精品解析：云南省红河州弥勒市第一中学2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题

弥勒一中2023-2024学年下学期高二期中检测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用集合的并、补运算求集合即可. 【详解】由题设， 所以. 故选：D 2. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用投影向量的公式，即可求得本题答案. 【详解】因为，，所以， 所以， 因为与方向相同的单位向量为， 所以在上的投影向量为． 故选：C 3. 随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.1 0.3 则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质求出的值，然后由概率的分布列求解概率即可． 【详解】解：由分布列的性质可得，，可得， 所以． 故选：C． 4. 名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生，则不同的分配方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次分配第一、二、三组，结合平均分组法可得出不同的分配方法种数. 【详解】名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生 则不同的分配方法种数为种. 故选：B. 5. 在等差数列中，m，n，p，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分充分性和必要性分别判断： 充分性：取进行否定； 必要性：直接利用等差数列的性质即可. 【详解】在等差数列中，若，则成立，故必要性满足； 下面讨论充分性：取，若，则不一定成立，故充分性不满足，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】判断充要条件的四种方法： （1）定义法；（2）传递性法；（3）集合法；（4）等价命题法. 6. 设函数满足，当0≤x<1时，，则（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先证明函数的周期为2，再化简，再利用函数的周期和已知化简得解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以函数的周期为2. 因为， 所以. 故选：A． 7. 设是同一个球面上四点，球的表面积为，是边长为6的等边三角形，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出外接圆的半径，求出球的半径，即可求得球心到平面的距离，则可确定点到平面的最大距离，即可根据三棱锥体积公式求得答案. 【详解】已知的边长，此时外接圆的半径为， 设球的半径为R，则， 故球心到平面的距离为， 故点到平面的最大距离为， 此时， 故选：B． 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的左支上，，的周长为，则C的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据综合条件，结合双曲线定义，利用余弦定理计算即得. 【详解】令双曲线的焦距为，依题意，，解得， 在中，，由余弦定理得， 整理得，所以双曲线C的离心率为. 故选：C 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知，关于该函数有下面四个说法，正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 当时，的取值范围为 D. 的图象可由图象向左平移个单位长度得到 【答案】BC 【解析】 【分析】先由二倍角公式化简函数，然后利用周期公式求解周期判断A，由正弦函数单调性判断B，利用换元法结合正弦函数性质求解值域判断C，根据正弦函数图象平移法则结合诱导公式判断D. 【详解】因为， 对于A，的最小正周期为，故A错误； 对于B，由，结合正弦函数的性质知在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，，所以，所以的取值范围为，故C正确； 对于D，图象向左平移个单位长度得到，故D错误. 故选：BC 10. 欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数，为虚数单位依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ） A. 复数为纯虚数 B. 复数对应的点位于第二象限 C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的公式，结合复数的相关概念逐项分析判断即得. 【详解】对于A，，则为纯虚数，A正确； 对于B，，而，即，则复数对应的点位于第二象限，B正确； 对于C，，复数的共轭复数为，C错误； 对于D，， 复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为的半圆，D正确． 故选：ABD 11. 已知直线经过抛物线的焦点F，且l与C相交于A，B两点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 以为直径的圆和抛物线C的准线相切 【答案】BC 【解析】 【分析】求出点的坐标即可判断A；联立方程，利用韦达定理求出，进而可判断BC；结合抛物线的定义即可判断D. 【详解】依题意可知，所以，解得，A错； 由消去y可得， 所以， ，B对； ，C对； 以为直径的圆的圆心横坐标为，而半径， 故该圆圆心到y轴的距离恰好等于半径，所以该圆与y轴相切，与准线相离，D错. 故选：BC． 12. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”，事件“任取一零件为次品”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率的乘法公式及条件概率公式分别求出各个选项的值即可判断各个选项的正误. 【详解】解：根据题意，故C正确； ， 故A正确； 所以， 则，故B错误； ，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项： 第Ⅱ卷用，黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 过点且在轴上的截距为3的直线方程是_________．（请写出一般式方程） 【答案】. 【解析】 【分析】利用待定系数法即可求解. 【详解】依题意，直线的斜率存在，设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线方程为，即. 故答案为：. 14. 已知为锐角且满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式以及三角函数的倍角公式进行转化求解即可. 【详解】解：由，得 ， 则， 是锐角，. 故答案为：. 15. 已知函数在点处的切线经过点，则的最小值为___________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据导函数几何意义求出切线方程，得到，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】，则切点为，又，切线斜率为， 切线方程为，又点在切线上，， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：6. 16. 若数列满足，则称该数列为斐波那契数列.如图1所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据递推公式可得，结合累加法计算得即可判断. 【详解】因为斐波那契数列总满足，且， 所以， ， ， 类似的有，其中， 累加得，又， 所以， 故：. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是理解斐波那契数列的特点，由递推关系得，利用累加法可得，即可判断. 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 （1）求角C的大小； （2）已知，的面积为，求边长c的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意根据正弦定理可得，即可求得； （2）由三角形面积公式及，利用余弦定理即可求得. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得 因为，所以 从而，又 所以，又， 可得 【小问2详解】 在中，由面积公式可得， 解得； 由余弦定理得： 所以. 18. 设正项数列的前项和为，，，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，且数列的前项和，求的值. 【答案】（1） （2）99 【解析】 【分析】（1）由等式，得到，证明了数列是等比数列，求出公比，写出数列的通项公式即可； （2）首先将数列的通项公式代入，求出数列的通项公式，裂项相消法求其前项和即可. 【小问1详解】 由， 及，得，则， 故正项数列为等比数列， 由于，，则， 则或（舍去） 故公比， 所以； 【小问2详解】 由（1）得：， 所以， 又，得，解得. 19. 如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点 （1）证明：平面； （2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示， 为中点，则，又，得， 由，，得， 所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，通过证明，得证平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，易知，又，得. 由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有. 如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则有，， ， 设平面的一个法向量为，则， 令，有，得， ， 设点到平面的距离为， . 20. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，使用按男女学生人数比例分配的分层抽样方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数； （2）试估计测评成绩的第三四分位数； （3）已知样本中男生与女生的比例是3：1，男生样本的均值为69，方差为180，女生样本的均值为73，方差为200，求总样本的方差. 【答案】（1）20人 （2）78.75 （3）188 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可计算超过50分的人数，结合题意可估计总体； （2）直接利用频率分布直方图计算75%分位数即可； （3）根据分层抽样的方差公式计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，分数在的频率为， 在样本中分数在的人数为（人）， 又在样本中分数在在的学生有5人， 所以样本中低于40分的人数有人， 故总体中分数小于40的人数为人； 【小问2详解】 测试成绩从低到高排序，样本中分数在的频率为， 样本中分数在的频率为，则75%分位数在之间， 所以估计测评成绩的75%分位数为； 【小问3详解】 由题意可知总样本的均值为：， 所以总样本的方差为. 21. 设函数. （1）当时，求的极值； （2）若在上为减函数，求a的取值范围. 【答案】（1）极小值为，的极大值为； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性进而求得极值； （2）先将问题转化为在恒成立，分离参数后转化为在恒成立，求出函数最大值即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为，， 当时，；当或时，； 所以在和上为减函数，在上为增函数， 故的极小值为，的极大值为. 【小问2详解】 由已知得在恒成立，即在恒成立，分离参数得在恒成立， 令，则，且，所以在单调递减，故，所以， 故a的取值范围为. 22. 已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点. （1）求的方程； （2）记为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设及椭圆性质、参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程； （2）设，直线，联立椭圆，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式写出面积关于k的表达式，进而求其最大值. 【小问1详解】 由题意得，，解得，故的方程为. 【小问2详解】 设，直线， 联立，整理得：. 由得，且， ， 点到直线的距离， ， 令，故，故， 当且仅当，即时等号成立， 故面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 弥勒一中2023-2024学年下学期高二期中检测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.1 0.3 则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 4. 名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生，则不同的分配方法种数为（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中，m，n，p，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设函数满足，当0≤x<1时，，则（ ） A. -2 B. C. D. 2 7. 设是同一个球面上四点，球的表面积为，是边长为6的等边三角形，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的左支上，，的周长为，则C的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知，关于该函数有下面四个说法，正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 当时，的取值范围为 D. 的图象可由图象向左平移个单位长度得到 10. 欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数，为虚数单位依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ） A. 复数为纯虚数 B. 复数对应的点位于第二象限 C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆 11. 已知直线经过抛物线的焦点F，且l与C相交于A，B两点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 以为直径的圆和抛物线C的准线相切 12. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”，事件“任取一零件为次品”，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项： 第Ⅱ卷用，黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 过点且在轴上的截距为3的直线方程是_________．（请写出一般式方程） 14. 已知为锐角且满足，则______. 15. 已知函数在点处的切线经过点，则的最小值为___________. 16. 若数列满足，则称该数列为斐波那契数列.如图1所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为，则__________. 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 （1）求角C的大小； （2）已知，的面积为，求边长c的值. 18. 设正项数列的前项和为，，，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，且数列的前项和，求的值. 19. 如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点 （1）证明：平面； （2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 20. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，使用按男女学生人数比例分配的分层抽样方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数； （2）试估计测评成绩的第三四分位数； （3）已知样本中男生与女生的比例是3：1，男生样本的均值为69，方差为180，女生样本的均值为73，方差为200，求总样本的方差. 21. 设函数. （1）当时，求的极值； （2）若在上为减函数，求a的取值范围. 22. 已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点. （1）求的方程； （2）记为坐标原点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $