期末真题精选（四大题型，压轴题40题）-【尖子生培优】2023-2024学年八年级数学下学期重难点压轴题突破专练（人教版）

期末真题精选（四大题型，压轴题40题）（原卷版） 目录 一、压轴题一：二次根式综合，10题，难度四星 1 二、压轴题二：平行四边形综合，10题，难度四星 4 三、压轴题三：特殊平行四边形综合，10题，难度五星 7 四、压轴题四：一次函数综合，10题，难度五星 12 一、压轴题一：二次根式综合，10题，难度四星 1．两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：与；与． （1）的有理化因式为 ； （2）比较大小： （选填“>”“<”或“=”）； （3）计算： ． 2．观察下列各式： =1+，=1+，=1+，…… 请利用你所发现的规律， 计算+++…+，其结果为 ． 3．观察下列各式及其化简过程： ， ． (1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将化简； (2)化简； (3)针对上述各式反映的规律，请你写出中，m，n与a，b之间的关系． 4．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式的化简与运算时，有时会碰上如，这样的式子其实我们还可以进一步化简．例如：，这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）请参照上述方法化简： （2）猜想：　　　　　（用含n的式子表示） （3）化简： 5．若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|． 例如：＝＝|++|＝请解决下列问题： （1）求的值． （2）设S＝++…+，求S的整数部分． （3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围． 6．若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明） 例如： 根据以上阅读，请解决下列问题： 【基础训练】 (1)求的值； 【能力提升】 (2)设，求S的整数部分． 【拓展升华】 (3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围． 7．（1）已知其中，化简求值； （2）已知，探究m与n的关系． 8．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的． 例如化简，且， . (1)填上适当的数：＝______． (2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值． (3)化简：． 9．先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题： (1)的有理化因式是 _______； (2)化去式子分母中的根号： _____．（直接写结果） (3) （填或） (4)利用你发现的规律计算下列式子的值： 10．阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 二、压轴题二：平行四边形综合，10题，难度四星 11．问题背景：（1）如图1，点E为的边上一点，连接、，求证：； 尝试应用：（2）如图2，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接、交于点G，连接，若，求证：平分； 拓展创新：（3）如图3，和中，点D在边上，点B在边上，、交于点F，若，，，，，则______． 12．如图，已知，中，，，点在边上，点在边上，连接、，． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 13．四边形中，，点E在边上，连接CE，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，过点A作的垂线交CE的延长线于点F，求证：点E为线段的中点； (3)如图3，在（2）问条件下，连接，点G为线段上一点，连接，使得，，当的周长为，求线段的长． 14．如图，为的对角线，，平分，F为射线上一点． (1)如图1，点F在的延长线上，连接与交于点G： ①当点G为的中点时，求证： ②若，当时，求长度； (2)如图2，点F在线段上，连接与交于点H，若，试探究 三条线段之间的数量关系． 15．如图，在平行四边形中，点E是边上的动点，现将沿折叠，点是点B的对应点． (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若点落在上时，求的长； (3)如图3．若取的中点F，连接，求的取值范围 16．在四边形中，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点为线段上的动点点不与点重合，连接，过点作交直线于点． ①如图2，当点为线段的中点时，请直接写出，的数量关系； ②如图3，当点在线段上时，求证：． 17．如图，在中，为对角线的中点，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结，设点的运动时间为（s）．    (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在内部时，求的取值范围． (4)当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值． 18．如图1，已知A，B为直线同侧的两点，点为直线上一点，连接，．若，则称点是点和点关于直线的“等角点”． (1) 如图2，是等边三角形的外角，点是该外角平分线上一点，试说明点是点和点关于直线的“等角点”． (2)如图3，点B，C在的两边上，且，连接，点是线段上的一点，点关于的对称点为，连接并延长至点，使点是点和点关于直线的“等角点”．连接，当时，求的度数． (3)如图4，将两个大小不同的直角三角板和（，）的斜边摆放在直线上，且点与中点重合，连接并延长至点，使．连接，．若上存在一点，使得点恰好是点和点关于直线的“等角点”．设，，求的长．（用含m，n的式子表示） 19．如图，在平行四边形中，，，． 动点从点出发沿以2cm/s速度向终点运动，同时点从点出发，以8cm/s速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒（）    (1)的长为 ． (2)用含的代数式表示线段的长． (3)连结．是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值． 20．如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． (1)若设的长为x，则 ， ． (2)当时，求的长； (3)过点Q作交延长线于点F，则有怎样的数量关系？说明理由． (4)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 三、压轴题三：特殊平行四边形综合，10题，难度五星 21．在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，对角线相交于原点，点是线段上一动点（不与点重合），以为腰向右侧作等腰，满足． (1)如图1，当点在点左侧时，连接，则与之间的数量关系是 ，与之间的位置关系是 ； (2)如图2，当点在点右侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． (3)连接，请在备用图中完成下列探究： ①在点的运动过程中，的长度存在最小值为 ； ②若，请求出此时点的坐标． 22．［问题情境］数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明： ［实践探究］希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． ［拓展迁移］突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值． 23．如图1，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C始终重合，连接，取的中点M，的中点N，连接、． (1)若直角三角板和正方形如图1摆放，点E、F分别在正方形的边、上，请直接写出与之间的数量关系． (2)若直角三角板和正方形如图2摆放，点E、F分别在、的延长线．其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． (3)①在摆放过程中，若，则的面积______（用含a的式子表示） ②若，，连接，在摆放的过程中，的面积存在最大值和最小值，请直接写出和的值． 24．如图，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，作点关于直线的对称点，连接分别交于点，过点作于点，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 25．在矩形中，，连接，且，将三角形沿翻折得，交于G，连接． (1)如图（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； (2)如图若沿线段由B向D运动，速度每秒1个单位，连接． ①如图（2）当时，判断四边形的形状，并证明； ②如图（3）在运动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出面积，若变化，说明理由． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴的负半轴上取点，在x轴的正半轴上取点，点O为原点，． (1)直接写出m的值； (2)动点由点出发沿向点运动，同时点由点出发，以与点相同的速度沿射线方向运动，当点到达点时，两点运动同时停止，连接交轴于点，作轴于点，求的长； (3)在（2）的条件下，以为底边，在上方作等腰直角，若的面积等于8，求点M的坐标． 27．已知，矩形，，对角线、交于点O，，点M在射线上，满足，作于E，的延长线交于F (1)如图1，点M在线段上 ①依题意补全图形，并直接写出______（用含的式子表示） ②连接，请用等式表示线段与的数量关系，并证明． (2)当时，设，，请直接写出线段的长（用含m、n的式子表示） 28．如图1，在平面直角坐标系中，，且a，b满足，过点B分别作轴于点A，轴于点C．    (1)直接写出B点坐标为______； (2)点是边上的点，点F、M是边上的点，若为等边三角形，，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，连接，点H、G分别在、上，且，请直接写出的最小值为______． 29．如图， (1)点M是正方形的对角线上一动点，连接、．如图①，猜想与有怎样的数量关系？说明理由． (2)在边长为6 的正方形中，点是对角线上任一点，过M点作于，于，如图②，求最小值． (3)作与的延长线交于点，交于点，取的中点，连接，如图③，若时，求的度数． 30．在菱形中，，点E，F分别是边，上的点． 【尝试初探】 （1）如图1，若，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，点G，H分别是边，上的点，连接与相交于点O且，求证： 【拓展延伸】 （3）如图3，若点E为的中点，，，． ①设，，请用关于x的代数式表示y； ②若，求的长． 四、压轴题四：一次函数综合，10题，难度五星 31．如图，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B．直线交y轴负半轴于点C，． (1)求直线的函数表达式和的面积； (2)若点P为直线（不含A，B两点）上一点，连接，若的面积为7，求点P的坐标； (3)若点P为射线（不含A，B两点）上一点，M为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点N，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出每种等腰直角三角形对应顶点P、N的坐标；若不存在，请说明理由． 32．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点． (1)求点的坐标； (2)如图1，直线交轴的正半轴于点，交于点，连接，设的面积为，求与的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，若，，求点的坐标． 33．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，经过点C的直线与x轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点G是线段上一动点，连接，若把分成两个三角形，且满足，求点G的坐标； (3)已知D为的中点，点E是平面内一点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点E的坐标． 34．综合与实践 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，在数学课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究：    (1)操作猜想：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点处，则点A到x轴的距离是__________，点B到x轴的距离是__________． (2)类比探究：如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D，求点D的坐标． (3)拓展探究：如图3，在平面直角坐标系中，的顶点分别在y轴、x轴上，且．若点C的坐标为，点A的坐标为，点P是x轴上的动点，当的面积等于6时，请直接写出线段的长． 35．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上从向运动，过点作直线垂直于轴，另一动点从出发，沿直线向上运动，记的长为，的坐标为，分析此图后，对下列问题作出探究： (1) ， ； (2)当 且 时，； (3)如图当垂直时， 猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论； 求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 36．如图1，平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，两点，直线与交于点，与轴交于点． (1)求点D的坐标； (2)如图2，是线段上的一个动点（不与点重合），过作的垂线交于点． ①若，求的长； ②若的平分线与射线交于点，，，求关于的函数解析式． 37．如图1，直线交轴于，交轴于A． (1)如图1，若， ①点A坐标为______，点坐标为______； ②若点为轴的负半轴上一点，，求点坐标． (2)如图2，若直线交于点，点的纵坐标为，求的值． 38．已知长方形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，设 (1)已知点在第一象限且是直线上的一点，设点横坐标为，则点纵坐标可用含的代数式表示为_________； (2)在（1）的条件下，此时若是等腰直角三角形，求点的坐标； (3)直线过点，请问在该直线上，是否存在第一象限的点使是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由. 39．[问题提出]：如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为_________． 预备知识2：函数称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论： （1） 当时， （2） 当时，； （3） 当时，， 所以就可以化简为 预备知识3：函数(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． [问题解决] 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （1）请在平面直角坐标系内作出函数的图象； （2）通过观察图象，便可得到不等式的解集，这个不等式的解集为_______． 40．将平面直角坐标系中的一些点分成两类．每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点，，称与中的最大值为点M和点N的“垂平距离”，记作．将各类中任意两点间的最大“垂平距离”记为该类的“星内距离”，两个“星内距离”的最大值定义为这种分类的“星系距离”． 如图，，，，，． (1)点A， B，E，O中，与点C的“垂平距离”为3的点是______； (2)①点P是平面内的一个动点，若将点B，D，P分在同一类时，该类的“星内距离”是4，则动点P所构成图形的面积为______； ②已知直线上恰好存在唯一的一个点Q，满足将点B，D，Q分在同一类时，该类的“星内距离”是4，求b的值； (3)已知直线l平行于，与x轴交于点，若l上的任意一点R均满足将点A，B，C，D，E，R分为两类时，所能得到的最小的“星系距离”大于4，请直接写出t的取值范围______． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末真题精选（四大题型，压轴题40题）（解析版） 目录 一、压轴题一：二次根式综合，10题，难度四星 1 二、压轴题二：平行四边形综合，10题，难度四星 13 三、压轴题三：特殊平行四边形综合，10题，难度五星 42 四、压轴题四：一次函数综合，10题，难度五星 75 一、压轴题一：二次根式综合，10题，难度四星 1．两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：与；与． （1）的有理化因式为 ； （2）比较大小： （选填“>”“<”或“=”）； （3）计算： ． 【答案】 （答案不唯一） > 【分析】（1）先利用平方差公式计算，从而可得答案； （2）先变形可得，，结合，从而可得答案； （3）先分母有理化，从而原式可化为，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：（1）∵， ∴的有理化因式为． （2）∵，， 而， ∴， ∴． （3） ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，与实数运算相关的规律探究，分母有理化的应用，熟练的利用分母有理化解决问题是解本题的关键． 2．观察下列各式： =1+，=1+，=1+，…… 请利用你所发现的规律， 计算+++…+，其结果为 ． 【答案】 【分析】根据已知等式将各式分别化简，得到1++1++1++…+1+，再将等式写成+（+++…+）进行计算得到答案. 【详解】∵=1+，=1+，=1+，……， ∴ +++…+ =1++1++1++…+1+ =+（+++…+） =2020+（1-+-+-++） =2020+1- =， 故答案为：. 【点睛】此题考查运算类规律，有理数的混合运算，根据已知等式得到计算的规律，由此将各代数式化简，再根据特殊公式法进行计算得到答案，正确分析得到等式的计算规律是解题的关键. 3．观察下列各式及其化简过程： ， ． (1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将化简； (2)化简； (3)针对上述各式反映的规律，请你写出中，m，n与a，b之间的关系． 【答案】(1)； (2)； (3)，． 【分析】（1）将31分解成，再利用完全平方公式即可求出答案； （2）先将7分解成，计算第二层根式，再将35分解成，利用完全平方公式即可求出答案； （3）将等式两边同时平方即可求出答案． 【详解】（1） （2） （3） 两边平方可得： ∴， 【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质及配方法的应用，读懂题中的配方法并明确二次根式的化简方法是解题关键． 4．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式的化简与运算时，有时会碰上如，这样的式子其实我们还可以进一步化简．例如：，这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）请参照上述方法化简： （2）猜想：　　　　　（用含n的式子表示） （3）化简： 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据材料运用方法进行分母有理化即可； （2）根据题意总结规律即可； （3）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解． 【详解】解：（1） = =； （2） = = 故答案为：； （3） = = = 【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是根据材料能正确的进行分母有理化． 5．若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|． 例如：＝＝|++|＝请解决下列问题： （1）求的值． （2）设S＝++…+，求S的整数部分． （3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围． 【答案】（1）；（2）2019；（3） 【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可； （2）将原式进行化简，再确定整数部分； （3）将原式化简为||+||，再根据||+||取最小值时，确定x的取值范围． 【详解】解：（1）＝＝|++|＝； （2）S＝++…+， ＝++…+， ＝|1+1﹣|+|1+﹣|+…+|1+﹣|， ＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣， ＝2019+， 故整数部分为2019； （3）由题意得， +|﹣﹣|， ＝|++|+|﹣﹣|， ＝||+||， 又y+z＝3yz， 原式＝||+||， 因为||+||取最小值， 所以﹣3≤≤3，而x＞0， 因此，， 答：x的取值范围为． 【点睛】本题考查了分式的加减法、实数的运算、二次根式的运算，解题关键是掌握数字间的变化规律，准确计算． 6．若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明） 例如： 根据以上阅读，请解决下列问题： 【基础训练】 (1)求的值； 【能力提升】 (2)设，求S的整数部分． 【拓展升华】 (3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)S的整数部分2019 (3)代数式取得最小值时，x的取值范围是 【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可； （2））利用题目的仅能式将其进行化简，再确定整数部分； （3）将原式化简为，再根据||取最小值时，确定x的取值范围． 【详解】（1） （2） ， ∴S的整数部分2019； （3）由已知得：，且， ， ∵， ∴原式， 当时， ； 当时， ； ∴当，即时，取得最小值为2， ∴代数式取得最小值时，x的取值范围是：． 【点睛】本题考查无理数的大小比较，分式的加减法以及找规律等知识，理解题意和推广应用是本题的亮点． 7．（1）已知其中，化简求值； （2）已知，探究m与n的关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分数运算化简，再由二次根式混合运算代入求值即可得到答案； （2）利用平方差公式及完全平方公式恒等变形，最后由配方法求解即可得到答案． 【详解】解：（1） ， ， 原式； （2） ， ，即， ， ，即， ． 【点睛】本题考查分式化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握分式运算及二次根式运算是解决问题的关键． 8．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的． 例如化简，且， . (1)填上适当的数：＝______． (2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值． (3)化简：． 【答案】(1)，； (2)正整数的最小值是10，最大值是25； (3)． 【分析】（1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，将写成，或，或，或分别求出，，，，即可得出正整数的最小值和最大值． 【详解】（1） 故答案为：， （2） ， ，或，或， 或． ∴正整数的最小值是10，最大值是25． （3） 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 9．先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题： (1)的有理化因式是 _______； (2)化去式子分母中的根号： _____．（直接写结果） (3) （填或） (4)利用你发现的规律计算下列式子的值： 【答案】（1）+1；（2）；（3）<；（4）2017. 【分析】（1）根据有理化因式的定义求解； （2）利用分母有理化计算； （3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到；  ，然后进行大小比较； （4）先根据规律化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）-1的有理化因式是+1； （2）； （3），， ∵ ∴> ∴<； （4）原式= = =2018-1 =2017． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 10．阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 【答案】(1)①②④ (2) (3)时，有最小值，最小值为3 【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：①是假分式，符合题意； ②是假分式，符合题意； ③是真分式，不合题意； ④是假分式，符合题意． 故答案为：①②④． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 二、压轴题二：平行四边形综合，10题，难度四星 11．问题背景：（1）如图1，点E为的边上一点，连接、，求证：； 尝试应用：（2）如图2，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接、交于点G，连接，若，求证：平分； 拓展创新：（3）如图3，和中，点D在边上，点B在边上，、交于点F，若，，，，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）设中边上的高为h，根据平行四边形和三角形的面积公式计算即可的得证； （2）连接，，过A作于M，于N，利用（1）的结论可得出，然后利用三角形面积可证明，最后利用角平分线的判定即可得证； （3）过点C作，过E作，两线相交于K，连接，过K作于Q，过E作于P，由（2）可知平分，即，进而求出，在中，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出，在中，同理求出，，然后在中，利用勾股定理求，即可求解． 【详解】（1）证明：设中边上的高为h， 则，， ∴； （2）证明：如图，连接，，过A作于M，于N， 由（1）知，， ∴， ∴， 又 ∴， 又，， ∴平分； （3）解：过点C作，过E作，两线相交于K，连接，过K作于Q，过E作于P， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴由（2）可得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造（2）的图形是解第（3）问的关键． 12．如图，已知，中，，，点在边上，点在边上，连接、，． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作，由，得，结合，得，根据等角的余角相等，即可求解， （2）根据等角的余角相等，得到，由，得到，由，根据等角对等边，即可求解， （3）作，，，由，根据等角的余角相等，得到，通过，，根据等腰三角形三线合一的性质得到，是的中位线，用表示出的长，在中，应用勾股定理，即：，求出，即可求解， 本题考查了，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：连接辅助线构造全等三角形． 【详解】（1）解：过点作，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：由（1）得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， （3）解：过点作，交于点，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 在中，，即：，解得：， ∴， 故答案为：． 13．四边形中，，点E在边上，连接CE，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，过点A作的垂线交CE的延长线于点F，求证：点E为线段的中点； (3)如图3，在（2）问条件下，连接，点G为线段上一点，连接，使得，，当的周长为，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】（1）延长，交于点，由平行线的性质可得，再结合三角形的内角和定理即可证明结论； （2）过点作，且，连接，结合题意先证是等腰直角三角形，，再证，可知是等腰直角三角形，则，则，可知，，三点在同一直线上，即可证明，得，即可证明结论； （3）过点作交延长线于，连接，由（2）可知为的中点，是等腰直角三角形，则，可知是等腰直角三角形，则为的中点，再证，取中点，连接，则，，易知，过点作，则四边形是平行四边形，可证为等边三角形，则，得，得，，再根据勾股定理研究含有，的直角边之间的数量关系，通过数量关系设，则，在中，构造直角三角形，表示出边的长度，根据周长求出，在中，利用同样的方法表示出即可求解． 【详解】（1）证明：延长，交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：过点作，且，连接， ∴，， ∵，，，则，，， ∴，则， ， 又∵，则，即：， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴，，三点在同一直线上， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 即：点为线段的中点； （3）过点作交延长线于，连接，则， 由（2）可知为的中点，是等腰直角三角形，则， ∴，则是等腰直角三角形，则为的中点， ∴， 又∵，，则， ∴， ∴，，则， 取中点，连接，则，， ∵， ∴， 过点作，则四边形是平行四边形， ∴，则， 由∵，则， ∴为等边三角形，则， ∴， ∴，， ∵， ∴， 现研究含有，的直角边之间的数量关系，如图，，，， ∵，， ∴，， 则，， ∴，则， 即：含的直角三角形中，较长直角边是所对直角边的倍， 含的直角三角形中，较长直角边是所对直角边的倍，斜边是所对直角边的倍， 设，则， 在中，，，作，则， ∴，，，， ∴ ， ∴， 在中，，，作， ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题属于几何综合，考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线等知识点，熟练掌握相关图形的性质，添加辅助线构造特殊直角三角形是解决问题的关键． 14．如图，为的对角线，，平分，F为射线上一点． (1)如图1，点F在的延长线上，连接与交于点G： ①当点G为的中点时，求证： ②若，当时，求长度； (2)如图2，点F在线段上，连接与交于点H，若，试探究 三条线段之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质以及能正确添加辅助线构造等腰三角形； （1）①由“”可证，即可求解； ②先证四边形是平行四边形，可得，由“”可证，可得，在中，由勾股定理可求的长，即可求解; （2）由角的数量关系和三角形内角和定理可求，由等腰三角形的性质可求，由余角的性质可求，可得，以C为顶点作，交的延长线于P，，由三角形的外角性质可证，，可得，可得结论 【详解】（1）解：①四边形是平行四边形， ， ， 为的中点时， ， ， ， ， ， ②在中，， 平分 又 四边形是平行四边形， ， 如图，过点E作于N， ， （2）解：，理由如下： 四边形是平行四边形， 如图2，以C为顶点作，交的延长线于P， 15．如图，在平行四边形中，点E是边上的动点，现将沿折叠，点是点B的对应点． (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若点落在上时，求的长； (3)如图3．若取的中点F，连接，求的取值范围 【答案】(1)见解析 (2)的长是 (3)的取值范围是 【分析】（1）由平行四边形的性质得由折叠得则进而即可证明四边形是平行四边形； （2）由题意作交的延长线于点H，结合平行四边形的性质及勾股定理进行分析求解； （3）根据题意取的中点T、连接进一步得出是等边三角形，并且分析出当点F在直线的上方，且点E与点C重合时的值最大，结合平行四边形的性质及勾股定理进行分析求解。 【详解】（1）证明：如图1，∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 由折叠得 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图2，作交的延长线于点H， ∵ ∴ ∵点落在上， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴3， ∵ ∴， ∴的长是． （3）解：如图3，取的中点T、连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵点F是的中点，T是的中点， ∴3， ∵，且， ∴， ∴的最小值是3； ∵点E是边上的动点， ∴当点F在直线的上方，且点E与点C重合时的值最大， 如图4，点E与点C重合， ∴， ∴三点在同一条直线上， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴的取值范围是． 【点睛】本题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，此题综合性强，难度较大，属于中考压轴题． 16．在四边形中，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点为线段上的动点点不与点重合，连接，过点作交直线于点． ①如图2，当点为线段的中点时，请直接写出，的数量关系； ②如图3，当点在线段上时，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据已知条件得到，，再由平行四边形的判定即可得证； （2）①连接，可知是等腰直角三角形，再证明，利用全等三角形性质即可得到； ②过点作交于点，首先证明，得，进而再证明是等腰直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：①， 理由如下：连接，如图所示： 由（1）知是等腰直角三角形，当点为线段的中点时，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②证明：过点作交于点，如图所示： ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，则， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题，涉及平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17．如图，在中，为对角线的中点，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结，设点的运动时间为（s）．    (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在内部时，求的取值范围． (4)当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)或； (2)见解析； (3)； (4)1或． 【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质，平行四边形的性质解答即可； （2）连接，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）利用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质求得点的临界值时的值，从而得到的取值范围； （4）画出符合题意的图形，利用的长度列出关于的方程解答即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ． 四边形为平行四边形， ． ①当时，， ②当时， （2）证明：连接，如图，    在中，为对角线的中点， 经过点，， 四边形为平行四边形， ， ． 在和中， ， ， （3）解：①当点与点重合时，如图，    由题意得：为等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ②当点落在边上时，如图，    由题意得：为等边三角形， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ． ． 在和中， ， ， ， ， ， ， 当点在内部时，的取值范围为： （4）①当点在边上运动时，经过点时，与的重叠部分图形是轴对称的三角形，      ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②当点在边上运动时，如果，则，与的重叠部分图形是轴对称的三角形，如图，    ， ， ． 综上，当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，的值为1或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 18．如图1，已知A，B为直线同侧的两点，点为直线上一点，连接，．若，则称点是点和点关于直线的“等角点”． (1) 如图2，是等边三角形的外角，点是该外角平分线上一点，试说明点是点和点关于直线的“等角点”． (2)如图3，点B，C在的两边上，且，连接，点是线段上的一点，点关于的对称点为，连接并延长至点，使点是点和点关于直线的“等角点”．连接，当时，求的度数． (3)如图4，将两个大小不同的直角三角板和（，）的斜边摆放在直线上，且点与中点重合，连接并延长至点，使．连接，．若上存在一点，使得点恰好是点和点关于直线的“等角点”．设，，求的长．（用含m，n的式子表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，根据平角和角平分线的定义得到，则，据此可证明结论； （2）轴对称的性质可得，则，进而得到，由等边对等角得到，再由点是点和点关于直线的“等角点”，得到，由平角的定义得到，则； （3）由平行线的唯一性和三角形中位线定理证明重合，即点H与点P重合，进而证明是的中位线，得到，，则，推出，再证明，推出是等边三角形，得到，由点恰好是点和点关于直线的“等角点”得到，则． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴点是点和点关于直线的“等角点”； （2）解：由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是点和点关于直线的“等角点”， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，设交于H，取中点P，连接， ∵， ∴， ∵点与中点重合， ∴是的中位线， ∴，， ∴重合，即点H与点P重合， ∵，即点E为中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵点恰好是点和点关于直线的“等角点” ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理，轴对称的性质，三角形内角和定理等等，正确理解“等角点”的定义是解题的关键： 19．如图，在平行四边形中，，，． 动点从点出发沿以2cm/s速度向终点运动，同时点从点出发，以8cm/s速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒（）    (1)的长为 ． (2)用含的代数式表示线段的长． (3)连结．是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， (4)或 【分析】 （1）根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据题意可得，先求出当点Q与点B重合时，所花费的时间，再根据题意分两种情况讨论即可：当点Q在线段上时和当点Q在线段的延长线上时； （3）连接，假设与互相平分，则可得四边形是平行四边形，进而可得，解得即可到答案； （4）根据题意分两种情况讨论即可：当点P关于直线对称的点落在点A下方时和当点P关于直线对称的点落在点A上方时． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， （2）在中，，， 由题意得，， 当点Q与点B重合时，， ∴， 当点Q在线段上时，， 当点Q在线段的延长线上时，， 综上所述，或； （3）存在，理由如下： 如图，连接，    若与互相平分，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴当时，与 （4）当点P关于直线对称的点落在点A下方时，如图，    由对称得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点P关于直线对称的点落在点A上方时，如图，    由对称得，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用和动点问题，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 20．如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． (1)若设的长为x，则 ， ． (2)当时，求的长； (3)过点Q作交延长线于点F，则有怎样的数量关系？说明理由． (4)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3) (4)3 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键． （1）由线段和差关系可求解； （2）由直角三角形的性质可列方程，即可求的长； （3）由""可证，可得； （4）连接，由全等三角形的性质可证，由题意可证四边形是平行四边形，可得． 【详解】（1）解：是边长为6的等边三角形， 设，则， 故答案为∶； （2）当时， 是等边三角形， ， 解得∶， ； （3），理由如下∶ ， ， 又， ， ； （4）的长度不变． 连接，如图： ， ，且 四边形是平行四边形 三、压轴题三：特殊平行四边形综合，10题，难度五星 21．在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，对角线相交于原点，点是线段上一动点（不与点重合），以为腰向右侧作等腰，满足． (1)如图1，当点在点左侧时，连接，则与之间的数量关系是 ，与之间的位置关系是 ； (2)如图2，当点在点右侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． (3)连接，请在备用图中完成下列探究： ①在点的运动过程中，的长度存在最小值为 ； ②若，请求出此时点的坐标． 【答案】(1)相等，垂直 (2)成立，理由见解析 (3)①；②或 【分析】（1）由菱形性质、等腰三角形性质，结合三角形全等的判定与性质即可得到与之间的数量关系是相等；进而确定与之间的位置关系是垂直； （2）由菱形性质、等腰三角形性质，结合三角形全等的判定与性质即可得到与之间的数量关系是相等；进而确定与之间的位置关系是垂直； （3）①由三角形三边关系可知，从而确定当三点共线时，，由点到直线距离垂线段最短可知，当时，最小，在中，由含的直角三角形性质求出最小值即可确定在点的运动过程中，的长度存在最小值为；②由①知的长度存在最小值为，当，则分两种情况：在最小值的下方；在最小值的上方；分类求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在菱形中，， 以为腰向右侧作等腰， ， ， ，即， 在和中， ， ，即与之间的数量关系是相等； 由可知， 在菱形中，，则， ，即与之间的位置关系是垂直； 故答案为：相等；垂直； （2）解：（1）中的结论成立， 理由如下： 在菱形中，， 以为腰向右侧作等腰， ， ， ，即， 在和中， ， ，即与之间的数量关系是相等； 由可知， 在菱形中，，则， ，即与之间的位置关系是垂直； （3）解：① 连接，如图所示： 在中，，则当三点共线时，， ， 当最小时，有最小值， 点在运动过程中，轨迹为， 当时，最小， 在中，，，，则， 在点的运动过程中，的长度存在最小值为， 故答案为：； ②由①知的长度存在最小值为，当，则分两种情况：在最小值的下方；在最小值的上方， 当在最小值的下方时，延长交于，过点作轴，如图所示： 由（1）（2）知与之间的位置关系是垂直，即， 在菱形中，，则， ， ，， ， 在中，，，则，由勾股定理可得， 在中，，，则，由勾股定理可得， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ， 在中，，，则，则由勾股定理可得， ， ； 当在最小值的上方时，延长交于，过点作轴，如图所示： 由（1）（2）知与之间的位置关系是垂直，即， 在菱形中，，则， ， ，， ， 在中，，，则，由勾股定理可得， 在中，，，则，由勾股定理可得， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ， 在中，，，则，则由勾股定理可得， ， ； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查几何综合，涉及图形与坐标、菱形性质、等腰三角形性质、三角形全等的判定与性质、三角形三边关系、点到直线的距离、三角形外角性质、动点最值问题、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，数形结合，根据题意，准确构造辅助线，灵活运用相关几何性质与判定求解是解决问题的关键． 22．［问题情境］数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明： ［实践探究］希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． ［拓展迁移］突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值． 【答案】[问题情境]：，理由见详解 [实践探究]： [拓展迁移]： 【分析】[问题情境]：取的中点，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明，得； [实践探究]：在上取，连接，由（1）同理可得，则，再说明是等腰直角三角形即可得出答案； [拓展迁移]：作，交的延长线于，交于，连接，则是等腰直角三角形，可知点与关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：[问题情境]， 理由如下：取的中点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 、分别为正方形的边、的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； [实践探究] 解：在上取，连接， 由（1）同理可得， ， ∵是等腰直角三角形 ∴， ， ， ，， ，而， ， ， ， ， [拓展迁移] 解：连接，作，交的延长线于，交于，连接，， 由（2）知，， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， 点与关于对称， ∴最小值为的长， ， ，， 由勾股定理得， 周长的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23．如图1，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C始终重合，连接，取的中点M，的中点N，连接、． (1)若直角三角板和正方形如图1摆放，点E、F分别在正方形的边、上，请直接写出与之间的数量关系． (2)若直角三角板和正方形如图2摆放，点E、F分别在、的延长线．其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． (3)①在摆放过程中，若，则的面积______（用含a的式子表示） ②若，，连接，在摆放的过程中，的面积存在最大值和最小值，请直接写出和的值． 【答案】(1) (2)仍然成立，证明见解析 (3)①；②， 【分析】（1）连接，利用证明，得再根据直角三角形斜边上中线的性质和三角形中位线定理可得答案； （2）连接，由(1)同理可证明结论； （3）①连接，设交于O，交于G，首先证明是等腰直角三角形，可得， ②根据三角形三边关系知，从而解决问题． 【详解】（1）证明如下： 连接， 四边形是正方形， M是的中点，N是的中点， M是的中点， （2）仍然成立，证明如下：如图，连接， 四边形是正方形， ， M是的中点，N是的中点， M是的中点， （3）①如图3，连接，，设交于O，交于G， M是的中点， , M是的中点，N是的中点， ， ， 故答案为：； ②四边形是正方形，， 由题意得 即 当时，最小值， 当时，最大值 ，； 【点睛】本题四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形三边关系等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 24．如图，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，作点关于直线的对称点，连接分别交于点，过点作于点，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)画图见解析 (2)证明见解析 (3)；证明见解析． 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）连接，利用正方形的性质和轴对称的性质证明，得到是等腰三角形，结论得证； （3）过点B作于点M，先证，得到，AM＝， 进一步得到，再证，，进一步证得，，在中，，进一步即可得到答案． 【详解】（1）解：补全图形，如图1． ． （2）连接，如图2， ∵四边形是正方形， ∴， ∵于点F， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点A与点E关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，   ∴． （3）． 证明：过点B作于点M，如图3．则． ∵点A与点E关于直线对称， ∴，垂足是G， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，   ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，   ∵，，， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴，   ∴， ∴在中，， ∵＝， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、轴对称的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 25．在矩形中，，连接，且，将三角形沿翻折得，交于G，连接． (1)如图（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； (2)如图若沿线段由B向D运动，速度每秒1个单位，连接． ①如图（2）当时，判断四边形的形状，并证明； ②如图（3）在运动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出面积，若变化，说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)①结论：四边形是矩形，理由见解析；②四边形的面积不变，四边形的面积，理由见解析 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，进行判断即可； （2）①取的中点，连接，先证明是等边三角形，推出，同理推出，进而得到，结合，即可得出结论； ②过点D作于点J，于点K，易得四边形是矩形，求出四边形的面积，证明，推出四边形的面积等于四边形的面积即可． 【详解】（1）解： ，． 理由：四边形是矩形， ， 由翻折变换的性质可知， ， ， ， ， ； （2）①结论：四边形是矩形． 理由：取的中点，连接． ， ， 是等边三角形， ， ， 同法可得， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形； ②四边形的面积不变． 理由：如图过点D作于点J，于点K， ， ∴四边形是矩形， ， ， 矩形的面积， 由平移变换的性质可知， ， 的面积的面积， ∴四边形的面积矩形的面积． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，折叠问题，平移的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴的负半轴上取点，在x轴的正半轴上取点，点O为原点，． (1)直接写出m的值； (2)动点由点出发沿向点运动，同时点由点出发，以与点相同的速度沿射线方向运动，当点到达点时，两点运动同时停止，连接交轴于点，作轴于点，求的长； (3)在（2）的条件下，以为底边，在上方作等腰直角，若的面积等于8，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先作，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，即，求得的值； （2）先作轴，判定，以及，得出，根据进行计算即可； （3）作轴于，连接，先判定，得出，再根据的面积等于8，得到，即，求得，最后根据矩形中，，，得到，进而得出的坐标． 【详解】（1）解：如图1，作于，   ，，， ，， ， ，即， 解得； （2）如图1，作轴于， ， ， 点由点出发，以与点相同的速度沿射线方向运动， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 由（1）可得，， ，，，， ； （3）如图2，作轴于，连接，   ， ， 又，， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， ， ∴轴， ， 的面积等于8， ，即， ， 矩形中，， 又， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算公式以及矩形的性质，坐标与图形等，解题时注意：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及矩形． 27．已知，矩形，，对角线、交于点O，，点M在射线上，满足，作于E，的延长线交于F (1)如图1，点M在线段上 ①依题意补全图形，并直接写出______（用含的式子表示） ②连接，请用等式表示线段与的数量关系，并证明． (2)当时，设，，请直接写出线段的长（用含m、n的式子表示） 【答案】(1)①画图见解析，；②，证明见解析 (2)或或 【分析】（1）①根据题意先补全图形，由矩形的性质得到，再根据同角的余角相等得到；②如图所示，延长交于N，设交于G，由矩形的性质可得，，先证明，再证明，得到，则；再证明，得到，可得；证明，得到，即可推出； （2）分当点M在上，且时，当点M在上，且时，当点M在线段延长线上时，三种情况画出对应的图形讨论求解即可． 【详解】（1）解：①补全图形如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②，证明如下： 如图所示，延长交于N，设交于G， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：如图所示，当点M在上，且时， 取线段的中点N，连接，则是的中位线， ∴，； 由矩形的性质可得， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 如图所示，当点M在上，且时， 取线段的中点N，连接，则是的中位线， ∴，； 由矩形的性质可得， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 如图所示，当点M在线段延长线上时，延长交于N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，矩形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 28．如图1，在平面直角坐标系中，，且a，b满足，过点B分别作轴于点A，轴于点C．    (1)直接写出B点坐标为______； (2)点是边上的点，点F、M是边上的点，若为等边三角形，，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，连接，点H、G分别在、上，且，请直接写出的最小值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据二次根式的被开方数为非负数可求出b的值，进而得到a的值，即可得到点B的坐标； （2）延长至点N，使得，可得是等边三角形，得到，，进而有，证得，得到，从而证得； （3）如图，过点B作，且，连接，证得，得到，从而的最小值即为的最小值．连接，则，即的最小值为的长．过点D作轴于点P，作于点Q，在中，通过勾股定理求得，而四边形是矩形，因此，，在中，根据勾股定理即可求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，延长至点N，使得，    ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，过点B作，且，连接，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为正方形，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴的最小值即为的最小值． 连接，则， ∴的最小值为的长． 过点D作轴于点P，作于点Q， ∵在正方形中，平分，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，轴， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的非负性质，正方形的判定与性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线，运用转化思想是解题的关键． 29．如图， (1)点M是正方形的对角线上一动点，连接、．如图①，猜想与有怎样的数量关系？说明理由． (2)在边长为6 的正方形中，点是对角线上任一点，过M点作于，于，如图②，求最小值． (3)作与的延长线交于点，交于点，取的中点，连接，如图③，若时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用正方形性质证明即可得出结论； （2）连结、，由矩形的判定和性质易证，由（1）可得，进而可得，再根据 “垂线段最短”，当时，AM最小，求出最小值即可； （3）先根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而可得，再证明为直角三角形；由根据勾股定理结合已知证明，即可得出结论． 【详解】（1），理由如下： 方法①：在正方形中，， 又为对角线， ∴， 在与中， ， ∴ ，        ∴． 方法②：∵对角线所在的直线是正方形的对称轴，点、是对称点， ∴直线是线段的垂直平分线，由于点在上， ∴（线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． （2）解：连接、，如图， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，            ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ 根据“垂线段最短”，当时，AM最小， 此时， ∴的最小值为． （3）解：在与中， ， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，               ∴为直角三角形； ∵，∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键． 30．在菱形中，，点E，F分别是边，上的点． 【尝试初探】 （1）如图1，若，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，点G，H分别是边，上的点，连接与相交于点O且，求证： 【拓展延伸】 （3）如图3，若点E为的中点，，，． ①设，，请用关于x的代数式表示y； ②若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①；②． 【分析】（1）连接，证明和都是等边三角形，可得，证明，即可得出结论； （2）连接，过点D作交于点P，交于点Q，可证，四边形和四边形都是平行四边形，得出，，由（1）可知，即可得证； （3）①过点B作交于点M，过点D作交于点P，交于点Q，则四边形和四边形、四边形都是平行四边形，得出，，，，，由（1）可知，则，即可求解； ②过点B作于点N，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，根据可求，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图1，连接， ∵菱形、， ，，，， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ； （2）如图2，连接，过点D作交于点P，交于点Q 则，四边形和四边形都是平行四边形， ，， 由（1）可知， （3）①如图3，过点B作交于点M，过点D作交于点P，交于点Q， 则四边形和四边形、四边形都是平行四边形， ，，，， ∵点E为的中点，， ， ， ，， ，， 由（1）可知， ， ，， ， ， ②过点B作于点N， ， ， ，， ，即， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的化简等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 四、压轴题四：一次函数综合，10题，难度五星 31．如图，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B．直线交y轴负半轴于点C，． (1)求直线的函数表达式和的面积； (2)若点P为直线（不含A，B两点）上一点，连接，若的面积为7，求点P的坐标； (3)若点P为射线（不含A，B两点）上一点，M为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点N，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出每种等腰直角三角形对应顶点P、N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，10 (2)或 (3)或或 【分析】（1）把代入求出一次函数解析式为，得到，根据，求出，根据待定系数法求出函数解析式，根据三角形面积公式求得； （2）设点P的坐标为，根据，的面积为7，得出点P在线段或在线段的延长线上，然后分两种情况分别列出方程，解方程即可； （3）分三种情况：当N点在轴下方，点P在上，时，当点P在线段上，点在x轴上方，时，当点P在的延长线上时，点在x轴上方，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， 把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； ． （2）解：设点P的坐标为， ∵，的面积为7， ∴点P在线段或在线段的延长线上， ∴， ∴， 当点P在线段上时，， 即， 解得：， ∴， ∴此时； 当点P在线段的延长线上时，， 即， 解得：， ∴， ∴此时点； 综上分析可知，点P的坐标为：或． （3）解：当N点在轴下方，点P在上，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵是以为直角边的等腰直角三角形，， ∴，， 设，， 过P点作直线轴，作，， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∴，作，则， ∴， ∵， ∴， ∴M在直线AB上， ∴ ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 当点P在线段上，点在x轴上方，时，如图所示： 此时， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴此时点与关于对称， 则，即， 此时； 当点P在的延长线上时，点在x轴上方，时，如图所示： ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 根据上一种情况可知，此时点的坐标仍然为，点的坐标与上一种情况中点M的坐标相同，即此时点的坐标为； 综上分析可知：存在或或使是以为直角边的等腰直角三角形． 【点睛】此题考查一次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，直线所成三角形的面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，中心对称的点的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 32．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点． (1)求点的坐标； (2)如图1，直线交轴的正半轴于点，交于点，连接，设的面积为，求与的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，若，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得出，待定系数法求出直线解析式，令，则，即可得解； （2）求出，得到，，从而得出，再由，计算即可得出； （3）求出，作交于，轴于，证明得出，求出直线的解析式为，得出，作交轴于，证明平分，作于，由角平分线的性质定理得出，待定系数法求出直线的解析式为，得出，由勾股定理得出，由，得出，求出的值，取符合题意的的值即可得解． 【详解】（1）解：， ， 将代入直线得：， 解得：， 直线解析式为， 令，则， ； （2）解：在中，令，则， ， ， 在中，令，则， 解得：， ， ， ， ； （3）解：，， ， 如图，作交于，轴于， ， 则为等腰直角三角形，，， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， 解得：， ， ， 作交轴于， ， ， ， 平分， 作于， ， ，直线解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得：， 直线的解析式为， 令，则， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得，， ，， ， 整理得：， 解得：或或， 点在轴正半轴， ， ， ，经检验，是原分式方程的根， 当时，， ． 【点睛】本题考查了一次函数函数综合、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 33．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，经过点C的直线与x轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点G是线段上一动点，连接，若把分成两个三角形，且满足，求点G的坐标； (3)已知D为的中点，点E是平面内一点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点E的坐标为或或或 【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合B的坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）求出，设，根据得到，根据三角形的面积即可求得的值，进而求得G点的坐标； （3）分类讨论：①当点D为直角顶点时，②当点C为直角顶点时，根据等腰直角三角形以及全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于点， ∴令，则，解得， 令，则， ∴，， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ，解得， ∴直线的解析式为， （2）解：如图， ∵，，， ，， ， 设， 当，即时， 由可得， ， ； （3）解：，D为的中点， ∴， ①当点D为直角顶点时，如图，过点D作轴于点F，过点E作于点G，交x轴于点H ， 是等腰直角三角形， ，， ， ∴ ， ，， ∵，， ， ， ， ， ， ， 同理可得 ， ∴点E的坐标为或 ②当点C为直角顶点时，如图，过点作轴于，过点E作轴于， 同①可得， ，， ∵，， ，，， ， ， 同理可得． 综上所述，点E的坐标为或或或． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、等腰直角三角形的性质、三角形的面积及分类讨论思想等．在(1)中注意待定系数法的应用步骤，在(2)中利用三角形的面积公式是解题的关键，在（3）中确定出E点的位置是解题的关键． 34．综合与实践 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，在数学课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究：    (1)操作猜想：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点处，则点A到x轴的距离是__________，点B到x轴的距离是__________． (2)类比探究：如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D，求点D的坐标． (3)拓展探究：如图3，在平面直角坐标系中，的顶点分别在y轴、x轴上，且．若点C的坐标为，点A的坐标为，点P是x轴上的动点，当的面积等于6时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)2，1 (2) (3)或 【分析】（1）作轴于点E，轴于点F，由可得，，，易证，，，因此，再进一步可得答案； （2）一次函数，分别令，，即可得点A，点B的坐标；过点C作轴于M，由，根据全等三角形的性质即可解决问题； （3）过点B作轴于N，由，根据全等三角形的性质即可解决问题，即可求出点B的坐标，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图1，作轴于点E，    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴．而， ∴点A到x轴的距离是，点B到x轴的距离是． （2）令，则 ∴， 令，则，解得：， ∴， ∴，， 过点C作轴于M，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，则， ∴； （3）如图3，过点B作轴于N，    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在轴上，设， ∴， ∵的面积等于6， ∴， 解得：或， ∴或； ∵， ∴或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握一次函数的性质与三角形全等的判定是解题的关键． 35．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上从向运动，过点作直线垂直于轴，另一动点从出发，沿直线向上运动，记的长为，的坐标为，分析此图后，对下列问题作出探究： (1) ， ； (2)当 且 时，； (3)如图当垂直时， 猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论； 求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)①，证明见解析；② 【分析】（1）结合直线解析式求得点的坐标，即可获得答案； （2）由全等三角形的性质，可得，，再根据，结合题意即可获得答案； （3）①过作轴于，延长交延长线于，证明，由全等三角形的性质即可获得答案；②根据题意，结合等腰直角三角形的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则有，故， 令，则有， 解得，故， ∴，． 故答案为：1，1； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴，即． 故答案为：，； （3）解：①线段和的数量关系为，证明如下： 过作轴于，延长交延长线于， 则有， ∴四边形为矩形，， 由（1）知为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（）． 【点睛】本题是主要考查了函数和几何图形的综合应用，解题的关键是灵活运用函数性质和点的意义表示出相应的线段长度，再结合全等三角形和等腰直角三角形的性质求解． 36．如图1，平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，两点，直线与交于点，与轴交于点． (1)求点D的坐标； (2)如图2，是线段上的一个动点（不与点重合），过作的垂线交于点． ①若，求的长； ②若的平分线与射线交于点，，，求关于的函数解析式． 【答案】(1) (2)①的长为2；② 【分析】（1）直线，令，求出，即可得点的坐标； （2）①过作轴于，证明，可得，，设，则，代入直线即可求解； ②在上截取，连接，证明，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：，轴，直线与交于点， 点的纵坐标为6， 直线，令得， 解得， 点的坐标为； （2）解：①过作轴于， ，， ， ， ， ， ， ，， 设，则， ，， ， ， 代入得，解得， 的长为2； ②在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 由（1）中D的坐标可知， ∴， 即． ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等，能够通过作垂线构造全等三角形是解题的关键． 37．如图1，直线交轴于，交轴于A． (1)如图1，若， ①点A坐标为______，点坐标为______； ②若点为轴的负半轴上一点，，求点坐标． (2)如图2，若直线交于点，点的纵坐标为，求的值． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】（1）①将，，分别代入求解即可； ②过点作于点，由已知可得是等腰直角三角形，则，过点作轴于点，过点A作于点，设，，得到与的等量关系建立方程组，求得的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，令即可求解； （2）求得、坐标，过点作轴，交轴于点，交于点，即点的纵坐标与点相同，可求得的横坐标，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，通过证明，将转化成求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，则， ， 当，时，则， 解得：， ． ②过点作于点，过点作轴于点，过点A作于点， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， 设，， 由（1）知当时，，， ，， ，， ， 解得：， ， 设直线解析式为， ， 解得：， 直线解析式为， 当时，解得， ； （2）解：如图，过点作轴，交轴于点，交于点；过点作轴于点，过点作轴于点， ， 令， 解得：， ， 点纵坐标为，且在直线上， ， 解得：， ， 当时， 解得：， ， ，， 垂直平分， ， ， 解得：， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，两点间距离公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，第（2）题中把要求线段的端点通过计算坐标发现其特殊性是解题的关键． 38．已知长方形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，设 (1)已知点在第一象限且是直线上的一点，设点横坐标为，则点纵坐标可用含的代数式表示为_________； (2)在（1）的条件下，此时若是等腰直角三角形，求点的坐标； (3)直线过点，请问在该直线上，是否存在第一象限的点使是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)点 (3)点的坐标或或 【分析】（1）过点作轴于，轴于，设点横坐标为，点在第一象限且是直线上的一点，可得点 （2）根据是等腰直角三角形，可得，可证，可得，，再证四边形为矩形，得出点，，根据点在直线上，求出即可； （3）存在点，使是等腰直角三角形，理由为：由直线过点求出直线的解析式，分三种情况考虑：当，时，根据等腰直角三角形的性质易得点坐标；当，时，由全等三角形的性质表示出点坐标为，列出关于的方程，求出的值，即可确定出点坐标；当，时，同理求出的坐标，综上，得到所有满足题意得坐标． 【详解】（1）解：设点横坐标为，点在第一象限且是直线上的一点， ，， 点 故答案为：． （2）过点D作轴于E，轴于F， 是等腰直角三角形， ，， ， 轴，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形为矩形，的坐标为， ，，， ， 四边形为矩形， ， ， ， 点， 点在直线上， ， ， 点； （3）直线过点， ， ， 直线， 设点， 过点作轴，交轴于，交延长线于， 要使为等腰直角三角形， 当，，为等腰直角三角形， ， 轴，， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为矩形，，， ， 四边形为矩形，， ，， ， 解得， ， 点； 当，，为等腰直角三角形， ， 过作射线于， ， 四边形为矩形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 解得， ， 点； 如图所示，当，时，如图，作于点，作轴于点， ，， 的坐标为， ， 点坐标； 当，，为等腰直角三角形， ， 过作轴于，过作轴于， ， ， ， 四边形为矩形， ，，， ， 四边形为矩形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 解得：， ， ， 此种情况不成立； 综合存在第一象限的点使是等腰直角三角形，点的坐标或或． 【点睛】本题考查等腰直角三角形先证，三角形全等判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，分类讨论思想，一次函数图像上点的特征，矩形的判定与性质，掌握等腰直角三角形先证，三角形全等判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，分类讨论思想，一次函数图像上点的特征，矩形的判定与性质是解题关键． 39．[问题提出]：如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为_________． 预备知识2：函数称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论： （1） 当时， （2） 当时，； （3） 当时，， 所以就可以化简为 预备知识3：函数(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． [问题解决] 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （1）请在平面直角坐标系内作出函数的图象； （2）通过观察图象，便可得到不等式的解集，这个不等式的解集为_______． 【答案】[问题提出]；[知识迁移]；[问题解决]（1）见解析；（2）或． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出]：根据函数图象可得答案； [知识迁移]：先求解的值，再根据函数图象可得答案； [问题解决]：（1）把函数化为，再画图即可； （2）在同一坐标系内画的图象，并求解两个函数的交点坐标，根据函数图象可得答案； 【详解】解：[问题提出]，如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， [知识迁移]，如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， [问题解决] （1）根据题意得： ， 画图如下： （2）再在同一坐标系内画的图象如下： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或． 40．将平面直角坐标系中的一些点分成两类．每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点，，称与中的最大值为点M和点N的“垂平距离”，记作．将各类中任意两点间的最大“垂平距离”记为该类的“星内距离”，两个“星内距离”的最大值定义为这种分类的“星系距离”． 如图，，，，，． (1)点A， B，E，O中，与点C的“垂平距离”为3的点是______； (2)①点P是平面内的一个动点，若将点B，D，P分在同一类时，该类的“星内距离”是4，则动点P所构成图形的面积为______； ②已知直线上恰好存在唯一的一个点Q，满足将点B，D，Q分在同一类时，该类的“星内距离”是4，求b的值； (3)已知直线l平行于，与x轴交于点，若l上的任意一点R均满足将点A，B，C，D，E，R分为两类时，所能得到的最小的“星系距离”大于4，请直接写出t的取值范围______． 【答案】(1)A (2)①；②或7 (3)或 【分析】（1）根据新定义求解作答即可； （2）①由题意知，，，，，则点P在以直线，，，所围成的长方形的边上，根据动点P所构成图形的面积为，计算求解即可；②由题意知，点Q为直线与动点P所构成图形的交点，且唯一，即或，将点坐标代入一次函数解析式，计算求解即可； （3）由题意可求，平行直线解析式为；由题意知，包含点A时的一类中，最小的“星内距离”为2；同理可知包含点B，C，D，E时的一类中，最小的“星内距离”均为2； 当R在最小的“星内距离”为2的一类里，使得“星内距离”大于4即可；如图，点R在所在的直线过，，将代入，可求；将代入，可求；进而可知当或时，所能得到的最小的“星系距离”大于4． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵， ∴点A与点C的“垂平距离”为3， 同理可得，点B，E，O，与点C的“垂平距离”分别为 2，2，1， ∴满足要求的点为A， 故答案为：A； （2）①解：由题意知，，，，， ∴点P在以直线，，，所围成的长方形的边上， ∴动点P所构成图形的面积为， 故答案为：； ②解：∵直线上恰好存在唯一的一个点Q，满足将点B，D，Q分在同一类时，该类的“星内距离”是4， ∴点Q为直线与动点P所构成图形的交点，且唯一， ∴或， 将代入得，， 解得，； 将代入得，， 解得，； 综上所述，的值为或7； 故答案为：或7； （3）解：设平行直线解析式为， 将代入得， 解得，， ∴； 由题意知，包含点A时的一类中，最小的“星内距离”为2； 包含点B时的一类中，最小的“星内距离”为2； 包含点C时的一类中，最小的“星内距离”为2； 包含点D时的一类中，最小的“星内距离”为2； 包含点E时的一类中，最小的“星内距离”为2； ∴当R在最小的“星内距离”为2的一类里，使得“星内距离”大于4即可； 如图， ∴点R在所在的直线过，， 将代入，， 解得，； 将代入，， 解得，； ∴由平移直线l时，当或时，所能得到的最小的“星系距离”大于4， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，坐标与图形，一次函数解析式，一次函数图象的平移等知识，理解题意，熟练掌握新定义下的实数运算，坐标与图形，一次函数解析式，一次函数图象的平移是解题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$