上海期末真题精选（三大题型，压轴题30题）-【尖子生培优】2023-2024学年八年级数学下学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

上海期末真题精选（三大题型，压轴题30题）（原卷版） 目录 一、压轴题一：一次函数综合，10题，难度四星 1 二、压轴题二：代数方程，10题，难度四星。 5 三、压轴题三：四边形综合，10题，难度五星 8 一、压轴题一：一次函数综合，10题，难度四星 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B作交x轴于点C． (1)求点C的坐标； (2)点D为直线上一点，且，求直线的解析式； (3)若点是轴上一点，连接，将沿着所在直线折叠，当点落在轴上时，求点的坐标． 2．定义：我们把形如（）的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”． (1)如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数”的图象； (2)写出一次函数与“相反函数”（）之间的性质（至少两条）； (3)在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与交于点，与x轴，y轴分别交于A，B两点，与x轴，y轴正半轴分别交于C，D两点，且． (1)求直线的解析式； (2)如图2，连接，若点P为y轴负半轴上一点，点Q是x轴上一动点，连接，，当时，求周长的最小值； (3)如图3，将直线向上平移经过点D，平移后的直线记为，若点M为y轴上一动点，点N为直线上一动点，是否存在点M，N，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点N的坐标，并写出其中一个点N的求解过程；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，顶点，在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，，垂足是D，交于点E，，．请解答下列问题： (1)求点B、点C的坐标； (2)求线段的长； (3)连接．若，在坐标轴上是否存在点F，使？若存在，请直接写出点F的个数和其中一个点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知：如图，在中，，，，点是边的中点．点是射线上的一动点（点不与点重合），点在的延长线上，且，，垂足为点，交边于点 (1)求证：； (2)当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并指出函数的定义域； (3)当时，直接写出的长 6．综合与探究： 如图①，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点． (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)点P在直线上，若的面积为10，求点P的坐标； (3)如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出Q的坐标． 7．如图，直线与直线相交于点，两条直线与轴分别交于点、点，且点和点关于直线对称，已知直线的函数关系式为． (1)请直接写出： ①___________； ②直线的函数关系式___________； (2)若点是直线上的一个动点，当时，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知直角梯形，，过点A作，垂足为点H，，点F是边上的一动点，过F作线段的垂直平分线，交于点E，并交射线于点G．    (1)如图1，当点F与点C重合时，求的长； (2)设，求y与x的函数关系式，并写出定义域． (3)如图2，联结，当是等腰三角形时，求的长． 9．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将沿直线对折，使点A和点B重合，直线与x轴交于点C，与交于点D． (1)求A，B两点的坐标： (2)求的长 (3)设P是坐标轴上一动点，若使是直角三角形，直接写出点P的坐标（不需计算过程） 10．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 点在直线上，且在第二象限内，过点作轴，交直线于点． (1)分别求直线和直线的表达式； (2)若点的坐标为，作的平分线，交轴于点． ①求点的坐标； ②是否存在点，使得与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 二、压轴题二：代数方程，10题，难度四星。 11．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相同． （1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ （2）商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具共50件，其中甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，若甲玩具售价40元，乙玩具售价20元，当玩具售完后，要使利润最大，应怎样进货？ （3）在（2）的条件下，每卖一件甲玩具就捐款给希望小学m元（8＜m＜12），当玩具售完后，要使利润最大，对甲玩具应怎样进货？ 12．阅读材料：对于非零实数m，n，若关于x的分式的值为零，则x＝m或x＝n．又因为＝＝x+﹣（m+n），所以关于x的方程x+＝m+n的解为x1＝m，x2＝n． （1）理解应用：方程x+＝2+的解为：x1＝ ，x2＝ ； （2）拓展提升：若关于x的方程x+＝k﹣1的解满足x1＝x2，求k的值． 13．已知一次函数的图象交轴和轴于点和；另一个一次函数的图象交轴和轴于点和，且两个函数的图象交于点 (1)当，为何值时，和的图象重合； (2)当，且在时，则成立，求的取值范围； (3)当的面积为时，求线段的长． 14．仔细观察下面的变形规律：，，，……解答下面的问题： (1)总结规律：已知为正整数，请将和写成上面式子的形式； (2)类比发现： 计算与的结果； (3)知识迁移：解关于（为正整数）的分式方程： ； (4)规律应用：化简． 15．我们约定：若关于的整式与同时满足：，，则称整式A与整式互为“美美与共”整式．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于的整式与互为“美美与共”整式，求k，m，n的值． (2)若关于x的整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式，且是的一个因式，求的值； (3)若，且关于的方程的解为正整数，求的“美美与共”整式，并求出的最小值． 16．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“之立信点”．例如：的“2之立信点”为，即． (1)点的“3之立信点”的坐标为________． (2)若点在轴的正半轴上，点的“之立信点”为点，且为等腰直角三角形，求的值； (3)在（2）的条件下，若关于的分式方程无解，求的值． 17．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 18．已知，关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，将直线向下平移5个单位长度得到直线，与y轴交于点D，与交于点E，连接． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． (3)在平面直角坐标系中存在点P，使得以A、E、D、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标． 20．如图，直线与直线和直线分别交于点E，D（D在E的上方）． (1)直线和直线交于点M，填空：点M的坐标为______； (2)求线段DE的长（用含t的代数式表示）； (3)点N是y轴上一动点，且为等腰直角三角形，直接写出t的值及点N的坐标． 三、压轴题三：四边形综合，10题，难度五星 21．已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿翻折，得到． (1)直接写出正方形的边长； (2)如图1，若点D为中点，延长交于点H． ①求的长； ②连并延长交于点F，求的长； (3)如图2，若点G为上一点，且，点M为中点，连接．当点D从点O开始沿y轴负半轴运动，到取得最大值时停止，请直接写出点D运动的路径长． 22．综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 23．在平面直角坐标系中，如果P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为，点B的坐标为， (1)如果，那么R，S，T中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是 ； (2)如果点A，B的“相关菱形”为正方形，求点B的坐标． (3)如图2，在矩形中，F．点M的坐标为，如果在矩形上存在一点N，使得点M，N的“相关菱形”为正方形，直接写出m的取值范围． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，两点，直线交轴于C点，交直线m于点．        (1)填空： ， ， ； (2)点D是直线m上一点，E是直线l上的一点，若与互相平分，求点E的坐标及四边形的面积； (3)N是平面直角坐标系内一点，直线l上是否存在点M，使以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请求出符合条件的点的坐标． 25．如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： (1)【探究发现】 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________； (2)【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________，________； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】 在（2）的探究中，当，请直接写出的长． 26．【探究发现】如图，矩形所在平面内有一点．连接． （1）①当点与矩形对角线交点重合时（如图1），显然有； ②当点落在边上时（如图2），且，则______；通过计算，发现并猜想的关系：______． （2）当点在矩形内部（如图3），是否仍存在你所猜想的结论？ 【直接运用】如图4，矩形外有一点，且． ①．求证：； ②．若，则______． 【拓展应用】如图5，，点在边上运动，若，求的值． 27．如图，在中，，是角平分线，点、分别在、上，且，、分别是、的中点，的延长线交边于，过、分别作的垂线交边与、，垂足分别为、． 求证： (1)； (2)； (3)； 28．（1）如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，延长交于点F，连接，求的度数； （2）如图2，将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则 ① ； ②若 线段 ； （3）如图3，在矩形中，，点E、F 分别在边上，将矩形沿 折叠，点B落在M处，点D 落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若 ，求的长．    29．如图，在等边中，，点是所在直线上一点，连接． (1)如图1，点在线段上，若，求的长； (2)如图2，点在线段上，点是线段上一点，满足，连接交于点．过作于，点是延长线上一点，连接交于点．若，求证：； (3)如图3，过作交直线于，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 30．在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转 为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，使得，连接交于点H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，平面内一点P，当最小时，求的面积． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海期末真题精选（三大题型，压轴题30题）（解析版） 目录 一、压轴题一：一次函数综合，10题，难度四星 1 二、压轴题二：代数方程，10题，难度四星。 33 三、压轴题三：四边形综合，10题，难度五星 51 一、压轴题一：一次函数综合，10题，难度四星 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B作交x轴于点C． (1)求点C的坐标； (2)点D为直线上一点，且，求直线的解析式； (3)若点是轴上一点，连接，将沿着所在直线折叠，当点落在轴上时，求点的坐标． 【答案】(1)点C的坐标为； (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）设，，由直线分别交轴、轴于点，可得，，利用面积法即可求解； （2）过点作轴于，由得，根据等腰三角形的性质得，则，点，利用待定系数法即可得直线的解析式； （3）分点落在轴负半轴和轴正半轴上两种情况分类讨论，利用折叠的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设，， 直线分别交轴、轴于点，， ，， ，，，，， ， ，解得， ∴点C的坐标为； （2）解：过点作轴于， ， ， ， ，， ∴， 点为直线上一点， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为； （3）解：设点的坐标为． 将沿着所在直线折叠，当点落在轴负半轴上时，设点落在轴负半轴的点处，如图所示： 根据折叠的性质可得：，，， ， ， 在中，， ，解得， 点的坐标为； 将沿着所在直线折叠，当点落在轴正半轴上时，设点落在轴正半轴的点处，如图所示： 根据折叠的性质可得：，，， ， ， 在中，， ，解得， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是注意分类求解，不要遗漏． 2．定义：我们把形如（）的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”． (1)如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数”的图象； (2)写出一次函数与“相反函数”（）之间的性质（至少两条）； (3)在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)的角平分线与对边的交点坐标为或或． 【分析】（1）依据题意，设一次函数的解析式为，从而，即可求得一次函数的解析式为，故可得该一次函数的“相反函数”为的解析式，从而可以作图； （2）依据题意，结合（1）图象，可以发现一次函数与“相反函数”之间的性质，进而判断得解； （3）依据题意，根据图形先可得平分的角平分线与对边的交点坐标为，再求出当平分时，的坐标，最后由对称性可得另外一点，进而得解． 【详解】（1）解：由题意，设一次函数的解析式为， ， ． 一次函数的解析式为． 该一次函数的“相反函数”为． 作图如下． ； （2）解：由题意，结合（1）图象，可以发现一次函数与“相反函数”之间的性质： ①两个函数的图象关于轴对称； ②两个函数的图象都过点．（答案不唯一） （3）解：由题意，作图如下． 由题意，是等腰三角形． 平分． 此时角平分线与对边的交点坐标为． 当平分时，作于， 又， ． ． ． ． 设， ． 又在中，， ． ． ． 直线为：． 又为， ． 过的角平分线与对边交点坐标为． 又根据对称性， 过的角平分线与对边交点坐标为． 综上，的角平分线与对边的交点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，“相反函数”的定义．解题时要熟练掌握并能读懂题意是关键． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与交于点，与x轴，y轴分别交于A，B两点，与x轴，y轴正半轴分别交于C，D两点，且． (1)求直线的解析式； (2)如图2，连接，若点P为y轴负半轴上一点，点Q是x轴上一动点，连接，，当时，求周长的最小值； (3)如图3，将直线向上平移经过点D，平移后的直线记为，若点M为y轴上一动点，点N为直线上一动点，是否存在点M，N，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点N的坐标，并写出其中一个点N的求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，N的坐标为或或或． 【分析】（1）求出点E的坐标为，点B的坐标为，由，可得点C的坐标为，再用待定系数法可得的解析式为； （2）作P关于x轴的对称点，连接交x轴于Q，此时最小，则周长的最小值，求出，，可得，故，由，由，解得，知，，即可得，，从而周长的最小值为； （3）由，，，，知，E为的中点，故，若M为直角顶点，过N作轴于H，证明，得，，根据直线:向上平移经过点，可得直线：，设，即可得，解出m得．同理可得，若为直角顶点，为直角边，可得的坐标为或． 【详解】（1）解：把代入 ， 解得， ∴点E的坐标为， 把代入得， ∴点B的坐标为， ∵， ∴， ∴点C的坐标为， 设的解析式为， 把代入得： ， 解得， ∴的解析式为； （2）解∶作P关于x轴的对称点，连接交x轴于Q，此时最小，则周长的最小值为，如下图所示∶ 在中， ， 在中，令得， ， ∵点B的坐标为， ， ∵点E的坐标为， ， ∵， ， ， ， ， ， ， 周长的最小值为； （3）解:存在点M，N，使是以为直角边的等腰直角三角形 ，，，， ，E为的中点， ， 若M为直角顶点，过N作轴于H, 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ∵直线：向上平移经过点， ∴直线：， 设， ， ， ， 解得， ． 同理可得； 若为直角顶点，为直角边，在轴负半轴时，过作轴于，如图： 同理可得， ∵，直线：， ∴直线解析式为， 在中令得， ∴； 若为直角顶点，为直角边，在正轴负半轴时，过作轴于，如图： 同理可得， 综上所述，N的坐标为或或或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． 4．如图，在平面直角坐标系中，顶点，在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，，垂足是D，交于点E，，．请解答下列问题： (1)求点B、点C的坐标； (2)求线段的长； (3)连接．若，在坐标轴上是否存在点F，使？若存在，请直接写出点F的个数和其中一个点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、； (2)10 (3)存在，符合条件的点F有4个，坐标为：或或或． 【分析】（1）由，得到且，即可求解； （2）证明，得到； （3）取的中点，过点作直线，取，过点作直线，则直线、和坐标轴的交点即为点，故共有4个，为点、以及、和轴的交点，即可求解． 【详解】（1）解：， 则且， 解得：且， 故点、的坐标分别为：、； （2）解：是的高， ， ， ． 轴轴， ， ， ． ， ． ， ． ， ， ． 在和中， ， ∴， ； （3）解：由（2）知，， 则点、的坐标分别为：、， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， ， 故取的中点，过点作直线，取，过点作直线， 则直线、和坐标轴的交点即为点，故共有4个，为点、以及、和轴的交点， ∵，则直线的表达式为：， 则直线和坐标轴的交点坐标为：、； 同理可得直线和坐标轴的交点坐标为：、； 综上，符合条件的点有4个，坐标为：或或或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形性质，难度偏大，解题过程中，注意辅助线的作法，这是解题的突破口． 5．已知：如图，在中，，，，点是边的中点．点是射线上的一动点（点不与点重合），点在的延长线上，且，，垂足为点，交边于点 (1)求证：； (2)当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并指出函数的定义域； (3)当时，直接写出的长 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或． 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明； （2）连接，根据全等三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理列出关系式，再利用两个临界位置得到函数定义域； （3）分点E在线段上，点E在线段的延长线上两种情况，根据（2）的结论与探究方法，再利用函数式或勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵点是边的中点． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，，， ∴， ∵，， 即， 整理得，； 当，重合时，如图， 此时，， ∴， 解得：，， 当，重合时，如图， 此时，，， 同理可得：，， ∴， ∴． （3）当点E在线段上时，，即， ∴ ， 解得，，即， 当点E在线段的延长线上时，如图2，连接，， 由（1）得，， ， ∴， 即， 解得，， 即 综上所述，当时，或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 6．综合与探究： 如图①，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点． (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)点P在直线上，若的面积为10，求点P的坐标； (3)如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出Q的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或 【分析】（1）将点的坐标代入直线可得出的值，即得点坐标，再用待定系数法求直线的表达式即可； （2）设点的坐标为，根据的面积为列方程求解第一个位置，再利用三角形的中线的性质求解第二个位置的坐标即可； （3）分三种情况：当时，过点作轴于，过点作轴于，当时，过点作轴于，延长交直线于，当时，过点作直线于，过点作直线于，分别利用全等三角形的判定和性质列出方程即可得到结论． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得， ， 将，代入直线，得： ， 解得， 直线的解析式为：； （2）如图，设点的坐标为， 直线的解析式为：， 当，则， ，而， ， ∴， 解得：， ∴， 当为的中点时，，设， ∴，解得：， ∴，即的另一个位置， 点的坐标为或； （3）存在，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况： ①当时，过点作轴于，过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ≌， ，， ，， ∴，， ，，， ； ②当时，过点作轴于，延长交直线于， 同理：≌， ，， ，， ； ③当时，过点作直线于，过点作直线于， 同理：≌， ，， 设， ，， ，，，，， ，解得 ； 综上，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，Q的坐标为或或． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键． 7．如图，直线与直线相交于点，两条直线与轴分别交于点、点，且点和点关于直线对称，已知直线的函数关系式为． (1)请直接写出： ①___________； ②直线的函数关系式___________； (2)若点是直线上的一个动点，当时，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，② (2)或 (3)或 【分析】（1）根据点P的横坐标求解其纵坐标，根据对称性求出点B的坐标，并利用B、P两点的坐标写出直线的函数关系式； （2）设出点Q的坐标，根据三角形的面积等于底乘以高以及题设中给出的条件，列方程求解点Q的坐标； （3）设出点C的坐标，根据对称性求解点C关于直线的对称点D的坐标（用点C的坐标表示），再根据求解点C的坐标． 【详解】（1）将代入得： 令，则 ∴点的坐标为： ∵点和点关于直线对称 ∴点的坐标为： 设直线的函数关系式为： 将，代入得 ∴， ∴直线的函数关系式为： （2）设点的坐标为 ，， 若点在轴的上方 点的坐标为 若点在轴的下方 点的坐标为 综上所述，点的坐标为或 （3）如图， 设y轴上一点C的坐标为，做出点C关于直线的对称点D，连接、，和交于点E，根据对称性易知点E是的中点，且， 设点D的坐标为，根据直线斜率和相应的正切值的关系容易证明，两条相互垂直的直线的斜率乘积为1，因此有， 因为点E是的中点，所以点E的坐标是，根据点E在直线上有 联立式①，②可以 所以点D的坐标为 根据对称性可知，， 所以，直线和直线的斜率乘积等于，可列出方程 代入 化简得， ， 解得：或 综上所述，点的坐标为， 【点睛】本题考查一次函数的关系式，一次函数与三角形面积的问题，一次函数的动点问题，解题的关键是能够根据题目的条件，分情况讨论． 8．如图，已知直角梯形，，过点A作，垂足为点H，，点F是边上的一动点，过F作线段的垂直平分线，交于点E，并交射线于点G．    (1)如图1，当点F与点C重合时，求的长； (2)设，求y与x的函数关系式，并写出定义域． (3)如图2，联结，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)5 (2)， (3)或或． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到；再根据勾股定理建立方程得到，解方程求出，即可求得； （2）连接，得到，根据股沟定理得，，即可得到y与x的函数关系式，再根据即可求出定义域； （3）分别根据，和两种情况展开讨论，当时，得到，再根据建立方程，结合（2）的结论建立方程组，解方程组即可得到答案；当时，建立方程，解方程即可求得答案；当时，过点E作，垂足为M，作，垂足为N，根据和建立方程，结合（2）的结论建立方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 解方程得， ∴， ∴；    （2）解：如下图所示，连接，，    ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，； （3）解：当时，如下图所示，过点D作，垂足为M，交于点N，连接，设，    ∵，， ∴点M是的中点，， ∴四边形是矩形， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 根据（2）得，得到， ∴， 解方程得，或， ∴（舍去），或 ∴； 当时，如下图所示，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解方程得（舍去），或， ∴， 当时，如下图所示，过点E作，垂足为M，作，垂足为N，    ∵点是的中点， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∵， ∵ ∴， ∵， ∴，   解方程组得（舍去），或 ∴； 故或或． 【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形、一次函数和一元二次方程，解题的关键是根据勾股定理建立方程． 9．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将沿直线对折，使点A和点B重合，直线与x轴交于点C，与交于点D． (1)求A，B两点的坐标： (2)求的长 (3)设P是坐标轴上一动点，若使是直角三角形，直接写出点P的坐标（不需计算过程） 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或 【分析】（1）在中，分别令及，即求得A、B的坐标； （2）设，由题意得的长，在中，由勾股定理建立方程即可求解； （3）由（2）知得点C的坐标，可求得D的坐标，进而求出直线的解析式；当点P为直角顶点时，则P与O重合；当A为直角顶点时，则点P在y轴上，可求得直线的解析式，从而求得点的坐标；当B为直角顶点时，则点P在x轴上，同理可求得点的坐标，综合上述情况即可． 【详解】（1）解：在中，令，得；令，得， ∴； （2）解：∵， ∴； 设，则； 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即； （3）解：由（2）知，点C的坐标为， 由折叠知，点D为中点， ∴D的坐标为； 设直线的解析式为，把C、D坐标代入得：， 解得：，即直线的解析式为； 当点P为直角顶点时，则P与O重合，此时坐标为； 如图，当A为直角顶点时，则点P在y轴上， ∵， ∴设直线的解析式为， 把点A坐标代入得，即直线的解析式为， ∴点的坐标为； 当B为直角顶点时，则点P在x轴上， ∵， ∴设直线的解析式为， 把点B坐标代入得，即直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数的综合，考查了一次函数图象与坐标轴的交点，求一次函数解析式，直角三角形，折叠的性质，勾股定理，两一次函数图象平行的性质等知识，涉及分类讨论思想．有一定的综合性与难度． 10．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 点在直线上，且在第二象限内，过点作轴，交直线于点． (1)分别求直线和直线的表达式； (2)若点的坐标为，作的平分线，交轴于点． ①求点的坐标； ②是否存在点，使得与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线：；直线： (2)的坐标；，， 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①作于，令交轴于，则，由角平分线的性质得出，由得出，从而得出，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案；②分三种情况：当时；当时，作轴于，连接交于；当时；分别画出图形，利用全等三角形的性质以及勾股定理求解即可得出答案． 【详解】（1）解：直线：与直线：相交于点， ，， 解得：，， 直线：；直线：； （2）解：①如图，作于，令交轴于，则， 点的坐标为， ，， ， 平分， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ； ②如图，当时， 此时，， 轴， ， ； 如图，当时，作轴于，连接交于， ， ，， 垂直平分， 设，则，，， 将代入得：， 解得：， 由勾股定理得出， ， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时， 故； 如图，当时， 由（1）可得：， ， ， ， ，， 设，则， 解得：或（舍去）， 故； 综上所述：，，． 二、压轴题二：代数方程，10题，难度四星。 11．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相同． （1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ （2）商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具共50件，其中甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，若甲玩具售价40元，乙玩具售价20元，当玩具售完后，要使利润最大，应怎样进货？ （3）在（2）的条件下，每卖一件甲玩具就捐款给希望小学m元（8＜m＜12），当玩具售完后，要使利润最大，对甲玩具应怎样进货？ 【答案】（1）甲种玩具进价25元/件，乙种玩具进价为15元/件；（2）购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；（3）当8＜m＜10时，购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；当10＜m＜12时，购进甲种玩具25件，购进乙种玩具25件利润最大；当m＝10时，不管x取何值，W＝250 【分析】（1）设甲种玩具进价a元/件，则乙种玩具进价为（40﹣a）元/件，根据“用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相同”可列方程求解； （2）设购进甲种玩具x件，则购进乙种玩具（50﹣x）件，根据甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具，可列出不等式组求解，解不等式组求出x的取值范围；设总利润为W元，再根据“利润＝售价﹣成本”，求出W与x的函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可； （3）根据题意求出利润W与x之间的函数关系式，再结合8＜m＜12分类讨论即可． 【详解】（1）设甲种玩具进价a元/件，则乙种玩具进价为（40﹣a）元/件，根据题意得： ， 解得a＝25， 经检验，a＝25是原方程的解并满足题意， 当a=25时，40−a=40−25=15， 所以甲种玩具进价25元/件，乙种玩具进价为15元/件； （2）设购进甲种玩具x件，则购进乙种玩具（50﹣x）件，根据题意得： ， 解得25≤x≤45； 设总利润为W元，根据题意得：W＝（40﹣25）x+（20﹣15）×（50﹣x）＝10x+250， ∵10＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x＝45时，利润最大，此时50−x=5， 故购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大； （3）由题意可得，W＝（40﹣25）x+（20﹣15）×（50﹣x）﹣mx＝（10﹣m）x+250； ∵8＜m＜12， ①当8＜m＜10时，10﹣m＞0， ∴W随x的增大而增大，即购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大； ②当10＜m＜12时，10﹣m＜0， ∴W随x的增大而减小，即购进甲种玩具25件，购进乙种玩具25件利润最大； ③当m＝10时，不管x取何值，W＝250． 【点睛】本题是方程、不等式及函数的综合问题，考查了解分式方程、解一元一次不等式组及一次函数的性质，对于方程和不等式，关键是找到等量关系，对于求最值，关键是掌握一次函数的性质． 12．阅读材料：对于非零实数m，n，若关于x的分式的值为零，则x＝m或x＝n．又因为＝＝x+﹣（m+n），所以关于x的方程x+＝m+n的解为x1＝m，x2＝n． （1）理解应用：方程x+＝2+的解为：x1＝ ，x2＝ ； （2）拓展提升：若关于x的方程x+＝k﹣1的解满足x1＝x2，求k的值． 【答案】（1）2，；（2）k=5或k=-3 【分析】（1）根据题目所给的阅读材料，即可的得出答案； （2）设x1=x2=t，可得x1•x2=4，即t2=4，解得t=±2，根据题意可得k-1=x1•x2=4或k-1=x1•x2=-4，求出k的值即可得出答案． 【详解】解：（1）根据题意可得，方程x+＝2+， 解为：x1=2，x2=， 故答案为：2，； （2）由题意得， 设x1=x2=t， ∴x1•x2=4，即t2=4， 解得t=±2， ∵k-1=x1+x2=4或k-1=x1+x2=-4， 解得k=5或k=-3． 【点睛】本题主要考查了解分式方程及分式方程的解，正确理解题目所给材料的意义进行计算是解决本题的关键． 13．已知一次函数的图象交轴和轴于点和；另一个一次函数的图象交轴和轴于点和，且两个函数的图象交于点 (1)当，为何值时，和的图象重合； (2)当，且在时，则成立，求的取值范围； (3)当的面积为时，求线段的长． 【答案】(1)当时，和的图象重合； (2) (3)或 【分析】（1）把代入求得，得到，于是得到结论； （2）根据题意列不等式即可得到结论； （3）根据题意，需要分成两种情况进行分析：第一种情况，如图2，第二种情况，如图3，根据函数解析式得到，求得的长度，根据三角形的面积列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵的图象过点， ∴， ∴， ∴， ∵和的图象重合， ∴， ∴； 即当时，和的图象重合； （2）解：∵，如图1， ∴， ∴，， ∵且时，成立， ∴由图象得， ∴； （3）解：∵ 中，令得， 令，， 中，令得， 令得 ∴ 第一种情况，如图2， 根据题意得： ∴， ∵ ∴ 解得：或； 经检验，，是原分式方程的解； ∴，，，， ∴，； 第二种情况，如图3： ∵， ∴， ∴ 解得：或， 经检验，，是原分式方程的解； ∴，，，， ∴，； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了一次函数，一元二次方程，一元一次方程，坐标与图形，以及三角形面积的计算，正确的理解题意，求出各点的坐标是解题的关键．注意利用数形结合的思想进行解题． 14．仔细观察下面的变形规律：，，，……解答下面的问题： (1)总结规律：已知为正整数，请将和写成上面式子的形式； (2)类比发现： 计算与的结果； (3)知识迁移：解关于（为正整数）的分式方程： ； (4)规律应用：化简． 【答案】(1)； (2)； (3) (4) 【分析】（1）根据题目中的规律，写出结果即可； （2）利用解析（1）中得出的规律进行计算即可； （3）先化简方程左边的式子，然后解分式方程即可； （4）利用解析（1）中的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ，…… ∴， ； （2）解： ； ． （3）解：方程变为， 即：， 去分母得：， 解得：， 检验：因为为正整数，原方程分母不会为零； 所以原方程的根式． （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的规律题，解分式方程，解题的关键是根据题意找出题目中的规律，注意解分式方程要进行检验． 15．我们约定：若关于的整式与同时满足：，，则称整式A与整式互为“美美与共”整式．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于的整式与互为“美美与共”整式，求k，m，n的值． (2)若关于x的整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式，且是的一个因式，求的值； (3)若，且关于的方程的解为正整数，求的“美美与共”整式，并求出的最小值． 【答案】(1)k的值为，m的值为3，n的值为2． (2) (3)或，最小值为或 【分析】题目主要考查整式的乘法运算及因式分解，解分式方程等，熟练掌握因式分解是解题关键． （1）根据题意得到即可解答； （2）根据题意得出，再由是的一个因式，进行因式分解确定，即可求解； （3）根据因式分解得出，再由分式方程的解确定或，即可分情况得出Q，然后配方确定最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴． 答：k的值为，m的值为3，n的值为2． （2）， ∵整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式， ∴， ∴， ∵是的一个因式， ∴， ∴， ∴； （3） ， ∴， 得， ∵关于的方程的解为正整数， ∴或， ∴或， ∴，或 ∴最小值为或． 16．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“之立信点”．例如：的“2之立信点”为，即． (1)点的“3之立信点”的坐标为________． (2)若点在轴的正半轴上，点的“之立信点”为点，且为等腰直角三角形，求的值； (3)在（2）的条件下，若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据点为点P的“之立信点”的定义计算； （2）根据x轴的正半轴上点的特征、点为点P的“之立信点”的定义计算； （3）根据分式方程的解法、分式方程无解的概念，分情况计算． 【详解】（1）解：当时， ， ∴点的“3之立信点”的坐标为， 故答案为：； （2）∵点P在x轴的正半轴上， ． ∴点P的坐标为， ∵点P的“k之立信点”为点， ∴点的坐标为， 时， 为等腰直角三角形， ， ， ． 故答案为：1； （3）当时，去分母整理得：， ∵原方程无解， ∴①，即， ②，即，则，；； 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是三角形的综合题，等腰直角三角形的概念、分式方程的解法以及分式方程无解的判断，掌握点为点P的“k之立信点”的定义、分式方程的解法是解题的关键． 17．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得：， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ∵可化为， ∴， 解得：， 方程有整数解， 整数，即， 又，， ． 18．已知，关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值． 【答案】(1) (2) (3)3、29、55、185 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：． （2）解：把a=1代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当时，即，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即时， 此时b不存在； Ⅱ.x=5时，原分式方程无解， 即时， 此时b=5； 综上所述，时，分式方程无解． （3）解：把a=3b代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， ， 解得：， ∵b为正整数，x为整数， ∴10+ b必为195的因数，10+b≥11， ∵195=3×5×13， ∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195， ∵1、3、5都小于11， ∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数， 对应地，方程的解x=3、5、13、15、17， 又x=5为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取3、29、55、185， ∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，将直线向下平移5个单位长度得到直线，与y轴交于点D，与交于点E，连接． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． (3)在平面直角坐标系中存在点P，使得以A、E、D、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据待定系数法求函数解析式即可； （2）过点A作轴，交于点F，先求出直线的函数关系式，再根据平移写出的函数关系式，求出点E、F的坐标，即可求出的面积； （3）根据AP为平行四边形的一条边或一条对角线两种情况进行讨论，利用平移的方法求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：设直线的函数关系式为，把点A(−2，3)，C(4，0)代入得： ，解得：， 直线的函数关系式为． （2）过点A作轴，交于点F，如图所示： 把A(−2，3)代入直线的函数关系式得：，解得：， ∴直线的函数关系式为， ∵将直线l2向下平移5个单位长度得到直线l3， ∴直线l3的函数关系式为， 把代入得：， 点D的坐标为（0，-3）， 联立，解得：， 点E的坐标为， 把代入得：， ， ． （3）①为平行四边形的一条边时，， 此时点P一定在直线上，设点P坐标为：， ∵当P点在A点上方时，点D向左平移个单位，向上平移个单位可以到点E， ∴点A向左平移个单位，向上平移个单位可以到点P， ∴，即，则， ∴此时点P的坐标为； ∵当P点在A点下方时，点E向右平移个单位，向下平移个单位可以到点D， ∴点A向右平移个单位，向下平移个单位可以到点P， ∴，即，则， ∴此时点P的坐标为； ②为平行四边形的一条对角线时，， ∵点A向右平移2个单位，向下平移6个单位可以到D点， ∴点E向右平移2个单位，向下平移6个单位可以到P点， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴此时点P的坐标为：； 综上所述，点P的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、平移的性质、平行四边形的性质，求出点和点D的坐标是解题的关键． 20．如图，直线与直线和直线分别交于点E，D（D在E的上方）． (1)直线和直线交于点M，填空：点M的坐标为______； (2)求线段DE的长（用含t的代数式表示）； (3)点N是y轴上一动点，且为等腰直角三角形，直接写出t的值及点N的坐标． 【答案】(1) (2)，且 (3)当时，N点坐标为或；当时，N点坐标为；当时，为等腰直角三角形，此时N点坐标为 【分析】（1）联立方程，解方程组即可求得； （2）将x=t代入解析式，得到D，E的坐标，DE的出就是纵坐标的差； （3）根据直线在y轴的左侧和在y轴的右侧两种情况并以不同边为斜边构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出t的值，进而求出各点坐标． 【详解】（1）解：解得 ∴M， 故答案为：． （2）当时，；当时，． ∴D点坐标为，E点坐标为． ∵D在E的上方， ∴，且． （3）∵△NDE为等腰直角三角形， ∴∠NED=90°，NE=DE或∠NDE=90°，ND=DE或∠END=90°，NE=ND. 若∠NED=90°，NE=DE时，则N(0,-t)，(t>0)或(t<0)， 解得t=-4(舍去)或， ∴N(0，)， 若∠NDE=90°，ND=DE，则N(0, )，(t>0)或(t<0) 解得t=-4(舍去)或， ∴N(0，)， 若∠END=90°，NE=ND，则N(0, )，(t>0)或(t<0) 解得t=4或， ∴N 或N． 综上所述：当时，为等腰直角三角形，此时N点坐标为或； 当时，为等腰直角三角形，此时N点坐标为； 当时，为等腰直角三角形，此时N点坐标为． 【点睛】此题考查了两条直线相交或平行问题，难度很大，涉及变量较多，解答时需要将x转化为t，然后根据等腰三角形的性质进行推理，由于情况较多，容易造成漏解，故解答时要仔细． 三、压轴题三：四边形综合，10题，难度五星 21．已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿翻折，得到． (1)直接写出正方形的边长； (2)如图1，若点D为中点，延长交于点H． ①求的长； ②连并延长交于点F，求的长； (3)如图2，若点G为上一点，且，点M为中点，连接．当点D从点O开始沿y轴负半轴运动，到取得最大值时停止，请直接写出点D运动的路径长． 【答案】(1)6 (2)①2；② (3) 【分析】（1）根据根据二次根式被开方数的非负性即可作答； （2）①由翻折得，，进而推出，设，根据勾股定理即可求得； ②同角的余有相等，进而推出，，作答即可； （3）由翻折，由，当、、共线时，最大，，，即可作答． 【详解】（1）解：， ，， ， ， ，即， 正方形的边长为6； （2）由（1）知正方形达长为6， ∵是的中点，∴， ①由翻折得，， ， 连接， 则， ， ， ， 设， 则， 在中， 由， 即， 解得， 的长为2； ②由，， 得垂直平分， ， 又， （同角的余有相等）， 又，， ， ， ， 即的长为； （3）由翻折知， 又是的中点， ， 由， 当、、共线时，最大， 如图所示， ， ， ， ， ， ， ， 点运动的路径长为． 【点睛】本题考查四边形综合题，涉及正方形的性质，三角形全等的判定与性质，折叠性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，全等三角形的判定和性质． 22．综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （2）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （3）连接，根据折叠的性质证出四边形是平行四边形，设，则，利用勾股定理求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长． 【详解】（1）解：由折叠可知，，，， ∴，点是中点， 过点作于点，交于点，如图①所示： ∵， ， ∴由折叠可知：， ∴， ∴完美矩形的面积为：； （2）解：由折叠可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长； （3）解：连接，如图所示： 由折叠可得：点和分别是和的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴矩形的周长． 23．在平面直角坐标系中，如果P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为，点B的坐标为， (1)如果，那么R，S，T中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是 ； (2)如果点A，B的“相关菱形”为正方形，求点B的坐标． (3)如图2，在矩形中，F．点M的坐标为，如果在矩形上存在一点N，使得点M，N的“相关菱形”为正方形，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，正方形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． （1）观察图象可知：R、S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点； （2）如图2中，过点A作垂直x轴于H点．根据正方形的性质可知，由此可求得点B的坐标即可； （3）过点M作轴，垂直为G，可得到为等腰直角三角形，然后分为点N与点E重合、点N与点O两种情况求得m的最大值和最小值，从而可确定出m的范围． 【详解】（1）如图1中，观察图象可知：R、S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点． 故答案为：； （2）如图2中，过点A作垂直x轴于H点． ∵点A，B的“相关菱形”为正方形， ∴为等腰直角三角形． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴或5． ∴B点的坐标为或． （3）如下图所示：当点N与点E重合时，过点M作MG⊥x轴，垂直为G． ∵点M，N的“相关菱形”为正方形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 如下图所示：当点N与点O重合时，过点M作轴，垂直为G． ∵点M，N的“相关菱形”为正方形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∴m的取值范围是：． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，两点，直线交轴于C点，交直线m于点．        (1)填空： ， ， ； (2)点D是直线m上一点，E是直线l上的一点，若与互相平分，求点E的坐标及四边形的面积； (3)N是平面直角坐标系内一点，直线l上是否存在点M，使以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1)，，4 (2)，四边形E的面积 (3)点N坐标为或或或 【分析】（1）当，，得：，将代入得，，将代入，得； （2）①由（1）知，，证明出四边形为平行四边形，设，，则，解得①当为菱形的边时，设，由，得，解得，，从而求解；②当，为菱形的边时，③当为菱形的对角线时，利用菱形的性质求解． 【详解】（1）解：当，， 解得：， 将代入得， ， 解得：， 将代入， 得， 解得：， 故答案为：，，4； （2）解：由（1）知， ， ∵与互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设，， 则， 解得，， ∴； ∴点P是的中点 ∴四边形的面积=， （3）解：分为菱形的边与为菱形的对角线两种情况： ①当为菱形的边时， 设， 由，得， 解得，， 当时，， ∵且， ∴； ⅱ）当时，， 此时； ②当，为菱形的边时， 由，得， 解得，，（舍去）， ∴， 此时； ③当为菱形的对角线时， 由菱形的性质可知垂直平分， ∴， 将代入得，， ∴， ∴， 综上，符合条件的点N有四个，分别是或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，菱形的性质，平行四边形的判定及性质等，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键． 25．如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： (1)【探究发现】 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________； (2)【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________，________； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】 在（2）的探究中，当，请直接写出的长． 【答案】(1)30 (2)①，；② (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质，得，取的中点O，连接，根据直角三角形那个斜边中线等于斜边的一半得到，可证为等边三角形，进而可结果； （2）①根据折叠的性质，可证即可求解；②证明，即可； （3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设，分别表示出，由勾股定理即可求解 【详解】（1）解：， ， ， 如图，取的中点O，连接， ， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：30； （2）①四边形是正方形， ，， 由折叠性质得：，， ， ， ， ，， 同法（1）可得：， ， ， ， ， 在中，， 根据勾股定理：，即， 解得：， ， 在中，， 根据勾股定理：，即， ， ， 故答案为：15，； ②，理由如下： ，， ， ； （3）当点Q在点F的下方时，如图， ，， ， ， 由（2）可知，， 设， ， 即， 解得：， ； 当点Q在点F的上方时，如图， ，， ， 由（2）可知，， 设， 即， 解得：， ， 综上所述，或 【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键 26．【探究发现】如图，矩形所在平面内有一点．连接． （1）①当点与矩形对角线交点重合时（如图1），显然有； ②当点落在边上时（如图2），且，则______；通过计算，发现并猜想的关系：______． （2）当点在矩形内部（如图3），是否仍存在你所猜想的结论？ 【直接运用】如图4，矩形外有一点，且． ①．求证：； ②．若，则______． 【拓展应用】如图5，，点在边上运动，若，求的值． 【答案】【探究发现】（1）②7，；（2）见解析；【直接运用】①．见解析；②．；【拓展应用】16 【分析】（1）②直接利用矩形的性质与勾股定理计算即可得到答案； （2）如图3中，过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形，，再利用勾股定理可得结论； 【直接运用】①当点在矩形外部时，如图4中，由（2）同法可证：；如图5中，连接．证明，结合，从而可得结论；②直接利用①的结论计算即可； 【拓展应用】如图6中，将沿翻折得到，连接，证明四边形是矩形，再利用前面的结论可得答案． 【详解】解：（1）②如图2中， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． （2）如图3中，过点作的垂线，交于点，交于点， 则四边形和为矩形， ， 由勾股定理得：则，， ， ， ． 直接运用： ①证明：当点在矩形外部时，如图4中，由（2）同法可证： ； 如图5中，连接． ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． ②， ， ∵， ∴， 拓展应用： 如图6中，将沿翻折得到，连接，         ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质，二次根式的乘法运算等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会构建模型解决问题，属于中考压轴题． 27．如图，在中，，是角平分线，点、分别在、上，且，、分别是、的中点，的延长线交边于，过、分别作的垂线交边与、，垂足分别为、． 求证： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义证明，，可得，即可证明； （2）连接，取的中点P，连接，根据三角形中位线的定义可得，，，，利用三角形外角可得，从而根据平行线的性质即可证明； （3）连接，根据和中点的定义可得四边形为平行四边形，即可证明． 【详解】（1）证明：∵是角平分线， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）连接，取的中点P，连接 ∵是的中点， ∴ ∴， ∵是的中点， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （3）证明：连接 ∵ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∴ ∵， ∴ 【点睛】本题考查了三角形综合问题，涉及到角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中位线等，正确作出辅助线是关键． 28．（1）如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，延长交于点F，连接，求的度数； （2）如图2，将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则 ① ； ②若 线段 ； （3）如图3，在矩形中，，点E、F 分别在边上，将矩形沿 折叠，点B落在M处，点D 落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若 ，求的长．    【答案】（4）45度；（2）①60度；②；（3） 【分析】（1）由正方形的性质得，再由折叠的性质得，再说明点F在的角平分线上，即，最后根据角的和差即可解答； （2）①由折叠的性质和平角的定义即可解答；②先根据①可得，由直角三角形含的性质可得和的长，进而可得和的长，由三角函数可得的长即可； （3）由可得，再证是的中位线可得，然后再证是正方形，可得、，再利用勾股定理可求的长，进而求得，最后再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ，， 由折叠得： ，， ∴， ∴点F在的角平分线上，即， ∴； （2）①如图2，由折叠得：，， ∴， ∵， ． 故答案为：60． ②∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． （3）如图3，延长交于点P，过点P作于N，    ∵， ∴， ∵将矩形纸片沿、折叠，点B落在M处，点D 落在G处， ，，，， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ， ∴，， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ，， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ， ， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质和判定、含角的直角三角形的性质、三角中位线等知识，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质是解题的关键． 29．如图，在等边中，，点是所在直线上一点，连接． (1)如图1，点在线段上，若，求的长； (2)如图2，点在线段上，点是线段上一点，满足，连接交于点．过作于，点是延长线上一点，连接交于点．若，求证：； (3)如图3，过作交直线于，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质得出，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理即可求解； （2）过点作于点，证明，得出，，则，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据已知，可得，过点作交的延长线于点，则四边形是平行四边形，得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （3）作关于的对称点，连接，取的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，则四边形是菱形，根据题意将沿所在直线翻折至所在平面内得到，则关于对称，得出是直角三角形，当在上时，取得最小值，勾股定理求得的最小值为，过点作于点，连接，进而等面积法得出，然后根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵，则 在中，， ∵，则 在中， （2）证明：如图所示，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， 即是的中点， 过点作交的延长线于点， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴ ∴； （3）解：如图所示，作关于的对称点，连接，取的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接， 则， ∴四边形是菱形， ∴， ∴，则， ∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到， ∴关于对称， ∴关于对称， ∵ ∴是直角三角形， ∴ 当在上时，取得最小值， ∵， ∴，则， 在中， ∴的最小值为 如图所示，过点作于点，连接， ∵是的中点，，则 ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴当取最小值时， 的面积为． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外角的性质，轴对称的性质，三角形三边关系的应用，熟练掌握以上知识是是解题的关键． 30．在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转 为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，使得，连接交于点H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，平面内一点P，当最小时，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）作，根据等腰直角三角形的性质与判定，得到，，在中，应用勾股定理，求出的长，根据平行四边形的性质得到的长，根据等腰直角三角形的性质与判定，即可求解， （2）连接，，根据全等三角形的性质与判定得到，，，结合旋转的性质得到，，根据平行四边形的判定得到，，根据平行四边形的性质得到的长度，即可求解， （3）将绕点顺时针旋转，得到，由旋转的性质可得，根据两点之间线段最短，得到，当在线段上时取得最小值，作， 根据等腰直角三角形的判定与性质，得到，在中，应用勾股定理得到，，，，由，得到， 在中，得到，在中，得到，，根据，即可求解， 本题考查了，平行四边形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：通过旋转得到． 【详解】（1）解：过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：， （2）解：连接，， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， （3）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接， 由旋转的性质可得，，，， ∴， ∴，当在线段上时取得最小值， 延长与延长线交于点，过点作于点，连接， 由旋转的性质可得，，， ∵， ∴，， ∴， 在中，，，， ∵，即：，解得：， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$