第8章 专题4 第1课时 最值问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

专题四　高考中的解析几何问题 第一课时　最值问题 [对应学生用书P212] 圆锥曲线中的最值问题是高考的热点和难点，主要涉及两个类型：一是以圆锥曲线定义与几何性质为背景的求最值问题；二是以直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求最值问题． 【例1】 (2023·山东临沂模拟)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为 ． 答案：　解析：双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为. 【例2】 (2022·安徽北大培文蚌埠实验学校高三开学考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过左焦点和上顶点的直线l与圆(x－)2＋y2＝3相切． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线m：y＝kx＋n(k>0，n>0)与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB，AB的斜率之和为0.求三角形OAB面积的最大值． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算等学科素养 思路 点拨 (1)利用等腰梯形的高、面积与a，b，c的关系，确定椭圆方程； (2)设直线方程为x＝my－1，联立方程并消元，由根与系数的关系表示出三角形面积，通过换元将问题转化，利用基本不等式求函数的最值 解：(1)设椭圆的半焦距为c，则＝，① 直线l：y＝x＋b，则＝， 即＝，② 又a2＝b2＋c2，③ 由①②③解得a2＝4，b2＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立整理得(1＋4k2)x2＋8knx＋4n2－4＝0， 所以Δ＝64k2n2－4(1＋4k2)(4n2－4)>0，得k2>， x1＋x2＝－，x1x2＝， 设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k＋k2＝0， 即＋k＋＝＋＋k＝3k＋＝＝0， 所以n2＝3， 又n>0，所以n＝， 所以k2>＝ |AB|＝·|x2－x1|＝·＝ 原点O到直线l的距离d＝＝， 所以S△OAB＝|AB|·d＝＝≤＝1， 当且仅当＝时，即k2＝时等号成立，所以△OAB面积的最大值为1． 【练1】 已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值． 解：(1)由题意，得抛物线C：x2＝2py的焦点F(0，)， 圆M：x2＋(y＋4)2＝1的圆心M(0，－4)，半径是1． 由点F与圆M上的点的距离的最小值为4，得＋4－1＝4，解得p＝2. (2)设A(x1，)，B(x2，)，P(x0，y0). 由y＝，得y′＝， 所以直线PA：y－＝(x－x1)，　① 直线PB：y－＝(x－x2)，　② 且kAB＝＝， 则直线AB：y－＝(x－x1)， 即4y＝(x1＋x2)x－x1x2. 将点P的坐标分别代入①②， 解得x0＝，y0＝， 则直线AB：2y＝x0x－2y0. 所以|AB|＝＝ . 易知点P到直线AB的距离d＝， 所以S△PAB＝d|AB|＝|x－4y0|＝ (x－4y0)＝(－y－12y0－15). 因为y0∈[－5，－3]，所以当y0＝－5时，S△PAB最大，最大值为20. 【练2】 (2022·辽宁大东模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，离心率e＝，M为椭圆C上动点，直线A1M交y轴正半轴于点A，直线A2M交y轴正半轴于点B(当M为椭圆短轴上端点时，A，B，M重合). (1)求椭圆C的方程； (2)若＝3，求直线MA的方程； (3)设直线MA2，AA2的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的最大值． 解：(1)因为椭圆的离心率为e＝，故＝， 即＝，故a2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1． (2)设M，因为直线A1M交y轴正半轴于点A，则x0≠±2，y0>0， 又AM的方程为y＝， 故A， BM的方程为y＝， 故B， 因为＝3，故＝－3×，所以x0＝－1，所以y0＝， 故AM的方程为y＝＝x＋， 即y＝x＋. (3)由(2)可得k1＝， 而k2＝＝－， 故k1＋k2＝－＝＝－＝－， 因为0<y0≤，故－≤－，故k1＋k2的最大值为－. 学科网（北京）股份有限公司 $$