第10章 相交线、平行线与平移（超级培优）-2023-2024学年七年级数学下册单元测试超级练（沪科版）

第10章 相交线、平行线与平移(超级培优）（安徽专用） （本卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 2．下列说法中，正确的是（　　） A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离 B．同一平面内，若a⊥b，a⊥c，则b⊥c C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF＝65°，则∠DEB的度数为（　　） A．155° B．135° C．35° D．25° 4．如图，将周长为12cm的△ABC沿边BC向右移动5cm，得到△A′B′C′，则四边形AA′C′B的周长是（　　）cm． A．17 B．19 C．22 D．24 5．如图所示，图形中∠1与∠2不一定相等的是（　　） A． B． C． D． 6．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝46°，则∠2＝（　　） A．46° B．44° C．42° D．40° 7．下列说法中，错误的是（　　） A．同角的余角相等 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的角是对顶角 D．一个角的补角不一定大于这个角 8．如图，已知a∥b，直角三角形的直角顶点在直线a上，若∠1＝60°，则∠2等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 9．如图，AB∥CD，连接BD，E是线段BD上一动点，AF、CF分别平分∠BAE、∠DCE，若∠AEC＝α，则∠AFC的度数用含α的式子表示为（　　） A． B． C．120°﹣2α D．180°﹣3α 10．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论： ①∠D＝40°； ②2∠D+∠EHC＝90°； ③FD平分∠HFB； ④FH平分∠GFD． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 11．如图，如果AB∥CD，根据 　 　，可得∠1＝∠CDE． 12．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠AEB＝70°，那么∠EFC′的度数为 　 　度． 13．如图，将一条两边互相平行的纸带折叠． （1）若∠1＝60°，则∠3的度数是 　 　． （2）若∠1＝50°，则∠2的度数是 　 　． 14．如图，PQ∥MN，l⊥MN，垂足为A，l交PQ于点B，点C在射线AM上． （1）若BC平分∠PBA，则∠BCM＝　 　． （2）若∠ACB＜60°，在直线PQ上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD．交直线l于点E．若∠BDE＝30°，则∠ACD＝　 　． 3、 解答题（共9小题。15-18每题8分，19-20每题10分，21-22每题12分，23题14分，共计90分） 15．如图，已知∠1是它的补角的3倍，∠2等于它的余角，则AB与CD是否平行？请判断并说明理由． 16．如图，DE∥BC，且CD平分∠ACB，∠AED＝70°，求∠EDC的度数． 17．（1）如图1，若m∥n，∠1＝63°，求∠2的度数． （2）如图2，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠AOE＝27°，求∠BOD的度数． 18．我们已经学习了平行线的判定条件与相关性质，涉及同位角、内错角、同旁内角．如图①，在“三线八角”中，类比内错角，具有∠1与∠8这样位置关系的角称为“外错角”，试完成下面的探究问题． （1）如图①，请另找出一对“外错角”　 　． （2）猜想判定：外错角相等，两直线平行．如图②，∠1与∠2是直线a，b被直线c截出的一对外错角，且∠1＝∠2，试说明：a∥b． 19．画图并填空：如图，三角形ABC的顶点都在方格纸的格点上，每个格子的边长为1个单位长度，将三角形ABC向上平移3个单位长度，得到三角形A′B′C′． （1）在图中作出三角形ABC边AB上的高CD； （2）在图中画出平移后的三角形A′B′C′； （3）三角形ABC的面积为 　 　； （4）若连接AA′，CC′，则这两条线段的关系是 　 　． 20．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，∠DOE+∠FOE＝90°． （1）求证：OF是∠AOE的平分线； （2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数． 21．如图，将直角三角形ABC（∠B＝90°）沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，DE与AC交于点G，AB＝4，BF＝10，EC＝6． （1）求平移的距离． （2）若DG＝1，求阴影部分的面积． 22．已知AB∥CD，PM⊥PN，PM交AB于点E，PN交CD于点F． （1）如图1，当点P在直线AB与CD之间时，求证：∠PFD+∠AEM＝90°； （2）如图2，当点P在直线AB的上方时，PN交AB于点G； ①求∠PFD﹣∠AEM的度数； ②设MN与CD交于点O，∠DON＝20°，∠PEB＝15°，请补全图形，并求∠MNP的度数． 23．综合与实践 问题提出 如图1，已知AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的两点．点P在AB、CD之间．探究∠BMP、∠PND与∠MPN之间的数量关系． 初步感知 （1）求证：∠BMP+∠PND＝∠MPN． 延伸应用 （2）如图2，NQ平分∠PNC，且与PM的延长线交于点Q． ①若∠MPN的补角是其余角的4倍，∠BMP＝28°，求∠NQP的度数； ②如图3，NT平分∠QNC，MT平分∠AMP，PM∥TN，若∠BMP＝∠PND+15°，求∠MTN的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 相交线、平行线与平移（超级培优）（安徽专用）解析版 （本卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟） 一．选择题（共10小题） 1．如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】由两直线平行，同位角相等，即可得到答案． 【解答】解：a∥b， ∴∠2＝∠1＝70°． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离 B．同一平面内，若a⊥b，a⊥c，则b⊥c C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【解答】解：A、从直线外一点到这条直线的垂线段的长，叫做这个点到这条直线的距离，故选项错误，不符合题意； B、同一平面内，若a⊥b，a⊥c，则b∥c，故选项错误，不符合题意，不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项正确，符合题意； D、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查点到直线的距离，平行线的判定，平行公理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF＝65°，则∠DEB的度数为（　　） A．155° B．135° C．35° D．25° 【分析】直接利用垂直的定义结合互余的性质、对顶角的性质得出答案． 【解答】解：∵EF⊥AB于E，∠CEF＝65°， ∴∠AEF＝90°， 则∠AEC＝∠BED＝90°﹣65°＝25°． 故选：D． 【点评】此题主要考查了垂线以及对顶角，正确得出∠AEC的度数是解题关键． 4．如图，将周长为12cm的△ABC沿边BC向右移动5cm，得到△A′B′C′，则四边形AA′C′B的周长是（　　）cm． A．17 B．19 C．22 D．24 【分析】根据平移的性质得到AA′＝CC＝5cm，A′C＝AC，再由三角形周长公式得到AB+BC+AC＝12cm，则四边形AA′C′B的周长是AB+BC+CC′+A′C+AA′＝AB+BC+AC+CC′+AA′＝22cm． 【解答】解：由平移的性质可得AA′＝CC＝5cm，A′C＝AC， ∵△ABC的周长为12cm， ∴AB+BC+AC＝12cm， ∴四边形AA′C′B的周长是： AB+BC+CC′+A′C+AA′＝AB+BC+AC+CC′+AA′＝12+5+5＝22cm， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平移的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 5．如图所示，图形中∠1与∠2不一定相等的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据对顶角相等，平行线的性质，余角和补角的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵∠1与∠2是对顶角， ∴∠1＝∠2， 故A不符号题意； B、∵∠3＝90°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠3＝90°， ∴∠1与∠2不一定相等， 故B符合题意； C、∵a∥b， ∴∠1＝∠2， 故C不符合题意； D、如图： ∵a⊥c，b⊥d， ∴∠ABC＝∠DBF＝90°， ∴∠DBF﹣∠ABF＝∠ABC﹣∠ABF， ∴∠1＝∠2， 故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，余角和补角，对顶角和邻补角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 6．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝46°，则∠2＝（　　） A．46° B．44° C．42° D．40° 【分析】过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质可得∠1＝∠3＝46°，∠2＝∠4，再结合角的和差关系可得答案． 【解答】解：过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线， ∵直尺两边互相平行， ∴∠1＝∠3＝46°，∠2＝∠4， ∵∠4＝90°﹣∠3＝44°， ∴∠2＝∠4＝44°， 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键， 7．下列说法中，错误的是（　　） A．同角的余角相等 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的角是对顶角 D．一个角的补角不一定大于这个角 【分析】根据定义与性质再分别判断各选项即可得到答案． 【解答】解：A．同角的余角相等，正确，故此选项不符合题意； B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，故此选项不符合题意； C．相等的角不一定是对顶角，错误，故此选项符合题意； D．一个角的补角不一定大于这个角，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查余角，补角的含义，对顶角的定义，作已知直线的垂线，掌握对顶角的定义，作已知直线的垂线是解题的关键． 8．如图，已知a∥b，直角三角形的直角顶点在直线a上，若∠1＝60°，则∠2等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论． 【解答】解：∵a∥b，∠1＝60°， ∴∠3＝∠1＝60°， ∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°＝30°． 故选：A． 【点评】本题考查的是平行线的性质，关键掌握两直线平行，内错角相等． 9．如图，AB∥CD，连接BD，E是线段BD上一动点，AF、CF分别平分∠BAE、∠DCE，若∠AEC＝α，则∠AFC的度数用含α的式子表示为（　　） A． B． C．120°﹣2α D．180°﹣3α 【分析】过E作EG∥AB，进而利用两直线平行，内错角相等和角平分线的定义解答即可． 【解答】解：过E作EG∥AB， ∵AB∥CD， ∴EG∥CD∥AB， ∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG， ∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE＝α， 同理可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF， ∵AF、CF分别平分∠BAE、∠DCE， ∴∠BAF＝， ∴∠AFC＝， 故选：A． 【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答． 10．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论： ①∠D＝40°； ②2∠D+∠EHC＝90°； ③FD平分∠HFB； ④FH平分∠GFD． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝40°错误；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高． 二．填空题（共4小题） 11．如图，如果AB∥CD，根据 　两直线平行，同位角相等　，可得∠1＝∠CDE． 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：如果AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，可得∠1＝∠CDE， 故答案为：两直线平行，同位角相等． 【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 12．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠AEB＝70°，那么∠EFC′的度数为 　125　度． 【分析】由∠AEB＝70°，可得∠DEB＝110°，由折叠的性质可得，，∠EFC′＝∠EFC，由AD∥BC，可得∠EFC＝180°﹣∠DEF，进而可求∠EFC′的度数． 【解答】解：∵∠AEB＝70°， ∴∠DEB＝110°， 由折叠的性质可得，，∠EFC′＝∠EFC， ∵AD∥BC， ∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝125°， ∴∠EFC′＝125°， 故答案为：125． 【点评】本题考查了折叠的性质，邻补角，平行线的性质．熟练掌握折叠的性质，邻补角，平行线的性质是解题的关键． 13．如图，将一条两边互相平行的纸带折叠． （1）若∠1＝60°，则∠3的度数是 　120°　． （2）若∠1＝50°，则∠2的度数是 　65°　． 【分析】（1）平行线的性质，折叠的性质，角的计算； （2）平行线的性质，折叠的性质，角的计算． 【解答】解：（1）如图， ∵AD∥BC， ∴∠1+∠AEC＝180°， ∵∠1＝60°， ∴∠AEC＝180°﹣∠1＝180°﹣60°＝120°， ∴∠3＝∠AEC＝120°； （2）如图， ∵∠1＝50°， ∴∠ECF＝180°﹣∠1＝180°﹣50°＝130°， 由折叠的可知， ∴， 又∵AD∥BC， ∴∠2＝∠DCF＝65°． 【点评】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，角的计算，掌握相关概念性质是解题的关键． 14．如图，PQ∥MN，l⊥MN，垂足为A，l交PQ于点B，点C在射线AM上． （1）若BC平分∠PBA，则∠BCM＝　135°　． （2）若∠ACB＜60°，在直线PQ上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD．交直线l于点E．若∠BDE＝30°，则∠ACD＝　60°或120°　． 【分析】（1）利用角平分线的定义计算即可； （2）根据题意画出图形，计算即可． 【解答】解：（1）如图1， ∵PQ∥MN，l⊥MN， ∴∠PBA＝∠MAB＝90°， ∴∠PBC＝∠PBA＝45°， ∵PQ∥MN， ∴∠PBC+∠BCM＝180°， ∴∠BCM＝135°； （2）分两种情况， 如图2﹣1， ∵∠BDE＝30°，CD⊥DE， ∴∠BDC＝60°， ∵PQ∥MN， ∴∠ACD+∠BDC＝180°， ∴∠ACD＝120°； 如图2﹣2， ∵∠BDE＝30°，CD⊥DE， ∴∠BDC＝30°+90°＝120°， ∵PQ∥MN， ∴∠BDC+∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝60°． 故答案为：（1）135°， （2）60°或120° 【点评】本题考查的是垂直的定义，平行线的性质，解题的关键是掌握垂直的定义以及平行线的性质定理． 三．解答题（共9小题） 15．如图，已知∠1是它的补角的3倍，∠2等于它的余角，则AB与CD是否平行？请判断并说明理由． 【分析】根据题意分别求出∠1，∠2的角度，再利用同旁内角互补，两直线平行，即可证明． 【解答】解：∵∠1是它的补角的3倍， ∴∠1＝3（180°﹣∠1）， ∴∠1＝135°， ∵∠2等于它的余角， ∴∠2＝90°﹣∠2， ∴∠2＝45°， ∵∠1+∠2＝135°+45°＝180°， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查补角，余角的定义，平行线的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 16．如图，DE∥BC，且CD平分∠ACB，∠AED＝70°，求∠EDC的度数． 【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质即可求解． 【解答】∵DE∥BC， ∴∠ACB＝∠AED＝70°， ∵CD平分∠ACB， ∴， 又∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝35°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质找到角的关系是解题的关键． 17．（1）如图1，若m∥n，∠1＝63°，求∠2的度数． （2）如图2，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠AOE＝27°，求∠BOD的度数． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可； （2）先由角平分线的定义得到∠AOC＝2∠AOE＝54°，再由对顶角相等即可得到∠BOD＝∠AOC＝54°． 【解答】解：（1）∵m∥n， ∴∠1+∠2＝180°， ∵∠1＝63°， ∴∠2＝117°； （2）∵OE平分∠AOC，若∠AOE＝27°， ∴∠AOC＝2∠AOE＝54°， ∴∠BOD＝∠AOC＝54°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决本题的关键． 18．我们已经学习了平行线的判定条件与相关性质，涉及同位角、内错角、同旁内角．如图①，在“三线八角”中，类比内错角，具有∠1与∠8这样位置关系的角称为“外错角”，试完成下面的探究问题． （1）如图①，请另找出一对“外错角”　∠2和∠7　． （2）猜想判定：外错角相等，两直线平行．如图②，∠1与∠2是直线a，b被直线c截出的一对外错角，且∠1＝∠2，试说明：a∥b． 【分析】（1）根据“外错角”的概念求解即可； （2）根据对顶角相等和已知条件，得出∠2＝∠3，即可证明平行． 【解答】解：（1）另找出一对“外错角”为∠2和∠7， 故答案为：∠2和∠7； （2）∵∠1＝∠3（对顶角相等），∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）． 【点评】本题考查了对顶角，平行线的判定，理解“外错角”的概念是解题关键． 19．画图并填空：如图，三角形ABC的顶点都在方格纸的格点上，每个格子的边长为1个单位长度，将三角形ABC向上平移3个单位长度，得到三角形A′B′C′． （1）在图中作出三角形ABC边AB上的高CD； （2）在图中画出平移后的三角形A′B′C′； （3）三角形ABC的面积为 　6　； （4）若连接AA′，CC′，则这两条线段的关系是 　AA′＝CC′，AA′∥CC′　． 【分析】（1）根据三角形高的定义画出图形即可． （2）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可． （3）根据三角形的面积公式计算即可． （4）利用平移的性质判断即可． 【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求； （2）如图，△A′B′C′即为所求； （3）S△ABC＝AB•CD＝×4×4＝8， 故答案为：8； （4）AA′＝CC′，AA′∥CC′， 故答案为：AA′＝CC′，AA′∥CC′． 【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，∠DOE+∠FOE＝90°． （1）求证：OF是∠AOE的平分线； （2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数． 【分析】（1）由∠DOE+∠EOF＝90°，从而∠FOA+∠BOD＝∠AOB﹣（∠DOE+∠EOF）＝180°﹣90°＝90°，由角平分线的定义可得∠DOE＝∠BOD，再根据等角的余角相等可得结论； （2）由∠AOC：∠AOD＝1：5并且互补，可得∠AOC和∠AOD的度数，再利用邻补角求得∠BOD的度数，根据角平分线的定义可得∠BOE＝2∠BOD＝60°，利用邻补角和角平分线求得∠AOE和∠EOF的度数． 【解答】（1）证明：∵∠DOE+∠EOF＝90°， ∴∠FOA+∠BOD＝∠AOB﹣（∠DOE+∠EOF）＝180°﹣90°＝90°， ∵OD平分∠BOE， ∴∠DOE＝∠BOD， ∴∠AOF＝∠EOF（等角的余角相等）， ∴OF是∠AOE的平分线； （2）解：∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC+∠AOD＝180°， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD＝30°， ∴∠AOD＝5×30°＝150°， ∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE， ∴∠BOE＝2∠BOD＝60°，， ∵∠AOE+∠BOE＝180°， ∴∠AOE＝120°， ∴∠EOF＝60°． 【点评】本题考查了角平分线的定义、邻补角的性质和余角的性质，解题的关键是熟练掌握邻补角和余角的性质． 21．如图，将直角三角形ABC（∠B＝90°）沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，DE与AC交于点G，AB＝4，BF＝10，EC＝6． （1）求平移的距离． （2）若DG＝1，求阴影部分的面积． 【分析】（1）根据平移的性质确定对应点即可求解； （2）根据S四边形ABEG+S△GEC＝S△GEC+S四边形DGCF可得S四边形ABEG＝S四边形DGCF＝S阴影，结合梯形的面积的计算方法即可求解． 【解答】解：（1）BF＝BE+EC+CF＝BE+6+CF＝10， ∴BE+CF＝4， ∵△ABC平移得到△DEF， ∴点B与点E，点C与F是对应点， ∴根据平移的性质得，BE＝CF， ∴BE＝CF＝2， ∴平移距离为：2； （2）∵S四边形ABEG+S△GEC＝S△GEC+S四边形DGCF， ∴S四边形AGEG＝S四边形DGCF＝S阴影， ∵AB＝DE＝4，DG＝1， ∴EG＝DE﹣DG＝4﹣1＝3，且BE＝2，且∠B＝90°， ∴四边形ABEG是梯形， ∴， ∴阴影部分的面积为：7． 【点评】本题主要考查图形平移的性质，不规则图形面积的计算方法，掌握平移的性质，图形面积的转换是解题的关键． 22．已知AB∥CD，PM⊥PN，PM交AB于点E，PN交CD于点F． （1）如图1，当点P在直线AB与CD之间时，求证：∠PFD+∠AEM＝90°； （2）如图2，当点P在直线AB的上方时，PN交AB于点G； ①求∠PFD﹣∠AEM的度数； ②设MN与CD交于点O，∠DON＝20°，∠PEB＝15°，请补全图形，并求∠MNP的度数． 【分析】（1）作PH∥AB，有AB∥CD，根据平行线的性质解答即可； （2）①根据平行线的性质、三角形的外角的性质计算； ②利用①的结论、结合三角形内角和定理计算即可． 【解答】（1）证明：过点P作PH∥AB，如图所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥PH∥CD， ∴∠PFD＝∠NPH，∠AEM＝∠HPM， ∵PM⊥PN， ∴∠MPN＝90°， ∵∠MPN＝∠NPH+∠HPM＝90°， ∴∠PFD+∠AEM＝90°． （2）解：①∵AB∥CD， ∴∠PFD＝∠PGB， ∵∠PGB﹣∠PEB＝∠MPN＝90°，∠PEB＝∠AEM， ∴∠PFD﹣∠AEM＝90°； ②由①得，∠PFD＝90°+∠PEB＝90°+15°＝105°， ∴∠NFO＝∠PFD＝105°， ∴∠N＝180°﹣∠NFO﹣∠DON＝180°﹣105°﹣20°＝55°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理的应用、三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握三角形内角和定理、正确作出辅助线是解题的关键． 23．综合与实践 问题提出 如图1，已知AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的两点．点P在AB、CD之间．探究∠BMP、∠PND与∠MPN之间的数量关系． 初步感知 （1）求证：∠BMP+∠PND＝∠MPN． 延伸应用 （2）如图2，NQ平分∠PNC，且与PM的延长线交于点Q． ①若∠MPN的补角是其余角的4倍，∠BMP＝28°，求∠NQP的度数； ②如图3，NT平分∠QNC，MT平分∠AMP，PM∥TN，若∠BMP＝∠PND+15°，求∠MTN的度数． 【分析】（1）如图：过点P作PH∥AB，根据平行线的性质可得∠NPH＝∠PND、∠MPH＝∠BMP，然后根据等量代换即可证明结论； （2）①设∠MPN＝α，则有180°﹣a＝4（90°﹣a），解得：a＝60°；结合已知条件可得∠PND＝32°，然后根据三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解答；②∠PND＝β，则∠BMP＝β+15°，进而求得∠P＝2β+15°，再根据三角形内角和定理可得，由平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解答． 【解答】解：（1）如图：过点P作PH∥AB， ∵CD∥AB， ∴PH∥CD， ∴PH∥BA， ∴∠MPH＝∠BMP （两直线平行，内错角相等） ∵PH∥CD， ∴∠NPH＝∠PND， 又∵∠MPN＝∠MPH+∠NPH， ∴∠BMP+∠PND＝∠MPN． （2）①设∠MPN＝α，则有180°﹣a＝4（90°﹣a）， 解得：a＝60° 由（1）知：∠BMP+∠PND＝∠MPN，即60°＝28°+∠PND，即∠PND＝32°， ∴∠PNC＝180°﹣∠PND＝148°， ∴， 在△QNP中，∠NQP＝180°﹣∠QNP﹣ZQPN＝46°； ②设∠PND＝β，则∠BMP＝β+15°， ∴∠P＝β+β+15°＝2β+15°， 又∵∠CNP＝180°﹣∠PND＝180°﹣β ∴， 又∵QP∥TN， ∴， 在△QNP中，∠P+∠QNP+∠NQP＝180°，即，解得：β＝24°， ∴∠QMA＝∠BMP＝β+15°＝39° （对顶角相等） 又∵∠AMP＝180°﹣∠BMP＝141°， ∴ 则由角的和差知：∠QMT＝∠QMA+∠AMT＝109.5°， 又∵QP∥TN， ∴∠MTN＝∠QMT＝109.5°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$