统计概率---全国新高考地区2024届高三数学二模试题选择填空题分类汇编

2024届高三数学试题分类汇编 统计概率 【题型目录】 题型一：统计概率中的中位数，百分位数，均值计算问题 题型二：统计案例检验、线性回归方程，相关系数有关问题 题型三：随机事件概率的性质与计算 题型四：条件概率、全概率公式的计算及应用 题型五：离散型随机变量分布列，期望及方差 题型六：超几何分布、二项分布、正态分布有关问题 【题型分类汇编】： 题型一：统计概率中的中位数，百分位数，均值计算问题 1. （2024届辽宁省辽宁省高三重点高中协作校联考）下表为某地春节假期某日游客抽取的100人样本的出行方式统计数据 出行方式 高铁 自驾 飞机 客车 频数 27 16 28 29 某实验点从这批游客中抽取25人，当中选择飞机出行的人数大约为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 2. （湖南省2024届新高考教学教研联盟高三第二次联考）某10人的射击小组，在一次射击训练中射击成绩数据如下表，则这组数据的中位数为（ ） 成绩（单位：环） 6 7 8 9 10 人数 1 2 2 4 1 A. 2 B. 8 C. 8.2 D. 8.5 3.（河北省沧衡名校联盟高三年级模拟考试）已知8名同学参加体能综合测试的成绩分别为，从这8名同学中选出3名同学，则这3名同学中最高的体能综合测试成绩恰好是这8名同学体能综合测试成绩的第70百分位数的概率为（ ） A. B. C. D. 4．（广东省实验中学2024届高三新改革二轮复习提高卷）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5. （江西省赣州市2023-2024学年高三下学期5月适应性考试）已知甲、乙两组数据分别为：22，21，24，23，25，20和25，22，a，26，23，24.若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大2，则（ ） A. 甲、乙两组数据的极差不同 B. 乙组数据的中位数为24 C. 甲、乙两组数据的方差相同 D. 甲组数据的第一四分位数为21.5 6. （2024年邵阳市高三第二次联考）一组数据：的第30百分位数为（ ） A. 30 B. 31 C. 25 D. 20 7. （2024年大连市高三第一次模拟）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A. x1，x2，…，xn的平均数 B. x1，x2，…，xn的标准差 C. x1，x2，…，xn的最大值 D. x1，x2，…，xn的中位数 8．（浙江省精诚联盟2024届高三下学期适应性联考）已知a，，有一组样本数据为，3，，，8，10，，12，13，若在这组数据中再插入一个数8，则（ ） A．平均数不变 B．中位数不变 C．方差不变 D．极差不变 9. （河南省安阳市2024届高三第三次模拟）已知甲乙两人进行射击训练，两人各试射次，具体命中环数如下表（最高环数为环），从甲试射命中的环数中任取个，设事件表示“至多个超过平均环数”，事件表示“恰有个超过平均环数”，则下列说法正确的是（ ） 人员 甲 乙 命中环数 A. 甲试射命中环数的平均数小于乙试射命中环数的平均数 B. 甲试射命中环数的方差大于乙试射命中环数的方差 C. 乙试射命中环数的的分位数是 D. 事件，互为对立事件 10.（安徽省A10联盟2024届高三4月质量检测考试）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ） A.平均数为9.6 B.众数为1030 C.第80百分位数为9.8 D.方差为 11．（2024届辽宁省抚顺市六校协作体高三下学期第三次模拟）2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI），如下图所示： 下列说法正确的是（ ） A．从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的第75百分位数为51.9% B．从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的极差为3.8% C．从2022年7月到2023年7月，制造业采购经理指数（PMI）呈下降趋势 D．PMI大于50%，表示经济处于扩张活跃的状态，PMI小于50%，表示经济处于低迷萎缩的状态，则2023年1月到2023年3月，经济处于扩张活跃的状态 12.（湖南师范大学附属中学2024届高三下学期模拟）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（ ） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量､平均数和方差分别为：；.记样本平均数为.样本方差为. A. B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 13. （河南省部分重点高中2023-2024学年高三下学期5月百师联盟大联考）从某果树上随机摘下11个水果，其直径为（单位：，则这组数据的第六十百分位数为__________. 题型二：统计案例检验、线性回归方程，相关系数有关问题 1.（2024届明日之星高考数学精英模拟卷）下表是关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）的统计表： x 2 3 4 5 6 y 3.4 4.2 5.1 5.5 6.8 由上表数据求得线性回归方程，若规定：维修费用y不超过10万元，一旦大于10万元时，该设备必须报废.据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 2. （湖南省2024届高三九校联盟第二次联考）对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ） A. 平均数 B. 相关系数 C. 决定系数 D. 方差 3. （鞍山市普通高中2023—2024学年度高三第二次质量监测）校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查．其中被调查的男女生人数相同．男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数．若有的把握认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（ ）人． 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，． A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 4.（2024年江西省南昌市高考数学二模）为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格： 甲校样本 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 女性 合计 乙校样本 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 女性 合计 则下列判断中正确的是(    ) 参考公式及数据： A. 样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例 B. 样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例 C. 根据甲校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关 D. 根据乙校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关 5. （东北三省师大附中2024届高三第三次联合模拟）下列说法正确的是（ ） A. 数据的频率分布直方图的纵坐标为频率 B. 已知样本数据的平均数为，则数据与原数据的极差､平均数都相同 C. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则A组数据比组数据的线性相关性强 D. 已知关于的回归直线方程为，则样本点的残差为-1.9 6. （湖南省衡阳市名校联考联合体2024届高三高考考前仿真联考）中国雪乡哈尔滨的看雪最佳时间在11月中旬到次年的2月上旬，某旅游公司设计了一款冰雪文创产品.试营销以来，这款冰雪文创产品定价（单位：元）与销量（单位：万件）的数据如下表所示： 产品定价（单位：元） 9 9.5 10 10.5 11 销量（单位：万件） 11 10 8 6 5 则下列结论正确的是（ ） 参考公式：. 参考数据：，，，. A. 产品定价的平均值是10元 B. 产品定价与销量存在正相关关系 C. 产品定价与销量满足一元线性回归模型 D. 产品定价与销量的相关系数 题型三：随机事件概率的性质与计算 1. （湖南省衡阳市名校联考联合体2024届高三高考考前仿真联考）将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排，2本语文书不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 2. （黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期三模联考）某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为0.7，第二次面试通过的概率为0.5．若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（ ） A. 0.85 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.4 3. （2024年辽宁省教研联盟高三调研测试）有甲、乙、丙、丁四名同学参加亚运会志愿者服务工作，现需将四人随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（ ） A. B. C. D. 4. （湖南省益阳市2024届高三4月教学质量检测）2023年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小Y哥直播间，邀请某“网红”来现场带货．在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，出现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒1瓶．假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，并且每个人都等可能地出生在一年（365天）中任何一天（2023年共365天），在远小于365时，近似地，，其中．如果要保证直播间至少两个人的生日在同一天的概率不小于，那么来到直播间的人数最少应该为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 5.（广东省佛山市2024届高三下学期教学质量检测） 在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（ ） A. B. C. D. 若，则B与C互斥 6.（2024年江西省南昌市高考数学二模）一次知识竞赛中，共有，，，，个题，参赛人每次从中抽出一个题回答抽后不放回已知参赛人甲题答对的概率为，题答对的概率为，，，题答对的概率均为，则甲前个题全答对的概率为______． 7. （江西省上饶市2024届第二次高考模拟考试）将一枚质地均匀的骰子连续拋掷6次，得到的点数分别为，则这6个点数的中位数为3的概率为______． 8. （2024年辽宁省教研联盟高三调研测试）某运动员在亚运会田径比赛中准备参加100米、200米两项比赛，根据以往成绩分析，该运动员100米比赛未能获得奖牌的概率为，200米比赛未能获得奖牌的概率为，两项比赛都未能获得奖牌的概率为，若该运动员在100米比赛中获得了奖牌，则他在200米比赛中也获得奖牌的概率为_______________. 9.（江西省上饶市稳派上进六校联考）如图是飞行棋部分棋盘，飞机的初始位置为0号格，抛掷一枚质地均匀的骰子，若抛出的点数为1，2，飞机向前移一格；若抛出的点数为3，4， 5，6，飞机向前移两格．直到飞机移到第（且）格（失败集中营）或第格（胜利大本营）时，游戏结束．则飞机移到第3格的概率为______，游戏胜利的概率为______．（第一空2分，第二空3分） 0 1 2 3 4 5 … 题型四：条件概率、全概率公式的计算及应用 1. （2024届辽宁省辽宁省高三重点高中协作校联考）某同学笔袋里有10支笔，其中8支黑色，2支红色.被甲同学借走2支.已知甲借走的有一支是红色，则另一支也是红色的概率为（ ） A B. C. D. 2. （鞍山市普通高中2023—2024学年度高三第二次质量监测）在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ） A. B. C. D. 3. （河南省部分重点高中2023-2024学年高三下学期5月百师联盟大联考）现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小 4. （湖南省2024届高三“一起考”大联考）玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ） A. B. C D. 5. （2023~2024学年佛山市普通高中教学质量检测）在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（ ） A. B. C. D. 若，则B与C互斥 6.（湖南省长沙市雅礼中学2024届高三4月综合测试）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为__________；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为__________. 题型五：离散型随机变量分布列，期望及方差 1.（2024届河北省名校联盟高三下学期4月第二次联考） 有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望（ ） A. B. C. D. 题型六：超几何分布、二项分布、正态分布有关问题 1. （2024届山东省德州市高考二模数学试题）若随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 2.（河北省沧衡名校联盟高三年级模拟考试）在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数的图象拟合，且，若参加本次考试的学生共有10000人，则数学成绩超过120分的人数约为（ ） A.600 B.800 C.1200 D.1400 3. （安徽省淮北市2024届高三第二次质量检测）如图所示的钟表中，时针初始指向“12”，每次掷一枚均匀的硬币，若出现正面则时针按顺时针方向旋转，若出现反面则时针按逆时针方向旋转，用表示次后时针指向的数字，则（ ） A. B. C. D. 4. （湖北省十一校2023-2024学年高三下学期第二次联考）若，则下列说法正确的有（    ） A. B. C. D. 5. （广东省佛山市2024届高三下学期教学质量检测）统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：g），某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得出，的最大值是______. 6. （山东省“齐鲁名校联盟”第七次联考）已知随机变量，其中，随机变量的分布列为 0 1 2 表中，则的最大值为________．我们可以用来刻画与的相似程度，则当，且取最大值时，________． 7．（浙江省精诚联盟2024届高三下学期适应性联考）某工厂生产的一批零件的使用寿命X（单位：年）近似服从正态分布．若，则从这批零件中任意取出1件，其寿命低于60的概率是______． 2024届高三数学试题分类汇编 统计概率 【题型目录】 题型一：统计概率中的中位数，百分位数，均值计算问题 题型二：统计案例检验、线性回归方程，相关系数有关问题 题型三：随机事件概率的性质与计算 题型四：条件概率、全概率公式的计算及应用 题型五：离散型随机变量分布列，期望及方差 题型六：超几何分布、二项分布、正态分布有关问题 【题型分类汇编】： 题型一：统计概率中的中位数，百分位数，均值计算问题 1. （2024届辽宁省辽宁省高三重点高中协作校联考）下表为某地春节假期某日游客抽取的100人样本的出行方式统计数据 出行方式 高铁 自驾 飞机 客车 频数 27 16 28 29 某实验点从这批游客中抽取25人，当中选择飞机出行的人数大约为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 【解析】：由题意可知：每人被抽到乘飞机的可能性均为， 所以选择飞机出行的人数大约为.故选：B. 2. （湖南省2024届新高考教学教研联盟高三第二次联考）某10人的射击小组，在一次射击训练中射击成绩数据如下表，则这组数据的中位数为（ ） 成绩（单位：环） 6 7 8 9 10 人数 1 2 2 4 1 A. 2 B. 8 C. 8.2 D. 8.5 【解析】利用中位数的定义即可得解. 【详解】将射击成绩由小到大排列：， 第个数分别为，因而中位数为. 故选：D. 3.（河北省沧衡名校联盟高三年级模拟考试）已知8名同学参加体能综合测试的成绩分别为，从这8名同学中选出3名同学，则这3名同学中最高的体能综合测试成绩恰好是这8名同学体能综合测试成绩的第70百分位数的概率为（ ） A. B. C. D. 【解析】：因为，所以这8名同学体能综合测试成绩的第70百分位数是75，根据古典概型可得，所求概率，故选C. [命题意图]本题考查样本的数字特征和古典概型；考查数学建模能力､运算求解能力；考查逻辑推理､数据分析､数学运算的核心素养. 4．（广东省实验中学2024届高三新改革二轮复习提高卷）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】：众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处. 因为直方图第一、二、三、四列高矩形较多，且在右边拖尾低矩形有三列，所以中位数大于众数， 右边拖尾的有三列，所以平均数大于中位数， 因此有. 故选：C. 5. （江西省赣州市2023-2024学年高三下学期5月适应性考试）已知甲、乙两组数据分别为：22，21，24，23，25，20和25，22，a，26，23，24.若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大2，则（ ） A. 甲、乙两组数据的极差不同 B. 乙组数据的中位数为24 C. 甲、乙两组数据的方差相同 D. 甲组数据的第一四分位数为21.5 【解析】：由乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大2， 设甲、乙两组数据平均数分别为，；方差分别为， 则 ，由， 即， 解得：，所以两组数据极差均为，故A错误； 乙组数据按从小到大排列为：， 则中位数：，故B错误； 对于C，， ， 所以，所以甲、乙两组数据的方差相同，故C正确； 对于D，甲组数据按从小到大排列为： 由，所以第一四分位数为，所以选项D错误； 故选：C. 6. （2024年邵阳市高三第二次联考）一组数据：的第30百分位数为（ ） A. 30 B. 31 C. 25 D. 20 【解析】：将这组数据从小到大排列为， 因为， 所以第30百分位数为第三个数，即为， 故选：C. 7. （2024年大连市高三第一次模拟）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A. x1，x2，…，xn的平均数 B. x1，x2，…，xn的标准差 C. x1，x2，…，xn的最大值 D. x1，x2，…，xn的中位数 【解析】：评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B. 点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平； 中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平； 平均数：反映一组数据的平均水平； 方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定． 标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度 8．（浙江省精诚联盟2024届高三下学期适应性联考）已知a，，有一组样本数据为，3，，，8，10，，12，13，若在这组数据中再插入一个数8，则（ ） A．平均数不变 B．中位数不变 C．方差不变 D．极差不变 【答案】AD 【解析】：对于A选项，原数据的平均数为8，插入一个数8，平均数不变，正确； 对于B选项，取，，原数据的中位数为9，新数据的中位数为8.5，错误； 对于C选项，新数据的方差为，错误； 对于D选项，因为，所以8不是最值，故新数据的极差不变，正确．故选AD． 9. （河南省安阳市2024届高三第三次模拟）已知甲乙两人进行射击训练，两人各试射次，具体命中环数如下表（最高环数为环），从甲试射命中的环数中任取个，设事件表示“至多个超过平均环数”，事件表示“恰有个超过平均环数”，则下列说法正确的是（ ） 人员 甲 乙 命中环数 A. 甲试射命中环数的平均数小于乙试射命中环数的平均数 B. 甲试射命中环数的方差大于乙试射命中环数的方差 C. 乙试射命中环数的的分位数是 D. 事件，互为对立事件 【答案】BCD 【解析】：对于A，甲试射命中环数的平均数为， 乙试射命中环数的平均数为，故A错误； 对于B，甲试射命中环数相比乙试射命中环数，更为分散，则甲对应的方差更大，故B正确； 对于C，乙试射命中环数排序为， 因为，所以分位数为，故C正确； 对于D，因为甲试射命中环数的平均数为， 且甲试射命中的环数中有两个超过平均数的， 则任取个的情况为：“没有个超过平均环数”、“有个超过平均环数”和“有个超过平均环数”， 而事件表示“没有个超过平均环数”或“有个超过平均环数”， 事件事件表示“恰有个超过平均环数”， 所以事件，互为对立事件，D正确. 故选：BCD 10.（安徽省A10联盟2024届高三4月质量检测考试）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ） A.平均数为9.6 B.众数为1030 C.第80百分位数为9.8 D.方差为 【答案】：ABD 【解析】：对于A，平均数，故A正确；对于B，出现次数最多的数为10，故B正确；对于C，7×0.8=5.6，第80百分位数为第6位，即10，故C错误；对于D，方差为 ，故D正确.故选ABD. 11．（2024届辽宁省抚顺市六校协作体高三下学期第三次模拟）2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI），如下图所示： 下列说法正确的是（ ） A．从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的第75百分位数为51.9% B．从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的极差为3.8% C．从2022年7月到2023年7月，制造业采购经理指数（PMI）呈下降趋势 D．PMI大于50%，表示经济处于扩张活跃的状态，PMI小于50%，表示经济处于低迷萎缩的状态，则2023年1月到2023年3月，经济处于扩张活跃的状态 【答案】ABD 【解析】：本题考查统计的知识，考查数据分析的核心素养和应用意识． 由图知，从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）从小到大的顺序为，因为，所以第75百分位数为第6个数，即为，故A正确；从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的最大值为，最小值为，所以极差为，故B正确；由图易知C错误，D正确． 12.（湖南师范大学附属中学2024届高三下学期模拟）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（ ） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量､平均数和方差分别为：；.记样本平均数为.样本方差为. A. B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 【答案】BCD 【解析】：对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1， 则，解得，A错； 对于选项，前两个矩形的面积之和为. 前三个矩形的面积之和为. 设该年级学生成频的中位数为，则， 根据中位数的定义可得，解得， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为对； 对于选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为分，对； 对于D选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为，D对.故选：BCD. 13. （河南省部分重点高中2023-2024学年高三下学期5月百师联盟大联考）从某果树上随机摘下11个水果，其直径为（单位：，则这组数据的第六十百分位数为__________. 【答案】20 【解析】：第六十百分位数的位置为，即取第7位数20， 故第六十百分位数为20.故答案为：20. 题型二：统计案例检验、线性回归方程，相关系数有关问题 1.（2024届明日之星高考数学精英模拟卷）下表是关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）的统计表： x 2 3 4 5 6 y 3.4 4.2 5.1 5.5 6.8 由上表数据求得线性回归方程，若规定：维修费用y不超过10万元，一旦大于10万元时，该设备必须报废.据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】：，，因为过点，所以，即.所以回归方程为.由题意得，解得.又因为，所以该设备使用年限的最大值约为10.故选C. 2. （湖南省2024届高三九校联盟第二次联考）对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ） A. 平均数 B. 相关系数 C. 决定系数 D. 方差 【解析】：平均数与方差是用来反馈数据集中趋势与波动程度大小的统计量； 变量y和x之间的相关系数的绝对值越大，则变量y和x之间线性相关关系越强； 用决定系数来刻画回归效果，越大说明拟合效果越好. 故选：C 3. （鞍山市普通高中2023—2024学年度高三第二次质量监测）校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查．其中被调查的男女生人数相同．男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数．若有的把握认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（ ）人． 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，． A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 【解析】：设总人数为，则男生选学生物学的人数为，女生选生物学的人数为， 则， 即，又为的倍数，故男生最少有人. 故选：A. 4.（2024年江西省南昌市高考数学二模）为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格： 甲校样本 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 女性 合计 乙校样本 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 女性 合计 则下列判断中正确的是(    ) 参考公式及数据： A. 样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例 B. 样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例 C. 根据甲校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关 D. 根据乙校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关 【答案】  【解析】：对于，样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例为，乙校男学生喜爱足球运动的比例为， 因为，所以样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例，故A正确； 对于，样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例为，乙校女学生喜爱足球运动的比例为， 因为，所以样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例低于乙校女学生喜爱足球运动的比例，故B错误； 对于，因为，所以根据甲校样本没有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故C错误； 对于，因为，所以根据乙校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故D正确． 故选：． 根据两个表格直接可判断，计算两个表格的的值，与临界值比较可判断． 本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题． 5. （东北三省师大附中2024届高三第三次联合模拟）下列说法正确的是（ ） A. 数据的频率分布直方图的纵坐标为频率 B. 已知样本数据的平均数为，则数据与原数据的极差､平均数都相同 C. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则A组数据比组数据的线性相关性强 D. 已知关于的回归直线方程为，则样本点的残差为-1.9 【答案】BD 【解析】：频率分布直方图纵坐标为频率与组距的比值，故A错； 由题意得， 数据的平均数为， 所以数据与原数据的平均数相等， 设数据的最大数为a，最小值为b， 若，则，所以数据的极差为，且， 所以数据的极差也为， 数据与原数据的极差相等，故B对， 因为，所以A组数据比组数据的线性相关性弱，故C错； 当时，， 样本点的残差为，故D对；故选：BD 6. （湖南省衡阳市名校联考联合体2024届高三高考考前仿真联考）中国雪乡哈尔滨的看雪最佳时间在11月中旬到次年的2月上旬，某旅游公司设计了一款冰雪文创产品.试营销以来，这款冰雪文创产品定价（单位：元）与销量（单位：万件）的数据如下表所示： 产品定价（单位：元） 9 9.5 10 10.5 11 销量（单位：万件） 11 10 8 6 5 则下列结论正确的是（ ） 参考公式：. 参考数据：，，，. A. 产品定价的平均值是10元 B. 产品定价与销量存在正相关关系 C. 产品定价与销量满足一元线性回归模型 D. 产品定价与销量的相关系数 【答案】ACD 【解析】：由题可得，故A正确； 而. 由于与的相关系数近似为，故与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与的关系，同时，与为负相关，故B错误，C、D正确. 故选：ACD. 题型三：随机事件概率的性质与计算 1. （湖南省衡阳市名校联考联合体2024届高三高考考前仿真联考）将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排，2本语文书不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【解析】：依题意，将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排， 即从8个空位中选2个位置放语文书，剩余6个位置放数学书，摆放种数为：种； 利用插空法，6本数学书之间共有7个位置可以放2本语文书，摆放种数为：种， 由古典概型概率的计算公式得：.故选：A. 2. （黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期三模联考）某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为0.7，第二次面试通过的概率为0.5．若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（ ） A. 0.85 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.4 【解析】：依题意，第一次面试不通过的概率为0.3，第二面试不通过的概率为0.5， 因此面试失败的概率为， 所以该同学通过面试的概率为.故选：A 3. （2024年辽宁省教研联盟高三调研测试）有甲、乙、丙、丁四名同学参加亚运会志愿者服务工作，现需将四人随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（ ） A. B. C. D. 【解析】：记甲、乙在同一组为事件， 将四人随机分成三组，每组至少一人的分法为， 其中甲、乙在同一组包含的基本事件个数为， 所以甲、乙在同一组的概率．故选：A． 4. （湖南省益阳市2024届高三4月教学质量检测）2023年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小Y哥直播间，邀请某“网红”来现场带货．在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，出现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒1瓶．假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，并且每个人都等可能地出生在一年（365天）中任何一天（2023年共365天），在远小于365时，近似地，，其中．如果要保证直播间至少两个人的生日在同一天的概率不小于，那么来到直播间的人数最少应该为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【解析】：设直播间进来了个人，则这个人生日的可能性有种，这个人中任意两个人都不在同一天生日的可能结果种数为， 设“这个人中任意两个不是同一天生日”，根据古典概型概率公式可得， 则其对立事件“这个人中至少有两个人的生日在同一天”的概率为. 由题意：，从而，得，化简得，即，故. 故选：C. 5.（广东省佛山市2024届高三下学期教学质量检测） 在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（ ） A. B. C. D. 若，则B与C互斥 【答案】BCD 【解析】：对于A，A与B相互独立，则, ，A错误； 对于B，因为A与C互斥，所以,所以 ,, 所以,B正确； 对于C，,因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生， 所以,所以，C正确； 对于D，显然，即， 由，得， 解得，所以B与C互斥，D正确. 故选：BCD. 6.（2024年江西省南昌市高考数学二模）一次知识竞赛中，共有，，，，个题，参赛人每次从中抽出一个题回答抽后不放回已知参赛人甲题答对的概率为，题答对的概率为，，，题答对的概率均为，则甲前个题全答对的概率为______． 【答案】  【解析】： 参赛人甲题答对的概率为，题答对的概率为，，，题答对的概率均为， 则甲前个题全答对的概率为． 故答案为：． 7. （江西省上饶市2024届第二次高考模拟考试）将一枚质地均匀的骰子连续拋掷6次，得到的点数分别为，则这6个点数的中位数为3的概率为______． 【答案】 【解析】：当为时，这6个点数的中位数为3， 当时，这6个点数的中位数为， 当时，这6个点数的中位数为， 当为时，这6个点数的中位数为， 所以这6个点数的中位数为3的概率为. 故答案为：. 8. （2024年辽宁省教研联盟高三调研测试）某运动员在亚运会田径比赛中准备参加100米、200米两项比赛，根据以往成绩分析，该运动员100米比赛未能获得奖牌的概率为，200米比赛未能获得奖牌的概率为，两项比赛都未能获得奖牌的概率为，若该运动员在100米比赛中获得了奖牌，则他在200米比赛中也获得奖牌的概率为_______________. 【答案】 【解析】：设在200米比赛中获奖为事件，在100米比赛中获奖为事件， 则, 所以， 则, 所以该运动员在100米比赛中获奖，在200米比赛中也获奖的概率是.故答案为：. 9.（江西省上饶市稳派上进六校联考）如图是飞行棋部分棋盘，飞机的初始位置为0号格，抛掷一枚质地均匀的骰子，若抛出的点数为1，2，飞机向前移一格；若抛出的点数为3，4， 5，6，飞机向前移两格．直到飞机移到第（且）格（失败集中营）或第格（胜利大本营）时，游戏结束．则飞机移到第3格的概率为______，游戏胜利的概率为______．（第一空2分，第二空3分） 0 1 2 3 4 5 … 【答案】 （第一空2分，第二空3分） 【解析】：记飞机移到第i格的概率为，，，；，可化为，则数列为常数列，，上式可化为，则数列是首项为、公比为的等比数列，，即．第格只能由第格跳到，游戏胜利的概率为． 题型四：条件概率、全概率公式的计算及应用 1. （2024届辽宁省辽宁省高三重点高中协作校联考）某同学笔袋里有10支笔，其中8支黑色，2支红色.被甲同学借走2支.已知甲借走的有一支是红色，则另一支也是红色的概率为（ ） A B. C. D. 【解析】：记“甲借走的有一支是红色”为事件A，“甲借走的两支都是红色”为事件B， 则，， 所以所求的概率为.故选：D. 2. （鞍山市普通高中2023—2024学年度高三第二次质量监测）在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ） A. B. C. D. 【解析】：设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件、、， 则，且，，相互独立， 设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件， 则设乙没有达优秀等级为事件，则， 所以. 故选：B. 3. （河南省部分重点高中2023-2024学年高三下学期5月百师联盟大联考）现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小 【答案】ACD 【解析】：A：由题，，故A正确； B：由选项A可得，故B错误； C：因为，所以， 所以，故C正确； D：由题该球来自的概率为，该球来自的概率为，该球来自的概率为， 所以该球来自的概率最小，故D正确. 故选：ACD. 4. （湖南省2024届高三“一起考”大联考）玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ） A. B. C D. 【答案】BCD 【解析】：对A，由题意，第一次取得黑球概率， 第一次取得白球的概率， 第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率， 第一次取得白球、第二次取得白球的概率， 则，所以A错误； 对B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率， 第一次取得白球、第二次取得黑球的概率， 则，所以B正确； 对C，由， 得，所以C正确； 对D，由，得，所以D正确． 故选：BCD． 5. （2023~2024学年佛山市普通高中教学质量检测）在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（ ） A. B. C. D. 若，则B与C互斥 【答案】BCD 【解析】：对于A，A与B相互独立，则, ，A错误； 对于B，因为A与C互斥，所以,所以 ,, 所以,B正确； 对于C，,因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生， 所以,所以，C正确； 对于D，显然，即， 由，得， 解得，所以B与C互斥，D正确. 故选：BCD. 6.（湖南省长沙市雅礼中学2024届高三4月综合测试）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为__________；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为__________. 【答案】； 【解析】：由题意设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”， 事件表示“骑共享单车”，事件表示“迟到”， 则.. 解法一：小明迟到了，由贝叶斯公式得 他自驾去上班的概率是. 解法二：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率. 题型五：离散型随机变量分布列，期望及方差 1.（2024届河北省名校联盟高三下学期4月第二次联考） 有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望（ ） A. B. C. D. 【解析】：的所有可能取值为，记三次得到的数组成数组， 满足的数组有： ，共4个， 所以， 满足的数组有： ， ，共18个， 所以， 满足的数组有： ， ， ， ，共24个， 所以， 满足的数组有： ，， ，， ，，共18个， 所以， 所以X的数学期望. 故选：D. 题型六：超几何分布、二项分布、正态分布有关问题 1. （2024届山东省德州市高考二模数学试题）若随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【解析】：由随机变量，根据正态分布性质可知：， 因，可得， 再根据正态分布曲线的对称性可知：， 所以，故选：B. 2.（河北省沧衡名校联盟高三年级模拟考试）在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数的图象拟合，且，若参加本次考试的学生共有10000人，则数学成绩超过120分的人数约为（ ） A.600 B.800 C.1200 D.1400 【解析】：依题意可知，，又因为，所以，所以数学成绩超过120分的人数约为，故选B. 3. （安徽省淮北市2024届高三第二次质量检测）如图所示的钟表中，时针初始指向“12”，每次掷一枚均匀的硬币，若出现正面则时针按顺时针方向旋转，若出现反面则时针按逆时针方向旋转，用表示次后时针指向的数字，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】：A选项，的可能取值为， 且，故，A正确； B选项，，即2次旋转中，1次顺时针方向旋转，1次逆时针方向旋转， 故，B错误； C选项，，即顺时针走了或逆时针走了， 设硬币正面朝上的次数为，则反面朝上的次数为， ，解得， 故，C正确； D选项，若硬币8次均正面朝上，此时， 故， 若硬币7次正面朝上，1次反面朝上，此时， 故， 若硬币6次正面朝上，2次反面朝上，此时， 故， 若硬币5次正面朝上，3次反面朝上，此时， 故， 若硬币4次正面朝上，4次反面朝上，此时， ， 若硬币3次正面朝上，5次反面朝上，此时， ， 若硬币2次正面朝上，6次反面朝上，此时， ， 若硬币1次正面朝上，7次反面朝上，此时， ， 若硬币8次均反面朝上，此时， ， 故，D正确.故选：ACD 4. （湖北省十一校2023-2024学年高三下学期第二次联考）若，则下列说法正确的有（    ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】：由，可得期望为，方差为， 对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以A正确； 对于B中，因，即，所以B不正确； 对于C中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C正确； 对于D中，由正态分布曲线的性质，可得， 且， 可得，所以D正确. 故选：ACD. 5. （广东省佛山市2024届高三下学期教学质量检测）统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：g），某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得出，的最大值是______. 【答案】5 【解析】：依题意，，由原则，得，解得， 所以的最大值是5. 故答案为：5 6. （山东省“齐鲁名校联盟”第七次联考）已知随机变量，其中，随机变量的分布列为 0 1 2 表中，则的最大值为________．我们可以用来刻画与的相似程度，则当，且取最大值时，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】：由题意，可得，则因为，所以当时，取得最大值， 又由，可得，解得， 可得， 又因为， 可得， 所以. 故答案为：；, 7．（浙江省精诚联盟2024届高三下学期适应性联考）某工厂生产的一批零件的使用寿命X（单位：年）近似服从正态分布．若，则从这批零件中任意取出1件，其寿命低于60的概率是______． 【答案】 【解析】：由，X服从正态分布，故． 学科网（北京）股份有限公司 $$