圆锥曲线---全国新高考地区2024届高三数学二模试题选择填空题分类汇编

2024届高三数学试题分类汇编 圆锥曲线 【题型目录】 题型一：圆锥曲线的定义与方程 题型二：圆锥曲线的简单几何性质 题型三：圆锥曲线的离心率 题型四：抛物线焦点弦的性质 题型五：直线与圆锥曲线的位置关系 题型六：圆锥曲线的最值与范围问题 题型七：新情境背景下的圆锥曲线问题 【题型分类汇编】： 题型一：圆锥曲线的定义与方程 1．（广东省实验中学2024届高三新改革二轮复习提高卷）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 2.（安徽省A10联盟2024届高三4月质量检测考试）已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，则的面积为（ ） A. B. C.4 D.8 3. （2024年大连市高三第一次模拟）方程表示椭圆，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 且 4. （湖南省2024届高三九校联盟第二次联考）已知为双曲线上一动点，则到点和到直线的距离之比为（ ） A. 1 B. C. D. 2 题型二：圆锥曲线的简单几何性质 1．（2024届河北省名校联盟高三下学期4月第二次联考）已知椭圆E：经过点，则E的长轴长为 A．1 B．2 C．4 D． 2.（江西省萍乡市2023—2024学年度高三二模）如图1，与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心.如图2，已知是双曲线的左､右焦点，是双曲线右支上一点，是的一个旁心.直线与轴交于点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. （湖南省益阳市2024届高三4月教学质量检测）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4.（2024届辽宁省抚顺市六校协作体高三下学期第三次模拟）过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线交于两点．若，则（ ） A． B． C． D． 5.（2024年湖南省长沙一中高考数学适应性试卷）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，，且，则双曲线的渐近线方程为(    ) A. B. C. D. 6.（山东省“齐鲁名校联盟”第七次联考） 已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（ ） A. 斜率为2 B. 斜率为 C. 恒过点 D. 恒过点 7. （山东省“齐鲁名校联盟”第七次联考）已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的长轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 8．（湖南省永州市第四中学2024届高三）已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为 ． 题型三：圆锥曲线的离心率 1. （湖南省2024届新高考教学教研联盟高三第二次联考）已知双曲线的左、右焦点分别是为坐标原点，以为直径的圆与双曲线交于点，且在上的投影向量为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2. （湖南省2024届新高考教学教研联盟高三第二次联考）若椭圆的焦距为2，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3.（2024年江西省南昌市高考数学二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的右支上有一点，与双曲线的左支交于，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 4．（广东省实验中学2024届高三新改革二轮复习提高卷）直线过双曲线的右焦点，且与的左、右两支分别交于A，B两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的离心率为（    ） A．3 B． C．2 D． 5（2024年邵阳市高三第二次联考）已知直线与椭圆相交于两点.若弦被直线平分，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 6.（江西省上饶市2024届第二次高考模拟考试）设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. （2024年大连市高三第一次模拟）设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8.（鞍山市普通高中2023—2024学年度高三第二次质量监测）已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，轴于点，且．当最大时，点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为______． 【答案】： 9. （湖南省2024届高三“一起考”大联考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为___________. 10. （湖南省2024届高三九校联盟第二次联考）已知椭圆与双曲线，椭圆的短轴长与长轴长之比大于，则双曲线离心率的取值范围为__________. 11.（2024届明日之星高考数学精英模拟卷）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为______. 12.（河北省沧衡名校联盟高三年级模拟考试）已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且的周长为6，面积的最大值为，则椭圆的离心率为__________. 题型四：抛物线焦点弦的性质 1.（江西省萍乡市2023—2024学年度高三二模）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点且与交于两点，满足与相交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D.面积的最大值为1 2.（2024届明日之星高考数学精英模拟卷）已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是( ) A. B.若，则直线MN恒过定点 C.若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为 D.若，则直线MN的斜率为 3.（2024届辽宁省抚顺市六校协作体高三下学期第三次模拟）已知抛物线，过点作直线，直线与交于两点．在轴上方，直线与交于两点，在轴上方，连接，若直线过点，则下列结论正确的是（ ） A．若直线的斜率为1，则直线的斜率为 B．直线过定点 C．直线与直线的交点在直线上 D．与的面积之和的最小值为． 4.（2024年湖南省长沙一中高考数学适应性试卷）如图，已知抛物线：的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线直线的倾斜角为锐角与抛物线相交于，两点在轴的上方，在轴的下方，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则(    ) A. 当直线的斜率为时， B. 若，则直线的斜率为 C. 存在直线使得 D. 若，则直线的倾斜角为 题型五：直线与圆锥曲线的位置关系 1.（安徽省A10联盟2024届高三4月质量检测考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（ ） A.C的离心率为3 B.当时， C. D.为定值 2.（河北省沧衡名校联盟高三年级模拟考试）已知点为抛物线的准线与轴的交点，分别为上不同两点（其中在第一象限），为抛物线的焦点，为坐标原点，则下列说法正确的有（ ） A.若，则中点横坐标的最小值为4 B.若三点共线，且，则直线的斜率为 C.若三点共线，且，则直线的斜率为 D.若三点共线，且的外接圆与的交点为（异于），则的重心在轴上 题型六：圆锥曲线的最值与范围问题 1. （2024届河北省名校联盟高三下学期4月第二次联考）已知实数满足，若的最大值为4，则（ ） A. B. C. D. 2．（湖南省永州市第四中学2024届高三）已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1，现有一个半径为的玻璃球放入该玻璃酒杯中，要使得该玻璃球接触到杯底（盛酒部分），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：新情境背景下的圆锥曲线问题 1. （湖北省十一校2023-2024学年高三下学期第二次联考）用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切．下列结论中正确的有（ ） A. 椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等 B. 椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等 C. 所得椭圆的离心率 D. 其中为椭圆长轴，为球半径，有 2. （鞍山市普通高中2023—2024学年度高三第二次质量监测）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在直线上，点在圆上，点在抛物线上．下列结论中正确的结论为（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 2024届高三数学试题分类汇编 圆锥曲线 【题型目录】 题型一：圆锥曲线的定义与方程 题型二：圆锥曲线的简单几何性质 题型三：圆锥曲线的离心率 题型四：抛物线焦点弦的性质 题型五：直线与圆锥曲线的位置关系 题型六：圆锥曲线的最值与范围问题 题型七：新情境背景下的圆锥曲线问题 【题型分类汇编】： 题型一：圆锥曲线的定义与方程 1．（广东省实验中学2024届高三新改革二轮复习提高卷）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【解析】： 由题意，设抛物线的方程为， 可得焦点坐标，准线方程为， 设焦点关于准线的对称点为，可得，解得， 因为点关于其准线的对称点为，可得，解得， 所以抛物线的方程为. 故选：A. 2.（安徽省A10联盟2024届高三4月质量检测考试）已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，则的面积为（ ） A. B. C.4 D.8 【解析】：将代入C的方程，得，故， 则的面积.故选A. 3. （2024年大连市高三第一次模拟）方程表示椭圆，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 且 【解析】：方程表示椭圆， 若焦点在x轴上，； 若焦点在y轴上，. 综上：实数的取值范围是且 故选：D 4. （湖南省2024届高三九校联盟第二次联考）已知为双曲线上一动点，则到点和到直线的距离之比为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【解析】：在双曲线上任一点，则， 则点到点和到直线的距离之比为： 故选:C. 题型二：圆锥曲线的简单几何性质 1．（2024届河北省名校联盟高三下学期4月第二次联考）已知椭圆E：经过点，则E的长轴长为 A．1 B．2 C．4 D． 【解析】：依题知，解得，所以E的长轴长为4．故选C． 2.（江西省萍乡市2023—2024学年度高三二模）如图1，与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心.如图2，已知是双曲线的左､右焦点，是双曲线右支上一点，是的一个旁心.直线与轴交于点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【解析】：因为是的一个旁心，则平分，则；又平分的外角，则，则，即，则，则，即双曲线的渐近线方程为.故选;D 3. （湖南省益阳市2024届高三4月教学质量检测）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【解析】：椭圆的焦点为， 依题意可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故最小值为. 故选：D 4.（2024届辽宁省抚顺市六校协作体高三下学期第三次模拟）过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线交于两点．若，则（ ） A． B． C． D． 【解析】：本题考查双曲线的性质，考查数学运算的核心素养． 由焦比定理可得，又，所以． 5.（2024年湖南省长沙一中高考数学适应性试卷）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，，且，则双曲线的渐近线方程为(    ) A. B. C. D. 【解析】：不妨取点位于第一象限，且在渐近线上， 所以点到渐近线的距离为， 在中，，所以，所以， 设， 由，得，所以，， 即， 因为， 所以，整理得， 又， 所以， 两边同时除以，整理得，解得，即， 所以双曲线的渐近线方程为． 故选：． 不妨取点位于第一象限，且在渐近线上，先解三角形求得点的坐标，再由，求得点的坐标，然后利用，求解即可． 本题考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的渐近线方程，平面向量的坐标运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 6.（山东省“齐鲁名校联盟”第七次联考） 已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（ ） A. 斜率为2 B. 斜率为 C. 恒过点 D. 恒过点 【解析】：设，则，， 由于，故过点的切线方程为， 即，即， 同理可得过点的切线方程为， 设，过点的两切线交于点， 故，整理得， 同理，整理得， 故直线的方程为， 斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确. 故选：D 7. （山东省“齐鲁名校联盟”第七次联考）已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的长轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 【解析】：由，，且为等边三角形，故，， 即有，有，又， 故，整理得， 故或（小于1，故舍去）， 即，故， 即的长轴长为. 故选：D. 8．（湖南省永州市第四中学2024届高三）已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为 ． 【答案】 【解析】：所求的双曲线方程为，则渐近线方程为， 设点，则， 点到的两条浙近线的距离之积为， 解得：，故双曲线方程为：， 故，故双曲线上的点到焦点距离的最小值为． 故答案为：． 题型三：圆锥曲线的离心率 1. （湖南省2024届新高考教学教研联盟高三第二次联考）已知双曲线的左、右焦点分别是为坐标原点，以为直径的圆与双曲线交于点，且在上的投影向量为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【解析】：不妨设点在第二象限，如图， 因为在上的投影向量为，则， 又，所以， 又在双曲线上，，则， 即，整理得， 所以，解得或（舍去），. 故选：D. 2. （湖南省2024届新高考教学教研联盟高三第二次联考）若椭圆的焦距为2，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【解析】：当时，，解得， 则离心率为， 当时，，解得， 则离心率为. 故选：C 3.（2024年江西省南昌市高考数学二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的右支上有一点，与双曲线的左支交于，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 【解析】：因为是线段的中点，且， 所以， 又，所以是等边三角形， 设的边长为， 由双曲线的定义知，，， 所以，， 又， 所以，即， 所以，， 在中，由余弦定理知，， 所以， 即， 所以离心率．故选：D 4．（广东省实验中学2024届高三新改革二轮复习提高卷）直线过双曲线的右焦点，且与的左、右两支分别交于A，B两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的离心率为（    ） A．3 B． C．2 D． 【解析】：如图所示，取双曲线左焦点，设，则， 由双曲线定义可得，又、关于原点对称， 故，，， 则， 由，故，故有， 化简可得，即有，， 由，则有，即， 即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于找出左焦点，设，从而借助双曲线定义将其它边表示出来，结合勾股定理计算出各边长，从而可列出与、有关的齐次式，得到离心率. 5（2024年邵阳市高三第二次联考）已知直线与椭圆相交于两点.若弦被直线平分，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 【解析】：设，因为弦被直线平分，设中点坐标， 所以，① 因为点在直线上，代入可得 ，两式相减可得，② 又点在椭圆上，代入可得，两式相减可得， 代入①②可得，又椭圆中， 所以离心率， 故选：C 6.（江西省上饶市2024届第二次高考模拟考试）设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【解析】：设双曲线的左焦点为，如图，取线段的中点，连接，则．因为，所以，即，则．设．因为，所以，则，从而，故，解得．因为直线的斜 率为，所以，整理得，即， 故选：D． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质——离心率的求法，涉及向量的运算和数量积，关键是取M的中点，利用向量的中点公式和向量数量积为零的几何意义，得到为线段MN的中 垂线，结合双曲线的定义得到是关键，根据直线l的斜率，得到a,c的关系是求得离心率的方向. 7. （2024年大连市高三第一次模拟）设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【解析】：设，由对称性不妨设A在第一象限，此时M也在第一象限，因，所以， 所以，又， 解得， 所以所以，解得，所以，代入双曲线方程得：， 解得，所以. 故选：A 8.（鞍山市普通高中2023—2024学年度高三第二次质量监测）已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，轴于点，且．当最大时，点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为______． 【答案】： 【解析】：如图： 因为轴，且在双曲线上，所以， 又，所以为中点. 因为最大，所以经过，两点的圆与相切于，此时点坐标为， 圆心， 由 . 故答案为： 9. （湖南省2024届高三“一起考”大联考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为___________. 【答案】 【解析】：由题意，不妨设点P在第一象限，如图. 因为，则，，. 因为，则，可知， 则，即，整理得. 由得，解得或（舍去）， 所以C的离心率为. 故答案为：. 10. （湖南省2024届高三九校联盟第二次联考）已知椭圆与双曲线，椭圆的短轴长与长轴长之比大于，则双曲线离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】：依题意，对于椭圆方程，对于双曲线方程，. 不妨设，则，于是，由复合函数的单调性可得函数在区间上单调递增， 故，即，故双曲线离心率的取值范围为. 故答案为：. 11.（2024届明日之星高考数学精英模拟卷）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为______. 【答案】： 【解析】：由，得A为线段的中点，且点P在椭圆外，所以， 则，又，所以为线段的中点，所以， 设，则，又，所以， 由椭圆的定义可知：，得， 如图，延长交椭圆C于点Q，连接，则由椭圆的对称性可知， ，又，故，由余弦定理可得：，在中，，由余弦定理可得，即，所以椭圆C的离心率为.故答案为：. 12.（河北省沧衡名校联盟高三年级模拟考试）已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且的周长为6，面积的最大值为，则椭圆的离心率为__________. 【答案】： 【解析】：依题意，的周长为，所以面积的最大值为，又，解得，故椭 圆的离心率为. [命题意图]本题考查梢圆的几何性质和研究方法；考查逻辑思维能力､运算求解能力和创新能力；考查数学抽象､逻辑推理､直观想象､数学运算的核心素养. 题型四：抛物线焦点弦的性质 1.（江西省萍乡市2023—2024学年度高三二模）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点且与交于两点，满足与相交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D.面积的最大值为1 【解析】：因为，则平分线段，又，则平分线段，则四边形为平行四边形，故对；因为四边形为平行四边形，所以， 又，故，故B对；当轴时，根据对称性，在轴上，此时，故C错；设，因为过焦点，则，则，则，又，则，即为等腰三角形，且轴为的垂直平分线，故必在轴上.此外，， 则，则， 当与抛物线相切时，取得最大值1，即 的最大值为1，故D对. 故选：ABD 2.（2024届明日之星高考数学精英模拟卷）已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是( ) A. B.若，则直线MN恒过定点 C.若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为 D.若，则直线MN的斜率为 【答案】：AD 【解析】：根据抛物线的定义知，得，故A选项正确；设，，因为直线MN斜率必存在，设直线MN的方程为，代入得，，，，所以，解得，所以直线MN恒过定点，故B选项错误；外接圆圆心的纵坐标为，外接圆半径为，故C选项错误； 因为，所以直线MN过焦点F，且，设直线MN的倾斜角为，由抛物线性质知MN的斜率为互为相反数的两个值，如图，过M，N分别向准线作垂线MA，NB，过N向MA作垂线NC，设，则，，，，，，，故D选项正确.故选AD. 3.（2024届辽宁省抚顺市六校协作体高三下学期第三次模拟）已知抛物线，过点作直线，直线与交于两点．在轴上方，直线与交于两点，在轴上方，连接，若直线过点，则下列结论正确的是（ ） A．若直线的斜率为1，则直线的斜率为 B．直线过定点 C．直线与直线的交点在直线上 D．与的面积之和的最小值为． 【答案】：ABD 【解析】：本题考查抛物线的性质，考查直观想象的核心素养． 设，设直线交轴于点，联立方程组可得，B正确；，当时，，A正确；当轴时，可知，，求得直线的方程为，直线的方程为，将这两方程联立方程组，解得，C错误；设与的面积分别为，则，又，所以，当且仅当时，等号成立，D正确．故选：ABD 4.（2024年湖南省长沙一中高考数学适应性试卷）如图，已知抛物线：的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线直线的倾斜角为锐角与抛物线相交于，两点在轴的上方，在轴的下方，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则(    ) A. 当直线的斜率为时， B. 若，则直线的斜率为 C. 存在直线使得 D. 若，则直线的倾斜角为 【答案】：  【解析】：对于选项A，当直线的斜率为时，直线的倾斜角为，故A正确； 对于选项B，由，，可得， 又由，有为的中位线，有， 可得点的横坐标为，代入抛物线的方程， 求得点的纵坐标为，故直线的斜率为，故B错误； 对于选项C，设，由焦点弦的性质知：， 所以，故C错误； 对于选项D，由，得， 设直线的倾斜角为，则由抛物线性质可得：， 解得，所以，故D正确． 故答案选：． 利用抛物线的性质和直线与抛物线的位置关系即可一一判断． 本题考查了抛物线的性质和直线与抛物线的综合运用，属于中档题． 题型五：直线与圆锥曲线的位置关系 1.（安徽省A10联盟2024届高三4月质量检测考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（ ） A.C的离心率为3 B.当时， C. D.为定值 【答案】：BCD 【解析】：由题意得，，故A错误； 联立，得，解得或，则，故B正确； 设，的斜率分别为，，故直线的方程为，联立， 得，设，则，，故.当轴时，是等腰直角三角形，且易知；当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故，因为，所以，所以，，故C正确；因为，故，故，故D正确.故选BCD. 2.（河北省沧衡名校联盟高三年级模拟考试）已知点为抛物线的准线与轴的交点，分别为上不同两点（其中在第一象限），为抛物线的焦点，为坐标原点，则下列说法正确的有（ ） A.若，则中点横坐标的最小值为4 B.若三点共线，且，则直线的斜率为 C.若三点共线，且，则直线的斜率为 D.若三点共线，且的外接圆与的交点为（异于），则的重心在轴上 【答案】：ACD 【解析】：依题意得，，所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为，对于选项，设线段的中点为，分别过点作准线的垂线，垂足分别为，根据梯形中位线性质和抛物线定义可得，当且仅当三点共线时，等号成立，即中点横坐标的最小值为4，所以选项正确；对于选项，直线斜率不为零，可设直线的方程为，由得，则，解得，所以，因为，所以，所以，解得（满足，所以直线的方程为或.又在第一象限，则直线的斜率为，所以选项不正确；对于选项，设直线的方程为，联立，消去得，，由题意得，则，所以，则，又由题意，所以，直线的方程为，所以C选项正确；对于D选项，设，因为四点共圆，设该圆的方程为，联立消去得，即，所以即为关于的方程的3个根，则，因为，由的系数对应相等得，，所以的重心的纵坐标为0，即重心在轴上，所以选项正确，故选ACD. 题型六：圆锥曲线的最值与范围问题 1. （2024届河北省名校联盟高三下学期4月第二次联考）已知实数满足，若的最大值为4，则（ ） A. B. C. D. 【解析】：令，则，则时， 由，整理得， 则， 整理得，则，解之得 故选：D 2．（湖南省永州市第四中学2024届高三）已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1，现有一个半径为的玻璃球放入该玻璃酒杯中，要使得该玻璃球接触到杯底（盛酒部分），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】：以轴截面抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系， 当玻璃球能够与杯底接触时，该玻璃球的轴截面的方程为． 因为抛物线的通径长为1，则抛物线的方程为， 代入圆的方程消元得：， 所以原题等价于方程在上只有实数解． 因为由，得或， 所以需或，即或． 因为，所以， 故选：C． 题型七：新情境背景下的圆锥曲线问题 1. （湖北省十一校2023-2024学年高三下学期第二次联考）用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切．下列结论中正确的有（ ） A. 椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等 B. 椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等 C. 所得椭圆的离心率 D. 其中为椭圆长轴，为球半径，有 【解析】： 对A，B：过点作线段，分别与球、切于点、， 由图可知，、分别与球、切于点、， 故有， 由椭圆定义可知，该椭圆以、为焦点，为长轴长，故B正确， 由与球切于点，故， 有， 即有椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故A正确； 对C:由题意可得，则，故C正确； 对D：由题意可得，， 故，即，故D错误. 故选：ABC. 2. （鞍山市普通高中2023—2024学年度高三第二次质量监测）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在直线上，点在圆上，点在抛物线上．下列结论中正确的结论为（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【解析】：对A：设，则（当且仅当时取“”）.故A错； 对B：设，则.则，故B对； 对C：设，，则 （当且仅当，时取“”）.故C对； 对D：设，，则 （当且仅当时取“”）.故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是对“折线距离”的理解，根据新定义，写出折线距离；关键之二是含有绝对值的式子的处理，可根据绝对值的放缩和绝对值不等式，去掉绝对值的符号再求相关最值. 学科网（北京）股份有限公司 $$