点作于点，恰好是的中点，若，，． （1）直接写出四边形的周长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质得出的长，再根据勾股定理求出即可推出结果； （2）连接，根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形即可推出结果． 【解答】解：（1）在中，， ， ， 恰好是的中点， ， 四边形的周长； （2）解：连接． ，为的中点， ． 又，， ，． 在中， ，，， ， ． ，， ． 24．（2024春•凉州区期中）在中，，，，求． 【答案】5． 【分析】根据题意可得． 【解答】解：如图， 根据勾股定理可得：． 故答案为：5． 25．（2024春•南昌期中）如图，在中，，，，于． 求：（1）的长和的面积；（2）的长． 【分析】（1）根据勾股定理求得的长；利用三角形的面积公式可求出的面积； （2）再根据三角形的面积公式是一定值求得即可． 【解答】解：（1）在中，，，， ； ； （2）， ， ． 26．（2024春•朝阳区校级期中）设直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为 （1）已知，，求； （2）已知，，求． 【答案】（1）13； （2）． 【分析】直接利用勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）由勾股定理得，； （2）由勾股定理得，． 二．勾股定理的证明 27．（2024春•龙门县期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图所示的图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是　　 A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．方程思想 【答案】 【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：． 28．（2023春•武威期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为，较长直角边为，下列说法： ①；②；③；④． 其中正确结论序号是　①④　． 【分析】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，即四个直角三角形的面积和，从而判断． 【解答】解：直角三角形的斜边长是，则， 大正方形的面积是13，即，①正确； 小正方形的面积是1， ， 则，即， ， 故④正确； 根据图形可以得到，， 而不一定成立，故②错误，进而得到③错误． 故答案为：①④ 三．勾股定理的逆定理 29．（2024春•宁乡市期中）下列各组数，能作为直角三角形三边长的是　　 A．2，3，4 B．3，4，5 C．1，1，2 D．4，6，7 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：时，则三角形为直角三角形． 【解答】解：、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意； 、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故符合题意； 、，不能组构成三角形，故不符合题意； 、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：． 30．（2023秋•衡阳期末）将下列各组数据作为三角形的边长，能够组成直角三角形的是　　 A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：、，不能构成直角三角形，故本选项错误； 、，能构成直角三角形，故本选项正确； 、，不能构成直角三角形，故本选项错误； 、，不能构成直角三角形，故本选项错误． 故选：． 31．（2024春•确山县期中）满足下列条件的，其中是直角三角形的为　　 A． B． C．，， D．， 【答案】 【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【解答】解：、，， 最大角为， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； 、设、、分别为，，， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； 、，，，， 不符合三角形三边关系， 故本选项不符合题意； 、，，， ， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； 故选：． 32．（2023秋•陈仓区期末）下列条件不能判断一个三角形是直角三角形的是　　 A．三个角的比为 B．三条边满足关系 C．三条边的比为 D．三个角满足关系 【答案】 【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【解答】解：、三个角的比为，设最小的角为，则，，，故正确； 、三条边满足关系，故正确； 、三条边的比为，，故错误； 、三个角满足关系，则为，故正确． 故选：． 33．（2024春•西城区校级期中）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是　　 A．1，1，1 B．2，3，4 C． D．1，2，3 【答案】 【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可． 【解答】解：．， 以1，1，1为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； ．， 以2，3，4边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； ．， 以1，，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； ．， 以1，2，3为边不能组成三角形，故本选项不符合题意． 故选：． 34．（2023秋•北碚区期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　 A．1，1， B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，11 【答案】 【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【解答】解：、，三条线段能组成直角三角形，故选项正确； 、，三条线段不能组成直角三角形，故选项错误； 、，三条线段不能组成直角三角形，故选项错误； 、，三条线段不能组成直角三角形，故选项错误； 故选：． 35．（2024春•闽侯县期中）下列条件中，，，分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是　　 A． B．，， C．，， D． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【解答】解：、，能判断为直角三角形，故本选项不符合题意； 、，能判断为直角三角形，故本选项不符合题意； 、，不能判断为直角三角形，故本选项符合题意； 、设，则，能判断为直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 36．（2023秋•广平县期末）下列各组数中，能作为直角三角形边长的是　　 A．1，2，3 B．6，7，8 C．1，1， D．5，12，13 【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 、，能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：． 37．（2024春•南岗区校级期中）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是　　 A．3，4，5 B．1，1， C．7，25，24 D．8，17，19 【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：、，故是直角三角形，故此选项不合题意； 、，故是直角三角形，故此选项不合题意； 、，故是直角三角形，故此选项不合题意； 、，故不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：． 38．（2023秋•泰山区期末）在中，，，的对边分别为，，，有以下5个条件：①；②；③；④；⑤．其中能判断是直角三角形的是 　②③④⑤　（填序号）． 【答案】②③④⑤． 【分析】①求出最大角，可判断不是直角三角形； ②可以得出，可判断是直角三角形； ③以得出，可判断是直角三角形； ④可以得出，可判断是直角三角形； ⑤求出，可判断是直角三角形． 【解答】解：①，， ， 是锐角三角形， 所以此选项不符合题意； ②， 设，则，， ， 是直角三角形， 所以此选项符合题意； ③， 设，则，， ， 是直角三角形， 所以此选项符合题意； ④， ， ， 是直角三角形， 所以此选项符合题意； ⑤， ， ， ， 解得， 是直角三角形， 所以此选项符合题意； 故答案为：②③④⑤． 39．（2024春•广州期中）四边形中，，，，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【解答】证明：在中， ， 在中， ，． ． 是直角三角形， ． 40．（2024春•会昌县期中）如图，在中，，，，且，． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）是直角三角形，理由见解析． （2）44． 【分析】（1）先根据勾股定理求出的值，再由勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）根据即可得出结论． 【解答】解：（1）是直角三角形，理由： ，，， ， ，，， ， 是直角三角形； （2）由（1）知是直角三角形， ． 41．（2024春•新丰县期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在网格的格点上． （1）填空：　　，　　，　　； （2）判断的形状，并说明理由； （3）求的面积． 【答案】（1），，5； （2）是直角三角形，理由见解析； （3）5． 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理即可求解； （3）根据三角形的面积公式，即可求出答案． 【解答】解：（1）根据题意，，，； 故答案为：，，5； （2）是直角三角形，理由如下： ， ， 是直角三角形； （3）． 四．勾股数 42．（2023秋•岱岳区期末）下列各组数中，是勾股数的是　　 A．1，2，3 B．8，15，17 C． D．1，2， 【答案】 【分析】勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 【解答】解：、，不是勾股数； 、，是勾股数； 、，不是勾股数； 、不是正整数，不是勾股数． 故选：． 43．（2024春•铜梁区期中）下列各组数据中是勾股数的是　　 A．0.3，0.4，0.5 B．1，2， C．4，5，7 D．5，12，13 【答案】 【分析】根据勾股数的定义：满足 的三个正整数，称为勾股数．据此进行解题即可． 【解答】解：、由题可知，勾股数中三个数都不是正整数，故不符合题意； 、由题可知，勾股数中三个数不是正整数，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 故选：． 五．勾股定理的应用 44．（2024春•海曙区校级期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远　　 A．10.5步 B．16.5步 C．24.5步 D．25.5步 【答案】 【分析】根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【解答】解：设经秒二人在处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了24.5步， 故选：． 45．（2023春•东港区校级月考）有两根木棒，分别长，，要再在的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，这第三根木棒要取的长度是　13或　． 【分析】分2种情况：①是直角边；②是斜边；根据勾股定理求出第三根木棒的长即可求解． 【解答】解：①是直角边， 第三根木棒要取的长度是； ②是斜边， 第三根木棒要取的长度是； 故答案为：13或． 46．（2023春•越秀区校级期中）有一长，宽，高分别为，，的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细，形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是　　． 【分析】长方体对角线是最长的，当木条在木箱里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出木箱的对角线长度即可． 【解答】解：木箱底面对角线长：， 则木箱对角线长：， 放入的细木条的最大长度是． 47．（2024春•长垣市期中）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是米； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为米； 【问题解决】设旗杆的高度为米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）用含有的式子表示为 　　米； （2）若米，米，请你求出旗杆的高度． （3）保持（2）条件不变，小明在处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂（拉绳处与脚底的连线与地面垂直），后退至将绳子刚好拉直为止（如图，测得小明手臂伸直后的高度为2米，问小明需要后退几米？ 【答案】（1）； （2）9米； （3）米． 【分析】（1）根据旗杆的高度为米，多出部分绳子的长度是米即可得出结论； （2）直接根据勾股定理即可得出的值； （3）由（2）知米，米，米，过点作于点，则，利用勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【解答】解：（1）旗杆的高度为米，多出部分绳子的长度是米， 为米， 故答案为：； （2）米，米， 米，米，米， ，即， 解得（米， 答：旗杆的高度是9米； （3）由（2）知米，米，米， 过点作于点，则米，， ，即， 解得（米 ， 米． 答：小明需要后退米． 六．平面展开−最短路径问题 48．（2021秋•揭西县期末）如图，圆柱的高为，底面半径为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面处的食物，已知四边形的边、恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是 　10　．取 【答案】10． 【分析】求至少要爬多少路程，根据两点之间直线最短，把圆柱体展开，在得到的矩形上连接两点，求出距离即可． 【解答】解：把圆柱体沿着直线剪开，得到矩形如下： 则的长度为所求的最短距离， 根据题意圆柱的高为，底面半径， 则可以知道，底面周长， 底面周长为， ， 根据勾股定理得出， 即， ． 答：蚂蚁至少要爬行路程才能食到食物， 故答案为：10． 49．（2024春•赣州期中）如图①，圆柱的底面直径为，高，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点爬到点的最短路径长多少厘米． （1）图②是将圆柱侧面沿裁剪后展开形成的四边形，点在线段上，求的长取； （2）在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度． 【答案】（1）； （2）画蚂蚁爬行的最短路径见解答； 最短路径的长度为． 【分析】（1）计算出圆柱的底面周长，即为的长； （2）蚂蚁爬行的最短路径就是图②中线段的长，因此连接，即为蚂蚁爬行的最短路径；再利用勾股定理求出即可． 【解答】解：（1）， 答：的长为； （2）蚂蚁爬行的最短路径为线段，如图， 由题意，知，，， 由勾股定理，得， 答：最短路径的长度为． 50．（2024•惠州模拟）如图，小方同学发现学校三栋楼围成的平面图是一个扇形，经过测量，，．小方同学站在1号楼梯口处，她想走到2号楼梯口处，三栋楼都有通道可以．请你帮她计算一下，应该走哪条路线比较近．取 【答案】应该走线段这条路线比较近． 【分析】计算出两条路线的长度，比较即可得到结论． 【解答】解：，． 的长度， ， ， 应该走线段这条路线比较近． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$