第5章 相交线与平行线（导图+知识梳理+解题策略+九大考向真题讲练）-2023-2024学年人教版数学七年级下册期末复习培优进阶考点精讲练

2023-2024学年人教版数学七年级下册期末复习培优进阶考点精讲练 第5章 相交线与平行线 （导图+知识梳理+解题策略+九大考向真题讲练） 同学你好，期末考试在即，本学期主要学习相交线与平行线；实数；平面直角坐标系；二元一次方程；不等式与不等式组；数据的收集、整理与描述等几个章节内容。初步感知了几何与代数综合应用的重要性，也体会了多元方程与不等式在解决各类问题中的灵活便便的解题策略。本学期试题难度上也进一步加深，重难点考点内容逐步增多。非常考验同学们的审题能力，解题技能，做题耐心，答题规范能力，做题细心度等方面能力。 这份讲义就本学期章节重难点内容进行复盘，考点梳理+解题策略+典例精讲+变式训练+真题拔高的排版结构。题目难度1-5星，星级越高，难度越大！深入挖掘重难点考点和题型，梳理解题方法，优选近两年各地名校期末真题，模拟题。帮助同学加深对知识的认识理解和综合运用。希望同学在期末考试中取得考成绩！ 知识梳理： 邻补角：两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角。这两个角的特点是共用一条边，另一条边互为反向延长线。性质是邻补角互补，即两个角的度数之和为180°。 对顶角：两条直线相交所成的四个角中，相对的两个角叫做对顶角。这两个角的特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。 三线八角：在相交线中，除了邻补角和对顶角，还有同位角、内错角、同旁内角。这些角在两条直线被第三条直线所截时形成，具体的位置关系是： 同位角：在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧。 内错角：在两条直线内部，位于第三条直线两侧。 同旁内角：在两条直线内部，坐落于第三条直线同侧。 解题策略： 基本图形法：在题目中，通过添加辅助线，将原图演变成“三线八角”或“三线平行”等涉及平行的基本图形，再利用平行线的判定进行说明。 分类讨论思想：当题目中涉及多种可能的情况时，需要根据不同的情况进行分类讨论，逐一分析各种情况，得出正确的结论。 从特殊到一般的思想：在解决相交线问题时，可以先从特殊情况出发，寻找规律，再推广到一般情况。 例如，在判断两条直线是否平行时，可以根据同位角、内错角或同旁内角的关系进行判断。如果题目中给出了这些角的具体度数或等量关系，可以通过计算或推导来验证这些角的关系，从而判断两条直线是否平行。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•来凤县期末）如图，已知直线AB与CD相交于点F，FA平分∠CFE，若∠CFE＝70°，则∠BFD度数是（　　） A．55° B．45° C．35° D．25° 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•威县期末）如图，为测量古塔的外墙底角∠AOB的度数，甲、乙两人的测量方案如表： 方案一 方案二 甲：分别作AO，BO的延长线OC，OD，量出∠COD的度数，就得到∠AOB的度数． 乙：作BO的延长线OD，量出∠AOD的度数后可通过180°﹣∠AOD得到∠AOB的度数． 下列判断正确的是（　　） A．甲能得到∠AOB的度数，乙不能 B．乙能得到∠AOB的度数，甲不能 C．甲、乙都能得到∠AOB的度数 D．甲、乙都不能得到∠AOB的度数 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023秋•泸县校级期末）已知：如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠EOF的度数． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•通川区校级期末）如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC． （1）图中∠BOD的邻补角为　 　，∠AOE的邻补角为　 　； （2）如果∠COD＝25°，那么∠BOE＝　 　， 如果∠COD＝60°，那么∠BOE＝　 　； （3）试猜想∠COD与∠BOE具有怎样的数量关系，并说明理由． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•清远期末）如图，已知直线a，b被直线c所截，下列属于同旁内角是（　　） A．∠1和∠4 B．∠3和∠5 C．∠2和∠3 D．∠1和∠3 【变式训练01】（难度：✭✭）（2023春•安次区期末）传统文化风筝是由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”．如图所示的纸鸢骨架中，与∠3构成同旁内角的是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•昌平区期末）如图1，对于两条直线l1，l2被第三条直线l3所截的同旁内角∠α，∠β满足∠β＝∠α+30°，则称∠β是∠α的关联角． （1）已知∠β是∠α的关联角． ①当∠α＝50°时，∠β＝ 　°； ②当2∠α﹣∠β＝45°时，直线l1，l2的位置关系为 　 　； （2）如图2，已知∠AGH是∠CHG的关联角，点O是直线EF上一定点． ①求证：∠DHG是∠BGH的关联角； ②过点O的直线MN分别交直线CD，AB于点P，Q，且∠CHG＝80°．当∠EOP是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的∠EOP的度数为 　 ． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2020春•鱼台县期末）在直角△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AC于E，交AB于D． （1）试指出BC、DE被AB所截时，∠3的同位角、内错角和同旁内角； （2）试说明∠1＝∠2＝∠3的理由．（提示：三角形内角和是180°） 知识梳理： 平行线的定义：在同一平面内，永远不相交的两条直线叫做平行线。 平行线的性质： 两直线平行，同位角相等。 两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。 平行线的判定： 同位角相等，两直线平行。 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。 解题策略： 基本图形法（添加辅助线）：在题目中，如果直接给出的条件无法直接判断两条直线是否平行，可以尝试通过添加辅助线来构建基本图形，如“三线八角”或“三线平行”等涉及平行的基本图形，再利用平行线的性质或判定进行说明。 方程思想：在解决涉及角度计算的平行线问题时，可以通过设立未知数，建立方程来求解。例如，已知某些角度的大小或等量关系，可以设立未知数表示其他角度，然后建立方程求解。 转化思想：在解决平行线问题时，可以尝试将问题转化为其他已知的问题或模型。例如，将平行线问题转化为三角形或四边形的性质问题来求解。 数形结合思想：在解决平行线问题时，可以结合图形和数量关系进行分析。通过观察图形中的角度关系和数量关系，可以更直观地理解问题并找到解决问题的方法。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•射洪市期末）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3 【变式训练01】（难度：✭✭✭✭）（2023秋•萧县期末）如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2． （1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明； （2）如图2，当∠ADC＝120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系； （3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC＝∠ADH． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2022秋•东明县期末）如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2． 求证：（1）∠2＝∠CBD； （2）MD∥BC． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•安岳县期末）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°． （1）将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图2，且OD恰好平分∠MON，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数； （2）将图1中的三角尺OCD绕点O按每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第几秒时，边CD恰好与边MN平行？ 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•邯郸期末）如图，同一平面内经过直线l外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有（　　） A．1条 B．2条 C．3 D．4条 【变式训练01】（难度：✭✭）（2023春•久治县期末）如图：PC∥AB，QC∥AB，则点P、C、Q在一条直线上． 理由是： 　． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2020春•椒江区期末）如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？ 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•崂山区期末）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 知识梳理： 两直线平行，同位角相等：当两直线平行时，被第三条直线所截，所得的同位角是相等的。 两直线平行，内错角相等：同样地，当两直线平行时，被第三条直线所截，所得的内错角也是相等的。 两直线平行，同旁内角互补：在两直线平行的情况下，被第三条直线所截，得到的同旁内角是互补的，即它们的角度之和为180°。 解题策略： 直接应用性质：在解题时，可以直接应用平行线的性质来求解。例如，如果已知两直线平行，那么可以直接利用性质来判断被第三条直线所截形成的角的关系。 利用性质证明平行：在某些情况下，题目可能并未直接给出两直线平行的条件，但给出了两直线被第三条直线所截形成的角的关系。此时，可以利用平行线的性质，通过反证法或其他方法证明两直线是平行的。 结合图形进行理解：平行线的性质在图形中表现得非常明显，因此，在解题时，可以结合图形进行理解。通过观察和分析图形，可以更直观地理解平行线的性质，并找到解题的方法。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•乳山市期末）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝（　　） A．58° B．56° C．52° D．62° 【变式训练01】（难度：✭✭✭✭）．（2023秋•商河县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°． （1）试说明：∠BAG＝∠BGA； （2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD． （3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023秋•潜山市期末）（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数； （2）如图2，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系，并说明理由． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023秋•都昌县期末）如图，MN∥OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D，使得AD⊥BD．设∠DAB＝α（α为锐角）． （1）求∠NAD与∠PBD的和；（提示过点D作EF∥MN） （2）当点B在直线OP上运动时，试说明∠OBD﹣∠NAD＝90°； （3）当点B在直线OP上运动的过程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，请求出此时α的值 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•武功县期末）如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，还需要添加条件（　　） A．∠B＝∠1 B．∠1＝∠3 C．∠B＝∠3 D．∠B＝∠2 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023秋•齐河县期末）已知如图，DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•北海期末）在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝∠D＝45°） （1）将三角尺如图1所示叠放在一起． ①∠AOD与∠BOC大小关系是 　 　，依据是 ． ②∠BOD与∠AOC的数量关系是 　 　． （2）小亮固定其中一块三角尺△COD不动，绕点O顺时针转动另一块三角尺，从图2的OA与OC重合开始，到图3的OA与OC在一条直线上时结束，探索△AOB的一边与△COD的一边平行的情况． ①求当AB∥CD时，如图4所示，∠AOC的大小； ②直接写出∠AOC的其余所有可能值． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•望奎县期末）三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°． （1）如图1，求证：CF∥AB； （2）如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•营口期末）下列说法中，正确的个数有（　　） ①实数和数轴上的点是一一对应的； ②点P（1，m2+1），则点P一定在第一象限； ③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ④“同位角相等”为真命题； ⑤立方根等于本身的数是1和0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•宁乡市期末）定义：对于任意实数m，n，如果满足m+n＝mn，那么称m，n互为“好友数”，点（m、n）为“好友点”． （1）若（5，n）为“好友点”，则n＝　 （2）判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”． ①与4是互为“好友数”的； 　 ②若点（m，n）为“好友点”，则点（n，m）也一定为“好友点”； 　 　 ③若m与n互为相反数，则（m，n）一定不是“好友点”； 　 ④存在与1互为“好友数”的实数； 　 　 （3）已知A（x、y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于x，y的二元一次方程组的解，请判断点A（x，y）是否能成为“好友点”？若能，请求出a的值和点A的坐标；若不能，请说明理由． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•平泉市期末）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　 ； 图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　 　； ②请根据图1情况完成下面推理过程． ∵BC∥EF（已知）∴∠DEF＝∠　 ∵AB∥DE∴∠ABC+∠1＝180° 　 ∴∠ABC+∠DEF＝ 　．（等量代换） ③由①得出一个真命题（用文字叙述）：　 　． （2）应用③中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角的度数． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•宿迁期末）如图，点F、D在△ABC的边BC上，点E、G分别在AB、AC上．请你从三个选项：①∠1+∠2＝180°，②∠DGC＝∠BAC，③EF∥AD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 知识梳理： 平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 平移的性质： 平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。 对应点的线段平行且相等。 新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 解题策略： 识别平移：首先，观察题目中给出的图形或描述，识别出是否存在平移现象。平移通常表现为图形在平面内的整体移动，不改变形状和大小。 确定平移方向和距离：在识别出平移现象后，需要确定平移的方向和距离。这通常可以通过观察对应点的位置变化来实现。连接各组对应点的线段所指的方向就是平移的方向，线段的长度则是平移的距离。 利用平移性质解题：在确定了平移方向和距离后，可以利用平移的性质来解题。例如，如果知道两个图形是平移得到的，那么它们的对应边平行且相等，对应角也相等。这些性质可以帮助我们快速求解与平移相关的问题。 构建方程求解：在某些情况下，题目可能会给出一些与平移相关的条件，如角度、长度等。此时，我们可以利用这些条件构建方程，通过求解方程来找到答案。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•霸州市期末）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接AB，AC，∠BAC＝45°，∠ACB是钝角，将三角形ABC沿着直线l向右平移得到三角形A1B1C1，连接AB1，在平移过程中，当∠AB1A1＝2∠CAB1时，∠CAB1的度数是（　　） A．15° B．30° C．15°或45° D．30°或45° 【变式训练01】（难度：✭✭✭✭）（2023春•河东区期末）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别相交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，点P在线段AB上． （1）若∠1＝23°，∠2＝34°，则∠3＝　 ； （2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由； （3）应用（2）中的结论解答下列问题； 已知l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°． ①如图2，求∠AEC的度数； ②如图3，将线段AD沿CD方向平移，其他条件不变，求∠AEC的度数． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•阳泉期末）综合与探究，问题情境： 如图1，已知AB∥CD，∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，点E，F在直线AB上，且∠ACD＝∠ACF，CE平分∠BCF． （1）求∠ACE的度数． 实践探究： （2）若左右平行移动AD，那么∠BAC与∠BFC之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠BAC与∠BFC之间的数量关系． （3）如图2，若向左平行移动AD，当∠BEC＝∠CAD时，请求出∠CAD的度数． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•铁锋区期末）综合与实践 如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点G，H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．将一个含30°角的直角三角板PMN按如图（1）放置，使点N，M分别在直线AB，CD上，∠P＝90°，∠PMN＝60°，∠PNM＝30°． （1）∠PNB+∠PMD的度数为 　 　； （2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图（2）． ①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数； ②将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，求在平移的过程中∠MON＝　 　（用含α的式子表示）． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•泰来县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（2，﹣1），B（4，3），C（1，2）．将△ABC先向左平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1． （1）请在图中画出△A1B1C1； （2）写出平移后的△A1B1C1三个顶点的坐标； A1（ 　 　，　 　） B1（ 　 ，　 　） C1（ 　 　，　 　） （3）求△ABC的面积． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•文昌期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（1，﹣2），先将△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1． （1）在图中画出△A1B1C1； （2）点A1，B1，C1的坐标分别为 　 　，　 　，　 　； （3）若y轴上有一点P，使△PBC与△ABC面积相等，则点P的坐标为 　 　． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•鹤城区期末）如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间． （1）求证：∠AEC＝∠BAE+∠ECD； （2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG． ①如图2，若∠AEC＝90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数； ②如图3，若HF平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•铁岭县期末）在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣6，7）、（﹣3，0）、（0，3）． （1）画出△ABC，并求△ABC的面积； （2）在△ABC中，点C经过平移后的对应点为C′（5，4），将△ABC作同样的平移得到△A′B′C′，画出平移后的△A′B′C′，并写出点A′，B′的坐标； （3）已知点P（﹣3，m）为△ABC内一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点Q（n，﹣3），则m＝　 　，n＝ 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年人教版数学七年级下册期末复习培优进阶考点精讲练 第5章 相交线与平行线 （导图+知识梳理+解题策略+九大考向真题讲练） 同学你好，期末考试在即，本学期主要学习相交线与平行线；实数；平面直角坐标系；二元一次方程；不等式与不等式组；数据的收集、整理与描述等几个章节内容。初步感知了几何与代数综合应用的重要性，也体会了多元方程与不等式在解决各类问题中的灵活便便的解题策略。本学期试题难度上也进一步加深，重难点考点内容逐步增多。非常考验同学们的审题能力，解题技能，做题耐心，答题规范能力，做题细心度等方面能力。 这份讲义就本学期章节重难点内容进行复盘，考点梳理+解题策略+典例精讲+变式训练+真题拔高的排版结构。题目难度1-5星，星级越高，难度越大！深入挖掘重难点考点和题型，梳理解题方法，优选近两年各地名校期末真题，模拟题。帮助同学加深对知识的认识理解和综合运用。希望同学在期末考试中取得考成绩！ 知识梳理： 邻补角：两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角。这两个角的特点是共用一条边，另一条边互为反向延长线。性质是邻补角互补，即两个角的度数之和为180°。 对顶角：两条直线相交所成的四个角中，相对的两个角叫做对顶角。这两个角的特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。 三线八角：在相交线中，除了邻补角和对顶角，还有同位角、内错角、同旁内角。这些角在两条直线被第三条直线所截时形成，具体的位置关系是： 同位角：在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧。 内错角：在两条直线内部，位于第三条直线两侧。 同旁内角：在两条直线内部，坐落于第三条直线同侧。 解题策略： 基本图形法：在题目中，通过添加辅助线，将原图演变成“三线八角”或“三线平行”等涉及平行的基本图形，再利用平行线的判定进行说明。 分类讨论思想：当题目中涉及多种可能的情况时，需要根据不同的情况进行分类讨论，逐一分析各种情况，得出正确的结论。 从特殊到一般的思想：在解决相交线问题时，可以先从特殊情况出发，寻找规律，再推广到一般情况。 例如，在判断两条直线是否平行时，可以根据同位角、内错角或同旁内角的关系进行判断。如果题目中给出了这些角的具体度数或等量关系，可以通过计算或推导来验证这些角的关系，从而判断两条直线是否平行。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•来凤县期末）如图，已知直线AB与CD相交于点F，FA平分∠CFE，若∠CFE＝70°，则∠BFD度数是（　　） A．55° B．45° C．35° D．25° 试题思路分析：根据角平分线的定义求出∠AFC的度数，再根据对顶角相等即可求解． 详细规范解答：解：∵FA平分∠CFE，FA平分∠CFE， ∴， ∴∠BFD＝∠AFC＝35°． 故选：C． 考察易错点与重难点：本题主要考查了角平分线的定义以及对顶角相等的性质，认准图形是解题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•威县期末）如图，为测量古塔的外墙底角∠AOB的度数，甲、乙两人的测量方案如表： 方案一 方案二 甲：分别作AO，BO的延长线OC，OD，量出∠COD的度数，就得到∠AOB的度数． 乙：作BO的延长线OD，量出∠AOD的度数后可通过180°﹣∠AOD得到∠AOB的度数． 下列判断正确的是（　　） A．甲能得到∠AOB的度数，乙不能 B．乙能得到∠AOB的度数，甲不能 C．甲、乙都能得到∠AOB的度数 D．甲、乙都不能得到∠AOB的度数 试题思路分析：根据对顶角相等，邻补角互补，进行判断作答即可． 详细规范解答：解：由题意知，方案一，由对顶角相等可得∠AOB＝∠COD，甲能得到∠AOB的度数； 方案二，由邻补角互补可得，∠AOB＝180°﹣∠AOD，乙能得到∠AOB的度数； 故选：C． 考察易错点与重难点：本题考查了对顶角相等，邻补角互补．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023秋•泸县校级期末）已知：如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠EOF的度数． 试题思路分析：设∠BOC＝x°，则∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，根据∠BOC+∠AOC＝180°，得出x+4x＝180，解方程得出x＝36，可得∠BOC＝36°，∠DOF＝72°，∠AOC＝144°，根据角平分线的定义可得∠BOE＝18°，根据平角的定义，由∠EOF＝180°﹣∠DOF﹣∠COE，即可求解． 详细规范解答：解：设∠BOC＝x°，则∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°， 由题意得：x+4x＝180， 解得：x＝36， ∴∠BOC＝36°，∠DOF＝72°，∠AOC＝144°， ∵OE是∠BOC的平分线， ∴∠BOE＝∠COE∠BOC36°＝18°． ∴∠EOF＝180°﹣∠DOF﹣∠COE ＝180°﹣72°﹣18° ＝90°． 考察易错点与重难点：本题考查了结合图形中角度的计算，平角的定义，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•通川区校级期末）如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC． （1）图中∠BOD的邻补角为　∠AOD　，∠AOE的邻补角为　∠BOE　； （2）如果∠COD＝25°，那么∠BOE＝　65°　， 如果∠COD＝60°，那么∠BOE＝　30°　； （3）试猜想∠COD与∠BOE具有怎样的数量关系，并说明理由． 试题思路分析：（1）直接利用邻补角的定义分析得出答案； （2）结合角平分线的定义利用已知分别得出各角度数即可； （3）利用角平分线的定义结合平角的定义分析得出答案． 详细规范解答：解：（1）如图所示：∠BOD的邻补角为：∠AOD， ∠AOE的邻补角为：∠BOE； 故答案为：∠AOD，∠BOE； （2）∵∠COD＝25°，∴∠AOC＝2×25°＝50°， ∴∠BOC＝130°， ∴∠BOE130°＝65°， ∵∠COD＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∴∠BOC＝60°， ∴∠BOE∠BOC＝30°， 故答案为：65°，30°； （3）由题意可得： ∠COD+∠BOE ∠AOC∠BOC （∠AOC+∠BOC） ＝90°． 考察易错点与重难点：此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•清远期末）如图，已知直线a，b被直线c所截，下列属于同旁内角是（　　） A．∠1和∠4 B．∠3和∠5 C．∠2和∠3 D．∠1和∠3 试题思路分析：根据对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角的意义，逐一判断即可解答． 详细规范解答：解：A、∠1与∠4属于同位角，故A不符合题意； B、∠3与∠5属于对顶角，故B不符合题意； C、∠2与∠3属于内错角，故C不符合题意； D、∠1与∠3属于同旁内角，故D符合题意； 故选：D． 考察易错点与重难点：本题考查了对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭）（2023春•安次区期末）传统文化风筝是由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”．如图所示的纸鸢骨架中，与∠3构成同旁内角的是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5 试题思路分析：根据同旁内角的定义解答即可，即两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角． 详细规范解答：解：∠1与∠3构成同旁内角． 故选：A． 考察易错点与重难点：本题考查的是同旁内角的定义，关键是知道哪两条直线被第三条直线所截． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•昌平区期末）如图1，对于两条直线l1，l2被第三条直线l3所截的同旁内角∠α，∠β满足∠β＝∠α+30°，则称∠β是∠α的关联角． （1）已知∠β是∠α的关联角． ①当∠α＝50°时，∠β＝　80　°； ②当2∠α﹣∠β＝45°时，直线l1，l2的位置关系为 　平行　； （2）如图2，已知∠AGH是∠CHG的关联角，点O是直线EF上一定点． ①求证：∠DHG是∠BGH的关联角； ②过点O的直线MN分别交直线CD，AB于点P，Q，且∠CHG＝80°．当∠EOP是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的∠EOP的度数为 　140°、145°或155°　． 试题思路分析：（1）①根据关联角所满足的关系式∠β＝∠α+30°即可解答， ②解∠β＝∠α+30°与2∠α﹣∠β＝45°构成的方程组，根据∠α和∠β的关系来确定直线l1，l2的位置关系． （2）①由∠AGH与∠BGH、∠CHG与∠DHG的互补关系，求出∠DHG与∠BGH之间的大小关系，进而命题得以证明． ②根据直线MN过点O的形式可分4种情况，每种情况均有2个角与∠EOP互为同旁内角，因此共有4种情况，分别解出∠EOP的度数即可． 详细规范解答：解：（1）①∵∠β是∠α的关联角，∠α＝50°， ∴∠β＝∠α+30°＝50°+30°＝80°． 故答案为：80． ②由题意可得方程组，解得， ∴∠α+∠β＝75°+105°＝180°， ∴l1∥l2． 故答案为：平行． （2）①证明：∵∠AGH是∠CHG的关联角， ∴∠AGH＝∠CHG+30°， 又∵∠DHG＝180°﹣∠CHG，∠BGH＝180°﹣∠AGH， ∴∠DHG﹣∠BGH＝180°﹣∠CHG﹣（180°﹣∠AGH）＝∠AGH﹣∠CHG＝30°， ∴∠DHG＝∠BGH+30°， ∴∠DHG是∠BGH的关联角． ②当直线MN位于如图所示位置时： ∵∠AGH是∠CHG的关联角，∠CHG＝80°， ∴∠AGH＝∠CHG+30°＝80°+30°＝110°． 若∠EOP是∠AGO的关联角，则∠EOP＝∠AGO+30°＝110°+30°＝140°． 若∠EOP是∠CPO的关联角，则∠EOP＝∠CPO+30°＝80°+180°﹣∠EOP+30°＝290°﹣∠EOP，得∠EOP＝145°． 当直线MN位于如图所示位置时： ∵∠AGH＝110°，∠CHG＝80°， ∴∠BGH＝180°﹣∠AGH＝180°﹣110°＝70°，∠GHD＝180°﹣∠CHG＝180°﹣80°＝100° 若∠EOP是∠BGO的关联角，则∠EOP＝∠BGO+30°＝70°+30°＝100°． ∵∠EOP＝∠GHD+∠OPH＝100°+∠OPH＞100°， ∴∠EOP＝100°（舍去）． 若∠EOP是∠DPO的关联角，则∠EOP＝∠DPO+30°＝100°+180°﹣∠EOP+30°＝310°﹣∠EOP，得∠EOP＝155°． 故答案为：140°、145°或155°． 考察易错点与重难点：本题考查了同旁内角及角的计算，难度不大，注意分情况讨论． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2020春•鱼台县期末）在直角△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AC于E，交AB于D． （1）试指出BC、DE被AB所截时，∠3的同位角、内错角和同旁内角； （2）试说明∠1＝∠2＝∠3的理由．（提示：三角形内角和是180°） 试题思路分析：（1）按照所学同位角，内错角，同旁内角的定义进行判断； （2）根据三角形的内角和为180°，通过等量代换即可得解． 详细规范解答：解：（1）当BC，DE被AB所截时，∠3的同位角为∠1；∠3的内错角为∠2；∠3的同旁内角为∠4； （2）∵∠1+∠A+∠C＝180°，∠3+∠A+∠C＝180°， ∴∠1＝∠3 ∵∠1＝∠2 ∴∠1＝∠2＝∠3 考察易错点与重难点：本题主要考查同位角，内错角，同旁内角的定义，三角形的内角定理，关键是学生能准确进行判断同位角，内错角，同旁内角． 知识梳理： 平行线的定义：在同一平面内，永远不相交的两条直线叫做平行线。 平行线的性质： 两直线平行，同位角相等。 两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。 平行线的判定： 同位角相等，两直线平行。 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。 解题策略： 基本图形法（添加辅助线）：在题目中，如果直接给出的条件无法直接判断两条直线是否平行，可以尝试通过添加辅助线来构建基本图形，如“三线八角”或“三线平行”等涉及平行的基本图形，再利用平行线的性质或判定进行说明。 方程思想：在解决涉及角度计算的平行线问题时，可以通过设立未知数，建立方程来求解。例如，已知某些角度的大小或等量关系，可以设立未知数表示其他角度，然后建立方程求解。 转化思想：在解决平行线问题时，可以尝试将问题转化为其他已知的问题或模型。例如，将平行线问题转化为三角形或四边形的性质问题来求解。 数形结合思想：在解决平行线问题时，可以结合图形和数量关系进行分析。通过观察图形中的角度关系和数量关系，可以更直观地理解问题并找到解决问题的方法。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•射洪市期末）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3 试题思路分析：根据平行线的判定逐个判断即可． 详细规范解答：解：A、∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠5， 因为“同旁内角互补，两直线平行”， 所以本选项不能判断AB∥CD，符合题意； B、∵∠3＝∠4， ∴AB∥CD， 故本选项能判定AB∥CD，不符合题意； C、∵∠3+∠5＝180°， ∴AB∥CD， 故本选项能判定AB∥CD，不符合题意； D、∵∠2＝∠3， ∴AB∥CD， 故本选项能判定AB∥CD，不符合题意． 故选：A． 考察易错点与重难点：本题考查了平行线的判定，能灵活运用平行线的判定进行推理是解此题的关键，平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 【变式训练01】（难度：✭✭✭✭）（2023秋•萧县期末）如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2． （1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明； （2）如图2，当∠ADC＝120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系； （3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC＝∠ADH． 试题思路分析：（1）依据AC平分∠DAB，∠1＝∠2，即可得到∠2＝∠BAC，进而判定CD∥AB． （2）当∠ADC＝120°时，∠1＝∠2＝30°，依据∠2是△CEF的外角，可得∠E+∠F＝∠2＝30°． （3）依据DH∥BC，AC⊥BC，可得DH⊥AC，进而得到∠ADH＝∠CDH，据此可得当∠GDC＝∠ADH时，∠CDG＝∠CDH＝∠ADH，即可得到∠CDH180°＝60°． 详细规范解答：解：（1）如图，∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝∠BAC， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠BAC， ∴CD∥AB． （2）当∠ADC＝120°时，∠1＝∠2＝30°， ∵点E、F分别在CD和AC的延长线上运动， ∴∠2是△CEF的外角， ∴∠E+∠F＝∠2＝30°． （3）∵DH∥BC，AC⊥BC， ∴DH⊥AC， 又∵∠1＝∠2， ∴∠ADH＝∠CDH， ∴当∠GDC＝∠ADH时，∠CDG＝∠CDH＝∠ADH， ∴∠CDH180°＝60°． 故当∠CDH为60度时，∠GDC＝∠ADH． 考察易错点与重难点：本题主要考查了平行线的判定以及三角形外角性质的运用，两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．即内错角相等，两直线平行． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2022秋•东明县期末）如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2． 求证：（1）∠2＝∠CBD； （2）MD∥BC． 试题思路分析：（1）利用垂直于同一直线的两直线平行，得到平行线，利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等推理即可； （2）利用两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线也平行推理即可． 详细规范解答：证明：（1）∵BD⊥AC，EF⊥AC， ∴BD∥EF， ∴∠2＝∠CBD； （2）∵∠1＝∠2，∠2＝∠CBD， ∴∠1＝∠CBD， ∴GF∥BC， ∵∠AMD＝∠AGF， ∴GF∥MD， ∴MD∥BC． 考察易错点与重难点：本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•安岳县期末）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°． （1）将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图2，且OD恰好平分∠MON，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数； （2）将图1中的三角尺OCD绕点O按每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第几秒时，边CD恰好与边MN平行？ 试题思路分析：（1）证明CD∥ON，利用平行线的性质即可解决问题． （2）分两种情形：①如图2﹣1中，当CD∥MN时，设CD交MN于E．②如图2﹣2中，当CD∥MN时，延长DO交MN于E，分别求解即可． 详细规范解答：解：（1）如图1中， 当OD平分∠MON时，∵∠D＝∠DON＝45°， ∴CD∥ON， ∴∠CEN+∠N＝180°， ∵∠N＝30°， ∴∠CEN＝150°． （2）①如图2﹣1中，当CD∥MN时，设CD交MN于E． 则有∠OEM＝∠D＝45°， ∵∠OEM＝∠N+∠EON， ∴∠EON＝45°﹣30°＝15°， ∴∠MOE＝75°， 此时旋转角为75°， ∵每秒5°的速度， ∴75÷5＝15（秒）； ②如图2﹣2中，当CD∥MN时，延长DO交MN于E． 同法可得∠MOE＝75°，可得旋转角＝75°+180°＝255°， ∵每秒5°的速度， ∴255÷5＝51（秒）， 综上，在第15秒或51秒时，边CD恰好与边MN平行． 考察易错点与重难点：本题考查作图﹣复杂作图，旋转变换，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•邯郸期末）如图，同一平面内经过直线l外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有（　　） A．1条 B．2条 C．3 D．4条 试题思路分析：由平行公理，即可判断． 详细规范解答：解：∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴过直线l外一点O的四条直线中，最多只有一条直线与l平行， ∴与直线l相交的直线至少有3条， 故选：C． 考察易错点与重难点：本题考查平行公理，关键是掌握平行公理． 【变式训练01】（难度：✭✭）（2023春•久治县期末）如图：PC∥AB，QC∥AB，则点P、C、Q在一条直线上． 理由是：　过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行　． 试题思路分析：根据平行线公理的推理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得出答案． 详细规范解答：解：∵PC∥AB，QC∥AB， ∵PC和CQ都过点C， ∴P、C、Q在一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 考察易错点与重难点：本题考查了平行公理及推理的应用，能熟练地运用公理进行说理是解此题的关键，题型较好，难度适中． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2020春•椒江区期末）如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？ 试题思路分析：由AB∥CD，AB∥GE得CD∥GE，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠B+∠BFG＝180°，∠C+∠CFE＝180°，而∠B＝110°，∠C＝100°，可以求出∠BFG和∠CFE，最后可以求出∠BFC． 详细规范解答：解：∠BFC等于30度，理由如下： ∵AB∥GE， ∴∠B+∠BFG＝180°， ∵∠B＝110°， ∴∠BFG＝180°﹣110°＝70°， ∵AB∥CD，AB∥GE， ∴CD∥GE， ∴∠C+∠CFE＝180°， ∵∠C＝100°． ∴∠CFE＝180°﹣100°＝80°， ∴∠BFC＝180°﹣∠BFG﹣∠CFE＝180°﹣70°﹣80°＝30°． 考察易错点与重难点：本题考查了平行公理的推论和平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•崂山区期末）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 试题思路分析：根据垂线的性质进行解答即可． 详细规范解答：解：A、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故A符合题意； B、两点确定一条直线，是直线的性质，故B不符合题意； C、连接两点的所有线中，线段最短，故C不符合题意； D、平行线的一条性质，故D不符合题意． 故选：A． 考察易错点与重难点：本题考查垂线的性质，关键是掌握垂线的两条性质，明白垂线段最短． 知识梳理： 两直线平行，同位角相等：当两直线平行时，被第三条直线所截，所得的同位角是相等的。 两直线平行，内错角相等：同样地，当两直线平行时，被第三条直线所截，所得的内错角也是相等的。 两直线平行，同旁内角互补：在两直线平行的情况下，被第三条直线所截，得到的同旁内角是互补的，即它们的角度之和为180°。 解题策略： 直接应用性质：在解题时，可以直接应用平行线的性质来求解。例如，如果已知两直线平行，那么可以直接利用性质来判断被第三条直线所截形成的角的关系。 利用性质证明平行：在某些情况下，题目可能并未直接给出两直线平行的条件，但给出了两直线被第三条直线所截形成的角的关系。此时，可以利用平行线的性质，通过反证法或其他方法证明两直线是平行的。 结合图形进行理解：平行线的性质在图形中表现得非常明显，因此，在解题时，可以结合图形进行理解。通过观察和分析图形，可以更直观地理解平行线的性质，并找到解题的方法。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•乳山市期末）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝（　　） A．58° B．56° C．52° D．62° 试题思路分析：根据平角的定义，得到∠3＝52°，再根据∠4＝30°，根据平行线的性质即可得出∠1＝52°． 详细规范解答：解：如图， 又∵∠4＝30°，∠2＝98°， ∴∠3＝180°﹣∠2﹣∠4＝52°， ∵m∥n， ∴∠1＝∠3＝52°， 故选：C． 考察易错点与重难点：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等． 【变式训练01】（难度：✭✭✭✭）．（2023秋•商河县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°． （1）试说明：∠BAG＝∠BGA； （2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD． （3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值． 试题思路分析：（1）根据平行线的性质与角平分线即可证明． （2）根据三角形外角的性质可证明结论； （3）有两种情况： ①当M在BP的下方时，如图5，设∠ABC＝4x，先根据已知计算∠ABP＝3x，∠PBG＝x，根据平行线的性质得：∠BCH＝∠AGB＝90°﹣2x，根据角的和与差计算∠ABM，∠GBM的度数，可得结论； ②当M在BP的上方时，如图6，同理可得结论． 详细规范解答：（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠GAD＝∠BGA， ∵AG平分∠BAD， ∴∠BAG＝∠GAD ∴∠BAG＝∠BGA； （2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF， ∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF， ∵∠BAG＝∠BGA， ∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF， ∵∠BAG﹣∠F＝45°， ∴∠BCF＝45°， ∵∠BCD＝90°， ∴CF平分∠BCD； （3）解：有两种情况： ①当M在BP的下方时，如图5， 设∠ABC＝4x， ∵∠ABP＝3∠PBG， ∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x， ∵AG∥CH， ∴∠BCH＝∠AGB90°﹣2x， ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x， ∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x， ∠GBM＝2x﹣x＝x， ∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5； ②当M在BP的上方时，如图6， 同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x， ∠GBM＝2x+x＝3x， ∴∠ABM：∠GBM＝x：3x． 综上，的值是5或． 考察易错点与重难点：本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、平行线的判定与性质及角的和与差，注意分类讨论思想的运用，本题容易丢解，要注意审题． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023秋•潜山市期末）（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数； （2）如图2，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系，并说明理由． 试题思路分析：（1）如图1，过点P作GH∥AB，得BAP+∠APH＝180°，故∠APH＝180°﹣∠BAP＝50°．由AB∥CD，GH∥AB，得CD∥GH，故∠PCD+∠HPC＝180°．那么，∠APC＝∠HPC+∠APH＝60°+50°＝110°． （2）如图2，过点P作EF∥AD，故∠ADP＝∠DPF．由EF∥AD，AD∥BC，得EF∥BC，故∠FPC＝∠PCB．那么，∠CPD＝∠DPF+∠CPF＝∠α+∠β． （3）当P在A的左侧，如图3．由AD∥BC，得∠DKC＝∠BCP＝∠β．又因∠DKC＝∠CPD+∠ADP，故∠CPD＝∠β﹣∠α．当P在B的右侧，如图4．由AD∥BC，得∠ADP＝∠DQC＝∠α．又因∠DQC＝∠CPD+∠BCP，故∠CPD＝∠α﹣∠β． 详细规范解答：解：（1）如图1，过点P作GH∥AB． ∴∠BAP+∠APH＝180°． ∴∠APH＝180°﹣∠BAP＝180°﹣130°＝50° ∵AB∥CD，GH∥AB． ∴CD∥GH． ∴∠PCD+∠HPC＝180°． ∴∠HPC＝180°﹣∠PCD＝180°﹣120°＝60°． ∴∠APC＝∠HPC+∠APH＝60°+50°＝110°． （2）如图2，过点P作EF∥AD． ∴∠ADP＝∠DPF，即∠α＝∠DPF． ∵EF∥AD，AD∥BC， ∴EF∥BC． ∴∠FPC＝∠PCB，即∠FPC＝∠β． ∴∠CPD＝∠DPF+∠CPF＝∠α+∠β． ∴∠CPD＝∠α+∠β． （3）当P在A的左侧，如图3． ∵AD∥BC， ∴∠DKC＝∠BCP＝∠β． 又∵∠DKC＝∠CPD+∠ADP， ∴∠β＝∠CPD+∠α，即∠CPD＝∠β﹣∠α． 当P在B的右侧，如图4． ∵AD∥BC， ∴∠ADP＝∠DQC＝∠α． 又∵∠DQC＝∠CPD+∠BCP， ∴∠α＝∠CPD+∠β． ∴∠CPD＝∠α﹣∠β． 考察易错点与重难点：本题主要平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及平行线的性质是解决本题的关键． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023秋•都昌县期末）如图，MN∥OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D，使得AD⊥BD．设∠DAB＝α（α为锐角）． （1）求∠NAD与∠PBD的和；（提示过点D作EF∥MN） （2）当点B在直线OP上运动时，试说明∠OBD﹣∠NAD＝90°； （3）当点B在直线OP上运动的过程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，请求出此时α的值 试题思路分析：（1）过点D作EF∥MN，则∠NAD＝∠ADE，EF∥OP，依据平行线的性质可得到∠PBD＝∠BDE，则∠NAD+∠PBD＝∠ADB，最后，依据垂线的定义求解即可；（2）由（1）得∠NAD＝90°﹣∠PBD，然后结合∠OBD+∠PBD＝180°，进行证明即可； （3）先求得∠OBD的度数（用含α的式子表示），然后再利用（2）中的结论列方程求解即可． 详细规范解答：解：（1）如图，过点D作EF∥MN，则∠NAD＝∠ADE． ∵MN∥OP，EF∥MN， ∴EF∥OP． ∴∠PBD＝∠BDE， ∴∠NAD+∠PBD＝∠ADE+∠BDE＝∠ADB． ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∴∠NAD+∠PBD＝90°． （2）由（1）得：∠NAD+∠PBD＝90°，则∠NAD＝90°﹣∠PBD． ∵∠OBD+∠PBD＝180°， ∴∠OBD＝180°﹣∠PBD， ∴∠OBD﹣∠NAD＝（180°﹣∠PBD）﹣（90°﹣∠PBD）＝90°． （3）若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，则有∠NAD＝∠BAD＝α，∠NAB＝2∠BAD＝2α，∠OBD＝2∠OBA． ∵OP∥MN， ∴∠OBA＝∠NAB＝2α， ∴∠OBD＝4α． 由（2）知：∠OBD﹣∠NAD＝90°，则4α﹣α＝90°，解得：α＝30°． 考察易错点与重难点：本题主要考查的是平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•武功县期末）如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，还需要添加条件（　　） A．∠B＝∠1 B．∠1＝∠3 C．∠B＝∠3 D．∠B＝∠2 试题思路分析：根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，得出∠1＝∠B，再根据平行线的判定定理，找出符合要求的答案． 详细规范解答：解：A、∵∠B＝∠1，可由EF∥AB得出，不用添加，不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意； B、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠1＝∠3，则∠B＝∠3，还是不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意； C、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠B＝∠3，则∠1＝∠3，还是不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意； D、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠B＝∠2，则∠1＝∠2，∴DF∥BC，故此选项符合题意； 故选：D． 考察易错点与重难点：本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023秋•齐河县期末）已知如图，DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由． 试题思路分析：先结合图形猜想BF与AC的位置关系是：BF⊥AC．要证BF⊥AC，只要证得DE∥BF即可，由平行线的判定可知只需证∠2+∠3＝180°，根据平行线的性质结合已知条件即可求证． 详细规范解答：解：BF与AC的位置关系是：BF⊥AC． 理由：∵∠AGF＝∠ABC， ∴BC∥GF， ∴∠1＝∠3； 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠2+∠3＝180°， ∴BF∥DE； ∵DE⊥AC， ∴BF⊥AC． 考察易错点与重难点：本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•北海期末）在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝∠D＝45°） （1）将三角尺如图1所示叠放在一起． ①∠AOD与∠BOC大小关系是 　相等　，依据是 　同角的余角相等　． ②∠BOD与∠AOC的数量关系是 　互补　． （2）小亮固定其中一块三角尺△COD不动，绕点O顺时针转动另一块三角尺，从图2的OA与OC重合开始，到图3的OA与OC在一条直线上时结束，探索△AOB的一边与△COD的一边平行的情况． ①求当AB∥CD时，如图4所示，∠AOC的大小； ②直接写出∠AOC的其余所有可能值． 试题思路分析：（1）①根据同角的余角相等可得答案； ②由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC可知两角互补； （2）①过点O作OE∥AB，根据平行线的性质可得答案； ②分四种情况，根据平行线的性质解答即可． 详细规范解答：解：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠AOD＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°， ∴∠AOD＝∠BOC，（同角的余角相等）， 故答案为：相等，同角的余角相等； ②∠AOC与∠BOD互补．、 ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOD+∠AOC+∠AOB＝180°． ∵∠AOD+∠AOB＝∠BOD， ∴∠AOC+∠BOD＝180°， 即∠AOC与∠BOD互补， 故答案为：互补； （2）①如图，过点O作OE∥AB，则OE∥AB∥CD， ∵OE∥AB∥CD， ∴∠A＝∠AOE＝30°，∠C＝∠COE＝45°， ∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝30°+45°＝75°； ②当AB∥OC时，如图， 此时∠AOC＝∠A＝30°； 当OA∥CD时，如图， 此时，∠AOC＝∠C＝45°； 当AB∥CD时， 由①得，∠AOC＝75°； 当AB∥OD时，如图， 此时，∠BOD＝∠B＝60°， ∴∠AOC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°； 当OB∥CD时，如图， 此时，∠BOD＝∠D＝45°， ∴∠AOC＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°； 综上，∠AOC的其余所有可能值为30°，45°，120°，135°． 考察易错点与重难点：本题考查了平行线的性质，直角三角板的角的度数的知识，熟记性质是解题的关键，（3）要分情况讨论求解． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•望奎县期末）三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°． （1）如图1，求证：CF∥AB； （2）如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数． 试题思路分析：（1）根据平行线的判定与性质即可完成证明； （2）如图2，过点E作EK∥AB，可得CF∥AB∥EK，再根据平行线的性质即可得结论； （3）根据∠EBC：∠ECB＝7：13，可以设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°，然后根据∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，13x+7x+100＝180，求出x的值，进而可得结果． 详细规范解答：（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B， ∵∠BCF+∠ADE＝180°． ∴∠BCF+∠B＝180°． ∴CF∥AB； （2）解：如图2，过点E作EK∥AB， ∴∠BEK＝∠ABE＝40°， ∵CF∥AB， ∴CF∥EK， ∴∠CEK＝∠ACF＝60°， ∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝40°+60°＝100°； （3）∵BE平分∠ABG， ∴∠EBG＝∠ABE＝40°， ∵∠EBC：∠ECB＝7：13， ∴设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°， ∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠EBC＝7x°，∠AED＝∠ECB＝13x°， ∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°， ∴13x+7x+100＝180， 解得x＝4， ∴∠EBC＝7x°＝28°， ∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG， ∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝40°﹣28°＝12°． 考察易错点与重难点：本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•营口期末）下列说法中，正确的个数有（　　） ①实数和数轴上的点是一一对应的； ②点P（1，m2+1），则点P一定在第一象限； ③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ④“同位角相等”为真命题； ⑤立方根等于本身的数是1和0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 试题思路分析：根据平行线的判定和性质，立方根的定义，实数的性质一一判断即可． 详细规范解答：解：①实数和数轴上的点是一一对应的，正确． ②点P（1，m2+1），则点P一定在第一象限，正确． ③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确． ④“同位角相等”为真命题，错误，成立的条件是平行线． ⑤立方根等于本身的数是1和0，错误，还有﹣1． 故选：C． 考察易错点与重难点：本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，立方根的定义，实数的性质等知识，属于中考常考题型． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•宁乡市期末）定义：对于任意实数m，n，如果满足m+n＝mn，那么称m，n互为“好友数”，点（m、n）为“好友点”． （1）若（5，n）为“好友点”，则n＝　　； （2）判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”． ①与4是互为“好友数”的； 　√　 ②若点（m，n）为“好友点”，则点（n，m）也一定为“好友点”； 　√　 ③若m与n互为相反数，则（m，n）一定不是“好友点”； 　×　 ④存在与1互为“好友数”的实数； 　×　 （3）已知A（x、y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于x，y的二元一次方程组的解，请判断点A（x，y）是否能成为“好友点”？若能，请求出a的值和点A的坐标；若不能，请说明理由． 试题思路分析：（1）根据“好友点”的定义把（5，n）代入m+n＝mn，求出n值即可； （2）根据“好友数”或“好友点”的定义对每一个命题进行判断即可解决问题； （3）先解关于x、y的二元一次方程组求出x、y的值，然后根据“好友点”的定义代入关系式得到关于a的方程，解方程即可求出a的值，然后求出y的值即可求出点A的坐标． 详细规范解答：解：（1）把（5，n）代入m+n＝mn，得：5+n＝5n， 解得：n， 故答案为：n； （2）①把和4分别代入m+n＝mn的左右两边，得： 左边，右边， ∵左边＝右边， ∴与4是互为“好友数”， 故①是真命题； ②把点（n，m）代入m+n＝mn后，结果为n+m＝nm， 根据加法交换律和乘法交换律可以知道n+m＝nm可以变形为m+n＝mn， ∴若点（m，n）为“好友点”，则点（n，m）也一定为“好友点”， 故②是真命题； ③∵m与n互为相反数， ∴m＝﹣n， 假设（m，n）是“好友点”， ∴﹣n+n＝﹣n2， ∴n＝0， ∴存在这样的实数，使m、n是相反数，点（m，n）又是“好友点”， 故③是假命题； ④把m＝1代入m+n＝mn得：1+n＝n， ∴不存在这样的n的值， ∴不存在与1互为“好友数”的实数， 故④是假命题； 故答案为：√；√；×；×． （3）， 解方程组得：， 设点A（x，y）是能成为“好友点”， ∴10+a2+1＝10×（a2+1）， ∴9a2＝1，解得a， ∴y＝a2+1＝（）2+1， ∴点A坐标为（10，）． 考察易错点与重难点：本题是新定义综合题，主要考查命题和定理，代数式的值，解二元一次方程组以及数对等知识点，深入理解“好友点”和“好友数”的定义是解决问题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•平泉市期末）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　互补　； 图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　相等　； ②请根据图1情况完成下面推理过程． ∵BC∥EF（已知）∴∠DEF＝∠　1　 ∵AB∥DE∴∠ABC+∠1＝180° 　两直线平行，同旁内角互补；　 ∴∠ABC+∠DEF＝　180°　．（等量代换） ③由①得出一个真命题（用文字叙述）：　如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补　． （2）应用③中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角的度数． 试题思路分析：（1）①分别由图1，图2根据平行线的性质推理得出答案； ②由图1根据平行线的性质推理得出结论过程； ③总结①②得出，如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补； （2）利用（1）的结论，列等式即可得答案． 详细规范解答：（1）①∠ABC+∠DEF＝180°， ∠ABC＝∠DEF， 故答案为：互补；相等； ②如图1， ∵BC∥EF（已知）， ∴∠DEF＝∠1， ∵AB∥DE， ∴∠ABC+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠ABC+∠DEF＝180°， 故答案为：1；两直线平行，同旁内角互补；180°； ③由①得出一个真命题（用文字叙述）：如果两个角两边互相平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：如果两个角两边互相平行，那么这两个角相等或互补； （2）设一个角为x°，另一个较为y°， 当两角相等时，， ∴， 当两角互补时，， ∴， 故两种情况，20°和20°或55°和125°． 考察易错点与重难点：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，难度不大． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•宿迁期末）如图，点F、D在△ABC的边BC上，点E、G分别在AB、AC上．请你从三个选项：①∠1+∠2＝180°，②∠DGC＝∠BAC，③EF∥AD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 试题思路分析：取①②，平行线的判定和性质解答即可． 详细规范解答：解：条件是：①∠1+∠2＝180°，②∠DGC＝∠BAC；结论是③EF∥AD， 证明：∵∠DGC＝∠BAC， ∴DG∥AB， ∴∠BAD＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠2+∠BAD＝180°， ∴EF∥AD， 考察易错点与重难点：本题考查平行线的判定和性质等知识，关键是根据平行线的判定和性质解答． 知识梳理： 平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 平移的性质： 平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。 对应点的线段平行且相等。 新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 解题策略： 识别平移：首先，观察题目中给出的图形或描述，识别出是否存在平移现象。平移通常表现为图形在平面内的整体移动，不改变形状和大小。 确定平移方向和距离：在识别出平移现象后，需要确定平移的方向和距离。这通常可以通过观察对应点的位置变化来实现。连接各组对应点的线段所指的方向就是平移的方向，线段的长度则是平移的距离。 利用平移性质解题：在确定了平移方向和距离后，可以利用平移的性质来解题。例如，如果知道两个图形是平移得到的，那么它们的对应边平行且相等，对应角也相等。这些性质可以帮助我们快速求解与平移相关的问题。 构建方程求解：在某些情况下，题目可能会给出一些与平移相关的条件，如角度、长度等。此时，我们可以利用这些条件构建方程，通过求解方程来找到答案。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•霸州市期末）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接AB，AC，∠BAC＝45°，∠ACB是钝角，将三角形ABC沿着直线l向右平移得到三角形A1B1C1，连接AB1，在平移过程中，当∠AB1A1＝2∠CAB1时，∠CAB1的度数是（　　） A．15° B．30° C．15°或45° D．30°或45° 试题思路分析：分两种情形：当点B1在线段BC上时，当点B1在BC的延长线上时，分别求解． 详细规范解答：解：当点B1在线段BC上时， ∵AB∥A1B1， ∴∠AB1A1＝∠BAB1， ∵∠AB1A1＝2∠CAB1， ∴∠B1AC∠BAC＝15°． 当点B1在BC的延长线上时， ∵AB∥A1B1， ∴∠AB1A1＝∠BAB1， ∵∠AB1A1＝2∠CAB1， ∴∠CAB1＝45°． 故选：C． 考察易错点与重难点：本题考查平移的性质，解题的关键是学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考常考题型． 【变式训练01】（难度：✭✭✭✭）（2023春•河东区期末）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别相交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，点P在线段AB上． （1）若∠1＝23°，∠2＝34°，则∠3＝　57°　； （2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由； （3）应用（2）中的结论解答下列问题； 已知l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°． ①如图2，求∠AEC的度数； ②如图3，将线段AD沿CD方向平移，其他条件不变，求∠AEC的度数． 试题思路分析：（1）利用平行线性质和三角形内角和定理求解； （2）利用平行线性质和三角形内角和定理计算推理说明； （3）①利用角平分线性质和平行线的性质求解即可； ②利用角平分线性质和平行线的性质，与①求解过程相似，不同的是用到了同旁内角互补． 详细规范解答：解：（1）∵l1∥l2， ∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°， 在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°， ∴∠3＝∠1+∠2＝23°+34°＝57°； 故答案为：57°； （2）∠1+∠2＝∠3，理由如下： ∵l1∥l2， ∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°， 在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°， ∴∠1+∠2＝∠3； （3）①如图2， ∵l1∥l2， ∴EF∥l2， ∵l1∥l2， ∴∠BCD＝∠α， ∵∠α＝74°， ∴∠BCD＝74°， ∵CE是∠BCD的角平分线， ∴∠ECD∠BCD74°＝37°， ∵EF∥l2， ∴∠FEC＝∠ECD＝37°， 同理可求∠AEF＝16°， ∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝53°； ②过点E作EF∥l1， ∴∠AEF＝180°﹣∠EAB，∠FEC＝∠ECD， ∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD， ∵l1∥l2，AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°， ∴∠BAD＝180°﹣∠β＝180°﹣32°＝148°，∠BCD＝∠α＝74°， ∴∠EAB∠BAD148°＝74°， ∠ECD∠BCD74°＝37°， ∴∠AEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD＝180°﹣74°+37°＝143°， ∴∠AEC的度数为143°． 考察易错点与重难点：本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•阳泉期末）综合与探究，问题情境： 如图1，已知AB∥CD，∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，点E，F在直线AB上，且∠ACD＝∠ACF，CE平分∠BCF． （1）求∠ACE的度数． 实践探究： （2）若左右平行移动AD，那么∠BAC与∠BFC之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠BAC与∠BFC之间的数量关系． （3）如图2，若向左平行移动AD，当∠BEC＝∠CAD时，请求出∠CAD的度数． 试题思路分析：（1）由平行线的性质求出∠BCD＝120°，再根据题意及角平分线的定义得出，即可求解； （2）由平行线的性质和三角形外角的性质即可求解； （3）由题可得AD∥BC，∠D＝60°，∠BCD＝120°，由三角形内角和定理可得∠DCA＝∠BCE，由角平分线的定义可得∠DCA＝∠ACF＝∠FCE＝∠BCE，求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 详细规范解答：解：（1）∵AB∥CD， ∴∠B+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BCD＝120°， ∵CE平分∠BCF， ∴， ∵∠ACD＝∠ACF， ∴； （2）∠BFC＝2∠BAC，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， ∵∠ACD＝∠ACF， ∴∠BAC＝∠ACF， ∵∠BFC＝∠BAC+∠ACF， ∴∠BFC＝2∠BAC； （3）∵AB∥CD，∠ABC＝60°，∠BAD＝120°， ∴AD∥BC，∠D＝60°，∠BCD＝120°， ∵∠BEC＝∠CAD， ∴∠DCA＝∠BCE， ∵∠ACD＝∠ACF，∠FCE＝∠BCE， ∴∠DCA＝∠ACF＝∠FCE＝∠BCE， ∵∠BCD＝120°， ∴， ∴∠CAD＝180°﹣∠D﹣∠DCA＝90°． 考察易错点与重难点：本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•铁锋区期末）综合与实践 如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点G，H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．将一个含30°角的直角三角板PMN按如图（1）放置，使点N，M分别在直线AB，CD上，∠P＝90°，∠PMN＝60°，∠PNM＝30°． （1）∠PNB+∠PMD的度数为 　90°　； （2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图（2）． ①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数； ②将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，求在平移的过程中∠MON＝　30°α或60°α　（用含α的式子表示）． 试题思路分析：（1）过P点作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠PNB＝∠NPQ，∠PMD＝∠QPM，进而可求解； （2）①由平行线的性质可得∠ONM＝∠PMN＝60°，结合角平分线的定义可得∠ANO＝∠ONM＝60°，再利用平行线的性质可求解； ②可分两种情况：点N在G的右侧时，点N在G的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解． 详细规范解答：解：（1）过P点作PQ∥AB， ∴∠PNB＝∠NPQ， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠PMD＝∠QPM， ∴∠PNB+∠PMD＝∠NPQ+∠QPM＝∠MPN＝90°， 故答案为：90°； （2）①∵NO∥EF，PM∥EF， ∴PO∥PM， ∴∠ONM＝∠NMP， ∵∠PMN＝60°， ∴∠ONM＝∠PMN＝60°， ∵NO平分∠MNO， ∴∠ANO＝∠ONM＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠NOM＝∠ANO＝60°， ∴α＝∠NOM＝60°； ②点N在G的右侧时，如图②， ∵PM∥EF，∠EHD＝α， ∴∠PMD＝α， ∴∠NMD＝60°+α， ∵AB∥CD， ∴∠ANM＝∠NMD＝60°+α， ∵NO平分∠ANM， ∴∠ANO∠ANM＝30°α， ∵AB∥CD， ∴∠MON＝∠ANO＝30°α； 点N在G的左侧时，如图， ∵PM∥EF，∠EHD＝α， ∴∠PMD＝α， ∴∠NMD＝60°+α， ∵AB∥CD， ∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON， ∵NO平分∠MNG， ∴∠BNO[180°﹣（60°+α）]＝60°α， ∴∠MON＝60°α， 综上所述，∠MON的度数为30°α或60°α． 考察易错点与重难点：本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•泰来县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（2，﹣1），B（4，3），C（1，2）．将△ABC先向左平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1． （1）请在图中画出△A1B1C1； （2）写出平移后的△A1B1C1三个顶点的坐标； A1（ 　﹣3　，　﹣4　） B1（ 　﹣1　，　0　） C1（ 　﹣4　，　﹣1　） （3）求△ABC的面积． 试题思路分析：（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用（1）中所画图形得出对应点坐标； （3）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 详细规范解答：解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求； （2）A1（﹣3，﹣4），B1（﹣1，0），C1（﹣4，﹣1）； 故答案为：﹣3，﹣4；﹣1，0；﹣4，﹣1． （3）如图可得： S△ABC＝S长方形EFGB﹣S△BEC﹣S△CFA﹣S△AGB ＝BE•EFEB•CECF•FAAG•BG ＝3×43×13×12×4 ＝5． 考察易错点与重难点：此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•文昌期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（1，﹣2），先将△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1． （1）在图中画出△A1B1C1； （2）点A1，B1，C1的坐标分别为 　（0，4）　，　（﹣1，1）　，　（3，1）　； （3）若y轴上有一点P，使△PBC与△ABC面积相等，则点P的坐标为 　P（0，1）或（0，﹣5）　． 试题思路分析：（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）根据点A1，B1，C1的位置即可得到结论； （3）设P（0，m），构建方程求解即可． 详细规范解答：解：（1）如图所示： （2）点A1，B1，C1的坐标分别为：（0，4），（﹣1，1），（3，1）； 故答案为：（0，4），（﹣1，1），（3，1）； （3）设P（0，y），根据题意得： ， 解得：|h|＝3， ∴h＝±3， ∴y的值为：3﹣2或﹣3﹣2，即1或﹣5， ∴P（0，1）或（0，﹣5）． 故答案为：P（0，1）或（0，﹣5）． 考察易错点与重难点：本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•鹤城区期末）如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间． （1）求证：∠AEC＝∠BAE+∠ECD； （2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG． ①如图2，若∠AEC＝90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数； ②如图3，若HF平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系． 试题思路分析：（1）过点E作直线EN∥AB，得到EN∥CD，根据两直线平行内错角相等推出∠BAE＝∠AEN，∠DCE＝∠CEN即可； （2）①HF平分∠DFG，设∠GFH＝∠DFH＝x，根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数；②设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到∠AHF与∠AEC的数量关系． 详细规范解答：（1）证明：如图1，过点E作直线EN∥AB， ∵AB∥CD， ∴EN∥CD， ∴∠BAE＝∠AEN，∠DCE＝∠CEN， ∴∠AEC＝∠AEN+∠CEN＝∠BAE+∠ECD； （2）解：①∵AH平分∠BAE， ∴∠BAH＝∠EAH， ∵HF平分∠DFG， 设∠GFH＝∠DFH＝x， 又CE∥FG， ∴∠ECD＝∠GFD＝2x， 又∠AEC＝∠BAE+∠ECD，∠AEC＝90°， ∴∠BAH＝∠EAH＝45°﹣x， 如图2，过点H作l∥AB， ∴l∥AB∥CD， ∴∠AHF＝∠BAH+DFH＝45°﹣x+x＝45°； ②∠AHF＝90°∠AEC（或2∠AHF﹣∠AEC＝180°），理由如下： 设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y， ∵HF平分∠CFG， ∴∠GFH＝∠CFH＝90°﹣x， 由（1）知∠AEC＝∠BAE+∠ECD＝2x+2y， 过点H作l∥AB， ∴∠AHF﹣y+∠CFH＝180°， 即∠AHF﹣y+90°﹣x＝180°， ∴∠AHF＝90°+（x+y）， ∴∠AHF＝90°∠AEC．（或2∠AHF﹣∠AEC＝180°．） 考察易错点与重难点：此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理作出辅助线是解本题的关键． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•铁岭县期末）在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣6，7）、（﹣3，0）、（0，3）． （1）画出△ABC，并求△ABC的面积； （2）在△ABC中，点C经过平移后的对应点为C′（5，4），将△ABC作同样的平移得到△A′B′C′，画出平移后的△A′B′C′，并写出点A′，B′的坐标； （3）已知点P（﹣3，m）为△ABC内一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点Q（n，﹣3），则m＝　3　，n＝　1　． 试题思路分析：（1）根据平面直角坐标系找出点A、B、C的位置，然后顺次连接即可，再利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积列式计算即可得解； （2）根据网格结构找出点A、B平移后的对应点A′、B′的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出A′、B′的坐标； （3）根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列出方程求解即可． 详细规范解答：解：（1）如图，△ABC如图所示； △ABC的面积＝6×73×73×34×6， ＝42﹣10.5﹣4.5﹣12， ＝42﹣27， ＝15； （2）△A′B′C′如图所示，A′（﹣1，8），B′（2，1）； （3）由题意得，﹣3+4＝n，m﹣6＝﹣3， 解得m＝3，n＝1． 故答案为：3，1． 考察易错点与重难点：本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积计算，平移的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$