直线与圆---全国新高考地区2024届高三数学二模试题选择填空题分类汇编

2024届高三数学试题分类汇编 直线与圆 【题型目录】 题型一：圆的方程 题型二：直线与圆、圆与圆的位置关系问题 题型三：直线与圆的弦长问题 题型四：圆中的切线 切线长和切点弦问题 题型五：圆中最值、范围问题 【题型分类汇编】： 题型一：圆的方程 1. （湖南省益阳市2024届高三4月教学质量检测）在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为______． 2. （湖南省益阳市2024届高三4月教学质量检测）如图1所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具．它由转动杆与横杆组成，为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆始终保持水平．如图2所示，以点为原点，水平方向为轴正方向建立平面直角坐标系．若点距水平地面的高度为1米，转动杆的长度为1.6米，横杆的长度为2米，绕点在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角（ ） A. 则点运动的轨迹方程为（其中） B. 则点运动的轨迹方程为（其中） C. 若绕点从与水平方向成角匀速转动到与水平方向成角，则横杆距水平地面的高度为米 D. 若绕点从与水平方向成角匀速转动到与水平方向成角，则点运动轨迹的长度为米 题型二：直线与圆、圆与圆的位置关系问题 1. （2024届河北省名校联盟高三下学期4月第二次联考） 已知,若平面内满足到直线的距离为1的点P有且只有3个，则实数__________． 2. （湖北省十一校2023-2024学年高三下学期第二次联考）平面直角坐标系xOy中，已知点，其中，若圆上存在点P满足，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 题型三：直线与圆的弦长问题 1.（2024届明日之星高考数学精英模拟卷）已知圆与圆交于A，B两点，且四边形OACB的面积为3r，则( ) A. B. C. D. 2．（2024届辽宁省抚顺市六校协作体高三下学期第三次模拟）已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，则的面积为（ ） A． B．2 C． D．4 题型四：圆中的切线 切线长和切点弦问题 1.（2024届河北省名校联盟高三下学期4月第二次联考）已知圆，圆，，则(    ) A. 两圆的圆心距的最小值为1 B. 若圆O与圆C相切，则 C. 若圆O与圆C恰有两条公切线，则 D. 若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2 题型五：圆中最值、范围问题 1. （鞍山市普通高中2023—2024学年度高三第二次质量监测）已知直线，点在圆上运动，那么点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 2. （湖南省2024届新高考教学教研联盟高三第二次联考）设，对满足条件的点的值与无关，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. （湖南省2024届高三“一起考”大联考）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A. B. C. D. 4. （湖南省2024届高三九校联盟第二次联考）过点的动直线与圆交于两点，在线段上取一点，使得，已知线段的最小值为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. （山东省“齐鲁名校联盟”第七次联考）已知点为圆：上的动点，点的坐标为，，设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为2 B. 曲线方程为 C. 圆与曲线有两个交点 D. 若，分别为圆和曲线上任一点，则的最大值为 6. （鞍山市普通高中2023—2024学年度高三第二次质量监测）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在直线上，点在圆上，点在抛物线上．下列结论中正确的结论为（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 7.（安徽省A10联盟2024届高三4月质量检测考试）已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（ ） A.0 B.-2 C.-4 D. 2024届高三数学试题分类汇编 直线与圆 【题型目录】 题型一：圆的方程 题型二：直线与圆、圆与圆的位置关系问题 题型三：直线与圆的弦长问题 题型四：圆中的切线 切线长和切点弦问题 题型五：圆中最值、范围问题 【题型分类汇编】： 题型一：圆的方程 1. （湖南省益阳市2024届高三4月教学质量检测）在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为______． 【解析】：设，则由可得，化简得. 故答案为：. 2. （湖南省益阳市2024届高三4月教学质量检测）如图1所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具．它由转动杆与横杆组成，为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆始终保持水平．如图2所示，以点为原点，水平方向为轴正方向建立平面直角坐标系．若点距水平地面的高度为1米，转动杆的长度为1.6米，横杆的长度为2米，绕点在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角（ ） A. 则点运动的轨迹方程为（其中） B. 则点运动的轨迹方程为（其中） C. 若绕点从与水平方向成角匀速转动到与水平方向成角，则横杆距水平地面的高度为米 D. 若绕点从与水平方向成角匀速转动到与水平方向成角，则点运动轨迹的长度为米 【解析】：对于A：点P的轨迹显然是以O为原点，OP为半径的圆， 故点P运动轨迹方程为（其中），故A错误； 对于B：设，因为PQ平行于x轴， 所以，所以，又因为在加圆上， 所以点Q的运动轨迹是以为圆心，1.6为半径的圆， 所以点Q的轨迹方程为（其中），故B正确； 对于C：若OP绕点O从与水平方向成角匀速转动到与水平方向成角， 横杆PQ达到最高点，此时横杆PQ距水平地面的高度为，故C正确； 对于D：因绕点O从与水平方向成角匀速转动到与水平方向成角， 故绕点转动的角度与点绕点转动的角度一样为， 所以点Q运动轨迹的长度即为圆（其中）的弧长，等于，故D错误. 故选：BC. 题型二：直线与圆、圆与圆的位置关系问题 2. （2024届河北省名校联盟高三下学期4月第二次联考） 已知,若平面内满足到直线的距离为1的点P有且只有3个，则实数__________． 【解析】设点,由得,若该圆上有且只有3个点直线的距离为1，则圆心到直线的距离，解得． 2. （湖北省十一校2023-2024学年高三下学期第二次联考）平面直角坐标系xOy中，已知点，其中，若圆上存在点P满足，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】：设， ，则，即， 即点亦在圆上，圆心为，半径， 又点P在圆上，圆心为，半径， 故两圆相交，即有， 整理可得且，解得. 故选：D. 题型三：直线与圆的弦长问题 1.（2024届明日之星高考数学精英模拟卷）已知圆与圆交于A，B两点，且四边形OACB的面积为3r，则( ) A. B. C. D. 【解析】：如图所示， 圆C的标准方程为，圆心为，半径为3，由题意可知，，，，所以，所以，所以.设，则M为AB的中点，故四边形OACB的面积，则，故，所以，所以，又因为，所以，解得，因此，.故选C. 2．（2024届辽宁省抚顺市六校协作体高三下学期第三次模拟）已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，则的面积为（ ） A． B．2 C． D．4 【解析】：本题考查圆的性质，考查数学运算的核心素养． 设点到直线的距离为，则，所以． 题型四：圆中的切线 切线长和切点弦问题 1.（2024届河北省名校联盟高三下学期4月第二次联考）已知圆，圆，，则(    ) A. 两圆的圆心距的最小值为1 B. 若圆O与圆C相切，则 C. 若圆O与圆C恰有两条公切线，则 D. 若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2 【解析】：因为，，所以，故最小值为1，故A正确； B.若圆O与圆C相切，则或，解得：或，故B错误； C.若圆O与圆C恰有两条公切线，则两圆相交，故，则且，故C错误； D.圆O与圆C相交，则公共弦方程为，即， 圆的圆心到的距离为，令， 则， 当时，，为增函数，当时，，为减函数， 所以的最小值为 所以圆心到的距离的最小值为0，即O在直线上， 所以公共弦长的最大值为圆O的直径2，故D正确. 题型五：圆中最值、范围问题 1. （鞍山市普通高中2023—2024学年度高三第二次质量监测）已知直线，点在圆上运动，那么点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【解析】：圆的圆心为，半径为. 则圆心到直线：的距离为：. 所以圆上的点到直线：距离的最大值为：. 故选：C 2. （湖南省2024届新高考教学教研联盟高三第二次联考）设，对满足条件的点的值与无关，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【解析】：易知，所以， 即C点轨迹为为圆心，为半径的圆， 易知到直线的距离为， 即该圆与直线相切， 若的值与无关， 则该圆在两平行直线之间， 所以到直线的距离为， 由图可知. 故选：B 3. （湖南省2024届高三“一起考”大联考）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A. B. C. D. 【解析】：直线分别与轴，轴交于，两点 ,则 点P在圆上 圆心为（2，0），则圆心到直线距离 故点P到直线的距离的范围为 则 故答案选A. 点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 4. （湖南省2024届高三九校联盟第二次联考）过点的动直线与圆交于两点，在线段上取一点，使得，已知线段的最小值为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】：圆心，半径为2，则圆与轴相切，设切点为， 则，则， 设的中点为，连接，则， 令圆心到直线的距离为，则， 由，得， 因此，而的最小值为， 所以，则. 故选：A 5. （山东省“齐鲁名校联盟”第七次联考）已知点为圆：上的动点，点的坐标为，，设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为2 B. 曲线方程为 C. 圆与曲线有两个交点 D. 若，分别为圆和曲线上任一点，则的最大值为 【解析】：对于A，当直线与圆在第一象限相切时，（如图）此时最大，进而最大， 由于圆：的圆心，半径，故,因此,,故A错误， 对于B，设，则，由于在圆：上，代入可得：，故B错误， 对于C，由于曲线的方程为，为圆心为，半径为的圆，故两圆圆心距离为，故两圆相交，因此有两个交点，故C正确， 对于D，由于，当且仅当三点共线时，如图, 故的最大值为,故D正确， 故选：CD 6. （鞍山市普通高中2023—2024学年度高三第二次质量监测）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在直线上，点在圆上，点在抛物线上．下列结论中正确的结论为（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【解析】：对A：设，则（当且仅当时取“”）.故A错； 对B：设，则.则，故B对； 对C：设，，则 （当且仅当，时取“”）.故C对； 对D：设，，则 （当且仅当时取“”）.故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是对“折线距离”的理解，根据新定义，写出折线距离；关键之二是含有绝对值的式子的处理，可根据绝对值的放缩和绝对值不等式，去掉绝对值的符号再求相关最值. 7.（安徽省A10联盟2024届高三4月质量检测考试）已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（ ） A.0 B.-2 C.-4 D. 【解析】：C设张的中点为C，∵，，易用. ∵C为的中点，∴. 设向量与的夹角为， ∴， 又，∴的最小值为-4.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $$