七年级数学下学期期末押题卷（武汉专用）-【尖子生培优】2023-2024学年七年级数学下学期重难点压轴题突破专练（人教版）

七年级数学下学期期末押题卷（武汉专用） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．为了了解某地区老年人的健康状况，小明在公园里调查了60名老年人今年生病的次数，小颖在医院里调查了50名老年人今年生病的次数，小亮在邻居中调查了30名老年人今年生病的次数，小萌利用派出所的户籍网随机调查了该地区的老年人今年生病的次数，你认为他们的调查方式比较合理的是（    ） A．小萌 B．小亮 C．小颖 D．小明 2．设实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列选项中的式子成立的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，某公园里有一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为米，小明沿着小路的中间，从入口到出口所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．若关于、的方程组的解满足，则等于（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 5．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱几何？”．题意大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱．甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带钱为，乙带钱为，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 6．如图，用手盖住点，点到轴距离为2，到轴的距离为5，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．若表示实数的整数部分，表示实数的小数部分，如，，，则（　　） A． B． C． D． 8．下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．算术平方根等于它本身的数是 D． 9．在同一平面内，有直线，已知，，，，…，按此规律下去，若，则的值可以是（　　） A．42 B．47 C．63 D．85 10．已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．若不等式组的解集是，则 ． 12．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为 ． 13．若，则的值是 ． 14．在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是 ． 15．甲、乙两人在解方程组时，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得，则的值为 ． 16．如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于100”为一次运算，若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，则m的取值范围为 ．    三、解答题（共52分） 17．请将下列证明过程补充完整： 如图，点E、F、M、N分别在线段、、上，，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴ （ ）（填推理的依据） ∴（ ）（填推理的依据） ∵（已知） 又∵（ ） ∴（ ） ∴（ ） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（ ）． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是，， (1)请在图中画出向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度后的 写出点，，的坐标． (2)求的面积． 19．对于未知数为、的二元一次方程组，如果方程组的解、满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 20．研究发现：由于，42没有大于1的平方约数，所以当a为正整数时，为有理数的条件是（其中t为正整数）． (1)若正整数a使得，则a的值为 ； (2)已知a、b、c是正整数，且，当时，称为“团结数组”． ①若为“团结数组”，且，则 ； ②若为“团结数组”，且，则 ， ； ③“团结数组”共有 个． 21．为了解某校七年级学生一分钟标准仰卧起坐情况，对该校全部七年级学生进行一分钟标准仰卧起坐个数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知一分钟标准仰卧起坐个数在“”的人数占七年级总人数的 组别（个） 频数 48 96 a 72 (1)求七年级的学生总人数及a的值； (2)把频数分布直方图补充完整； (3)若一分钟标准仰卧起坐在30个以上为合格，求该校七年级学生仰卧起坐合格的学生人数占七年级学生总人数的百分比 22．某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了． (1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量； (2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案： (3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量． 23．三兄弟带着西瓜到农贸市场去卖：老大带了个，老二带了个，老三带了个．上午他们按同一价格卖了若干个西瓜（西瓜按整个出售，均大于等于个，且均有剩余），过了中午，怕西瓜卖不完，他们降价把所有剩余的西瓜仍按同一价格全部卖掉了，回家后，他们清点卖瓜款后发现，三人卖瓜所得的钱数一样多，每人都卖得元，问他们的西瓜到底上、下午各按什么价格卖出的？ 24．已知直线 ，是截线，点M 在直线与之间． (1)如图①，连接，过点M作M作．请直接写出 与 之间的数量关系 ； (2)如图②，在的角平分线上取两点M，Q，使得请写出 与 之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若射线是的平分线，点 N在的延长线上，连接，若 求的度数． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级数学下学期期末押题卷（武汉专用）（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．为了了解某地区老年人的健康状况，小明在公园里调查了60名老年人今年生病的次数，小颖在医院里调查了50名老年人今年生病的次数，小亮在邻居中调查了30名老年人今年生病的次数，小萌利用派出所的户籍网随机调查了该地区的老年人今年生病的次数，你认为他们的调查方式比较合理的是（    ） A．小萌 B．小亮 C．小颖 D．小明 【答案】A 【分析】本题考查抽样调查．解题的关键是要注意样本的代表性、校本的广泛性和样本随机性． 抽样调查应该注意样本容量的大小和代表性． 【详解】解：A．小萌利用派出所的户籍网随机调查了该地区的老年人的健康状况，简单随机抽样，样本合适，故此选项符合题意； B．选项调查30人数量太少，故此选项不符合题意； C．选项选择的地点没有代表性，医院的病人太多，故此选项不符合题意； D．选项选择的地点没有代表性，公园里的老人都比较注意运动，身体比较健康，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．设实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列选项中的式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，正确得出格式的符号是解题的关键． 直接利用数轴得出各式的符号，进而分别判断即可得出答案． 【详解】解：由图可得 A. ∵，∴，故此选项符合题意； B. ∵，∴，∴，故此选项不符合题意； C. ∵，且，∴，故此选项不符合题意； D. ∵，且，∴，∴，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．如图，某公园里有一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为米，小明沿着小路的中间，从入口到出口所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了平移，根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向进行分析，横向距离等于，纵向距离等于，相加即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可得，横向距离等于，纵向距离等于， ∴从到需要走的距离为：米， 故选：． 4．若关于、的方程组的解满足，则等于（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】观察方程组，及条件，将方程组两式相加，即可得到关于等式，进而求得的值，本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是：观察已知条件，灵活求解． 【详解】解： 两式相加可得：，即， ， 故选：． 5．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱几何？”．题意大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱．甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带钱为，乙带钱为，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲带钱为，乙带钱为，根据题意列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设甲带钱为，乙带钱为， 由题意可得， 故选：． 6．如图，用手盖住点，点到轴距离为2，到轴的距离为5，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面内点到轴距离等于纵坐标绝对值，到轴距离等于横坐标绝对值求解即可得到答案， 本题考查了，平面内点到坐标轴的距离，解题的关键是：熟练掌握平面内点到坐标轴的距离． 【详解】解：∵点到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且点在第三象限， ∴，， ∴这个点的坐标是：， 故选：． 7．若表示实数的整数部分，表示实数的小数部分，如，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了估算无理数大小，理解定义的新运算是解题的关键．先估算的值的范围，从而估算出的值的范围，然后根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】 解：， ， ， ， ， 的整数部分是2，小数部分是， ， 故选：． 8．下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．算术平方根等于它本身的数是 D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，根据算术平方根和立方根的性质逐项判断即可，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解题的关键． 【详解】、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意；     、有立方根，原选项说法错误，不符合题意； 、算术平方根等于它本身的数是和，原选项说法错误，不符合题意； 、，原选项说法正确，符合题意；     故选：． 9．在同一平面内，有直线，已知，，，，…，按此规律下去，若，则的值可以是（　　） A．42 B．47 C．63 D．85 【答案】D 【分析】本题考查平面内直线位置关系中的规律探究，根据题意，得到（为自然数），，，，再进行判断即可． 【详解】解：∵，，，，…， ∴ ∴从直线开始每条直线与的位置关系依次：两条与垂直，两条与平行，再两条与垂直，两条与平行，…，即每两条变化一次位置关系，4条一个循环， ∴（为自然数），，，， 因为，，，， ∴若，则的值可以是85， 故选D． 10．已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解二元一次方程组可得，根据x，y均大于0，进而可得：，然后根据，，可得，从而可得，即，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得：， ，， ， 解得：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．若不等式组的解集是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的值．把，看作常数，解不等式组，根据不等式组的解集求出，的值，再代入代数式进行求解即可．正确的求出不等式组的解集，是解题的关键． 【详解】解：由，得：； 由，得：； ∵不等式组的解集是， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 12．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为 ． 【答案】/85度 【分析】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．过点F作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴，而， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 13．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根的意义、绝对值的性质、代数式求值，理解平方根的性质是解决问题的前提．根据，，且，可以得到、的值，从而可以求得的值． 【详解】解：，， ，， 又， ，或，， 当，时，， 当，时，； 综上所述，的值为． 故答案为：． 14．在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求平面直角坐标系点的坐标，象限的分类，根据题意点到轴的距离是纵坐标，到轴的距离是横坐标，再根据第四象限点的特征，横坐标为正，纵坐标为负，即可求解，理解平面直角坐标系的概念是解题的关键． 【详解】∵点在第四象限，且点到轴的距离为，则纵坐标，到轴的距离是，则横坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15．甲、乙两人在解方程组时，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得，则的值为 ． 【答案】5 【分析】 本题考查了二元一次方程组的解及其应用；甲因看错a，解得，则是方程的解，则可求得b的值；乙将其中一个方程的b写成了其相反数，易得乙是将第二个方程中的b写成了其相反数，即为，把代入此方程中即可求得结果． 【详解】解：甲因看错a，解得，则是方程的解， ∴， 即， 即第一个方程为； 乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得， 因， 故乙是将第二个方程中的b写成了其相反数，即为， 把代入中，得； 故答案为：5． 16．如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于100”为一次运算，若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，则m的取值范围为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解程序表达的意思列式是解题的关键．根据“若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，”列式，然后解不等式，即可作答． 【详解】解：∵结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止， ∴ 由，得； 由，得 即 故答案为： 三、解答题（共52分） 17．请将下列证明过程补充完整： 如图，点E、F、M、N分别在线段、、上，，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴ （ ）（填推理的依据） ∴（ ）（填推理的依据） ∵（已知） 又∵（ ） ∴（ ） ∴（ ） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（ ）． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，邻补角的性质，根据题干的提示逐一完善推理过程与推理依据即可，掌握平行线的判定方法与性质是解本题的关键． 【详解】证明：∵（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） 又∵（邻补角定义） ∴（同角的补角相等） ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等）． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是，， (1)请在图中画出向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度后的 写出点，，的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析，，， (2)7 【分析】本题考查了作图-平移，解题的关键是∶ （1）根据点平移的坐标变换规律写出点，，的坐标，然后描点即可； （2）用一个长方形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【详解】（1）解∶如图，即为所求， ，，； （2）解∶的面积. 19．对于未知数为、的二元一次方程组，如果方程组的解、满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)x与y具有邻好关系，见解析 (2)m的值为1或2 【分析】（1）先求得方程组的解，验证方程组的解是否满足，满足，具有“邻好关系”，反之，不具有； （2）先求得，再根据新定义，解绝对值方程即可． 本题考查了解方程组，绝对值方程的新定义问题，熟练解方程组，灵活应用新定义是解题的关键． 【详解】（1）x与y具有“邻好关系”.理由如下 ， 由得: 解得， 把代入①得: ， 解得， ∴原方程组的解为 ∵， ∴x与y具有“邻好关系”． （2）， 由得: 解得， ∵方程组的解与具有“邻好关系”， ∴或， 解得或． 故或． 20．研究发现：由于，42没有大于1的平方约数，所以当a为正整数时，为有理数的条件是（其中t为正整数）． (1)若正整数a使得，则a的值为 ； (2)已知a、b、c是正整数，且，当时，称为“团结数组”． ①若为“团结数组”，且，则 ； ②若为“团结数组”，且，则 ， ； ③“团结数组”共有 个． 【答案】(1)168 (2)①378，②1512，168，③3 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，理解题干所给的提示，将转化为几个分子为1的分数和为1的分数的式子求解是解题关键． （1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）①由可得，即可解答；②，，（t，m为正整数，且），由已知条件可得，进行求解即可；③设，，（x，y，z为正整数而且），可得，根据分子为1的分数和为1的分数的特点进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：168． （2）①∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：378． ②∵ ∴， 由① ∴ 设，，（t，m为正整数，且） ∴，即，则， ∵，而时，，则， ∴， ∴， 故答案为：1512，168． ③设，，（x，y，z为正整数而且）， ∵ ∴ ∴， 又∵， ∴， ， 当时，，此时，， 当时，，∴， 当时，同②，，，， 当时，，，，， 综上所述，“三元数组”共有3个． 故答案为：3． 21．为了解某校七年级学生一分钟标准仰卧起坐情况，对该校全部七年级学生进行一分钟标准仰卧起坐个数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知一分钟标准仰卧起坐个数在“”的人数占七年级总人数的 组别（个） 频数 48 96 a 72 (1)求七年级的学生总人数及a的值； (2)把频数分布直方图补充完整； (3)若一分钟标准仰卧起坐在30个以上为合格，求该校七年级学生仰卧起坐合格的学生人数占七年级学生总人数的百分比 【答案】(1)七年级的学生总人数为360人，a的值为144 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查频数分布直方图和统计表， （1）利用表中信息先算出总人数，然以后用总人数减去其它组的人数即可得到a的值； （2）根据（1）小问a的值即可补全直方图； （3）利用统计表中符合条件的人数除以总人数并乘以即可． 弄清题意，通过统计图、表得到有用的信息并正确计算是关键． 【详解】（1）解：已知一分钟标准仰卧起坐个数在“”的人数占七年级总人数的 七年级总人数为（人） ， 故七年级的学生总人数为360人，a的值为144； （2）如图所示， （3）若一分钟标准仰卧起坐在30个以上为合格，该校七年级学生仰卧起坐合格的学生人数占七年级学生总人数的百分比为， 故该校七年级学生仰卧起坐合格的学生人数占七年级学生总人数的百分比为 22．某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了． (1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量； (2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案： (3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量． 【答案】(1)该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张 (2)该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； (3)该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台． 【分析】（1）设该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张，根据四月份销售两种儿童床共20张和销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，可得二元一次方程组，解方程即可； （2）设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张，根据购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的和两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答； （3）在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台，分类讨论，求的正整数解，从而得出结论． 【详解】（1）解：设该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张， 根据题意可得方程， 解得， 该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； （2）解：设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张， 由题意可得， 解得， 是正整数， 或17， 或13， 故所有可能的进货方案由两种，分别为：该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； （3）解：在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台， ①当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时， 售出后的利润为（元）， ， 即， 是正整数， ， ②当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时， 售出后的利润为（元）， ， 即， 是正整数， 无解， 综上所述，该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组． 23．三兄弟带着西瓜到农贸市场去卖：老大带了个，老二带了个，老三带了个．上午他们按同一价格卖了若干个西瓜（西瓜按整个出售，均大于等于个，且均有剩余），过了中午，怕西瓜卖不完，他们降价把所有剩余的西瓜仍按同一价格全部卖掉了，回家后，他们清点卖瓜款后发现，三人卖瓜所得的钱数一样多，每人都卖得元，问他们的西瓜到底上、下午各按什么价格卖出的？ 【答案】上午每个西瓜卖 元，下午每个西瓜卖 元 【分析】设老大、老二、老三上午卖掉的西瓜个数分别为 ，，，（，，均为正整数），下午卖掉的西瓜个数依次为 ，，．上午每个西瓜卖 元，下午每个西瓜卖 元．根据题意可得出关于x、y、z、m、n的方程组，结合，， 均为整数，且 ，以及整数的特性讨论求解即可． 【详解】设老大、老二、老三上午卖掉的西瓜个数分别为 ，，，（，，均为正整数），下午卖掉的西瓜个数依次为 ，，．上午每个西瓜卖 元，下午每个西瓜卖 元．（） 则 ， ， ， ，， 均为整数，且 ， ， 都是正整数，可设 ，（ 为正整数）， ，． ， ，，，． ， 解得 ； 上午每个西瓜卖 元，下午每个西瓜卖 元． 【点睛】本题考查了方程组的应用，正确理解题意、结合所设相关未知数为正整数讨论求解是关键． 24．已知直线 ，是截线，点M 在直线与之间． (1)如图①，连接，过点M作M作．请直接写出 与 之间的数量关系 ； (2)如图②，在的角平分线上取两点M，Q，使得请写出 与 之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若射线是的平分线，点 N在的延长线上，连接，若 求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）如图1，过点M作，可得，由平行线的性质可得，进而可以证明； （2）根据角平分线的定义得到，由（1）知，等量代换得到，根据平角的定义即可得到结论； （3）如图3，令，则，过点H作，可得，进而可得结论． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：，理由如下： ∵是的平分线， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图3，令，则， ∵射线是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点H作，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$