第8章 第7节 抛物线（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第七节　抛物线 课标解读 1．了解抛物线的定义、几何图形、标准方程，以及它们的简单几何性质． 2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想． 3．了解抛物线的简单应用． [对应学生用书P208] 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合或(轨迹)叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线． 若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过点F且与l垂直的直线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 (，0) (－，0) (0，) (0，－) 对称 轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心 率 e＝1 (1)焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2. (2)焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为. 1．判断正误 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　×　　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－.(　　×　　) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(　　×　　) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　　√　　) 2．抛物线y＝－x2的焦点坐标是(　　) A．(0，－1) B．(0，1) C．(1，0) D．(－1，0) A　解析：抛物线y＝－x2的标准方程为x2＝－4y，开口向下，焦点在y轴上，p＝2，＝1，故焦点为(0，－1). 3．(2024·河南师大附中月考)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 B　解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．根据题意可得， |PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 4．抛物线y2＝4x上一点M与焦点间的距离是3，则点M到准线的距离是 ，点M的横坐标是 ． 答案：3　2 5．(2023·武汉一中月考)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是 ． 答案：y2＝±4x　解析：由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0). 设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝， 所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x. 6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 ． 答案：[－1，1] [对应学生用书P209] 【例1】 (1)(2023·河北保定模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为(　　) A．3 B． C．5 D． (2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为 ． 答案：(1)B　(2)4　解析：(1)由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)， 根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|， |NF|＝|NN′|， 所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|， 所以线段MN的中点到准线的距离为 (|MF|＋|NF|)＝，所以线段MN的中点到y轴的距离为－1＝. (2)因为22<4×3，所以点B(3，2)在抛物线y2＝4x的内部，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，根据抛物线的定义可得|P1Q|＝|P1F|，又P是抛物线y2＝4x上的一个动点，所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，当且仅当点P与点P1重合时，|PB|＋|PF|取得最小值，即|PB|＋|PF|的最小值为4. 【变式】 若将本例(2)中的B点坐标改为(3，4)，则|PB|＋|PF|的最小值为 ． 答案：2　解析：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离， 所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝＝2， 即|PB|＋|PF|的最小值为2. 【练1】 已知点A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 C　解析：设焦点为F，点A的坐标为(x0，y0)， 由抛物线定义得|AF|＝x0＋， 因为点A到y轴的距离为9， 所以x0＝9，所以9＋＝12，所以p＝6. 【例2】 (1)(2023·四川成都模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，将直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”．设点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，直线AF交准线l于点C，若Rt△ABC的“勾”|AB|＝3，“股”|CB|＝3，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝3x C．y2＝4x D．y2＝6x (2)已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2＝，则|FN|＝(　　) A． B． C． D．1 (1)B　(2)A　解析：(1)如图， |AB|＝3，|BC|＝3， 则|AC|＝＝6， 设直线l与x轴交于点H， 由|AB|＝|AF|＝3，|AC|＝6，可知点F为AC的中点，所以|FH|＝|AB|＝，又|FH|＝p，所以p＝，所以抛物线的方程为y2＝3x. (2)(方法一)　因为F是抛物线C：y＝2x2的焦点， 所以F(0，)，抛物线C的准线方程为y＝－. 如图所示，过点M作抛物线的准线的垂线，交x轴于点A，交准线于点B， 则MA∥OF，所以＝. 因为2＝，所以|MA|＝×＝， |MF|＝|MB|＝＋＝，|FN|＝3|FM|＝. (方法二)　因为F是抛物线y＝2x2的焦点， 所以F(0，).设N(x0，0)， 则由2＝，可得M(x0，)， 代入抛物线方程，得＝2×(x0)2，解得x＝， 则|FN|＝＝＝(O为坐标原点). 【练2】 (2022·全国乙卷) 设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若＝，则＝(　　) A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 B　解析：由题意得F，则＝＝2， 即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1，不妨设点A在x轴上方，代入得，A，所以＝＝2. 【练3】 设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　) A．(0，2) B．[0，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) C　解析：由抛物线C：x2＝8y知p＝4，所以焦点F(0，2)，准线方程y＝－2.由抛物线的定义，|MF|＝y0＋2.因为以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，且圆心F(0，2)到准线y＝－2的距离为4.所以4＜y0＋2，从而y0＞2. 【练4】 (2023·江苏南通模拟)抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是(　　) A．4 B．3 C．4 D．8 C　解析：由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|， ∵直线AF的斜率为， ∴直线AF的倾斜角为30°， ∵AH垂直于准线，∴∠FAH＝ 60°，故△AHF为等边三角形．设A，m＞0，由|AF|＝|AH|，得－1＝·，解得m＝2，故等边△AHF的边长|AH|＝4，∴△AHF的面积是×4×4sin 60°＝4.故选C. 考向1　直线与抛物线的位置关系 【例3】 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax(a≠0)恰有一个公共点，求实数a的值． 解：联立方程 ∵a≠0，消去x，得y2－y－1＝0. ①若a＝－1，方程组恰有一解 ②若a≠－1，令Δ＝0，得1＋＝0，解得a＝－， 这时直线与曲线相切，只有一个公共点． 综上所述，a＝－1或a＝－. 【练5】 已知抛物线C：x2＝2py(p≠0)，直线l：y＝－，M是l上任意一点，过M作C的两条切线l1，l2，其斜率为k1，k2，则k1·k2＝ ． 答案：－1　解析：设切线斜率为k，M(x0，－)， 则切线方程为y＋＝k(x－x0)， 代入x2＝2py中得x2－2pkx＋2pkx0＋p2＝0.由Δ＝0， 得k2p2－2px0·k－p2＝0. k1，k2是以上方程的两个根，所以k1·k2＝－1． 考向2　弦长问题 【例4】 已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0，1).设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N. (1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值； (2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等核心素养 思路 点拨 (1)设出直线AB的方程→与抛物线方程联立→根与系数→求导→斜率之积为－1得解； (2)设切线方程→求出切线AN，BN方程→表示N点坐标→表示|AB|→表示△ABN面积→求最值得解 解：(1)由题意知直线AB的斜率一定存在，故设直线AB的方程为y＝kx＋1， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将AB的方程代入抛物线C， 得x2－2pkx－2p＝0.显然方程有两个不等实根， 则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p. 由x2＝2py，得y′＝，则A，B处的切线斜率乘积为＝－＝－1，解得p＝2. (2)设切线AN的方程为y＝x＋b， 又切点A在抛物线y＝上， 所以y1＝，所以b＝－＝－， 则切线AN的方程为yAN＝x－. 同理切线BN的方程为yBN＝x－. 又因为N在切线AN和BN上， 所以解得N(，)， 所以N(pk，－1). |AB|＝|x2－x1|＝， 点N到直线AB的距离d＝＝， 所以S△ABN＝·|AB|·d＝≥2， 所以2＝4，所以p＝2， 故抛物线C的方程为x2＝4y. 【练6】 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若＝3，求|AB|. 解：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)由题设得F(，0)， 故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋， 由题设可得x1＋x2＝. 由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0， 则x1＋x2＝－. 从而－＝，得t＝－， 所以l的方程为y＝x－. (2)由＝3可得y1＝－3y2， 由可得y2－2y＋2t＝0. 所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3. 将y1，y2代入C的方程得x1＝3，x2＝.则A(3，3)，B(，－1)，故|AB|＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$