第8章 专题4 第4课时 定值问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第四课时　定值问题 [对应学生用书P216] 圆锥曲线中的定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题，也是高考重要的考点和热点之一．其求解步骤一般为 一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等； 二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量(或者有多个变量，但是能整体约分也可以)； 三定值：化简式子得到定值．由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值． 【例】 已知斜率为1的直线交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于A，B两点，且弦AB中点的纵坐标为2. (1)求抛物线C的标准方程； (2)记点P(1，2)，过点P作两条直线PM，PN分别交抛物线C于M，N(M，N不同于点P)两点，且∠MPN的平分线与y轴垂直，求证：直线MN的斜率为定值． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等学科素养 思路 点拨 (1)设出A，B坐标，由斜率为1求出p值，进而得到抛物线方程； (2)设出直线MN的方程并与抛物线方程联立；利用“∠MPN的平分线与y轴垂直”得斜率之和为0建立方程，结合根与系数的关系代入求m的值，进而得定值． (1)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， AB的中点坐标为(x0，y0)，则有y＝2px1，y＝2px2， 两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)， ∴kAB＝＝＝＝1， 所以p＝2，故抛物线方程为y2＝4x. (2)证明：设直线MN的方程为x＝my＋n(由题意知直线MN的斜率一定不为0)， M(x3，y3)，N(x4，y4)， 联立方程得y2－4my－4n＝0， 由Δ＝16m2＋16n＞0得m2＋n＞0. 且y3＋y4＝4m，y3y4＝－4n. 由题意知kPM＋kPN＝0， 即＋＝0，(*) 将y＝4x3，y＝4x4代入(*)并化简得 y3y4(y3＋y4)－(y＋y)－(y3＋y4)＋4＝0， 由根与系数的关系得mn＋n＋2m2＋m－1＝0， 即(m＋1)(n＋2m－1)＝0，当m＝－1时该等式恒成立， 所以直线MN的斜率为＝－1． 【练1】 如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，点A，B，C为椭圆上的三个点，A为椭圆的右端点，BC过中心O，且|BC|＝2|AB|，S△ABC＝3. (1)求椭圆的标准方程； (2)设P，Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点(异于A，C)，且满足∠PBC＝∠QBA，试讨论直线BP与直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值． (1)解：由题意得a＝2， ∵|BC|＝2|AB|， ∴S△OAB＝S△ABC＝， 又△AOB是等腰三角形，所以B(1，)， 把B点代入椭圆方程＋＝1，求得b2＝3， 所以椭圆方程为＋＝1． (2)证明：由题易得直线BP，BQ斜率均存在，分别为kBP，kBQ， 又∠PBC＝∠QBA，所以kBP＝－kBQ， 设直线BP：y－＝k(x－1)，将其代入椭圆方程＋＝1， 化简得(3＋4k2)x2－8k(k－)x＋4k2－12k－3＝0， x1＝1，x2＝xP＝， 可求yP＝＋， 将－k代入得xQ＝，yQ＝＋， ∴kPQ＝＝，故直线PQ的斜率为定值． 【练2】 (2023·山东日照一模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，P为椭圆上一动点，△PF1F2面积的最大值为2. (1)求椭圆E的方程； (2)若C，D分别是椭圆E长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM交椭圆于点N，O为坐标原点．证明：·为定值； (3)平面内到两定点距离之比是常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆．椭圆E的短轴上端点为A，点Q在圆x2＋y2＝8上，求2＋－的最小值． (1)解：当P为短轴端点时，△PF1F2的面积最大，bc＝2，由题意得解得a＝2，b＝c＝， 故椭圆E的方程为＋＝1． (2)证明：由(1)知，C，D(2，0)， 由题意可设直线CM：y＝k(k≠0)，N(x1，y1)， ∵MD⊥CD，∴M(2，4k)， 联立整理得x2＋8k2x＋8k2－4＝0，由－2x1＝得x1＝，y1＝k(x1＋2)＝， ∴N(，)，·＝2×＋4k×＝4， 故·为定值4. (3)解：由题意A， 设R(0，m)，Q，连接QR，使2＝， ＝2，＝4，整理得 x2＋y2＋y＝， 又点Q在圆x2＋y2＝8上，∴ 解得m＝4，R. 由椭圆定义得＝4－，∴2＋－＝＋－(4－)＝＋＋－4， 当R，P，F1三点共线时，上式取得最小值|PF1|－4. 由R，F1(－，0)， ∴2＋－有最小值－4. 学科网（北京）股份有限公司 $$