浙江期末真题精选（六大题型，压轴题55题）-【尖子生培优】2023-2024学年八年级数学下学期重难点压轴题突破专练（浙教版）

浙江期末真题精选（六大题型，压轴题55题）（原卷版） 目录 一、压轴题一：二次根式综合，10题，难度四星 1 二、压轴题二：一元二次方程与几何综合，10题，难度五星 4 三、压轴题三：数据分析初步，5题，难度四星 9 四、压轴题四：平行四边形综合，10题，难度四星 10 五、压轴题五：特殊平行四边形的综合，10题，难度五星 14 六、压轴题六：反比例函数与几何综合，10题，难度五星 19 一、压轴题一：二次根式综合，10题，难度四星 1．在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则 ； ． 下列选项中正确的有（    ）个． ①若a是的小数部分，则的值为； ②若（其中b、c为有理数），则； ③． A．0 B．1 C．2 D．3 2．设，其中n为正整数，则 ． 3．阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整． ； ； …… 由此，我们可以解决下面这个问题： ，求出S的整数部分． 解： …… ∴S的整数部分是 ． 4．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 5．如图，在平面直角坐标系中，点为原点，点在第一象限内，，为轴正半轴上一点，过点作轴的平行线交的延长线于，点为中点，连交于点，．    (1)直接判断的形状，不需要说理． (2)求证：． (3)求的值． 6．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的． 例如化简，且， . (1)填上适当的数：＝______． (2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值． (3)化简：． 7．（1）已知其中，化简求值； （2）已知，探究m与n的关系． 8．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ； (2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值； (3)化简：． 9．若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明） 例如： 根据以上阅读，请解决下列问题： 【基础训练】 (1)求的值； 【能力提升】 (2)设，求S的整数部分． 【拓展升华】 (3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围． 10．我们规定，若a＋b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）若3与是关于1的平衡数，5－与是关于1的平衡数，求，的值； （2）若（m＋）×（1－）＝－2n＋3（－1），判断m＋与5n－是否是关于1的平衡数，并说明理由． 二、压轴题二：一元二次方程与几何综合，10题，难度五星 11．如图1，在平面直角坐标系中，直线的图象分别交x，y轴于A，B两点，直线的图象分别交x，y轴于C，D两点，且两条直线相交于点E，已知点C的坐标为． . (1)求E点坐标； (2)在直线上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，请求出F点坐标．若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点G为线段上一点，连接，，当时，经过点G的一条直线与x轴负半轴交于点P，与y轴正半轴交于点Q，判断的值是否为定值，若是定值，求出此值；若不是定值，请说明理由． 12．已知平面直角坐标系中，直线图象上有两点 和点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求直线的表达式； (2)若在y轴上有一异于原点的点P，使为等腰三角形，求点P的坐标； (3)若将线段沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线上，当线段与x轴有交点时，求n的取值的最大值． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴、轴于和两点，其中和是方程的两个实数根，且． (1)如图（1），求线段的长； (2)如图（2），点为第三象限一点，射线交于点，连接交轴负半轴于点，的垂直平分线交轴负半轴于点，连接，设的度数为，请用含的式子表示的度数； (3)如图（3），在（2）的条件下，连接，当，时，求点的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，动点在轴正半轴上，，动点自点向终点运动，动点自点向点运动．连接、交于点．且点、点同时出发，同时停止，并都以单位长度秒的速度运动．已知线段的长是方程的一个根．    (1)如图1，当点为线段中点时，求点的坐标． (2)如图2，猜想线段和线段的数量关系，并证明． (3)如图3，当时，求的面积． 15．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“幸福点”，经过点的函数，称为“幸福函数”． (1)若点是“幸福点”，关于x的函数是“幸福函数”，则__________，__________，__________． (2)若关于x的函数和都是“幸福函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值． (3)若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，M是y轴上一点，若将沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处．试问经过C，M两点的一次函数是否可以为“幸福函数”？若可以，请写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由． 16．如图1．在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于、两点．将直线竖直向上平移2个单位后与交于点，与轴交于． (1)求点C的坐标； (2)连接，在直线上是否存在点E，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，已知，，过B作轴且；若点G沿方向以每秒2个单位长度运动，同时，点沿方向以每秒1个单位长度运动经过t秒的运动，到达处，到达处，连接、．问：能否平分？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由． 17．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与直线：交于点A，且，轴于点D，直线与y轴交于E点，点F为线段中点． (1)求点A的坐标； (2)已知动点G在x轴上，动点H在直线上，当四边形周长最小时，连，请求出此时的面积； (3)在第（2）问的条件下，将绕D点逆时针旋转后得到，再沿着x轴平移得到（如图2），在直线上是否存在点P，使得以H，，P为顶点的三角形为以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 18．在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，5）、C（12，0）作矩形，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒． (1)当t=_____时，点P移动到点D； (2)当△OPQ的面积为16时，求此时t的值； (3)当为何值时，△PQB为直角三角形． 19．如图1，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． (1)求直线的函数表达式： (2)如图2，点D的坐标为，连接，将绕点B逆时针旋转得，连接交x轴于点F，请直接写出的长； (3)如图3，射线与y轴交于点G，在第四象限内有一点H，当的面积为3，且的面积为9时连接，将线段，从点B出发，沿射线的方向平移，平移后的线段记为（点在射线上），点M为y轴上的动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点M的坐标． 20．小明同学在一次数学活动课中对直角三角形的折叠问题进行了探究，请你一起思考并完成以下问题． (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将直角三角形纸片ABC沿某条直线折叠，使顶点C落在斜边AB上，EF为折痕，且EF∥AB．若EC=3，FC=4，则CD的长为______． (2)如图2，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将直角三角形纸片ABC沿某条直线折叠，使直角顶点C落在斜边中点D的位置，EF为折痕，CD与EF交于H．若EC=4，FC=3，求AB的长． (3)如图3，在Rt△ABC，∠C=90°，CA=3，BC=4．点E为斜边AB上一点，将直角三角形纸片ABC沿CE折叠，使得点A点的对应点D落在BC边上，连接ED．请把图形按要求补充完整并求折痕CE的长． 三、压轴题三：数据分析初步，5题，难度四星 21．我们把a、b、c三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则k的值为 ． 22．对于一个各个数位数字均不为零的四位自然数p，若千位与百位数字之和等于十位与个位数字之和，则称P为“等和数”．设一个“等和数”满足（，，，a，b，c都为整数），将p的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数，并记；一个两位数，将Q的各个数位数字之和记为；当与的差能被整除时，则所有满足条件的“等和数”p所组成的一组数据的中位数是 ． 23．有一组数据：．将这组数据改变为．设这组数据改变前后的方差分别是,则与的大小关系是 ． 24．重庆实验外国语学校是一所外语小班制教学的特色学校，初二年级某英语小班共有名同学，学号依次为号，号，……20号，现随机分成甲、乙、丙三个小组，每组人数若干．若将乙组的小东（号）调整到甲组，将丙组的小英（号）调整到乙组，此时甲、丙两组同学学号的平均数都将比调整前增加，乙组同学学号的平均数将比调整前增加；同时乙组的小强（号）经过计算发现，他的学号数高于调整前乙组同学学号的平均数，却低于调整后乙组的平均数则调整前甲组共有 名同学． 25．甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差 甲 乙 （1）写出表格中的值： （2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？ 四、压轴题四：平行四边形综合，10题，难度四星 26．已知，如图1，四边形中，，； (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，若平分，连接，，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，过点E作，垂足为F，点S在上，点N在上，若，，，求四边形的面积． 27．如图，在中，，是角平分线，点、分别在、上，且，、分别是、的中点，的延长线交边于，过、分别作的垂线交边与、，垂足分别为、． 求证： (1)； (2)； (3)； 28．中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． (1)若， ①如图①，当点E在线段上时，易证，结合图形，请直接写出线段，，的数量关系是 ；（不需说明理由） ②如图②，当点E在线段的延长线上时，请写出线段，，的数量关系，并证明； (2)如图③，若，当点E在线段延长线上时，猜想并直接写出线段，，的数量关系是 ．（不需说明理由） (3)在（1）、（2）的情况下，若，，则_______．（不需说明理由） 29．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、D两点坐标分别为，且． (1)求A、D两点坐标； (2)点B、C是x轴上两动点（B在C左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点B、C分别在原点两侧时，连接，过点O作交于点G，连接，取中点H，在上截取，使． 求证：； ②当点B在原点左侧时，过点O的直线，分别交、于M、N，请直接写出、、三条线段之间的数量关系． 30．如图1，四边形中，，为上一点，，，； (1)已知，，求； (2)如图2，为上一点，，连接交于，过作于，． ①求证：． ②求证：． 31．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，在轴正半轴上取一点，使，连接． (1)求线段的长； (2)点为线段的中点，动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为个单位长度秒，连接，设的面积为，运动时间为秒，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在（2）的条件下，过点作，且，在线段的延长线上取一点，连接，过点作于点，连接交延长线于点，若，，求点的坐标． 32．如图1，直线与x，y轴分别交于B，A两点．直线与直线交于点C． (1)求点A、B的坐标； (2)如图2，若D为直线上一点，连接，．的面积为，求D点坐标； (3)如图3，绕O旋转至．在旋转一周的过程中，直线上是否存在点G，使得点B、E、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出G点坐标；若不存在，请说明理由． 33．如图，点为线段上任一点，为中点，分别以为边向同侧作等边三角形和等边三角形，点分别为的中点，连． (1)当点在上运动时， ①求证：； ②求的大小． (2)若，，则直接写出的长． 34．如图，等腰直角中，，为边上一点，以为直角边作如图所示的等腰直角．连接，为中点，连接，． (1)如图1所示，与的数量关系为：＿＿＿＿；位置关系为：＿＿＿＿＿＿． (2)如图2所示，将绕点逆时针旋转，（1）中结论是否仍然成立？若成立请证明，若不成立说明理由． (3)小霖发现无论绕点旋转多少度，（2）中的结论总能成立，请利用（2）中的结论帮助小霖解决如下问题：若，将继续绕点旋转，当点落在直线上时，直接写出此时的面积． 35．在中，，． (1)如图1，点为线段上一点，连接，过点作交延长线于点，过点作交于点，若，，求的长； (2)如图2，点在内部，以为斜边作等腰直角，使得点、在两侧，连接，连接交于点，点在上，连接并延长交于点，若，求证：； (3)如图3，过点作交于点，为上一点，以为直角边作等腰直角，斜边交线段于点，点和点分别为线段、线段上的动点，连接、，将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，若，，在线段上找一点，连接、，请直接写出的最小值． 五、压轴题五：特殊平行四边形的综合，10题，难度五星 36．在中，． (1)如图1，若， 以为边在下方作等边，，与交于点O，连接，求四边形的面积； (2)如图2，若，以为边在下方作等边，连接，过点A作于点E，求证∶； (3)如图3，若，在下方作等腰，过点F作交延长线于点G，T为中点，M为延长线上一点，将绕点F顺时针旋转至，旋转角为，连接，，，，，当最小时，直接写出的面积． 37．已知，四边形为正方形，点在边上，点在边上，连接，过点作的垂线，交于点，垂足为． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若点在上，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，求正方形的面积． 38．如图，正方形的顶点分别在的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点，并且满足，点是线段上的一个动点． (1)连接，求证：四边形是平行四边形； (2)作交于，当面积为时，求点的坐标； (3)设点是轴上方平面内的一点，以为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 39．如图1，已知矩形的顶点A在正比例函数位于第一象限的图象上，顶点D在正比例函数位于第一象限的图象上，点B、C在x轴的正半轴上，且满足． 　　　 (1)试求k的值： (2)当时，点P是函数位于第一象限图象上的一个动点，若为等腰三角形，求点P的坐标： (3)如图2，当时，点E、F为边上的两个动点，且，试问：是否存在点E使四边形的周长最小？若存在，试求点E的坐标；若不存在，请说明理由． 40．问题提出：如图（1），E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图（2），当时，求证：： （2）再探究一般情形，如（1），试探究与的数量关系． 问题拓展：现将图（1）特殊化，如图（3），连接，若，菱形的面积为，则当点E从点B运动到点C时，线段扫过的面积为_____ 41．如图，在矩形中，点是对角线的中点，点是直线上一点，点是直线上一点，且，连接． (1)如图1，若点，分别是，的中点，且，，则的长为__________； (2)如图2，若点在的延长线上，其他条件不变，探究线段，，的数量关系，并给出证明； (3)如图3，若点在的延长线上，且，，，求线段的值． 42．综合与实践 【课本再现】在一次课题学习活动中，老师提出如下问题：如图，四边形是正方形，点上边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论． 经过探究，小明得出结论是，而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形一个是钝角三角形）考虑到点是的中点，小明想到的方法是如图，取的中点，连接，证明，从而得到． （1）小明的证法中，证明的条件可以为（    ） A．     B．     C．     D． 【类比迁移】 （2）如图3，若把条件“点上边的中点”改为“点上边的任意一点”，其余条件不变，是否仍然成立若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）已知，四边形是正方形，点是直线上一动点，，且交正方形外角平分线于点，若，，则长为______． 43．探索与发现： 小李同学在用作图软件探索图形性质的数学活动中，进行如下操作： 如图，在边长为3的正方形的边上取定点E，使，在边上设置动点P，连接，以为边在的上方作正方形，接，．    (1)小李同学通过观察发现图中，请给出证明； (2)探索过程中发现，在点P运动过程中，的面积是个定值，请证明并求出这个定值 ； (3)进一步探索后发现，随着点P的运动，的周长会随点P位置的变化而变化，但存在一个最小值，请你求出周长的最小值． 44．【探究发现】如图，矩形所在平面内有一点．连接． （1）①当点与矩形对角线交点重合时（如图1），显然有； ②当点落在边上时（如图2），且，则______；通过计算，发现并猜想的关系：______． （2）当点在矩形内部（如图3），是否仍存在你所猜想的结论？ 【直接运用】如图4，矩形外有一点，且． ①．求证：； ②．若，则______． 【拓展应用】如图5，，点在边上运动，若，求的值． 45．如图，在等边中，，点是所在直线上一点，连接． (1)如图1，点在线段上，若，求的长； (2)如图2，点在线段上，点是线段上一点，满足，连接交于点．过作于，点是延长线上一点，连接交于点．若，求证：； (3)如图3，过作交直线于，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 六、压轴题六：反比例函数与几何综合，10题，难度五星 46．如图1，正方形中，，．过A点作轴于点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点E的坐标； (3)如图2，连接，点P为曲线上一点，过点P作坐标轴的垂线，垂足分别为点M、N，所做的垂线交于点Q、H，当时，探究：与的数量关系，并说明理由； (4)如图3，过点C作直线，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 47．如图1，在平面直角坐标系中，，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点D，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，已知点D的坐标为． (1)求直线的解析式及E点的坐标； (2)若y轴上有一动点F，直线上有一动点G．当最小时，求的周长的最小值； (3)如图2，若y轴上有一动点Q，直线上有一动点P，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，求P点的坐标． 48．如图，在平面直角坐标系中，的边垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D．若点D的坐标为，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式； (3)设点E是线段上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行于y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求面积的最大值． 49．如图，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．    (1)______，______； (2)求反比例函数表达式； (3)动点在轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，求点的坐标； (4)如图，过作轴于点，，，，…，，…是轴上的点，且，分别过点，，，…，，…作轴的垂线交反比例函数（）的图象于点，，，…，，…，过点作于点，过点作于点，过点作于点…，记的面积为，的面积为…，的面积为，求．    50．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，．反比例函数（）的图象分别交、于点E、点F ．    (1)求反比例函数的解析式； (2)连接、、，求的面积； (3)是否存在x轴上的一点P，使得是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 51．如图，已知直线与反比例函数的图象分别交于点A和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．    (1)如图1，当点A坐标为时， ①求直线的解析式： ②若点P是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为2时，求点P的坐标； (2)将直线向上平移2个单位得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求m的值． 52．综合与实践 问题情境：在平面直角坐标系中，已知直线轴，直线分别与反比例函数的图象交于点A，与反比例函数的图象交于点B，连接，．    (1)问题解决：如图①，若点A，B的横坐标为3，试判断的形状，并说明理由． (2)问题探究：如图②，将直线向右平移若干个单位后得到直线，它与两个函数图象的交点分别为，，连接，，则在直线向右平移到直线的过程中，的面积是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出的面积． (3)问题拓展：如图③，将直线向右平移若干个单位后与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点P，与反比例函数的图象交于点Q，连接，，当P恰好是的中点时，请直接写出的面积． 53．如图，反比例函数图像与一次函数图像相交于A，B两点，A点坐标为，点C是反比例函数图像上一点（不与点B重合，且点C在点B的左侧），点C的横坐标为m．    (1)______，______，点B的坐标为（______，______）； (2)若，连接AC，BC，求的面积； (3)连接，与x轴相交于点E，连接．求证：． (4)在（3）的条件下，点D是反比例函数图像上另外一点（不与点B重合，且点D在点B的右侧），连接，若，求的度数．（直接写出答案） 54．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的两倍的凸四边形叫做倍角梯形． 如图1，直线，点、在直线上，点、在直线上，若， 则四边形是倍角梯形．    (1)如图2，点是的边上一点，，，．若四边形是倍角梯形，则的长是___________； (2)如图3，以的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是倍角梯形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，直接写出的值． 55．如图1，直线l与反比例函数的图象交于，两点．    (1)求反比例函数和直线l的解析式； (2)若直线l在反比例函数的图象上方，请直接写出x的取值范围； (3)点M在y轴上，点N为坐标平面内任一点，若以A、B、M、N四点构成的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标； (4)如图2，直线l与x轴相交于点D，点A关于原点对称的点为E，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹），过点E作于F，连结，求的面积． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江期末真题精选（六大题型，压轴题55题）（解析版） 目录 一、压轴题一：二次根式综合，10题，难度四星 1 二、压轴题二：一元二次方程与几何综合，10题，难度五星 17 三、压轴题三：数据分析初步，5题，难度四星 50 四、压轴题四：平行四边形综合，10题，难度四星 57 五、压轴题五：特殊平行四边形的综合，10题，难度五星 88 六、压轴题六：反比例函数与几何综合，10题，难度五星 122 一、压轴题一：二次根式综合，10题，难度四星 1．在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则 ； ． 下列选项中正确的有（    ）个． ①若a是的小数部分，则的值为； ②若（其中b、c为有理数），则； ③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由，可得，则，再根据分母有理化即可判断①；由可得，以此得到方程组，求解即可判断②；证明，再对原式裂项即可判断③． 【详解】解：由题意得：， ∵，是的小数部分， ∴，则，故①正确； ∵， ∴， 即 ∴，即， ∵b、c为有理数 ∴，解得， ∴，故②正确； ∵ ， ∴ ，故③正确， 故正确的有①②③，共3个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式的应用、等式的性质，灵活利用题干所给方法进行解决问题是解题关键． 2．设，其中n为正整数，则 ． 【答案】 【分析】计算通项公式，将n=1，2，3，…，2022代入可得结论． 【详解】∵n为正整数， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分式裂项，再寻找抵消规律求和． 3．阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整． ； ； …… 由此，我们可以解决下面这个问题： ，求出S的整数部分． 解： …… ∴S的整数部分是 ． 【答案】见解析；18 【分析】根据题目给出的不等式，变形确定s的整数界点值，根据夹逼法确定整数值． 【详解】∵ ； ； ； ∴18＜S＜19， ∴S整数部分为18， 故答案为：； ； ；18； 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，不等式的性质，估算的思想，熟练确定S位于哪两个整数之间是解题的关键． 4．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 【答案】(1)4，6 (2) (3) (4)4 【分析】本题考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）时，，根据，计算求解，然后作答即可；当时，，根据，计算求解，然后作答即可； （2）同理（1），根据 ，计算求解，然后作答即可； （3）同理（1），根据 ，计算求解即可； （4）由，可得，根据求解，进而可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4； 当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为6； 故答案为：4，6； （2）解：∵且， ∴，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为； （3）解：∵，且，则，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为， ∵恒成立， ∴的最小值，即； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4． 5．如图，在平面直角坐标系中，点为原点，点在第一象限内，，为轴正半轴上一点，过点作轴的平行线交的延长线于，点为中点，连交于点，．    (1)直接判断的形状，不需要说理． (2)求证：． (3)求的值． 【答案】(1)等腰三角形 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，判定四边形为矩形，再由三角形全等判定定理确定，从而得到，由等腰三角形判定即可得证； （2）在平面直角坐标系中，求出相关点的坐标，先在中，利用勾股定理得到，进而得到，再由（1）中，即可得证； （3）利用待定系数法确定直线，的解析式，联立方程组求出坐标，进而求出，再由（2）中，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：为等腰三角形， 理由如下： 在平面直角坐标系中，点，， 轴，即轴，则， 过点作轴的平行线交的延长线于， ，则， ， 四边形为矩形，则， 点为中点， ， 在和中， ， ，即为等腰三角形； （2）解：在平面直角坐标系中，，，， ，， 设，则， 在中，，则； 在中，，则 ； 在中，，则； ， 在中，，则； 即，则，即或（负值舍去）， 在中，；在中，； 当时，；； ，即，则， 由（1）知，则； （3）解：设 ， ， 设直线：， 则，解得， ， 设直线的解析式为，则，解得：， 即， 联立，解得， ， ， ， ， ， 由（2）知， ， ． 【点睛】本题考查图形与坐标、矩形的判定、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法确定直线解析式、求两条直线的交点坐标、分式化简及二次根式混合运算等知识，熟练掌握相关几何性质，数形结合，灵活运用代数方法解决几何问题是解决问题的关键． 6．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的． 例如化简，且， . (1)填上适当的数：＝______． (2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值． (3)化简：． 【答案】(1)，； (2)正整数的最小值是10，最大值是25； (3)． 【分析】（1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，将写成，或，或，或分别求出，，，，即可得出正整数的最小值和最大值． 【详解】（1） 故答案为：， （2） ， ，或，或， 或． ∴正整数的最小值是10，最大值是25． （3） 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 7．（1）已知其中，化简求值； （2）已知，探究m与n的关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分数运算化简，再由二次根式混合运算代入求值即可得到答案； （2）利用平方差公式及完全平方公式恒等变形，最后由配方法求解即可得到答案． 【详解】解：（1） ， ， 原式； （2） ， ，即， ， ，即， ． 【点睛】本题考查分式化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握分式运算及二次根式运算是解决问题的关键． 8．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ； (2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)28或12 (3) 【分析】（1）根据完全平方公式展开，即可用m、n表示出a、b； （2）利用完全平方公式展开可得到，6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后由分别计算即可； （3）令，两边平方并整理得，然后利用（1）中的结论化简得到，从而可求出t的值，即为原式化简的结果． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：，； （2）∵， ∴，6=2mn， ∴mn=3． ∵a、m、n均为正整数， ∴m=1，n=3或m=3，n=1． 当m=1，n=3时，； 当m=3，n=1时，． ∴a的值为28或12； （3）令， 则 ∴． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键． 9．若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明） 例如： 根据以上阅读，请解决下列问题： 【基础训练】 (1)求的值； 【能力提升】 (2)设，求S的整数部分． 【拓展升华】 (3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)S的整数部分2019 (3)代数式取得最小值时，x的取值范围是 【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可； （2））利用题目的仅能式将其进行化简，再确定整数部分； （3）将原式化简为，再根据||取最小值时，确定x的取值范围． 【详解】（1） （2） ， ∴S的整数部分2019； （3）由已知得：，且， ， ∵， ∴原式， 当时， ； 当时， ； ∴当，即时，取得最小值为2， ∴代数式取得最小值时，x的取值范围是：． 【点睛】本题考查无理数的大小比较，分式的加减法以及找规律等知识，理解题意和推广应用是本题的亮点． 10．我们规定，若a＋b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）若3与是关于1的平衡数，5－与是关于1的平衡数，求，的值； （2）若（m＋）×（1－）＝－2n＋3（－1），判断m＋与5n－是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1） －1，；（2）当，时，是关于1的平衡数，否则不是关于1的平衡数；见解析 【分析】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； （2）对式子进行化简，得到的关系，再对进行分情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可得：， 解得， 故答案为， （2）， ∴ ， ∴ ， ∴ ①当均为有理数时， 则有 ， 解得：， 当时， 所以不是关于1的平衡数 ②当中一个为有理数，另一个为无理数时， ，而此时为无理数，故， 所以不是关于1的平衡数     ③当均为无理数时，当时，联立，解得 ， 存在，使得是关于1的平衡数， 当且时，不是关于1的平衡数 综上可得：当，时，是关于1的平衡数，否则不是关于1的平衡数． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并，并掌握分类讨论的思想． 二、压轴题二：一元二次方程与几何综合，10题，难度五星 11．如图1，在平面直角坐标系中，直线的图象分别交x，y轴于A，B两点，直线的图象分别交x，y轴于C，D两点，且两条直线相交于点E，已知点C的坐标为． . (1)求E点坐标； (2)在直线上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，请求出F点坐标．若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点G为线段上一点，连接，，当时，经过点G的一条直线与x轴负半轴交于点P，与y轴正半轴交于点Q，判断的值是否为定值，若是定值，求出此值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)的值是定值，且 【分析】（1）先把代入求出，然后联立，求出，即可求出点E的坐标； （2）分两种情况进行讨论：当时，当时，分别列出方程，求出结果即可； （3）过点G作轴，交于点H，先求出，得出，设点G的坐标为，则点H的坐标为，根据，求出，得出，设过点G的直线解析式为：，求出，，求出即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴直线， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为； （2）解：设， ∵，， ∴， ， ， 当时，， 解得：（舍去）或， ∴此时； 当时，， 解得：或， ∴此时或； 综上分析可知，点F的坐标为或或． （3）解：的值是定值，且． 过点G作轴，交于点H，如图所示： 把代入得：， ∴点B的坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， 设点G的坐标为，则点H的坐标为， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设过点G的直线解析式为：， ∵过点G的一条直线与x轴负半轴交于点P，与y轴正半轴交于点Q， ∴， 把代入得：， ∴ 把代入得：， ∴，则， 把代入得：，解得：， ∴，则， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求两条直线的交点坐标，等腰三角形的定义，两点间距离公式，解一元二次方程，三角形面积的计算，求一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是数形结合，熟练掌握两点间距离公式，待定系数法求一次函数解析式． 12．已知平面直角坐标系中，直线图象上有两点 和点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求直线的表达式； (2)若在y轴上有一异于原点的点P，使为等腰三角形，求点P的坐标； (3)若将线段沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线上，当线段与x轴有交点时，求n的取值的最大值． 【答案】(1) (2)或或 (3)当线段与轴有交点时，的取值的最大值为 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设，表示出，，，根据为等腰三角形，则或或，分别建立方程求解即可得出答案； （3）由于点A关于直线的对称点点始终在直线上，因此直线必与直线垂直，当点落到x轴上时，n的取值的最大，根据，求出点的坐标，求出和的中点坐标代入，即可求得n的最大值． 【详解】（1）解： 设直线的解析式为， ∵，， ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：设， 则， ， ， 为等腰三角形， 或或， 当时，， ， 解得：， ； 当时，， ， 或， ∴或 当时，， ， ∵， ∴此方程无解； 综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或或； （3）解：当点落到轴上时，的取值的最大，如图， 设直线的解析式为， 点A的坐标为， ，即． 直线的解析式为， ∵， ∴直线可设为， 点的坐标为， ， 解得：． 直线解析式为． 当时，，解得：． 点的坐标为， ∴的中点坐标为，即， 过点作轴于点E，设点，则，， ∴， 根据对称性可知，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴的中点坐标为，即， 把，代入得：， 解得：， ∴当线段与轴有交点时，的取值的最大值为． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式、等腰三角形的性质、轴对称的性质、勾股定理，解一元二次方程，中点坐标公式等知识，分类讨论思想是本题解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴、轴于和两点，其中和是方程的两个实数根，且． (1)如图（1），求线段的长； (2)如图（2），点为第三象限一点，射线交于点，连接交轴负半轴于点，的垂直平分线交轴负半轴于点，连接，设的度数为，请用含的式子表示的度数； (3)如图（3），在（2）的条件下，连接，当，时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先解方程，可得，，再利用勾股定理解答即可； （2）设的度数为，可得，再结合对顶角的性质与三角形的内角和定理可得答案； （3）如图，过作于，过作于，证明，，设，，由等面积法可得，则，，可得（负根舍去），利用勾股定理，可得：，（负根舍去），可得，直线为，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：，， ∴，， ∴； （2）设的度数为，而， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交轴负半轴于点， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过作于，过作于， 由（2）得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 而，， ∴，设，， ∴， ∵， ∴，， ∴，解得， 由可得：， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴， ， 由勾股定理可得：，， ∴， 解得：，（负根舍去）， ∴, ∴直线为， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， 解得：， ∴. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理的应用，求解一次函数的解析式及其交点坐标，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 14．如图，在平面直角坐标系中，点，动点在轴正半轴上，，动点自点向终点运动，动点自点向点运动．连接、交于点．且点、点同时出发，同时停止，并都以单位长度秒的速度运动．已知线段的长是方程的一个根．    (1)如图1，当点为线段中点时，求点的坐标． (2)如图2，猜想线段和线段的数量关系，并证明． (3)如图3，当时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先解一元二次方程，得出，依题意，，当点为线段中点时，则，根据，即可求解； （2）设，则，在、中，勾股定理求得，即可求解； （3）如图所示，过点作轴，且，则是等腰直角三角形，连接，，证明四边形是平行四边形，，由（2）可得，进而可得是等腰直角三角形，则，进而得出，则，设，则，勾股定理得出，则，则，进而得出直线的解析式为，直线的解析式为：，联立求得点的纵坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：解方程 即 解得： ∴， ∵点， ∴， 依题意，， 当点为线段中点时， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， 则， 在中，， 在中，， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作轴，且，连接，则是等腰直角三角形，连接，，    依题意，， ∴ 则四边形是平行四边形， ∴， 在和中 ∴ ∴ ∴， 由（2）可得 则 ∴是直角三角形， 又，则是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 设，则， 在中，，   ∴， 解得：，则 ∴，则 设直线的解析式为，则 解得： ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为：， 将代入得， 解得： ∴直线的解析式为： 联立 解得：， ∴点的纵坐标为， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数的应用，全等三角形的性质，勾股定理求两点距离，熟练掌握以上知识关键． 15．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“幸福点”，经过点的函数，称为“幸福函数”． (1)若点是“幸福点”，关于x的函数是“幸福函数”，则__________，__________，__________． (2)若关于x的函数和都是“幸福函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值． (3)若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，M是y轴上一点，若将沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处．试问经过C，M两点的一次函数是否可以为“幸福函数”？若可以，请写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)0或 (3)存在， 【分析】（1）根据“幸福点”的概念列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后根据两个函数图象有且只有一个交点，得到只有一个根，然后利用一元二次方程的判别式求解即可； （3）根据题意分点M在y轴正半轴上和点M在y轴负半轴上两种情况讨论，分别根据“幸福函数”的性质求解即可． 【详解】（1）∵为“幸福点”， ∴， ∴， 将代入，解得，． 故答案为：，，； （2）①当时，， ∵函数是“幸福函数”， ∴，此时，符合题意， ②当时， 将分别代入与中，有 ∵两个函数图象有且只有一个交点， ∴只有一个根，即：， ∴， ∴， ∴k的值为0或； （3）①如图所示，当点M在y轴正半轴上时， 设沿直线将折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有， 由直线可得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 设M点坐标为，则，， ∴， ∴，解得， ∴，设直线解析式为，将，代入， 解得，． ∴，若该函数为“幸福函数”，则直线过“幸福点”． ∴， 解得（与矛盾，舍去）， ∴此时，不存在“幸福函数”． ②如图所示，当点M在y轴负半轴上时， ， 设M点坐标为，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，又， 同理，用待定系数法可求得直线解析式为：， 若该函数为“幸福函数”，则直线过“幸福点”． ∴，得． ∴， 综上所述，存在“幸福函数”． 【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质，一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 16．如图1．在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于、两点．将直线竖直向上平移2个单位后与交于点，与轴交于． (1)求点C的坐标； (2)连接，在直线上是否存在点E，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，已知，，过B作轴且；若点G沿方向以每秒2个单位长度运动，同时，点沿方向以每秒1个单位长度运动经过t秒的运动，到达处，到达处，连接、．问：能否平分？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， (3)能，的值为3 【分析】（1）根据题意利用待定系数法先求出直线的解析式，由平移2个单位长度得到直线的函数解析式，再与直线的解析式联立，求解即可； （2）先求出的面积，设点，用含有的的代数式表示的面积，根据列方程求解即可； （3）利用角平分线和平行线的性质得到，再分别利用线段的和差关系以及勾股定理用含有的代数式表示，最后列方程求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为： 把、代入得： 解得： ∴直线： ∵直线由竖直向上平移2个单位得到， ∴直线： 联立得： 解得： ∴点的坐标为 （2）解：设直线与轴交于点， 当时， 解得： ∴ ∴ ∵点在直线， 设点 ①当点在延长线上时， 则 ∵ 解得： ∴点 ②当点在延长线上时， 则 ∵ 解得： ∴点 ∴存在，点E的坐标为和 （3）过点作 ∵轴 ∵平分 ∴ ∴， ∴ ， ∴ 解得：（舍去） ∴能，． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，熟练掌握直线的交点坐标的求法以及利用角平分线的性质以及平行线的性质得到等腰三角形并列方程求解是解决本题的关键． 17．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与直线：交于点A，且，轴于点D，直线与y轴交于E点，点F为线段中点． (1)求点A的坐标； (2)已知动点G在x轴上，动点H在直线上，当四边形周长最小时，连，请求出此时的面积； (3)在第（2）问的条件下，将绕D点逆时针旋转后得到，再沿着x轴平移得到（如图2），在直线上是否存在点P，使得以H，，P为顶点的三角形为以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当四边形周长最小时， (3)存在，的坐标为或 【分析】（1）将点代入，，得出，联立两直线求得点的坐标； （2）分别作关于，的对称点，设交轴于点，此时四边形周长为最小，求出直线的解析式为，继而得出点的坐标，然后根据即可求解； （3）根据旋转的性质得出的纵坐标为,即点在直线上运动，设，由直线的解析式为，设点，分别表示出，根据勾股定理与等腰直角三角形的性质列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：将代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴； （2）解：依题意，直线与轴交于点，点为线段中点． 令中，，解得， 则， ∵,， 则， 如图所示，分别作关于，的对称点，设交轴于点，连接， 则，,， 此时四边形周长为最小， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴， 令，解得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ， ∴当四边形周长最小时，； （3）解：由（1）知，， 将绕点逆时针旋转后得到，则，， 如图所示，过点作轴于点，则， ∴， ∵沿着轴平移得到， ∴的纵坐标为,即点在直线上运动，设， 由直线的解析式为，设点， ∵， ∴， ，， ∵，，为顶点的三角形为以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， 解得：或， ∴的坐标为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，一次函数与几何综合，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 18．在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，5）、C（12，0）作矩形，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒． (1)当t=_____时，点P移动到点D； (2)当△OPQ的面积为16时，求此时t的值； (3)当为何值时，△PQB为直角三角形． 【答案】(1)5 (2)4 (3)或或． 【分析】（1）由 是等腰直角三角形，可得，即可得出的值； （2）过点作于点，则，，，代入面积公式即可得出，解方程即可； （3）根据，，，表示出，，的长，再分或或，分别列出方程． 【详解】（1）平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5； （2）过点作于点， 平分， ， ， 又，， ， ， ， （负值舍去）， ； （3）如图，连接，，， 由题意知，，，， ， ， ， ①若， 则， ，（舍去）， ②若， 则， ， ③若， 则， （舍， 综上所述，的值为：或或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，直角三角形的性质等知识，将动点问题转化为线段的长是解题的关键． 19．如图1，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． (1)求直线的函数表达式： (2)如图2，点D的坐标为，连接，将绕点B逆时针旋转得，连接交x轴于点F，请直接写出的长； (3)如图3，射线与y轴交于点G，在第四象限内有一点H，当的面积为3，且的面积为9时连接，将线段，从点B出发，沿射线的方向平移，平移后的线段记为（点在射线上），点M为y轴上的动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)（0，）或（0，）． 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点E作EH⊥x轴于点H，过点C作CN⊥x轴于点N，先证明△OBD≌△HEB（AAS），求出E（3，−4），再证明△AOB≌△BNC（AAS），求出C（，4），由待定系数法求出直线CE的解析式后即可求出点F坐标，由此可求解； （3）由三角形面积求出H点坐标，设线段BH沿x轴负方向移动m个单位，则线段BH沿y轴负方向移动个单位，则B'（4−m，），H'（2−m，），当∠H'B'M＝90°时，过点B'作y轴的垂线交于Q，过点H'作H'P⊥PQ交PQ于点P，通过证明△PH'B'≌△QB'M（AAS），求出M（0，），再由，可求M（0，）；当∠B'H'M＝90°时，过点H'作KL∥y轴，过点M作ML⊥KL于L，过点B'作B'K⊥KL于K，同理可得△KH'B'≌△LMH'（AAS），求出M（0，），再由，得到M（0，）． 【详解】（1）解：设直线AB的解析式为：y＝kx＋， 代入得：4k＋＝0， 解得：k＝， ∴直线AB的函数表达式为：； （2）过点E作EH⊥x轴于点H，过点C作CN⊥x轴于点N， ∵∠AOB＝∠DBE＝∠OBD＋∠OBE＝90°， ∴∠OBD＋ODB＝90°， ∴∠ODB＝∠OBE， ∵BD＝BE，∠BOD＝∠EHB＝90°， ∴△OBD≌△HEB（AAS）， ∴BH＝OD＝1，EH＝OB＝4， ∴OH＝3， ∴E（3，−4）， 同理可证：△AOB≌△BNC（AAS）， ∴CN＝OB＝4．BN＝OA＝， ∴ON＝OB＋BN＝， ∴C（，4）， 设直线CE的解析式为：y＝kx＋b， 代入C（，4），E（3，−4）得：， 解得：， ∴直线CE的解析式为：， 当y＝0时，有， 解得：， ∴F（，0）， ∴OF＝； （3）设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 代入，C（，4）得：， 解得， ∴直线BC的解析式为：， ∴G（0，−3）， 设H（x，y）， ∵△OGH的面积为3， ∴×3x＝3， ∴x＝2， ∵△OBH的面积为9， ∴×4×（−y）＝9， ∴y＝， ∴H（2，）， 设线段BH沿x轴负方向移动m个单位，则线段BH沿y轴负方向移动个单位， ∴B'（4−m，），H'（2−m，）， 当∠H'B'M＝90°时，B'M＝B'H'＝BH＝， 过点B'作y轴的垂线交于Q，过点H'作H'P⊥PQ交PQ于点P， ∵∠PB'H'＋∠QB'M＝90°，∠PB'H'＋∠PH'B'＝90°， ∴∠PH'B'＝∠QB'M， 又∵∠P＝∠B'QM＝90°，B'H'＝B'M， ∴△PH'B'≌△QB'M（AAS）， ∴PB'＝QM＝2， ∴M（0，）， ∴， ∴m＝或m＝（舍）， ∴M（0，）； 当∠B'H'M＝90°时，过点H'作KL∥y轴，过点M作ML⊥KL于L，过点B'作B'K⊥KL于K， 同理可得：△KH'B'≌△LMH'（AAS）， ∴KB'＝H'L＝2， ∴M（0，）， ∴， 解得：m＝或m＝（舍）， ∴M（0，）； 综上所述：M点坐标为（0，）或（0，）． 【点睛】本题考查一次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转和平移的性质，勾股定理以及解一元二次方程等知识，综合性较强，能够作出图形，灵活运用各性质进行推理计算是解题的关键． 20．小明同学在一次数学活动课中对直角三角形的折叠问题进行了探究，请你一起思考并完成以下问题． (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将直角三角形纸片ABC沿某条直线折叠，使顶点C落在斜边AB上，EF为折痕，且EF∥AB．若EC=3，FC=4，则CD的长为______． (2)如图2，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将直角三角形纸片ABC沿某条直线折叠，使直角顶点C落在斜边中点D的位置，EF为折痕，CD与EF交于H．若EC=4，FC=3，求AB的长． (3)如图3，在Rt△ABC，∠C=90°，CA=3，BC=4．点E为斜边AB上一点，将直角三角形纸片ABC沿CE折叠，使得点A点的对应点D落在BC边上，连接ED．请把图形按要求补充完整并求折痕CE的长． 【答案】(1)4.8 (2)AB的长为9.6 (3)折痕CE的长为． 【分析】（1）根据折叠的性质知，EF是CD的垂直平分线，利用勾股定理求得EF=5，利用面积法即可求得CG=2.4，进一步求解即可； （2）同（1）法求得CD的长，再利用斜边中线的性质即可求解； （3）过点E作EI⊥BC于点I，根据折叠的性质得到AC=CD=3，AE=ED，∠ACE=∠DCE=∠ACD=45°，设CI=EI=a，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设EF与CD相交于G， 根据折叠的性质知，EF是CD的垂直平分线，即CG=GD，CD⊥EF， ∵∠ACB=90°，EC=3，FC=4， ∴EF==5， ∵EFCG=ECFC， ∴CG=2.4， ∴CD=2CG=4.8； 故答案为：4.8； （2）解：根据折叠的性质知，EF是CD的垂直平分线，即CH=HD，CD⊥EF， ∵∠ACB=90°，EC=4，FC=3， ∴EF==5， ∵EFCH=ECFC， ∴CH=2.4， ∴CD=2CH=4.8； ∵CD是斜边的中线， ∴AB=2CD=9.6． （3）补充图形如图所示： 过点E作EI⊥BC于点I， 根据折叠的性质知，AC=CD=3，AE=ED，∠ACE=∠DCE=∠ACD=45°， ∴△CEI为等腰直角三角形，即CI=EI， ∵∠ABC=90°，CA=3，BC=4， ∴AB==5， 设CI=EI=a，则CE=a，DI=3-a，BI=4-a， ∴DE=， ∴AE=ED，则BE， 在Rt△BEI中，EI2+ BI2=BE2，即a2+ (4-a)2=()2， 整理得：49a2-168a+144=0，即(7a-12)2=0， 解得：a=， ∴CE=a=． ∴折痕CE的长为． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂直平分线的判定和性质，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题， 三、压轴题三：数据分析初步，5题，难度四星 21．我们把a、b、c三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则k的值为 ． 【答案】或或1 【分析】先得到，再画出函数的图象，要使直线与函数的图象有且只有2个交点，只需直线经过或经过或平行于即可． 【详解】解：当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， ∴ ∴函数的图象如图所示： ∵与函数的图象有且只有2个交点， 当直线经过点时，则， 解得， 当直线 经过点时，， 当时，平行于，与函数的图象也有且仅有两个交点； ∴直线与函数的图象有且只有2个交点， 则k的取值为或或1． 故答案为：或或1． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质以及中位数的概念，一元一次不等式组的应用，数形结合思想的应用是解本题的关键． 22．对于一个各个数位数字均不为零的四位自然数p，若千位与百位数字之和等于十位与个位数字之和，则称P为“等和数”．设一个“等和数”满足（，，，a，b，c都为整数），将p的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数，并记；一个两位数，将Q的各个数位数字之和记为；当与的差能被整除时，则所有满足条件的“等和数”p所组成的一组数据的中位数是 ． 【答案】2781 【分析】分别求出p、，可求得，由“等和数”把b用a、c表示，结合整除关系进行讨论即可． 【详解】解：∵． ， ， ∵， ∴； ． ∴； ①当时，，则， 而， ∴， ∵． ∴当或时，与的差才能被整除， ∴或， ∵， ∴， 而， ∴， 表明不符合题意， ∴． 由上式及知，a只能取2、4、6、8四个数，此时对应的四个数， ∴b取值对应为：0，1，2，3，因0不合题意，舍去， ∴对应的“等和数”为； ②当时，， 则， 而， ∴， ∵． ∴． ∵， ∴最大为16，最小为8， ∴作为21的因数只能是1，3，7； 当时，即， ∴． ∴． 解得 此种情况不存在； 当时，即， ∴． a只能取4，则， 对应的等和数为4141， 当时，即， 则a只能取2，4，6，8四个数，对应地c取6，7，8，9四个数， 此时b对应地取5，4，3，2四个数， 由于，只有4691这个数满足题意； 综上，满足题意的数有五个：； 这组数据中，中位数为2781； 故答案为：2781． 【点睛】本题考查了整式的运算，通过新定义，利用整除关系，整式的运算及不等式的知识，求得结果，注意分类讨论． 23．有一组数据：．将这组数据改变为．设这组数据改变前后的方差分别是,则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】设数据，，，，的平均数为，根据平均数的定义得出数据，，，，的平均数也为，再利用方差的定义分别求出，，进而比较大小． 【详解】解：设数据，，，，的平均数为，则数据，，，，的平均数也为， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 24．重庆实验外国语学校是一所外语小班制教学的特色学校，初二年级某英语小班共有名同学，学号依次为号，号，……20号，现随机分成甲、乙、丙三个小组，每组人数若干．若将乙组的小东（号）调整到甲组，将丙组的小英（号）调整到乙组，此时甲、丙两组同学学号的平均数都将比调整前增加，乙组同学学号的平均数将比调整前增加；同时乙组的小强（号）经过计算发现，他的学号数高于调整前乙组同学学号的平均数，却低于调整后乙组的平均数则调整前甲组共有 名同学． 【答案】6 【分析】设甲、乙、丙组调整前的人数分别是，，，则甲、乙、丙调整后的人数分别是，，，设甲、乙、丙组调整前各组的号码之和分别为，，，则甲、乙、丙调整后各组的号码之和分别为，，，根据题意得，由③得，则，求出，，由，得出，则，即可得出结果． 【详解】解：设甲、乙、丙组调整前的人数分别是，，，则甲、乙、丙调整后的人数分别是，，， 设甲、乙、丙组调整前各组的号码之和分别为，，，则甲、乙、丙调整后各组的号码之和分别为，，， 根据题意得：， 由③得：， ， 即， ④ ④代入②整理得：， 由①得：， ， ， ， ， 为正整数， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了加权平均数、一元一次不等式的应用等知识；由乙组的人数在调整前和调整后是不变的，总分多了6分，平均分多了0.6分，求出乙组的人数是解题的关键． 25．甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差 甲 乙 （1）写出表格中的值： （2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？ 【答案】（1），，，；（2）选择乙，理由见解析 【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可； （2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析． 【详解】解：（1）甲的平均成绩（环）， ∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10， ∴乙射击成绩的中位数（环）， 又∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10， ∴乙射击成绩的众数：c=8（环） 其方差为： =×（16+9+1+0+3+4+9） = =； （2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定， 综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大． 【点睛】本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用．熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析． 四、压轴题四：平行四边形综合，10题，难度四星 26．已知，如图1，四边形中，，； (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，若平分，连接，，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，过点E作，垂足为F，点S在上，点N在上，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明可得，从而可得结论； （2）先证明，，再结合平行四边形的性质可得结论； （3）如图，延长至使，过作交于，交于，延长与的延长线交于点，证明，，再证明，可得，，设，可得，表示，，，，再利用勾股定理建立方程求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）由（1）得，四边形为平行四边形， 可得：，，， ∴，． ∵平分， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． （3）如图，延长至使，过作交于，交于，延长与的延长线交于点， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 由勾股定理可得： ， ∴， 解得：，（舍）， ∴，， ∴； 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 27．如图，在中，，是角平分线，点、分别在、上，且，、分别是、的中点，的延长线交边于，过、分别作的垂线交边与、，垂足分别为、． 求证： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义证明，，可得，即可证明； （2）连接，取的中点P，连接，根据三角形中位线的定义可得，，，，利用三角形外角可得，从而根据平行线的性质即可证明； （3）连接，根据和中点的定义可得四边形为平行四边形，即可证明． 【详解】（1）证明：∵是角平分线， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）连接，取的中点P，连接 ∵是的中点， ∴ ∴， ∵是的中点， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （3）证明：连接 ∵ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∴ ∵， ∴ 【点睛】本题考查了三角形综合问题，涉及到角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中位线等，正确作出辅助线是关键． 28．中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． (1)若， ①如图①，当点E在线段上时，易证，结合图形，请直接写出线段，，的数量关系是 ；（不需说明理由） ②如图②，当点E在线段的延长线上时，请写出线段，，的数量关系，并证明； (2)如图③，若，当点E在线段延长线上时，猜想并直接写出线段，，的数量关系是 ．（不需说明理由） (3)在（1）、（2）的情况下，若，，则_______．（不需说明理由） 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2) (3)1或7 【分析】（1）①根据全等三角形的性质和平行四边形的性质直接可以得出结论； ②利用等腰三角形的判定证，根据证明，根据全等三角形的性质，结合平行四边形的性质证明即可； （2）利用证，再证全等三角形，结合平行四边形的性质即可得出结论； （3）利用（1）、（2）的结论，把，代入计算即可． 【详解】（1）①，证明如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； ②线段，，的数量关系是：， 证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 由旋转可知：，， ∴， ∴ 在和中 ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴． （2），证明如下： ∵ ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴ 由旋转可知：，， ∴， ∴ 在和中 ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴． （3）如图①，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ 中，，， 由，得； 如图②，，则， 中，， ∴，与矛盾，故图②中，不存在，的情况； 如图③， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ 中，， ∴ 由知，． 综上，或7． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用相关的知识是解题的关键． 29．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、D两点坐标分别为，且． (1)求A、D两点坐标； (2)点B、C是x轴上两动点（B在C左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点B、C分别在原点两侧时，连接，过点O作交于点G，连接，取中点H，在上截取，使． 求证：； ②当点B在原点左侧时，过点O的直线，分别交、于M、N，请直接写出、、三条线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②或 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得到不等式组，求出，进而得到，即可得出A、D两点坐标； （2）①连接，延长交于点，根据平行四边形的性质，证明，得到，，再根据等腰直角三角形的性质，证明，，，从而推出是等腰直角三角形，然后证明，得到，结合勾股定理，即可证明结论； ②分两种情况讨论：当点在原点右侧时，过点作交延长线于点，先证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，即可得出数量关系；当点在原点左侧时，过点作交于点，同理求证即可． 【详解】（1）解：， ，解得：， ， ， ； （2）解：①如图，连接，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， , , ， ， 在和中， ， ， ， 在中，, ， 即； ②当点在原点右侧时，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 当点在原点左侧时，过点作交于点， 同理可证，四边形是平行四边形，， ，， ， ， 即， 综上可知，、、三条线段之间的数量关系为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次根式有意义的条件等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 30．如图1，四边形中，，为上一点，，，； (1)已知，，求； (2)如图2，为上一点，，连接交于，过作于，． ①求证：． ②求证：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）由勾股定理得出，由证得，得出，则，由等腰直角三角形的性质即可得出结果； （2）①连接，易证，，得出四边形是平行四边形，则，，得出，，由，得出，推出，证得是等腰直角三角形，则；②根据是等腰直角三角形，推出，，，则，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ； （2）①连接，如图2所示： ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． ； ②是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、含角直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质、作辅助线构建平行四边形是解题的关键． 31．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，在轴正半轴上取一点，使，连接． (1)求线段的长； (2)点为线段的中点，动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为个单位长度秒，连接，设的面积为，运动时间为秒，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在（2）的条件下，过点作，且，在线段的延长线上取一点，连接，过点作于点，连接交延长线于点，若，，求点的坐标． 【答案】(1)线段的长为 (2)； (3)点坐标为， 【分析】本题考查了一次函数的应用，勾股定理，三角形中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定； （1）先求得点的坐标，进而得出，根据勾股定理，即可求解； （2）根据（1）可得线段的长为，则点从点运动到点的时间为秒，进而分，和两种情况讨论，即可求解； （3）根据已知条件导角得出，则，根据是直角三角形，取的中点，连接得出则是的中位线，设，则，，在中，根据，勾股定理求得，进而可得，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：当时，，故点，， ∴， ∴， （2）当时，，解得：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为个单位长度/秒，设的面积为，运动时间为秒， ∴， 当时，，， 当时，点与点重合，不存在， 当时，，， （3）解：如图所示， ∵，， ∴， 又∵ ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形，取的中点，连接， 则是的中位线， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是上的点， 设， ∴， 解得：， ∴点坐标为， 32．如图1，直线与x，y轴分别交于B，A两点．直线与直线交于点C． (1)求点A、B的坐标； (2)如图2，若D为直线上一点，连接，．的面积为，求D点坐标； (3)如图3，绕O旋转至．在旋转一周的过程中，直线上是否存在点G，使得点B、E、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出G点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)或或或 【分析】本题考查的是一次函数的应用，平行四边形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）根据轴交点为0，轴交点为0代入求解即可得到答案； （2）设出点D的坐标，根据面积列方程求解即可得到答案； （3）设出点G，画出图形，根据平行四边形分类讨论列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：当时， ， 当时， ，解得：， ∴，； （2）解：设， ∵的面积为， ∴当时， ，解得： 当时， 解得：或， ∴点D的坐标为或； （3）如图，过作轴于，过作轴于，设， 由旋转可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，而， ∴， 解得：， ∴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴， 如图，当四边形为平行四边形时， 同理可得：，则， ∴， 解得：， 当时，， ∴， 当时，如图， 此时， ∴； 综上：或或或． 33．如图，点为线段上任一点，为中点，分别以为边向同侧作等边三角形和等边三角形，点分别为的中点，连． (1)当点在上运动时， ①求证：； ②求的大小． (2)若，，则直接写出的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①连接，如图所示，由等边三角形性质，结合三角形全等的判定定理证得，进而由全等性质得到，最后根据三角形中位线的判定与性质即可得证；②根据①中得到的三角形中位线及三角形全等，等量代换确定、，根据得到，数形结合即可得到答案； （2）过作，如图所示，由等腰三角形三线合一及勾股定理求出的相关边长，利用勾股定理求出，再由三角形中位线性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①连接，如图所示： 和是等边三角形， ， 点为线段上任一点， ，则， 在和中， ， ， 为中点，点分别为的中点， 是的中位线；是的中位线； ，即； ②由①知是的中位线；是的中位线； ， ， ， ， ， 由①知，则，即， ， ，则； （2）解：过作，如图所示： 是等边三角形， 由三线合一可得是边上的中线， ， 在中，，由勾股定理可得， ， ， 在中，，由勾股定理可得， 由（1）知． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及等边三角形性质、手拉手模型证全等、三角形全等的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形三线合一性、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，灵活运用求证是解决问题的关键． 34．如图，等腰直角中，，为边上一点，以为直角边作如图所示的等腰直角．连接，为中点，连接，． (1)如图1所示，与的数量关系为：＿＿＿＿；位置关系为：＿＿＿＿＿＿． (2)如图2所示，将绕点逆时针旋转，（1）中结论是否仍然成立？若成立请证明，若不成立说明理由． (3)小霖发现无论绕点旋转多少度，（2）中的结论总能成立，请利用（2）中的结论帮助小霖解决如下问题：若，将继续绕点旋转，当点落在直线上时，直接写出此时的面积． 【答案】(1)； (2)成立；理由见解析 (3)的面积为 【分析】（1）延长交于点F，取的中点H，连接，，证明、M、H三点共线，根据中位线性质得出，根据平行线性质得出，，得出为等腰直角三角形，即可证明结论； （2）延长交于点G，连接、，证明， 得出，，证明，得出，，根据等腰三角形的性质即可得出结论； （3）分两种情况进行讨论：点E在线段上时，当点E在线段延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：延长交于点F，取的中点H，连接，，如图所示： ∵、为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，H为的中点， ∴， ∴、M、H三点共线， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，； （2）解：成立；理由如下： 延长交于点G，连接、，如图所示： ∵、为等腰直角三角形， ∴，，，， 根据旋转可知：， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 即，； （3）解：如图，点E在线段上时， ∵在中，， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， 根据解析（2）可知：， ， ∴； 当点E在线段延长线上时，如图所示： ∵在中，， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， 根据解析（2）可知：， ， ∴； 综上分析可知：的面积为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，旋转的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 35．在中，，． (1)如图1，点为线段上一点，连接，过点作交延长线于点，过点作交于点，若，，求的长； (2)如图2，点在内部，以为斜边作等腰直角，使得点、在两侧，连接，连接交于点，点在上，连接并延长交于点，若，求证：； (3)如图3，过点作交于点，为上一点，以为直角边作等腰直角，斜边交线段于点，点和点分别为线段、线段上的动点，连接、，将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，若，，在线段上找一点，连接、，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)过程见详解； (3) 【分析】(1)证明，即可得，然后利用勾股定理求得； (2) 作，与射线交于点D，连接，证明四边形是平行四边形即可得结论； (3) 作点R关于的对称点，连接交于T，利用勾股定理可求的最小值. 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，； （2） 作，与射线交于点D，连接， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （3）解：如图， ，， ，，，， ∴点在以R为圆心，2为半径的圆上，点在以S为圆心，为半径的圆上， 作点R关于的对称点，连接， 则的值最小， 在中，，， ， 即 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，轴对称求最值，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 五、压轴题五：特殊平行四边形的综合，10题，难度五星 36．在中，． (1)如图1，若， 以为边在下方作等边，，与交于点O，连接，求四边形的面积； (2)如图2，若，以为边在下方作等边，连接，过点A作于点E，求证∶； (3)如图3，若，在下方作等腰，过点F作交延长线于点G，T为中点，M为延长线上一点，将绕点F顺时针旋转至，旋转角为，连接，，，，，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）先证明四边形是菱形，利用角的直角三角形的性质及勾股定理求得，则； （2）延长至点F，使得，连接，先通过“”证明，在中，由，结合勾股定理可求，即可求证； （3）连接并延长交于点E，过点作的垂线，垂足为点H，交于点Q，连接，先可证，则为等腰直角三角形，设，则 ，而 ，则，在中，，则，故，可得，设，则，则由勾股定理得，在中，有，解得：，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长至点F，使得，连接， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接并延长交于点E，过点作的垂线，垂足为点H，交于点Q，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵T为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，设， 由勾股定理得：， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，则由勾股定理得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 而， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 37．已知，四边形为正方形，点在边上，点在边上，连接，过点作的垂线，交于点，垂足为． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若点在上，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据四边形内角和定理得出，结合，即可得证； （2）作于，延长交于，则，则四边形为矩形，为等腰直角三角形，证明，即可得证； （3）作于，则，则四边形是矩形，证明得出，证明得出，设，则，结合题意得出，，由勾股定理进行计算求出的值即可． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，作于，延长交于，则， ，四边形为正方形， ，，， ，为等腰直角三角形， 四边形为矩形，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，作于，则， ，四边形为正方形， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 正方形的面积为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 38．如图，正方形的顶点分别在的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点，并且满足，点是线段上的一个动点． (1)连接，求证：四边形是平行四边形； (2)作交于，当面积为时，求点的坐标； (3)设点是轴上方平面内的一点，以为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或． 【分析】()首先求出，代入，可求得，则，即可得四边形是平行四边形； ()过点作于，首先证明，则，可求得，设出的坐标，根据三角形的面积公式即可求得的纵坐标，进而求得的坐标； ()分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论：当四边形 是菱形时，是的中垂线与的交点，关于的对称点就是；当 四边形是菱形，，在直角边上，设出的坐标，根据即可求得的坐标，则根据和的中点重合，即可求得的坐标； 本题考查了一次函数的几何应用，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，坐标与图形，正确根据菱形的性质求得的坐标是解题的关键. 【详解】（1）证明：如图， ∵正方形的顶点分别在的正半轴上，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴，， ∴, 把代入得，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于， ∵，四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：当四边形是菱形时，如图， ∵的纵坐标是，把代入得，， 解得， ∴的坐标是， ∴点的坐标为； 当四边形是菱形时，如图， ∵，设的横坐标是，则纵坐标是， 则， 解得或(舍去)， ∴， ∴的坐标是， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 39．如图1，已知矩形的顶点A在正比例函数位于第一象限的图象上，顶点D在正比例函数位于第一象限的图象上，点B、C在x轴的正半轴上，且满足． 　　　 (1)试求k的值： (2)当时，点P是函数位于第一象限图象上的一个动点，若为等腰三角形，求点P的坐标： (3)如图2，当时，点E、F为边上的两个动点，且，试问：是否存在点E使四边形的周长最小？若存在，试求点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或； (3)存在， 【分析】（1）设，结合，可得，再利用正比例函数的性质可得答案； （2）如图，当，由（1）得：，，此时，可得，，则，分三种情况：当时，过作于，如图，当时，如图，当时，过作交轴于，过作于，再进一步求解即可； （3）如图，作关于的对称点，则， 即，连接，过作交于，则四边形为平行四边形，当三点共线时，，此时最短，此时四边形的周长最短，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵点A在正比例函数位于第一象限的图象上， ∴设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵顶点D在正比例函数位于第一象限的图象上， ∴， 解得：； （2）如图，当，由（1）得：，， ∴此时， ∴，，则， 当时，过作于， ∴， ∴， ∴， 如图，当时， 而直线为，设， ∴， ∴，负值舍去 ∴， 如图，当时，过作交轴于，过作于， 设，，而， 由勾股定理可得：， 即， 解得：，即， 设直线为， ∴，解得：， ∵， 设为， ∴， ∴， ∴直线为， ∴，解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上：或或； （3）存在，理由如下： 如图，作关于的对称点，则， 即， 连接，过作交于， 则四边形为平行四边形， ∴，，则， 当三点共线时，，此时最短， 此时四边形的周长最短， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，正比例函数的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的定义与性质，化为最简二次根式，清晰的分类讨论，作出合适的辅助线是解本题的关键． 40．问题提出：如图（1），E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图（2），当时，求证：： （2）再探究一般情形，如（1），试探究与的数量关系． 问题拓展：现将图（1）特殊化，如图（3），连接，若，菱形的面积为，则当点E从点B运动到点C时，线段扫过的面积为_____ 【答案】（1）证明见解析，（2）；（3）． 【分析】问题探究（1）在上截取，使得，证明得到，进一步证明，，即可求出； （2）在上截取，使，连接，证明得到，求出得到，进而得到； 问题拓展：如图，过作于，延长交的延长线于，由菱形的面积为，可得，证明的轨迹是线段，当，重合，，重合，如图，可得扫过的面积是的面积，再进一步解答即可． 【详解】解：（1）如图，在上截取，使得． ∵四边形是正方形， ，， ∵， ， ∵，， ， ∵， ， ， ∵，， ∴， ， ， ； （2）结论：； 理由：如图，在上截取，使，连接． ∵，， ． ∵， ， ． ∵，， ． ∵， ， ∴， ； （3）如图，过作于，延长交的延长线于， ∵菱形，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵菱形的面积为， ∴， ∴， ∵，结合（2）可得： ， ∴的轨迹是线段， 当，重合，，重合，如图， ∴扫过的面积是的面积， 由菱形的性质可得：， ∴， ∴， ∴扫过的面积是． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，正方形，菱形的性质，勾股定理的应用，点的轨迹问题，全等三角形的判定与性质，本题难度大，属于中考压轴题，作出合适的辅助线是解本题的关键． 41．如图，在矩形中，点是对角线的中点，点是直线上一点，点是直线上一点，且，连接． (1)如图1，若点，分别是，的中点，且，，则的长为__________； (2)如图2，若点在的延长线上，其他条件不变，探究线段，，的数量关系，并给出证明； (3)如图3，若点在的延长线上，且，，，求线段的值． 【答案】(1)5 (2)；见解析 (3)． 【分析】（1）先由三角形的中位线定理求得，再证明四边形是矩形，得，再求得，即可根据勾股定理求得； （2）延长交的延长线于点，连接，证明，推出，，再得到，在中，利用勾股定理求解即可； （3）如图，延长交的延长线于点，连接，由，，，得，则，，设，∴，在和中，利用勾股定理列式计算求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，   四边形是矩形，，， ，， 、分别是、的中点， ∴，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 的长是5； 故答案为：5； （2）解：，证明如下， 证明：如图，延长交的延长线于点，连接，    ∵矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴； （3）解：如图，延长交的延长线于点，连接，   ，，， ， ，， ∵矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，∴是线段的垂直平分线， ∴， 设，∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 线段的值是． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、线段垂直平分线的判定和性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 42．综合与实践 【课本再现】在一次课题学习活动中，老师提出如下问题：如图，四边形是正方形，点上边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论． 经过探究，小明得出结论是，而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形一个是钝角三角形）考虑到点是的中点，小明想到的方法是如图，取的中点，连接，证明，从而得到． （1）小明的证法中，证明的条件可以为（    ） A．     B．     C．     D． 【类比迁移】 （2）如图3，若把条件“点上边的中点”改为“点上边的任意一点”，其余条件不变，是否仍然成立若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）已知，四边形是正方形，点是直线上一动点，，且交正方形外角平分线于点，若，，则长为______． 【答案】（1）C；（2）成立，证明过程见解析；（3）或． 【分析】（1）作的中点，连接，根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得； （2）在上取一点，使，连接，同（2）根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得． （3）分两种情况：当点在边上时，当点是线段上的一点时，根据（）问的结论，当是边延长线上的任意一点，连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，证明，得即可．利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：取的中点，连接．   正方形中，， 又，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又． ， 在和中， ， ， 故选：C． （2）解：成立． 证明：如图，在上截取，连接，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴． ∵是正方形的外角平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （3）解：分两种情况：当点在边上时，如图1，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由勾股定理，得 ， 由（2）知，； 当点是直线上的一点时，如图4，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由勾股定理，得 ， 连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，如图，      ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是正方形的外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．注意分类讨论思想的应用． 43．探索与发现： 小李同学在用作图软件探索图形性质的数学活动中，进行如下操作： 如图，在边长为3的正方形的边上取定点E，使，在边上设置动点P，连接，以为边在的上方作正方形，接，．    (1)小李同学通过观察发现图中，请给出证明； (2)探索过程中发现，在点P运动过程中，的面积是个定值，请证明并求出这个定值 ； (3)进一步探索后发现，随着点P的运动，的周长会随点P位置的变化而变化，但存在一个最小值，请你求出周长的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（1）根据正方形的性质及同角的余角相等即可证明； （2）过点F作于点H，则，根据全等三角形的判定和性质得出，然后计算三角形面积即可； （3）过点F作交于点N，作点B关于的对称点M，连接，由题意得出当点P运动时，点F在直线上运动，利用矩形的判定和性质及三角形三边关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ， ∴（同角的余角相等）； （2）如图，过点F作于点H，则，    ∵四边形都是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，   ∴； （3）如图，过点F作交于点N，作点B关于的对称点M，连接，    由（2）得， ∴当点P运动时，点F在直线上运动， ∵四边形是边长为3的正方形，   ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点B与点M关于对称， ∴，点M在上，， ∴， ∴， ∵(当且仅当点F在上时等号成立)， ∴， ∴的最小值为， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质及三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 44．【探究发现】如图，矩形所在平面内有一点．连接． （1）①当点与矩形对角线交点重合时（如图1），显然有； ②当点落在边上时（如图2），且，则______；通过计算，发现并猜想的关系：______． （2）当点在矩形内部（如图3），是否仍存在你所猜想的结论？ 【直接运用】如图4，矩形外有一点，且． ①．求证：； ②．若，则______． 【拓展应用】如图5，，点在边上运动，若，求的值． 【答案】【探究发现】（1）②7，；（2）见解析；【直接运用】①．见解析；②．；【拓展应用】16 【分析】（1）②直接利用矩形的性质与勾股定理计算即可得到答案； （2）如图3中，过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形，，再利用勾股定理可得结论； 【直接运用】①当点在矩形外部时，如图4中，由（2）同法可证：；如图5中，连接．证明，结合，从而可得结论；②直接利用①的结论计算即可； 【拓展应用】如图6中，将沿翻折得到，连接，证明四边形是矩形，再利用前面的结论可得答案． 【详解】解：（1）②如图2中， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． （2）如图3中，过点作的垂线，交于点，交于点， 则四边形和为矩形， ， 由勾股定理得：则，， ， ， ． 直接运用： ①证明：当点在矩形外部时，如图4中，由（2）同法可证： ； 如图5中，连接． ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． ②， ， ∵， ∴， 拓展应用： 如图6中，将沿翻折得到，连接，         ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质，二次根式的乘法运算等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会构建模型解决问题，属于中考压轴题． 45．如图，在等边中，，点是所在直线上一点，连接． (1)如图1，点在线段上，若，求的长； (2)如图2，点在线段上，点是线段上一点，满足，连接交于点．过作于，点是延长线上一点，连接交于点．若，求证：； (3)如图3，过作交直线于，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质得出，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理即可求解； （2）过点作于点，证明，得出，，则，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据已知，可得，过点作交的延长线于点，则四边形是平行四边形，得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （3）作关于的对称点，连接，取的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，则四边形是菱形，根据题意将沿所在直线翻折至所在平面内得到，则关于对称，得出是直角三角形，当在上时，取得最小值，勾股定理求得的最小值为，过点作于点，连接，进而等面积法得出，然后根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵，则 在中，， ∵，则 在中， （2）证明：如图所示，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， 即是的中点， 过点作交的延长线于点， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴ ∴； （3）解：如图所示，作关于的对称点，连接，取的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接， 则， ∴四边形是菱形， ∴， ∴，则， ∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到， ∴关于对称， ∴关于对称， ∵ ∴是直角三角形， ∴ 当在上时，取得最小值， ∵， ∴，则， 在中， ∴的最小值为 如图所示，过点作于点，连接， ∵是的中点，，则 ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴当取最小值时， 的面积为． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外角的性质，轴对称的性质，三角形三边关系的应用，熟练掌握以上知识是是解题的关键． 六、压轴题六：反比例函数与几何综合，10题，难度五星 46．如图1，正方形中，，．过A点作轴于点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点E的坐标； (3)如图2，连接，点P为曲线上一点，过点P作坐标轴的垂线，垂足分别为点M、N，所做的垂线交于点Q、H，当时，探究：与的数量关系，并说明理由； (4)如图3，过点C作直线，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)，理由见解析 (4)或3或或 【分析】（1）由正方形的性质可得，，利用同角的余角相等得到，从而利用即可得证结论； （2）先求得，设反比例函数的表达式为，把点A的坐标代入即可求出，即得到反比例函数的表达式为，同（1）证得，得到，因此点E的横坐标为，把代入反比例函数，得，即可解答； （3）将绕点O顺时针旋转得到，连接，先得出，利用勾股定理可得，进而退出，从而证得，得到，再证，根据四边形的内角和即可解答； （4）利用待定系数法可求得直线的解析式为，进而求解直线l的解析式为，设，，分三种情况讨论：①，为对角线，②，为对角线，③，为对角线，根据菱形的邻边相等，对角线互相平分分别列方程求解即可解答． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 设反比例函数的表达式为， ∵该反比例函数经过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴点E的横坐标为， 把代入函数中，得， ∴点E的坐标为； （3），理由如下： 如图，将绕点O顺时针旋转得到，连接， ∴，，， 由（2）可知， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （4）在平面内存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形．理由如下： 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴设直线l的解析式为， ∵直线l经过点， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， ∵点P是直线l上的一点，点Q是平面内一点， ∴设，， ∵，， 又菱形的邻边相等，且对角线互相平分， ∴①若、为对角线，则 ， 解得， ∴ ； ②当，为对角线时， ， 解得： 或（舍去）， ∴； ③当，为对角线时， ， 解得：或， ∴或； 综上所述，在平面内存在点Q，使得点A，C，P，Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，点Q的横坐标为或3或或． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，菱形的性质等．注意掌握待定系数法求函数解析式和利用两点间的距离公式计算线段的长，理解坐标与图形的性质，会运用分类讨论的思想解决数学问题． 47．如图1，在平面直角坐标系中，，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点D，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，已知点D的坐标为． (1)求直线的解析式及E点的坐标； (2)若y轴上有一动点F，直线上有一动点G．当最小时，求的周长的最小值； (3)如图2，若y轴上有一动点Q，直线上有一动点P，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，求P点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或或． 【分析】（1）先确定出点A，C坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，再用待定系数法求出反比例函数解析式，联立求出点E坐标； （2）先判断出，进而判断出EH垂直于x轴时，最小，进而求出点G坐标，再判断出点F在上时，的周长最小，即可求出答案； （3）分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出点P坐标． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为①， ∵点在反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为②， 联立①②解得，或， ∵点E在第一象限内， ∴； （2）如图1， 由（1）知，，， ∴直线的解析式为， 过点G作轴于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G在上，且轴， 即时，最小， 作点关于y轴的对称点G'，则， ∴， 连接交y轴于， 此时，的周长最小， 即周长的最小值为； （3）由（2）知，直线的解析式为， 设，， ∵以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形，，， Ⅰ、当与为对角线时，， ∴， ∴， Ⅱ、当与为对角线时，， ∴， ∴， Ⅲ、当与为对角线时，， ∴， ∴． 综上：或或 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的交点坐标的求法，三角形的面积的求法，平行四边形的性质，对称性，极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 48．如图，在平面直角坐标系中，的边垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D．若点D的坐标为，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式； (3)设点E是线段上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行于y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求面积的最大值． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2)直线的解析式为 (3)最大值为 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式： （1）先确定点A的坐标，进而求得点C的坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论； （2）由，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论； （3）设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与m函数关系式，即可得出结论； 建立与m的函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵点C，D在双曲线上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由（1）知，反比例函数解析式为， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：如图，由（2）知，直线的解析式为， 设点， 由（2）知，，， ∴， ∵轴交反比例函数的图像于F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴时，最大，最大值为． 49．如图，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．    (1)______，______； (2)求反比例函数表达式； (3)动点在轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，求点的坐标； (4)如图，过作轴于点，，，，…，，…是轴上的点，且，分别过点，，，…，，…作轴的垂线交反比例函数（）的图象于点，，，…，，…，过点作于点，过点作于点，过点作于点…，记的面积为，的面积为…，的面积为，求．    【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）由非负计算式相加等于0，得出各式值均为0，计算即可； （2）由点A和点坐标，及中点得到点横坐标，再利用平行四边形对边平行且相等得到点和点坐标关系，最后代入解析式计算即可； （3）由两边之差小于第三边得到差值最大时三点共线，再利用直线解析式求出点P即可； （4）由三角形面积算法得到各三角形面积表达式，再加减相消计算即可． 【详解】（1） 又，， ，， ，． （2）点为中点，，且点在y轴上， ， ， 且， 又， 即， 将点C、D代入反比例函数中得， 解得， 反比例函数表达式为． （3）， 当点、、三点共线时取等号，此时与的差值最大， 设经过点、的直线解析式为， 代入点、得， 解得， 直线解析式为， 代入点得， ． （4），，同理计算得， 点，， ． 【点睛】本题考查反比例函数综合计算，在计算中采用设坐标代入解析式，再列方程求解的方法．规律计算时采用迭代法，可快速得到第n个图形的计算式，并且验算可以提供准确率． 50．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，．反比例函数（）的图象分别交、于点E、点F ．    (1)求反比例函数的解析式； (2)连接、、，求的面积； (3)是否存在x轴上的一点P，使得是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据题意得到点的坐标为，根据待定系数法可得的值，即可； （2）求出点与点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出； （3）设点坐标为，求出点与点的坐标，运用分类讨论思想结合勾股定理解决问题． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， ， ，， 所以点的坐标为， 点在反比例函数上，代入，得到， 故反比例函数解析式为； （2）如图， ， ， 时，， ， 即，，， ， ； （3）如图，   ， 设所求点坐标为， ，， ， ， ， 当时， ， 即，， 解得，， 故； 当时， ， 即，， 解得，， 故， 综上所述；存在点，坐标为，． 【点睛】本题考查了反比例函数与矩形的综合性问题，涉及到反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式、坐标表与图形的关系、勾股定理等知识，分类讨论思想的运用是解决最后一问的关键． 51．如图，已知直线与反比例函数的图象分别交于点A和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．    (1)如图1，当点A坐标为时， ①求直线的解析式： ②若点P是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为2时，求点P的坐标； (2)将直线向上平移2个单位得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求m的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①根据点A的坐标求得反比例函数的解析式，即可求得的值，代入一次函数即可求得直线的解析式； ②作，过C作于Q；联立与反比例函数解析式，求得的坐标，进而求得的长，根据三角形面积求得的距离，进而求得的解析式，联立与反比例函数解析式即可求得点的坐标； （2）过点作，交于点，交于点，由题意可知直线的解析式为，则，同（1）可得，证明I为的中点，得到，则直线的解析式为，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，则，即I是的中点，求出，根据两点中点坐标公式得到，由此求解即可； 【详解】（1）解：①∵在上， ∴， 把代入中得：， 则直线解析式为：，反比例函数解析式为：； ②由直线与反比例函数的图象分别交于点A和点B， 则， 解得或， ∴， ， 如图，过P作分别交x轴、y轴于点M、N，过C作于Q， 设的距离为d，则， 解得， ∴的距离为， ∴，    ∵，令，则，令，则，即 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在中，， ∴直线是直线向右平移2个单位后得到的直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， 或； （2）解：过点作于J，交于点，交于点，如图，    ∴， 由题意可知直线的解析式为， ∴， 同（1）可得， ∴， ∵， ∴I为的中点， ∴， ∴直线的解析式为， 若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为， ，即I是的中点， 联立，解得或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合，求一次函数与反比例函数解析式，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，一次函数的平移，轴对称的性质，正确作出辅助线，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 52．综合与实践 问题情境：在平面直角坐标系中，已知直线轴，直线分别与反比例函数的图象交于点A，与反比例函数的图象交于点B，连接，．    (1)问题解决：如图①，若点A，B的横坐标为3，试判断的形状，并说明理由． (2)问题探究：如图②，将直线向右平移若干个单位后得到直线，它与两个函数图象的交点分别为，，连接，，则在直线向右平移到直线的过程中，的面积是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出的面积． (3)问题拓展：如图③，将直线向右平移若干个单位后与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点P，与反比例函数的图象交于点Q，连接，，当P恰好是的中点时，请直接写出的面积． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2)的面积不发生变化，为． (3) 【分析】（1）先求解，，再求解，，的长度，从而可得结论； （2）利用反比例函数的比例系数k的几何意义可得面积不变，从而可得答案； （3）先求解直线为，设为，设，而P恰好是的中点，可得，设为，可得，可得，可得，，由中点坐标公式可得：，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：∵直线分别与反比例函数的图象交于点A，与反比例函数的图象交于点B，点A，B的横坐标为3， ∴，， ∴，， ∴， 由勾股定理可得：，， ∴， ∴为等腰三角形． （2）如图，记与x轴的交点为M，记与x轴的交点为N，    ∵直线轴， ∴轴，同理：轴， ∴， ， ∴的面积不发生变化，为． （3）∵，设直线为， ∴，解得，即直线为， 由平移的性质可得：， 设为， 设，而P恰好是的中点， ∴， ∴，解得：，即， 设为， ∴，解得：， ∴，解得：（负根舍去）， ∴，， 由中点坐标公式可得：， ∴． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，求解一次函数的解析式，中点坐标的含义，二次根式的混合运算，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 53．如图，反比例函数图像与一次函数图像相交于A，B两点，A点坐标为，点C是反比例函数图像上一点（不与点B重合，且点C在点B的左侧），点C的横坐标为m．    (1)______，______，点B的坐标为（______，______）； (2)若，连接AC，BC，求的面积； (3)连接，与x轴相交于点E，连接．求证：． (4)在（3）的条件下，点D是反比例函数图像上另外一点（不与点B重合，且点D在点B的右侧），连接，若，求的度数．（直接写出答案） 【答案】(1)3， 9， (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）把A坐标代入即可求出a，然后把A坐标代入反比例函数解析式即可求出k，联立两个函数求出交点坐标，即可得出点B坐标； （2）先求解析式，再求出与x轴交点坐标，利用，即可求出面积； （3）分别求出和的解析式，再求出两个解析式与x轴的交点，得出为垂直平分线，进而求出，再根据三角形外角知识即可得出结论； （4）画出图形，求的度数，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】（1）解：∵一次函数图像经过， ∴，则， ∵经过， ∴， ∵反比例函数图象与一次函数图象相交于A，B两点， ∴， 解得：， ∴， 故答案为∶ ， 9，； （2）如图，    ∵点C的横坐标为m，且点C是反比例函数图象上一点， 当时，则， ∵， 设直线的解析式为∶ ， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为∶ ， 令，则， 设交y轴于E点， ∴， ∴， ∵ ，， ∴轴，且， ∵，， ∴， ∴ （3）如图，连接，与x轴相交于点E，    ∵，， ∴直线的解析式为， ∴设， ∵，， ∴直线解析式为∶ ， 设交x轴于F， ∴， 作垂直于x轴交x轴于点H，则， ∴， ∴垂直平分 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （4），理由如下： 如图，连接，交x轴于M，交y轴于N，    由(3)可得∶ 设点D坐标为根据 （3）中的理由可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设交x轴于M，交y轴于N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的知识、一次函数的知识、垂直平分线的知识、三角形内角和的知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 54．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的两倍的凸四边形叫做倍角梯形． 如图1，直线，点、在直线上，点、在直线上，若， 则四边形是倍角梯形．    (1)如图2，点是的边上一点，，，．若四边形是倍角梯形，则的长是___________； (2)如图3，以的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是倍角梯形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，直接写出的值． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据倍角梯形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长，； （2）由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合倍角梯形的定义即可证出四边形是倍角梯形； （3）由平行四边形的性质结合，可得出点，，的坐标；四边形向左平移个单位后，用含的代数式表示出平移后点，，的坐标，分点，落在反比例函数图象上及点，落在反比例函数图象上两种情况考虑，根据反比例函数图象上点的坐标特征：横坐标纵坐标，可得出关于的一元一次方程，求出的值，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出的值即可． 【详解】（1）解：点是的边上一点，，，，四边形是倍角梯形， ， ， ， ， ， 故答案为：5； （2）证明：四边形为平行四边形， ，， ， ， 又， 四边形是倍角梯形； （3）解：在（2）的条件下，，， ，点的横坐标，点的横坐标， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；四边形向左平移个单位后，点的坐标变为，点的坐标变为，点的坐标变为， 情况一：当四边形向左平移个单位后，点，落在反比例函数的图象上时，， 解得：， ； 情况二：当四边形向左平移个单位后，点，落在反比例函数的图象上时，， 解得：， ， 综上所述：的值为为或． 【点睛】本题考查了直角三角形、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，熟练运用知识点、数形结合是解题的关键． 55．如图1，直线l与反比例函数的图象交于，两点．    (1)求反比例函数和直线l的解析式； (2)若直线l在反比例函数的图象上方，请直接写出x的取值范围； (3)点M在y轴上，点N为坐标平面内任一点，若以A、B、M、N四点构成的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标； (4)如图2，直线l与x轴相交于点D，点A关于原点对称的点为E，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹），过点E作于F，连结，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或 (4)图见解析， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）设，，根据题意分四边形或四边形为菱形两种情况讨论，然后根据菱形的性质列方程求解即可； （4）首先尺规做出的平分线，画出图形，连结，首先求出，然后利用题意得到为直角三角形，然后结合角平分线的概念得到，然后得到，最后代入求解即可． 【详解】（1）∵直线l与反比例函数的图象交于，两点 ∴将代入得，，解得 ∴反比例函数； 将代入得， ∴ ∴设直线l的解析式为， 将，代入 得，解得 ∴直线l的解析式为； （2）∵， ∴由图象可得， 当或时， 直线l在反比例函数的图象上方； （3）∵，，设， ∴，    如图所示，当四边形是菱形时， ∴ ∴由菱形的性质可得， ∴ ∴解得或 ∴， 如图所示，当四边形是菱形时， ∴， ∴由菱形的性质可得， ∴ ∴解得 ∴； 综上所述，点N的坐标为或或； （4）如图所示，连结，    ∵直线l的解析式为：， ∴点D坐标为， ∴， ∵点E与点A关于原点对称， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数以及几何综合题，坐标与图形，直角三角形的性质，菱形的性质和判定等知识，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$