4.2.2等差数列的前n项和公式教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前项和公式 (人教A版普通高中教科书数学选择性必修第二册第四章) 一、内容与内容解析 1.内容：等差数列前项和公式的推导和简单应用 2.内容解析： （1）重要性：数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列的前项和公式及其简单应用。它与前面学过的等差数列的定义、通项公式、性质有着密切的联系；同时又为后面学习等比数列前项和、数列求和等内容作好准备。 （2）思想方法：本节课的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法（倒序相加法、数形结合、方程思想等），教学中有针对性地对学生进行这方面渗透，有利于学生数学思维能力的提高。 （3）应用广泛：等差数列求和有着广泛的实际应用，如堆放物品总数的计算、剧场座位总数的计算、分期存款一次取出的储蓄利息的计算等。 3.教学重点： 等差数列前项和公式的推导运用了倒序相加法，学生不但可以掌握数列中一类重要的求和方法，同时也为后面数列求和作好思想上的引导与知识上的准备。 本节课的重点：等差数列前项和公式的理解、推导及简单应用。 二、目标与目标解析 1.目标 （1）掌握等差数列前项和公式及其推导过程，会用等差数列的前项和公式解决一些简单的问题。 （2）从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比分析、归纳综合、逻辑推理的思维能力。 （3）从问题情境中抽象出等差数列的模型，运用所学知识解决实际问题，培养学生数学建模的能力。 2.目标解析 达成上述目标的标志为： （1）知道等差数列前项和公式是倒序求和的推导结果。 （2）能够运用等差数列前项和公式“知三求二”。 （3）对于问题情境能够抽象出等差数列的模型，并成功解决问题。 三、教学问题诊断解析 1.问题诊断 本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式和性质、数列的和等有关内容，对本节课的学习有了一定的知识铺垫。经过初高中的数学学习，学生已具有一定的自主探究能力、从特殊到一般的类比推理能力，高斯的首尾配对相加的算法对学生来说都是能够理解掌握的，但学生对于倒序求和的思想还是初次见到，对于公式推导的思想方法，理解起来会存在一定的难度。 2.教学难点 获得等差数列前项和公式推导的思路。 四、教学过程设计 步骤 学情预设 设计意图 （一）创设情景，提出问题： 以“泰姬陵”为问题情境，赋予课堂人文历史的气息 缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段。 （二）公式探究 1. 高斯算法的故事 2.尝试推导 （1） （2） （3） 3. 等差数列的前项和公式1： 4. 把通项 代入公式1中得到等差数列的前项和公式2： 5. 公式辨析 公式1： 公式2： 高斯计算的故事大部分学生已知道，但并不了解计算原理。 由高斯算法很容易得出，但有可能不是通过倒序相加而来，而是把当成偶数，所以得出为个的和。 有了前面的铺垫，比较容易获得公式。 引导学生思考前项和能否用基本量来表示呢，这样就顺其自然的得到了另一个公式。 与梯形面积公式类比，进一步体会倒序相加思想和数形结合思想的应用。 融入数学史，激发学习兴趣，富有人文气息 引出倒序相加法 从特例分析入手，降低难度 体现从特殊到一般的研究方法，符合认知规律 学生经历公式的推导过程，获得了发现的成就感，优化了思维品质，体会了数形结合的数学思想，体验了从特殊到一般的研究方法． 辨析公式，是灵活应用公式的前提，通过直观感知，加深理解，有利于公式的熟悉和掌握。 （三）课堂小结 1.知识体系 2.思想方法 （一）创设情景，提出问题 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见右图），奢靡之程度，可见一斑。 问题1：你知道一共花了多少宝石吗？ 教师活动：利用多媒体，展示泰姬陵的图片，并截取出三角形宝石图案，引导学生观察宝石数目变化情况。 【设计意图】 （1）教师先用多媒体展示彩图呈现的问题，使学生进入问题情境，激发学生的兴趣，并使学生体会数学来源于生产生活。 （2）以问题的提出作为引入方式，使学生带着问题学习新课，更有目的性。 （二）探究等差数列前项和公式 教师活动：指出此数列的求和方法在1787年已被高斯解决，征求高斯故事。 问题2：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出答案的呢？ 高斯算法：1+100=101,2+99=101，……，50+51=101，所以原式=50×（1+101）=5050 问题3：如果有101层，共有多少颗宝石？即 借助几何图形的直观性，引导学生使用熟悉的几何方法： 把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形 获得算法： 说明：这是求奇数个项求和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的方法，需要启发学生观察中间项56与首、尾两项1和101的和它们之间的关系。通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对” 的算法还得分奇数个项、偶个项两种情况求和。 【设计意图】高斯算法首尾组合的思想揭示了等差数列“角标和相等，对应的项和相等”的特征，为等差数列前项和公式的推导的“倒序相加法”做好铺垫，开启了更深入、更细致的研究大门。 问题4：求到的正整数之和，即 说明：从求确定的前个正整数之和到求一般项数的前个正整数之和，目的在于让学生体验“倒序相加”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对”算法的改进。 【设计意图】引导学生实现由图形倒置拼补迁移到数式求和的倒序相加，从而突破本节课的难点。采用由特殊到一般的研究方法,从学生熟悉的知识背景出发,让学生在具体的问题情境中,经历知识的形成和发展,充分体现了“以人为本”,强调“以学生发展为核心”的原则。 问题5：设等差数列的前项和为，即，如何求？ 问题6：请同学们把通项代入中，看能得到什么？ 得： 说明：学生经历公式的推导过程，获得了发现的成就感，优化了思维品质，体会了数形结合的数学思想，体验了从特殊到一般的研究方法．教师板书过程规范解题格式，让学生掌握倒序相加法。 【设计意图】展示探究成果，让学生体会收获的喜悦，同时引导学生思考前项和能否用基本量来表示呢？这样就顺其自然的得到了另一个公式。 通过以上对等差数列前项和公式的探究，学生就已经较好的掌握了公式的形式及结构，同时培养了学生的探究能力与探索精神。我们可以结合梯形的面积公式来记忆等差数列的前项和公式： 【设计意图】通过类比梯形的面积公式，由直观的图形帮助学生记忆等差数列求和公式，尤其是对于文科生来说，效果会更明显. （三）课堂小结 1.回顾从特殊到一般的研究方法； 2.倒序相加法求和及数形结合，函数与方程的数学思想； 3.掌握等差数列的前n项和公式及简单应用。 【设计意图】为了使课堂知识条理化、系统化，同时培养学生的总结概括能力，教师可以引导学生从思想方法和知识内容两方面进行小结。 五、板书设计 §4.2.2　等差数列的前项和 两个公式： 1. 2. 推导思路： 倒 序 相 加 法 把通项代入得： 六、课后作业 1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　) A．13　　　B．35　　　C．49　　　D．63 2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________. 4．已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12. 5.已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn. 求an及Sn； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$